Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2019-2020

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 2 septembre 2019 : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuve à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, domination et d'équivalence, liens entre ces relations). Théorème de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) dans le cas ou f=O(g).
  • 4 septembre 2019 : Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives)(O,o et ~). Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables, premier exemple et propriétés (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz). Intégrales impropres : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence.
  • 11 septembre 2019 : Retour sur les fonctions intégrables et les liens entre intégrabilité d'une fonction et intégrale convergente. Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties généralisée). Intégrales de Bertrand (idée de la preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Séries numériques : Vocabulaire, si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire).
  • 18 septembre 2019 : Séries numériques : convergence d'une série téléscopique (preuve à connaître), condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence). Critères de convergence : règle de D'Alembert, théorème de comparaison série-intégrale (uniquement l'énoncé du théorème pour l'instant).
  • 25 septembre 2019 : Séries numériques : preuve du théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement à savoir refaire), Séries de référence : rappel des séries téléscopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître), série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, critère de Cauchy sur les sommes partielles, la convergence absolue entraîne la convergence, définition de semi-convergence. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). (La règle de Cauchy concernant la racine n-ième de u_n ne sera pas vue.)
  • 02 octobre 2019 : Fin du cours sur les séries numériques : retour sur le critère des séries alternées pour insister sur l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique. Transformation d'Abel : principe général puis règle d'Abel (deux versions), théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité triangulaire inversée (preuve à connaître), énoncé de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n).
  • 09 octobre 2019 : Preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n) et norme euclidienne, distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties bornées, caractérisation d'une partie bornée par inclusion dans une boule fermée. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n. Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée ou une sphère n'est pas ouverte (démonstration de ces deux résultats à savoir expliquer au moins sur un dessin). Propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, définition d'une suite convergente.
  • 16 octobre 2019 : Opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite, caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées). Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité : définition, caractérisation séquentielle, définition d'une application lipschitzienne.
  • 23 octobre 2019 : continuité des fonctions lipschitziennes (la preuve est à connaître), opérations sur les fonctions continues (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La démonstration de la continuité des applications projection p_i : (x_1,…,x_n) → x_i est à savoir. La continuité d'une fonction entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert. Exemple d'étude de la continuité une fonction définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse. Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples, lien (équivalence) avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent.
  • 06 novembre 2019 : Retour sur la matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent, gradient, rotationnel et divergence. Dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent), fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles). La démonstration du caractère C^1 des projections coordonnées p_i : (x_1,…,x_n)→ x_i est à savoir refaire au moins dans le cas n=2. Propriétés des fonctions de classe C^1 : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne), version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes). C^1-difféomorphismes : définition, exemples.
  • 13 novembre 2019 : Fin du chapitre sur les fonctions de plusieurs variables : condition nécessaire pour avoir un C^1-difféomorphisme (dimension de l'espace de départ et d'arrivée égale, et matrice jacobienne inversible en tout point), théorème d'inversion globale (admis), exemple des coordonnées polaires, dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz. Exemple de détermination de la classe d'une fonction à l'aide de la contraposée du théorème de Schwarz. Début du cours sur les suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, de la convergence simple (différents exemples), unicité de la limite simple. Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité.


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.


Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 15/11/19 après 11 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : exercices 1, 2, 4, 5, question 1 de l'exo 6 (le corrigé des questions 2 et 3 a été donné), 7, 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : tous les exercices sauf le 12 et le 17.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 9 (dont le 3 en DM), 10, 13, 16, 17, 18 (uniquement la question 1). Corrigés des exercices 11, 12, 15 et fin du 18 distribués.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 5, 9 et 10.
Groupe P6 (au 15/11/19 après 11 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 2 à 8.
  • Fiche 2 : exercices 1, 2, 4-6, 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 16 sauf 6.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 11, 12 (1 et 2), 13 (1 et 2), 14 à 16, 18(1).
  • Fiche 5 : exercices 1 à 5, 8 (sauf question 4), 9, 11.
Groupe P7 (au 15/11/2019, après 11 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : Toute la fiche.
  • Fiche 2: Exercices 1 à 7, 11(2). Correction des exercices 8,9,13 et 11,1. distribuée.
  • Fiche 3: Exercices 1 à 16.
  • Fiche 4: Exercices 1 à 7. Exercice 8(sauf le 6.), exercices 9 à 11, exercices 12 (1.,2.), 13 (1.,2), 14 à 16, 18. Correction des exercies 17 et 19 distribuée.
  • Fiche 5: Exercices 1 à 5, 9.
Groupe P8 (au 15/11/2019 après 11 TDs sur 15):
  • Fiche 1 : Toute la fiche
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : Tout sauf les fins des 14 et 17.
  • Fiche 4 : Exercices 1 et 2, 4 et 5, 7 et 8, 10, 12, 13 2, 14, 16 2, 18 1 et 19.
  • Fiche 5 : Exercices 1 à 5, 8 et 9, 11 et 12.


Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Rouchdi Bahloul.

  • 03/09/2019 : Révisions de L1; introduction du cours d'algèbre III.
  • 05/09/2019 : Chapitre 1 - Groupe des permutations : définition d'un groupe; groupe des permutations; cardinal; support d'une permutation; cycle; transposition; décomposition en cycles à supports disjoints.
  • 06/09/2019 : décomposition comme produit de transpositions; signature; exemples. Chapitre 2 - Déterminant : définition du dét d'une matrice; caractère multilinéaire alterné par rapport aux colonnes; déterminant d'une matrice après une permutation des colonnes; déterminant d'une transposée; déterminant d'un produit de matrice.
  • 09/09/2019 : Matrice inversible ssi dét non nul; déterminant de la matrice inverse; calcul pratique du déterminant (développement par rapport à une ligne ou une colonne); mineur; cofacteur et comatrice; lien entre rang et mineurs non nuls; dét d'une matrice diagonale, triangulaire et triangulaire par blocs; exemples.
  • 16/09/2019 : Inverse d'une matrice; formule de Cramer; Déterminant d'un endomorphisme (indépendance de la définition vis à vis du choix d'une base). Chapitre 3 - Réduction et polynôme caractéristique : ``rappels'' sur les sommes directes; sous-espace stable (définitions)
  • 23/09/2019 : sous-espace stable (quelques propriétés : la somme ou l'intersection de deux ss-espaces stables par u est encore stable; Si u et v commutent alors le noyau et l'image de v sont stables par u); endomorphisme induit (à ne pas confondre avec la restriction); exemple; version matricielle avec matrice triangulaire par blocs. Généralités sur les valeurs propres et les vecteurs propres. Définitions des val. et vect. propres. Définition des sous-espaces propres. Ils sont stables par l'application; ils sont en somme directe; conséquence : liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. Exemples en dimension infinie.
  • 30/09/2019 : Valeurs et vecteurs propres pour une matrice carrée - Polynôme caractéristique d'une matrice : det(X I_n - A). Forme du polynôme caractéristique : P_A =X^n - tr(A) X^{n-1} +…+ (-1)^n det(A). Théorème : lambda est une valeur propre si et s. si P(lambda)=0. – Polynôme caractéristique d'un endomorphisme : deux matrices semblables ont le même polyn. caract. ce qui permet de définir celui d'un endom. en dimension finie. Multiplicité : rappels généraux. Déf de polyn scindé et scindé à racines simples sur un corps K.
  • 07/10/2019 : Multiplicité (algébrique) et géométrique pour une valeur propre. En dimension finie, la somme des multiplicités algébriques est inférieure ou égale à dim(E) et on a égalité ssi le polyn. caract. est scindé. Si F est un sev stable par u alors P_u est multiple de P_{u_F}. Pour une valeur propre lambda, on a toujours les inégalités : 1 < ou = à dim(E_\lambda) < ou = à m_lambda. Définition d'un endomorphisme diagonalisable et d'une matrice diagonalisable (lien entre les deux). Théorème (en dimension finie toujours) : u est diagonalisable ssi il existe une base de E constituée de vecteurs propres ssi E est la somme directe des E_lambda ssi la somme des dim(E_lambda) est égale à dim(E) ssi P_u est scindé et pour toute valeur propre lambda, dim(E_lambda) = m_lambda. Corollaire : condition suffisante pour la diagonalisabilité : P_u est scindé à racines simples (ou de façon équivalente, il y a exactement n valeurs propres distinctes). J'ai donné un exemple montrant que cette condition n'est pas nécessaire. J'ai fait quelques exemples de calculs de polyn. caract., d'espaces propres avec diagonalisation.
  • 14/10/2019 : Fin des exemples. Trigonalisabilité : définition d'un endom trigonalisable (en dimension finie) et d'une matrice trigonalisable, lien entre les deux. Condition nécessaire et suffisante pour la trigonalisabilité : le polyn caractéristique est scindé sur le corps. Trigonalisation : algorithme pour trigonaliser. Exemples.
  • 21/10/2019 : Fin des exemples sur la trigonalisation. Nilpotence : définition. Prop. : 0 est l'unique valeur propre. Théorème (en dim finie) : u nilpotent ssi sa matrice dans une certaine base est triangulaire avec 0 sur la diagonale ssi le polynôme caractéristique est X^n.
  • 04/11/2019 : Nouveau chapitre sur le polyn. minimal et les projecteurs spectraux. Polynome d'endomorphisme et de matrice; notations K[u] et K[A]; polynôme annulateur avec quelques exemples. Deux matrices semblables ont les mêmes polyn annulateurs (on a même P(Q^{-1} A Q) = Q^{-1} P(A) Q ). Théorème de Cayley-Hamilton (en dim finie) : le polyn caractéristique est annulateur. Polynôme minimal définition : c'est un polynôme annulateur, unitaire, non nul de degré minimal (il existe et est unique). Corollaire : il divise tout autre polyn. annulateur.


Démonstrations non données en CM (mais faisant partie du cours) :


Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:


Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 13/11/19 après 10 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 4, 6 à 8, 10, 12, 16 à 19, 21, 22, 24 et 25 (corrigés des 5 et 13 donnés).
  • Fiche 2 : exercices 1 à 11, 13 à 15 et 17 à 19 (corrigé du 12 distribué).
  • Fiche 3 : exercices 1, 2 et 4 (corrigé du 3 distribué).
  • Fiche 4 : exercices 1 (sauf question 10, principe expliqué à l'oral) à 7.
  • Fiche 5 : exercice 1, 2 (sauf la matrice C), 3, 4, 7, 8 et 11 (5 et 6 faits à la maison, corrigés distribués).
Groupe P6 (au 13/11 après 11 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21 (matrice A), 22, 24.
  • Fiche 2 : ex. 1, 2, 4 (en partie), 5 (en partie), 6, 7 (en partie), 9 (matrice A), 10–15, 17–19.
  • Fiche 3 : ex. 1, 2, 4, 5.
  • Fiche 4 : ex. 1 (tout sauf 9 et 10), ex. 2, 3, 4, 5, 6.
  • Fiche 5 : ex. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11.
Groupe P7 (au 13/11 après 11 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : Exos 1 à 16, 18, 19, 21 (seulement la matrice C corrigée), 22, 24.
  • Fiche 2 : Exos 1 à 4, 6, 8, 9.A, 11, 12(DM), 13-19.
  • Fiche 3 : Exos 1 à 5
  • Fiche 4 : Ex 1 (sauf 9 et 10 en DM), 2 (D, E, F en DM), 3 (2 en DM), 4, 5, 6, 7, 8.
  • Fiche 5 : Exos 1, 2 sauf C (laissée en DM), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Groupe P8 (au 13/11/19, après 11 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 19, 21, 22 et 24.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 19.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2, 4, 5.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 points 1 et 2.
  • Fiche 5 : exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 15, finir le 17.

Devoirs

Dates prévisionnelles

 
 
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