Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2019-2020

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 2 septembre 2019 : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuve à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, domination et d'équivalence, liens entre ces relations). Théorème de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) dans le cas ou f=O(g).
  • 4 septembre 2019 : Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives)(O,o et ~). Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables, premier exemple et propriétés (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz). Intégrales impropres : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence.
  • 11 septembre 2019 : Retour sur les fonctions intégrables et les liens entre intégrabilité d'une fonction et intégrale convergente. Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties généralisée). Intégrales de Bertrand (idée de la preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Séries numériques : Vocabulaire, si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire).
  • 18 septembre 2019 : Séries numériques : convergence d'une série téléscopique (preuve à connaître), condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence). Critères de convergence : règle de D'Alembert, théorème de comparaison série-intégrale (uniquement l'énoncé du théorème pour l'instant).
  • 25 septembre 2019 : Séries numériques : preuve du théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement à savoir refaire), Séries de référence : rappel des séries téléscopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître), série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, critère de Cauchy sur les sommes partielles, la convergence absolue entraîne la convergence, définition de semi-convergence. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). (La règle de Cauchy concernant la racine n-ième de u_n ne sera pas vue.)
  • 02 octobre 2019 : Fin du cours sur les séries numériques : retour sur le critère des séries alternées pour insister sur l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique. Transformation d'Abel : principe général puis règle d'Abel (deux versions), théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité triangulaire inversée (preuve à connaître), énoncé de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n).
  • 09 octobre 2019 : Preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n) et norme euclidienne, distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties bornées, caractérisation d'une partie bornée par inclusion dans une boule fermée. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n. Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée ou une sphère n'est pas ouverte (démonstration de ces deux résultats à savoir expliquer au moins sur un dessin). Propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, définition d'une suite convergente.
  • 16 octobre 2019 : Opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite, caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées). Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité : définition, caractérisation séquentielle, définition d'une application lipschitzienne.
  • 23 octobre 2019 : continuité des fonctions lipschitziennes (la preuve est à connaître), opérations sur les fonctions continues (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La démonstration de la continuité des applications projection p_i : (x_1,…,x_n) → x_i est à savoir. La continuité d'une fonction entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert. Exemple d'étude de la continuité une fonction définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse. Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples, lien (équivalence) avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent.
  • 06 novembre 2019 : Retour sur la matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent, gradient, rotationnel et divergence. Dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent), fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles). La démonstration du caractère C^1 des projections coordonnées p_i : (x_1,…,x_n)→ x_i est à savoir refaire au moins dans le cas n=2. Propriétés des fonctions de classe C^1 : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne), version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes). C^1-difféomorphismes : définition, exemples.
  • 13 novembre 2019 : Fin du chapitre sur les fonctions de plusieurs variables : condition nécessaire pour avoir un C^1-difféomorphisme (dimension de l'espace de départ et d'arrivée égale, et matrice jacobienne inversible en tout point), théorème d'inversion globale (admis), exemple des coordonnées polaires, dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz. Exemple de détermination de la classe d'une fonction à l'aide de la contraposée du théorème de Schwarz. Début du cours sur les suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, de la convergence simple (différents exemples), unicité de la limite simple. Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité.
  • 20 novembre 2019 : Quelques propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque), techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) avec différents exemples, critère de Cauchy uniforme, propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve de ces deux résultats est à connaître). Théorème de la double limite. Théorèmes d'échange limite et intégrale : pour l'instant, uniquement l'énoncé dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues.
  • 27 novembre 2019 : Fin du cours sur les suites de fonctions : preuve du théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée), rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m., généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m, théorème de convergence dominée, exemples. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Intégrales à paramètres, seulement le cas où le domaine d'intégration est un segment pour l'instant : théorème de continuité, de dérivation, exemples d'utilisation
  • 04 décembre 2019 : Fin du cours sur les intégrales à paramètres : retour sur un exmple d'utilisation du théorème de dérivabilité dans le cas où le domaine d'intégration est un segment, cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions continues/resp. de classe C^1). Intégrale à paramètre dans le cas où le domaine d'intégration est un intervalle quelconque : théorème de continuité par domination (la preuve peut être demandée) (lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)), exemples. Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), exemples d'utilisation.


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.


Pour s'entraîner


Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 06/12/19 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : exercices 1, 2, 4, 5, question 1 de l'exo 6 (le corrigé des questions 2 et 3 a été donné), 7, 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : tous les exercices sauf le 12 et le 17.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 9 (dont le 3 en DM), 10, 13, 16, 17, 18 (uniquement la question 1). Corrigés des exercices 11, 12, 15 et fin du 18 distribués.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 5, 9 à 13 et 17.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 3, 6, 8, 11, 4, 12 à 14 (corrigés des 7 et 9 donnés).
  • Fiche 7 : exercice 1 (sauf la dernière question).
Groupe P6 (au 13/12/19 après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 2 à 8.
  • Fiche 2 : exercices 1, 2, 4-6, 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 16 sauf 6.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 11, 12 (1 et 2), 13 (1 et 2), 14 à 16, 18(1).
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6, 8, 9, 11, 12, 13 expliqué + correction distribuée, 17.
  • Fiche 6 : exercices 1-4, 6-8, 10, 12, 13.1 et 14.
  • Fiche 7 : exercices 1-3, 5-7.
Groupe P7 (au 13/12/2019, après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : Toute la fiche.
  • Fiche 2: Exercices 1 à 7, 11(2). Correction des exercices 8,9,13 et 11,1. distribuée.
  • Fiche 3: Exercices 1 à 16.
  • Fiche 4: Exercices 1 à 7. Exercice 8(sauf le 6.), exercices 9 à 11, exercices 12 (1.,2.), 13 (1.,2), 14 à 16, 18. Correction des exercies 17 et 19 distribuée.
  • Fiche 5: Exercices 1 à 5, 9 à 12, Exercice 17, correction de l'exercice 13 distribuée.
  • Fiche 6: Exercices 1 à 4, 6 à 8,10, 12 à 14.
  • Fiche 7: Exercices 1 à 3, 5 et 6.
Groupe P8 (au 13/12/2019 après 15 TDs sur 15, c'est fini !):
  • Fiche 1 : Toute la fiche
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : Tout sauf les fins des 14 et 17.
  • Fiche 4 : Exercices 1 et 2, 4 et 5, 7 et 8, 10, 12, 13 2, 14, 16 2, 18 1 et 19.
  • Fiche 5 : Exercices 1 à 5, 8 et 9, 11 à 13 et 17.
  • Fiche 6 : Exercices 1 à 7 et 10 à 16.
  • Fiche 7 : Exercice 1 à 3, 5, 10 et 11.


Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Rouchdi Bahloul.

  • CM 1 : 03/09/2019 : Révisions de L1; introduction du cours d'algèbre III.
  • CM 2 : 05/09/2019 : Chapitre 1 - Groupe des permutations : définition d'un groupe; groupe des permutations; cardinal; support d'une permutation; cycle; transposition; décomposition en cycles à supports disjoints.
  • CM 3 : 06/09/2019 : décomposition comme produit de transpositions; signature; exemples. Chapitre 2 - Déterminant : définition du dét d'une matrice; caractère multilinéaire alterné par rapport aux colonnes; déterminant d'une matrice après une permutation des colonnes; déterminant d'une transposée; déterminant d'un produit de matrice.
  • CM 4 : 09/09/2019 : Matrice inversible ssi dét non nul; déterminant de la matrice inverse; calcul pratique du déterminant (développement par rapport à une ligne ou une colonne); mineur; cofacteur et comatrice; lien entre rang et mineurs non nuls; dét d'une matrice diagonale, triangulaire et triangulaire par blocs; exemples.
  • CM 5 : 16/09/2019 : Inverse d'une matrice; formule de Cramer; Déterminant d'un endomorphisme (indépendance de la définition vis à vis du choix d'une base). Chapitre 3 - Réduction et polynôme caractéristique : ``rappels'' sur les sommes directes; sous-espace stable (définitions)
  • CM 6 : 23/09/2019 : sous-espace stable (quelques propriétés : la somme ou l'intersection de deux ss-espaces stables par u est encore stable; Si u et v commutent alors le noyau et l'image de v sont stables par u); endomorphisme induit (à ne pas confondre avec la restriction); exemple; version matricielle avec matrice triangulaire par blocs. Généralités sur les valeurs propres et les vecteurs propres. Définitions des val. et vect. propres. Définition des sous-espaces propres. Ils sont stables par l'application; ils sont en somme directe; conséquence : liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. Exemples en dimension infinie.
  • CM 7 : 30/09/2019 : Valeurs et vecteurs propres pour une matrice carrée - Polynôme caractéristique d'une matrice : det(X I_n - A). Forme du polynôme caractéristique : P_A =X^n - tr(A) X^{n-1} +…+ (-1)^n det(A). Théorème : lambda est une valeur propre si et s. si P(lambda)=0. – Polynôme caractéristique d'un endomorphisme : deux matrices semblables ont le même polyn. caract. ce qui permet de définir celui d'un endom. en dimension finie. Multiplicité : rappels généraux. Déf de polyn scindé et scindé à racines simples sur un corps K.
  • CM 8 : 07/10/2019 : Multiplicité (algébrique) et géométrique pour une valeur propre. En dimension finie, la somme des multiplicités algébriques est inférieure ou égale à dim(E) et on a égalité ssi le polyn. caract. est scindé. Si F est un sev stable par u alors P_u est multiple de P_{u_F}. Pour une valeur propre lambda, on a toujours les inégalités : 1 < ou = à dim(E_\lambda) < ou = à m_lambda. Définition d'un endomorphisme diagonalisable et d'une matrice diagonalisable (lien entre les deux). Théorème (en dimension finie toujours) : u est diagonalisable ssi il existe une base de E constituée de vecteurs propres ssi E est la somme directe des E_lambda ssi la somme des dim(E_lambda) est égale à dim(E) ssi P_u est scindé et pour toute valeur propre lambda, dim(E_lambda) = m_lambda. Corollaire : condition suffisante pour la diagonalisabilité : P_u est scindé à racines simples (ou de façon équivalente, il y a exactement n valeurs propres distinctes). J'ai donné un exemple montrant que cette condition n'est pas nécessaire. J'ai fait quelques exemples de calculs de polyn. caract., d'espaces propres avec diagonalisation.
  • CM 9 : 14/10/2019 : Fin des exemples. Trigonalisabilité : définition d'un endom trigonalisable (en dimension finie) et d'une matrice trigonalisable, lien entre les deux. Condition nécessaire et suffisante pour la trigonalisabilité : le polyn caractéristique est scindé sur le corps. Trigonalisation : algorithme pour trigonaliser. Exemples.
  • CM 10 : 21/10/2019 : Fin des exemples sur la trigonalisation. Nilpotence : définition. Prop. : 0 est l'unique valeur propre. Théorème (en dim finie) : u nilpotent ssi sa matrice dans une certaine base est triangulaire avec 0 sur la diagonale ssi le polynôme caractéristique est X^n.
  • CM 11 : 04/11/2019 : Nouveau chapitre sur le polyn. minimal et les projecteurs spectraux. Polynome d'endomorphisme et de matrice; notations K[u] et K[A]; polynôme annulateur avec quelques exemples. Deux matrices semblables ont les mêmes polyn annulateurs (on a même P(Q^{-1} A Q) = Q^{-1} P(A) Q ). Théorème de Cayley-Hamilton (en dim finie) : le polyn caractéristique est annulateur. Polynôme minimal définition : c'est un polynôme annulateur, unitaire, non nul de degré minimal (il existe et est unique). Corollaire : il divise tout autre polyn. annulateur.
  • CM 12 : 18/11/2019 : Théorème : Les racines du polyn. minimal sont exactement les valeurs propres. Lemme des noyaux. Théorème : u diagonalisable ssi u est annulé par un polyn scindé à racines simples ssi le polyn minimal est scindé à racines simples. Conséquences : Si F est un sev stable par u alors le polyn minimal de u est multiple de celui de la restriction; donc si u est diagonalisable alors la restriction aussi. Autre conséquence : si u et v sont deux endom diagonalisables qui commutent alors il existe une base commune de diagonalisation. Trigonalisabilité : u trigonalisable ssi u est annulé par un polyn scindé ssi le polyn minimal est scindé. Définition des sous-espaces caractéristiques : je les ai définis comme les noyaux de (u - lambda Id)^q où q est la multiplicité de lambda dans le polynôme minimal. Bilan provisoire sur les espaces propres et caractéristiques, les dimensions, multiplicités, etc et la diagonalisabilité.
  • CM 13 : 25/11/2019 : Généralités sur les projecteurs (même chose qu'une projection sur un espace parallèlement à un supplémentaire). Projecteurs spectraux. Comment les obtenir à l'aide d'une identité de Bézout issue du polynôme minimal ou caractéristique. Conséquence : les projecteurs spectraux de u sont des polynômes en u. Décomposition de Dunford. Exemples (pour le moment, à peine un de fait).
  • CM 14 : 02/12/2019 : Fin des exemples. Chap. 5 : Applications de la réduction. Puissance d'un endomorphisme et d'une matrice (à l'aide des projecteurs spectraux et de la décomposition de Dunford) et cas particulier d'une matrice diagonalisable. Systèmes récurrents et traitement d'un exemple. Généralités sur les séries de matrices. Exponentielle d'une matrice. Quelques propriétés : e^{lambda . Id}, e^{A+B} si A et B commutent, e^{P^-1 A P}= P^-1 e^A P.
  • CM 15 : 09/12/2019 : Voici ce qui a été fait lors du dernier CM avec toutes les démonstrations données ici. J'ai démarré avec le lemme 5.19 (ce qui précède a été fait avant). Le dernier chapitre sur la réduction de Jordan n'est pas au programme de cette année.


Démonstrations non données en CM (mais faisant partie du cours) :


Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:


Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 04/12/19 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 4, 6 à 8, 10, 12, 16 à 19, 21, 22, 24 et 25 (corrigés des 5 et 13 donnés).
  • Fiche 2 : exercices 1 à 11, 13 à 15 et 17 à 19 (corrigé du 12 distribué).
  • Fiche 3 : exercices 1, 2 et 4 (corrigé du 3 distribué).
  • Fiche 4 : exercices 1 (sauf question 10, principe expliqué à l'oral) à 7.
  • Fiche 5 : exercice 1, 2, 3, 4, 7, 8 et 11 (5 et 6 faits à la maison, corrigés distribués), 9, 10 et 12, 14 à 17.
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 3, 7, 8, 11, 17 et 18 (corrigés des 4 à 6, 13 à 15 donnés).
  • Fiche 7 : exercice 1, début du 2 : uniquement la matrice A.
Groupe P6 (au 11/12 après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21 (matrice A), 22, 24.
  • Fiche 2 : ex. 1, 2, 4 (en partie), 5 (en partie), 6, 7 (en partie), 9 (matrice A), 10–15, 17–19.
  • Fiche 3 : ex. 1, 2, 4, 5.
  • Fiche 4 : ex. 1 (tout sauf 9 et 10), ex. 2, 3, 4, 5, 6.
  • Fiche 5 : ex. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17 (non fini).
  • Fiche 6 : ex. 1, 2, 3, 8, 11, 12 (en dim finie), 13, 17, 18, 19 (en partie).
  • Fiche 7 : ex. 1, 2 (matrices A, B, C, F), 3, 4, 6, 10, 11 (en partie).
Groupe P7 (au 4/12 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : Exos 1 à 16, 18, 19, 21 (seulement la matrice C corrigée), 22, 24.
  • Fiche 2 : Exos 1 à 4, 6, 8, 9.A, 11, 12(DM), 13-19.
  • Fiche 3 : Exos 1 à 5
  • Fiche 4 : Ex 1 (sauf 9 et 10 en DM), 2 (D, E, F en DM), 3 (2 en DM), 4, 5, 6, 7, 8.
  • Fiche 5 : Exos 1, 2 sauf C (laissée en DM), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 (matrice A seulement), 18.
  • Fiche 6 : Exos 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18.
  • Fiche 7 : Exercice 3.
Groupe P8 (au 20/11/19, après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 19, 21, 22 et 24.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 19.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2, 4, 5.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 points 1 et 2.
  • Fiche 5 : exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 15, 17, 18.
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 18, 19.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2. 3, 4, 5, 6, 8, 9.

Devoirs

Dates prévisionnelles

Semestre de printemps

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 17 décembre 2019 : Séries de fonctions : vocabulaire de base, convergence simple, absolue simple, uniforme. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples (utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Critère de Cauchy uniforme.
  • 14 janvier 2020 : Séries de fonctions : Convergence normale, lien avec les autres modes de convergence. Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples. Théorème de continuité pour les séries de fonctions, théorème de la double limite (interversion limite/série), théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), exemples de calcul explicite.
  • 22 janvier : Fin des séries de fonctions : théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque), utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale, théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Exemples. Début des séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel, deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons).
  • 29 janvier 2020 : Séries entières : Lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence et exemples explicites, détermination pratique du rayon : règles de D'Alembert, de Cauchy, (les démonstrations de ces deux règles sont à connaître), exemples des séries lacunaires. Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence).
  • 5 février 2020 : Séries entières : retour sur le produit de deux séries entières. Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence. Séries entières d'une variable réelle :continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme. Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement).
  • 12 février 2020 : Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes. Fonctions développables en série entière : définition (en 0 et en un point quelconque), cas des fonctions d'une variable réelle : série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DSE usuels à connaître : uniquement ceux issus de l'exponentielle et de 1/(1+z) pour l'instant (le DSE en 0 de (1+x)^a et de arcsin n'a pas encore été traité), celui de arctan n'est pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver tout comme argth (la preuve peut être demandée en question de cours, ainsi que pour ceux de ln(1+x) et -ln(1-x).)
  • 19 février 2020 : DSE de x→(1+x)^alpha, rayon de convergence de la série entière associée. Application au DSE de arcsin (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C), distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes usuelles à connaître. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître), norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie).
  • 26 février 2020 Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes. Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite. Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Topologie des e.v.n : voisinage, ouverts (définition, exemples du complémentaire d'un singleton, des boules ouvertes, contre-exemple des boules fermées/sphères). Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : définition seulement et premiers exemples.
  • 11 mars 2020 : Fermés : propriétés (intersection, union finie). Caractérisation séquentielle des fermés. Exemple : les boules fermées et les sphères sont fermées (la preuve peut être demandée en question de cours). Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble. Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, caractérisation séquentielle, exemple de l'adhérence d'une boule ouverte. Frontière, densité d'une partie (caractérisations équivalentes). Exemple détaillé : densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées.
  • 18 mars 2020 : Fin de la topologie : suites extraites (définition, propriétés), compacts (définition), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Fonctions vectorielles : limites, opérations sur les limites. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre la continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions, fonctions lipschitziennes (la preuve de lipschitzienne implique continue peut être demandée en question de cours). Opérations sur les fonctions vectorielles continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit.

Chap.5 - Début de la continuité des fonctions vectorielles
Quelques questions pour vérifier la compréhension du cours du 18 mars

  • 25 mars 2020 : Fin du chapitre sur la continuité des fonctions vectorielles
  • 1er avril 2020 : Début du cours sur le calcul différentiel : définitions et premiers exemples de fonctions différentiables (applications constantes, linéaires, bilinéaires, équivalence avec la dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle), opérations, composée de fonctions différentiables, produit d'une fonction scalaire et d'une fonction vectorielle différentiables.
  • 8 avril 2020 : Dérivées partielles : dérivation selon un vecteur, la différentiabilité entraîne l'existence des dérivées selon tout vecteur, dérivées partielles dans une base de l'espace de départ (vues comme les dérivées selon les vecteurs de la base), calcul pratique des dérivées partielles (en identifiant avec une fonction au départ de R^n par les coordonnées d'un vecteur dans la base choisie), exemples. Matrice jacobienne, version matricielle du théorème de différentiation d'une composée, formule de dérivation en chaîne
  • 15 avril 2020 : Fin du cours sur le calcul différentiel (cf poly de la semaine passée) : fonction de classe C^1 (équivalence entre f est différentiable de différentielle continue avec l'existence et la continuité de ses dérivées partielles dans une base), exemple des applications constantes et linéaires, dérivées partielles successives, définition d'une fonction de classe C^k à l'aide de l'existence et la continuité de ses dérivées partielles d'ordre k, opérations, théorème de Schwarz dans le cas d'une fonction de classe C^2. Exercices sur le chapitre Deux exercices traités en CM
  • 22 avril 2020 : Extrema : définitions (minimum/maximum/extremum local/global (strict ou non)), points critiques, condition nécessaire d'extremum sur un ouvert, Matrice hessienne, formule de Taylor Young à l'ordre 2 (admise), version matricielle à l'aide de la jacobienne et de la hessienne au point, condition suffisante d'extremum sur un ouvert à l'aide des valeurs propres de la hessienne en un point critique, corollaire dans le cas d'une fonction au départ de R^2 à l'aide du déterminant et de la trace de la Hessienne. Exercices de recherche des extrema locaux et globaux d'une fonction (cf énoncé dans le poly) Chap.7 - Extrema


Les TD d'analyse ont sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.


Fiches de TD

Avancement :

Groupe P5 (au 24/04/2020 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 5, questions a et b de l'exercice 7.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 6, 7 à 9.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 10, 11 (sauf les questions 8 et 10), 12, 13 et 14.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 6 à 10 (corrigé du 5 distribué).
  • Fiche 5 : exercices 1 à 5, 8, 7, 9 (ensembles A et G, preuve de C est un ouvert), 10, 12, 13 et 15.
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 4, 5, 7 et 8.
  • Fiche 7 : exercice 1.
Groupe P6 (au 24/04/2020 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 5, questions a et b de l'exercice 7.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 9 .
  • Fiche3 : exercices 1 à 8, 10 à 14.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 6 à 10.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 10 et 12 à 15.
  • Fiche 6: exercices 1 à 8 sauf l'exercice 6.
Groupe P7 (au 23/04/2020 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 5, questions a et b de l'exercice 7.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 9 .
  • Fiche 3 : exercices 1 à 8, 10 à 14.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 6 à 10.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 10 et 12 à 15.
  • Fiche 6: exercices 1 et 8 sauf l'exercice 6.
Groupe P8 (au 24/04/2020 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 5, questions a et b de l'exercice 7.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 9.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 14.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 6 à 10 (corrigé du 5 distribué).
  • Fiche 5 : exercices 1 à 5, 8, 7, 9 (uniquement les ensembles A et G), 10, 12, 13 et 15.
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 4, 5, 7 et 8.
  • Fiche 7 : exercice 1 à moitié.

Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Maria Carrizosa.

  • 14 janvier 2020 Chapitre 1. Produit scalaire. Définition, exemples. Inégalité de Cauchy-Schwarz, norme associée à un produit scalaire, identité du parallélogramme, formules de polarisation. Cas complexe : produit hermitien, espace hermitien, exemples, parallèlle entre cas réel et complexe pour les différentes propriétés.
  • 15 janvier 2020 Chapitre 2. Orthogonalité. Vecteurs et espaces orthogonaux, bases orthogonales, orthonormées. Orthogonal d'un sous-espace, propriétés. Théorème de Pythagore, formules pour la norme et le produit scalaire dans une base orthonormée. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt (énoncé).
  • 22 janvier 2020 Preuve du théorème de Gram-Schmidt. Projection orthogonale : rappels sur projecteurs, si E=F⊕G sur la projection sur F parallèlement à G, équivalences. Définition d'un projecteur orthogonal. En dimension finie, formule pour la projection orthogonale sur un sous-espace. Lien avec Gram-Schmidt.
  • 29 janvier 2020 Distance d'un vecteur à un sous-ensemble, en dimension finie formule avec la projection orthogonale d'un vecteur à un sous-espace. Matrice associée à un produit scalaire (et plus généralement à une forme bilinéaire) dans une base donnée. Lien entre les matrices associées dans deux bases différentes, matrice d'un produit scalaire dans une base orthogonale, dans une base orthonormée. La matrice de passage P entre deux bases orthonormées a la propriété ^tPP=I, on dit que c'est une matrice orthogonale. Exemple de matrice dans une base bien choisie d'une projection orthogonale, d'une symétrie orthogonale. Définition provisoire d'endomorphisme symétrique (resp. orthogonal) : leur matrice dans une base orthonormee est symétrique (resp. orthogonale). Chapitre 3. Endomorphismes des espaces euclidiens Theorème de representation d'une forme linéaire à l'aide du produit scalaire, preuve (pour un espace euclidien). Définition, existence et unicité de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien. Dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint de u est la transposée de la matrice de u.
  • 5 février 2020 Exemple du calcul de l'adjoint d'un endomorphisme donné. Premières propriétés des adjoints : pour f,g ∈ End(E), k∈ R, (f*)*=f, (f+g)*=f*+g*, (kf*)=k(f)*, (fg)*=g*f*, si f inversible, (f^{-1})*=(f*)^{-1}. Définition des endomorphismes symétriques, orthogonaux et normaux, équivalence avec la définition donnée par rapport à la forme de la matrice dans une base orthonormée. Différentes caractérisations des endomorphismes orthogonaux (conservent la norme, conservent le produit scalaire). Retour sur la projection orthogonale : elle est symétrique (pas orthogonal) et la symétrie orthogonale (symétrique et orthogonale). Noyau et image de l'adjoint : Ker(u*) est l'orthogonal de Im(u), Im(u*) est l'orthogonal de Ker(u). Adjoint et sous-espaces stables : si F est un sous-espace stable par u alors l'orthogonal de F est stable par u* et son corollaire : si F stable par u et u est symétrique ou orthogonal alors l'orthogonal de F est stable par u.
  • 12 février 2020 Les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique sont toutes réelles. Théorème spectral : si u est un endomorphisme symétrique de E, il existe une base orthonormée de vecteurs propres. Version matricielle du theorème. Corollaire : les espaces propres de u (symétrique) sont orthogonaux 2 à 2. Exemples. Endomorphismes positifs et définis positifs : déf, équivalence avec la positivité de ses valeurs propres. Étude de l'endomorphisme u*u : sym. positif, déf positif ssi u inversible, Ker(u*u)=Ker(u), Im(u*u)=Im(u*). Racine carrée d'un endomorphisme sym. positif (existence, unicité).
  • 19 février 2020 Décomposition polaire (existence, unicité). Chapitre 4. Groupe Orthogonal L'ensemble des endomorphismes orthogonaux forment un groupe pour la composition. Le déterminant d'une matrice orthogonale est +-1, les valeurs propres réelles sont +-1. Sous-groupe spécial orthogonal (ou des endomorphismes directs) notation SO(E) ou O^+(E), déf des réflexions. Théo : tout endomorphisme orthogonal s’écrit comme produit d'au plus n (=dim E) réflexions.
  • 26 février 2020 Définition de l'orientation d'un espace euclidien. Définition de l'angle orienté entre deux vecteurs du plan euclidien. Matrices des rotations du plan euclidien. Lien entre angle orienté et rotation : bijections naturelles et réciproques entre ces deux ensembles.
  • 11 mars 2020 Définition de la somme d'angles orientés. Muni de cette opération, l'ensemble des angles orientés est isomorphe au groupe des rotations, relation de Chasles. Unicité de la matrice d'une rotation dans deux bases orthonormées de même orientation. Définition de la mesure principale d'un angle orienté dans un plan euclidien orienté. Isomorphisme entre R/2piZ et le groupe des rotations du plan. Définition des angles non orientés du plan.
  • 1 avril 2020 Chapitre 5. Espaces affines Définitions espace affine, exemples. Notation A+u avec A un point de l'espace affine et u un vecteur de sa direction. Dimension d'un espace affine. Sous-espaces affines : définition, exemples, notation A+F avec A un point de l'espace affine et F un sous-espace vectoriel. (On a suivi le polycopié qu'on peut trouver ici : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/CAPES/geometrie/GeometrieAffine.pdf : chapitre 1 : parties 1,2,3). Voici des notes supplémentaires, corrigés des exercices et quelques exemples de plus. p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9
  • 8 avril 2020 Équations cartésiennes d'un sous-espace affine de R^n. Intersections de sous-espaces affines et sous-espaces affines engendrés. Sous-espaces affines parallèles et faiblement parallèles. Repère affine, repère cartésien et coordonnées cartésiennes dans un repère cartésien. Poly cité plus haut chapitre 1, parties 4,5. Voci quelques notes supplémentaires : p11, p12, p13, p14, p15, p16.
  • 15 avril 2020 Espaces affines euclidiens, sous-espaces orthogonaux, sous-espaces perpendiculaires. Si V,W sous-espaces affines orthogonaux, leur intersection est vide ou un singleton. Repère cartésien orthonormé. Projection orthogonal d'un point sur un sous-espace affine, déf, existence, propriétés. Hyperplan médiateur de 2 points (en dimension 2 c'est la médiatrice). Quelques notes supplémentaires p17, p18, p19, p20.


Les TD d'algèbre sont assurés par :


Fiches de TD

Avancement :

Groupe P5 (au 24/04/2020 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : tous les exercices sauf le 6 et le 12.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 6, 8, 9 (11 rapidement), 12, 14 à 16.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 4, 7 à 10.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 3, question 2 du 4 (4.1 à faire chez eux), 5, 8 à 12.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 4, 6, 7, question 1 du 8.
  • Retour sur la fiche 3: exercice 6 et 5, puis exercice 1 des exercices complémentaires du TD5.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 20.
Groupe P6 (au 23/04/2020 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1, 3 à 5, 7, 8 et 13.1 à 13.3.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 3, 5, 9, 11, 12, 15 et 16.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2, 7 à 10.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 3, 5, 8 à 12.
  • Fiche 5 : exercices 3, 4, 6 et 7.
  • Retour sur la fiche 3 : exercices 5 et 6 et exercice 1 des compléments de la feuille 5.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 7, 9 à 12, 14 à 16.
Groupe P7 (au 24/04/2020 après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 5 et 7 à 13, exercice 6.2 (b).
  • Fiche 2 : exercices 1 à 16.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 4, 7 à 10.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 3, 4.2 (le 4.1 à faire à la maison), 5, 6, 8 à 10, 11, 12.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 7, 8, et les trois exercices complémentaires.
  • Retour sur la fiche 3 : exercices 5 et 6.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 22 + exercice complémentaire.
  • Fiche 7 : exercices 1 à 3, 5, 8 1.: calcul des coefficients de Fourier et de S_2.
Groupe P8 (au 17/04/2020 après 12 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 5, 8 à 10, 13.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 3, 6 à 9, 12,14,15,16.
  • Fiche 3 : exercice 1 à 6, 8, 9, 10. corrigé exo 5, corrigé exo 6
  • Fiche 4 : exercices 1 à 6, 8, 9, 10, 11, 12.
  • Fiche 5 : exercices 1, 2, 3, 4, 6, 7.
  • Fiche 6 : exercices 4,5,6, 9, 10 .

Devoirs

Dates prévisionnelles

 
 
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