Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2012-2013

Colles

Programme de colle : tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux derniers cours et travaux dirigés de la semaine précédente.

Questions du cours d'algèbre

Colloscope

Cours

Analyse I : Les réels et les fonctions

Algèbre I : structures fondamentales

Chapitres 1 et 2 : Logique, ensembles, applications

Résumé du cours : vocabulaire de la logique, ensembles et applications (définitif, sauf si des erreurs sont signalées).

Explications (?) complémentaires sur la différence entre fonction et application. Retenir: une fonction, c'est la donnée d'une application et d'éléments qui n'ont pas d'image. Ces éléments n'étant pas très intéressants, on se débrouille pour les éliminer. Aussi, en pratique, toutes les fonctions qu'on considère sont des applications.

Dénombrements : preuve des résultats annoncés en cours le 17/10/2012 + deux preuves de la non-dénombrabilité de R + trois applications de la notion de «fonction caractéristique» ; rien de cela n'est exigé mais la lecture est chaudement recommandée.

Vidéo pour tout comprendre sur la dénombrabilité, en anglais et en 7 min.

Chapitre 3 : Nombres complexes

Nombres complexes : on a besoin d'informations sur les fonctions trigonométriques. (NB: il y a au moins une erreur dans ce texte. Un café à la première personne qui me la signale.)

Ce qu'il faut retenir dans une coquille de noix :

  • (àspc) on appelle argument d'un complexe non nul z tout réel θ tel que z = |z|e ; tous les arguments sont égaux à 2π près ; l'argument principal est l'unique argument qui appartient à ]-π,π] ;
  • mise en garde : la relation arg(zz') = arg(z) + arg(z') est fausse en général ! (pourquoi ?) elle est vraie à 2π près ;
  • en pratique, un nombre complexe z possède deux représentations:
    • z = x + iy, où x et y sont deux réels bien définis ; cette écriture est adaptée aux opérations linéaires (addition, multiplication par un réel) ;
    • z = ρe, où ρ≥0 est unique et, si z≠0, θ est unique à 2π près ; cette écriture est adaptée aux produits et aux quotients ;
  • l'unicité des écritures se traduit par les critères d'égalité suivants :
    • x + iy = x' + iy' si et seulement si x = x' et y = y' ;
    • (si z≠0) ρe = ρ'eiθ' si et seulement si ρ=ρ' et θ ≡ θ' [2π] ;
  • les racines nes se retrouvent instantanément si on cherche les racines de ρe sous forme re ; les critères ci-dessus donnent tout de suite : rn = ρ et nα ≡ θ [2π], qui donnent r exactement et α à 2π/n près

Chapitre 4 : Géométrie plane

Voici un complément de cours de géométrie plane :

  • la partie sur les droites n'a pas été traitée en cours (mais pas grand-chose de nouveau par rapport au lycée !),
  • la géométrie euclidienne (en particulier les angles) ont été traités rapidement en cours.

NB : ce qui est indiqué comme «exercice» est une façon pudique de mentionner un résultat connu ou à connaître et dont la preuve est omise.

Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace

Voici un complément de cours de géométrie dans l'espace. Vous y trouverez tout ce qui a été traité dans le dernier cours de décembre, ce qui sera vu le premier cours de janvier et un peu plus. Il est vivement conseillé de tout lire pendant les vacances.

Chapitre 6 : Polynômes

Voir les notes de cours.

Chapitre 7 : Fractions rationnelles

Voir les notes de cours.

Travaux dirigés (PREMIER SEMESTRE)

Groupe CCP (P1)

Planches
Avancement

Fiches 1 à 7.

Fiche 8 : 1 à 3, 5, 7 à 11, 13 à 16, 18 à 20 (questions 1, 2 et 11), 25 à 27.
Fiche 9 : 1 à 3, 9, 17 (question 1), 19, 21 (questions 1. (a) et (b)).

Groupe PeiP (P2, P3, P4)

Planches Analyse
Avancement

Fiche 1 : Exercices 1 à 8, 11, 13.

Fiche 2 : Exercices 1 à 3, 7 à 11, 14 à 16.

Fiche 3 : Exercices 1 à 28.

Fiche 4 : Exercices 1 à 18.

Groupe PeiP (P2, P3, P4)

Planches Algèbre
Avancement

Fiches 1,2,3(1-13),4,5[1-12]

Devoirs (PREMIER SEMESTRE)

Problèmes (PREMIER SEMESTRE) pour CCP

Travaux dirigés (DEUXIEME SEMESTRE)

Planches analyse
Avancement (exercices traités par une majorité des 4 groupes)
  • Semaine 1 : exercices 1.1, 1.3, 1.9, 1.10
  • Semaine 2 : exercices 1.2, 1.6, 1.13, 2.1, 2.2, 2.5
  • Semaine 3 : exercices 2.4, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12
  • Semaine 4 : exercices 2.7, 2.13, 3.1, 3.2
  • Semaine 5 : exercices 3.3, 3.4, 3.5, 3.6
  • Semaine 6 : fin de la fiche 3
  • Semaine 7 : fiche 4 en entier
  • Semaine 8 : exercices 5.1 à 5.5
  • Semaine 9 : fiche 6 (travaillée seulement par la moitié des étudiants, autre moitié le 12 avril)
  • Semaine 10 : exercices 5.6, 5.7, 5.9, 5.11
  • Semaine 11 : fin de la fiche 5, moitié fiche 7
  • Semaine 12 : fin de la fiche 7, premier tiers fiche 8
  • Semaine 13 : deuxième tiers fiche 8 pour une partie seulement des étudiants (les autres traiteront ces exercices le 15 mai)
  • Semaine 14 : fin fiche 8, début fiche 9 pour une partie seulement des étudiants (les autres traiteront ces exercices le 22 mai)
  • Semaine 15 : fin de la fiche 9
  • Semaine 16 : fiche 10, partiellement
Planches algèbre
Avancement

L'avancement est indicatif : les exercices traités varient légèrement d'un groupe à l'autre

  • Semaine 1 : exercices 1.4 à 1.6, 1.9, 1.10, 1.17.
  • Semaine 2 : les exercices restants de la feuille 1
  • Semaines 3 et 4: exercices 2.1 à 2.8
  • Semaine 5 : Fin de la fiche 2. Exercices 3.1, 3.2, 3.17
  • Semaine 6 : Première page de la fiche 3
  • Semaine 7 : Quelques exercices épars sur la fiche 3, et exercice 1 de la fiche 4
  • Semaine 8 : Feuille 4 (une sélection de questions parmi les exercices 1,2,3 et 5)
  • Semaine 9 : Feuille 5 (en gros, le recto)
  • Semaine 10 : Verso de la feuille 5, recto de la feuille 6
  • Semaine 11 : Verso de la feuille 6
  • Semaine 12 : Recto de la feuille 7
  • Semaine 13 : Verso de la feuille 7

Devoirs (DEUXIEME SEMESTRE)

Problèmes (DEUXIEME SEMESTRE) pour CCP

 
 
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