Mathématiques des cursus PMI - 2010-2011

Programme de khôlle : tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux derniers cours et travaux dirigés de la semaine précédente.

Colloscope

Cours

Math I Analyse

Chapitre 1 : Nombres réels

Introduction. Axiomes relatifs à l'addition, la multiplication et à la relation d'ordre ≤.

Bornes supérieures. Axiome fondamental: toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

Intervalles. Les parties convexes de R sont les intervalles.

Outils de calculs. Puissances, racines n-ièmes, valeur absolue (inégalité triangulaire), partie entière.

Chapitre 2 : Suites numériques

Introduction. Exemples: suites arithmétiques, suites géométriques, suites définies par une relation de récurrence linéaire double.

Limites. Définitions. Opérations sur les limites. Théorème des gendarmes.

Suites réelles monotones. Une suite croissante et majorée est convergente. Théorème des suites adjacentes.

Suites extraites. Théorème de Ramsey. Théorème de Bolzano-Weierstrass.

Critère de Cauchy. Toute suite réelle de Cauchy est convergente.

Suites complexes. Limites. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Toute suite complexe de Cauchy est convergente.

Approximation des nombres réels. Densité de Q dans R. Représentation décimale. Caractérisation des rationnels.

Compléments. Valeurs d'adhérence. Limite sup et limite inf. Suites définie par une relation de récurrence u_{n+1}=f(u_n).

Chapitre 3 : Fonctions d'une variable réelle

Notions de base. Injections, surjections, bijections. Fonctions monotones. Représentation graphique. Exemples: fonctions puissances, racines n-ièmes, valeur absolue, partie entière, fonction x→1/x.

Limites. Définitions. Caractérisation séquentielle. Opérations sur les limites. Composition de limites. Critère de Cauchy.

Continuité. Définition. Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème de la bijection.

Dérivabilité. Définition. Signe de la dérivée et sens de variation. Opérations sur les dérivées. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Règle de L'Hospital.

Exponentielle. Construction par la formule d'Euler. Dérivée. Logarithme néperien comme fonction réciproque. Exponentielle complexe. Fonctions sinus et cosinus.

Chapitre 4 : Équations différentielles

Introduction. Exemples en dynamique des populations / finance.

Équations linéaires d'ordre 1. Méthode de “variation de la constante”. Formule de Duhamel. Fonctions de classe C^1.

Équations linéaires d'ordre 2 à coefficients constants. Résolution à l'aide de l'équation caractéristique. Unicité. Méthode de “variation de la constante” pour les équations avec terme source.

Math II Analyse

Chapitre 1 : Fonctions usuelles

Fonctions circulaires réciproques. arccos, arcsin, arctan. Définition, dérivées, représentations graphiques.

Fonctions hyperboliques et réciproques. ch, sh, th, argch, argsh, argth. Définition, dérivées, représentations graphiques.

Aide-mémoire, avec l'aimable autorisation de P. Lavaurs.

Chapitre 2 : Relations de comparaison

Comparaison des suites. Notations O, o,~. Définitions, propriétés, exemples.

Comparaison des fonctions. f=O(g) sur un intervalle ou au voisinage de a (réel), +∞ ou -∞. f=o(g) au voisinage de a, +∞ ou -∞. f~g au voisinage de a, +∞ ou -∞.

Chapitre 3 : Développements limités

Développement limité d'une fonction au voisinage d'un point réel. Unicité. Existence du développement limité à l'ordre n pour une fonction n fois dérivable: formule de Taylor–Young.

Développements limités classiques. x\mapsto 1/(1-x), x\mapsto 1/(1+x2), exp, ch, sh, cos, sin, x\mapsto (1+x)^α pour α réel.

Méthodes de calcul de développements limités. Intégration, somme, produit, quotient, composition.

Développement limité en +∞ ou -∞.

Applications des développements limités. Calcul de limites. Recherche d'équivalents. Étude locale des courbes planes définies par une équation y=f(x) et des courbes paramétrées.

Chapitre 4 : Intégration sur un segment

Fonctions en escalier. Définition, exemples. Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment [a,b].

Fonctions continues. Notion de continuité uniforme. Théorème de Heine. Intégrale d'une fonction continue sur un segment [a,b]. Linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, préservation de l'ordre (avec a<b) et ses conséquences (encadrement de la valeur moyenne d'une fonction, majoration de la valeur absolue de l'intégrale de f par la valeur absolue de celle de |f|, majoration de l'intégrale d'une produit). Théorème: Si une fonction continue à valeurs positives ou nulles est d'intégrale nulle sur [a,b] avec a<b alors elle est identiquement nulle sur [a,b]. Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité.

Fonctions continues par morceaux. Définition. Les fonctions en escalier et les fonctions continues sont des cas particuliers de fonctions continues par morceaux. Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment [a,b]. Linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, préservation de l'ordre (avec a<b) et ses conséquences. Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Lien entre intégration et dérivation. Primitives. Pour une fonction continue sur un intervalle, deux primitives sur cet intervalle diffèrent par une constante. L'unique primitive qui s'annule en a∈I est la fonction x∈I\mapsto\int_{a}^{x}f(t)dt. Corollaires: dérivation de x\mapsto \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)dt; si F est une primitive de f sur I et a, b ∈ I alors F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(t)dt. Applications: résolution de l'équation différentielle y'=\alpha(t)y+f(t); pour une fonction g périodique de période T, \int_{x}^{x+T} g(t)dt ne dépend pas de x; calcul de l'aire d'un trapèze. Si f est de classe C^1 sur I et a, b ∈ I alors f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(t)dt. Notations: [f]_a^b=f(b)-f(a), \int f(x) dx (sans préciser de bornes) désigne la valeur en x d'une primitive de f.

  • Intégration par parties: si f et g sont classe C^1 sur [a,b] alors \int_a^b f'(t) g(t) dt = [fg]_a^b - \int_a^b f(t) g'(t) dt. Application au calcul des primitives de ln.
  • Changement de variables: si f est continue sur I, si φ: J → I est de classe C^1, quels que soient α, β ∈ J, \int_{φ(α)}^{φ(β)} f(t) dt = \int_α^β f(φ(u)) φ'(u) du. Exemples: f(t)=1/t avec I=]0,+∞[ ou ]-∞,0[, φ quelconque; changements de variables affines (φ(u)=a+ub) et applications aux fonctions périodiques/paires/impaires.

Calculs pratiques de primitives et/ou d'intégrales. (Aide-mémoire, avec l'aimable autorisation de P. Lavaurs.)

  • Les primitives des fonctions usuelles exp, cos, sin, ch, sh, x\mapsto x^α pour α réel sont à connaître parfaitement, ainsi que celles des fonctions x\mapsto 1/(1+x²), x\mapsto 1/\sqrt{1-x²}, x\mapsto 1/\sqrt{1+x²}, x\mapsto 1/\sqrt{x²-1}, x\mapsto 1/cos²x, x\mapsto 1/sin²x.
  • Intégration par parties pour “simplifier” ou “faire baisser le degré”: primitive de arctan, de P exp où P est une fonction polynomiale, de x\mapsto 1/(1+x²)^n, intégrales de Wallis.
  • Changements de variables: φ(u)= sin u et primitive de x\mapsto \sqrt{1-x²}; φ(u)= sh u et primitive de x\mapsto \sqrt{1+x²}; φ(u)= ± ch u et primitive de x\mapsto \sqrt{x²-1}); φ(u)=\sqrt{a+ub} (ex: primitive de x\mapsto x \sqrt{1+x}); φ(u)= tan u/2 (ex: primitive de t\mapsto 1/(2+cos t)).
  • Primitives de fonctions rationnelles. Cas de x\mapsto (x-a)^n, x\mapsto (x^2+a^2)^n, x\mapsto Q(x) où Q est un polynôme du second degré sans racine réelle. Théorème de décomposition en éléments simples sur C (admis). Exemple de décomposition par division suivant les puissances croissantes.

Chapitre 5 : Formules de Taylor

Formule de Taylor-Young. Rappel: la formule de Taylor-Young à l'ordre n permet d'approcher localement une fonction n fois dérivable par une fonction polynomiale de degré n (polynôme de Taylor). Cas n=2 et application à la caractérisation des extrema locaux, des fonctions convexes.

Formule et inégalité de Taylor-Lagrange. Généralisent la formule et l'inégalité des accroissements finis. L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n est valable pour une fonction (n+1) fois dérivable dont la dérivée (n+1)ème est bornée. Elle implique la formule de Taylor-Young à l'ordre n en tout point.

Formule de Taylor avec reste intégral. Exacte. Expression du reste avec une intégrale entre a et b, ou entre 0 et 1 par changement de variable affine. La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre n est valable pour une fonction de classe C^{n+1} et elle implique l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n.

Chapitre 6 : Méthodes d'approximation des intégrales

Sommes de Riemann. Définition pour une subdivision quelconque. Interprétation géométrique. Cas particuliers: subdivision à pas constant et points à gauche/ à droite/ au milieu des intervalles définis par la subdivision. Encadrement de l'intégrale de f par les sommes de Riemann à gauche et à droite lorsque f est monotone. Application à la série harmonique. Théorème de convergence des sommes de Riemann générales pour une fonction continue. Estimation de l'erreur pour les fonctions Lipschitziennes.

Méthode des rectangles. Estimation d'erreur optimale pour les fonctions de classe C^1: les méthodes des rectangles sont d'ordre 1.

Méthodes des rectangles médians/du point milieu/des tangentes. Estimation d'erreur optimale pour les fonctions de classe C^2: la méthode du point milieu est d'ordre 2; elle est exacte pour les fonctions affines.

Méthodes des trapèzes. Estimation d'erreur optimale pour les fonctions de classe C^2: la méthode des trapèzes est d'ordre 2; elle est exacte pour les fonctions affines.

Au passage: caractérisation des fonctions convexes deux fois dérivables; calcul de la somme des carrés des n premiers entiers.

Méthode de Simpson. Estimation d'erreur optimale pour les fonctions de classe C^4: la méthode de Simpson est d'ordre 4; elle est exacte pour les fonctions polynomiales de degré au plus 3.

Chapitre 7 : Intégrales généralisées

Cas des fonctions continues positives. Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle quelconque I comme la borne supérieure des intégrales sur les segments inclus dans I, ou de façon équivalente comme la différence des limites d'une primitive aux extrémités de I. Exemples. Principales propriétés: additivité, homogénéité, relation de Chasles, préservation de l'ordre, inégalité de Cauchy-Schwarz. Changement de variables croissant.

Cas des fonctions continues absolument intégrables. Continuité de la valeur absolue, de la partie positive et de la partie négative d'une fonction continue. Définition de l'intégrale d'une fonction absolument intégrable (c'est-à-dire une fonction dont la valeur absolue a une intégrale finie) sur un intervalle I comme la différence des intégrales de sa partie positive et de sa partie négative, ce qui revient à la différence des limites d'une primitive aux extrémités de I. Principales propriétés: linéarité, relation de Chasles, préservation de l'ordre, inégalité de Cauchy-Schwarz. Changement de variables.

Intégrales impropres. Cas des intégrales sur un intervalle semi-infini du type [a,+∞[. Relation de Chasles. Théorème de comparaison: si f “se compare” à g (par grand O, petit o, ou équivalent) et si g est positive et d'intégrale convergente, l'intégrale de f entre x et +∞ (c'est-à-dire le “reste”, qui tend nécessairement vers zéro quand x tend vers +∞) se compare de la même manière avec celle de g entre x et +∞; si f “se compare” à g (par grand O, petit o, ou équivalent) et si g est positive et d'intégrale divergente (c'est-à-dire égale à +∞), l'intégrale de f entre a et x se compare de la même manière avec celle de g entre a et x. Application à l'étude, selon les valeurs de α et β, des intégrales de t^α |ln t|^β, sur [1,+∞[ d'abord, puis sur ]0,1] par changement de variables. Condition suffisante pour qu'une intégrale converge: si f est absolument intégrable alors son intégrale converge (car les primitives de f vérifient le critère de Cauchy en +∞); la réciproque est fausse (ex: t\mapsto sin t/t). Condition nécessaire: si l'intégrale de f sur [a,+∞[ converge et si f a une limite en +∞ alors cette limite est nulle; on peut remplacer l'hypothèse de l'existence d'une limite pour f par sa continuité uniforme sur [a,+∞[. Autres types d'intégrales impropres, sur ]-∞,a], [a,b[, ]b,a], ]a,b[, ]-∞,+∞[ (pour ces intégrales doublement impropres, il faut étudier séparément les limites des primitives aux deux extrémités). Lorsque b est fini, l'intégrale d'une fonction f peut converger sur ]b,a] même si f tend vers l'infini en b (ex: t\mapsto 1/\sqrt{t} sur ]0,1]). La propriété d'additivité est à manier avec précaution dans le cas des intégrales impropres: on ne peut pas “couper une intégrale en deux” sans savoir que chaque “morceau” converge (ex: l'intégrale de t\mapsto (cos t -1)/t^2 sur ]0,1]).

Math I Algèbre

Chapitre 1 : Éléments de logique

Phrases. Lettres, mots, phrases.

Vérité et connecteurs. Valeur de vérité booléenne attribuée à une phrase syntaxiquement correcte. Négation. Conjonction. Disjonction. Implication.

Variables et quantificateurs. Variables muettes et liées. Quantificateurs. Récurrence.

Chapitre 2 : Ensembles et applications

Ensembles et parties. Ensemble, relation d'appartenance, extension et compréhension, ensemble vide. Parties, ensemble des parties. Opérations sur les parties : complémentaire, union, intersection ; produit cartésien. Relations.

Fonctions et applications. Définitions : fonction, application, composition. Injection, surjection, bijection, bijection réciproque. Image d'une partie, image réciproque d'une partie.

Chapitre 3 : Nombres complexes

Construction. Opérations algébriques sur les réels. Contraintes portant sur un « ensemble de nombres » qui étendrait les réels et contiendrait une racine carrée de -1. Construction d'un tel ensemble : C. Absence d'ordre total compatible aux opérations.

Propriétés algébriques. Parties réelle et imaginaire, conjugaison. Module. Racines carrées et équations de degré 2. Théorème de d'Alembert (admis).

Argument et trigonométrie. Fonctions trigonométriques : définition par l'équation différentielle y''+y=0, formule d'addition, définition de π, variations. Nombres complexes de module 1 : surjectivité et noyau du morphisme t → exp(it). Arguments d'un nombre complexe.

Puissances et racines nes Carré et racines carrées via l'écriture “géométrique”. Racines de l'unité. Racines nes d'un nombre complexe.

Propriétés géométriques. Nombres complexes et points, vecteurs, distances. Conservation des distances et angles : mesures d'un angle par les argument d'un quotient de complexes. Similitudes directes : écriture complexe d'une similitude de centre Ω, rapport k et angle α ; applications affines de R dans R ; interprétation géométrique des applications affines de C dans C. Réflexions : écriture complexe de quelques réflexions. Théorème de l'angle inscrit : si A, B, C, D sont sur un même cercle, alors (AC,AD) = (BC,BD) [π] (mesure d'angles de droites) ; critère de cocyclicité (admis à moitié).

Chapitre 4 : Dénombrements

Bijections. “Dénombrer, c'est mettre en bijection.” Ensembles finis : définition ; principe des tiroirs (preuve par récurrence) ; équivalence entre surjectivité et injectivité pour une application entre deux ensembles de même cardinal. Fonction caractéristique et comptage.

Sommes. Cardinal de la réunion de deux ensembles finis. Cas d'une réunion disjointe d'un nombre fini de parties finies. Principe d'inclusion-exclusion (preuve pour 3 ensembles).

Produits. Lemme des bergers. Cardinal du produit cartésien. Nombre d'applications entre deux ensembles finis. Nombre d'injections entre deux ensembles finis (p-listes). Nombre de permutations.

Parties, combinaisons. Nombre de parties d'un ensemble fini (via la fonction caractéristique). Nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments (via les p-listes et le lemme des bergers). Propriétés des coefficients binômiaux : exemples, triangle de Pascal, symétrie, développement de (1+t)n.

Aparté : quelques mots sur le produit vectoriel : produit_vectoriel.pdf

Chapitre 4 : Arithmétique des entiers

Division euclidienne. Énoncé et preuve (interne à N donc sans utiliser la partie entière). Représentation des entiers en base b (b entiers >1).

Divisibilité, congruences. Définition de la divisibilité, ordre sur N, nombres premiers. Congruences. Congruences et opérations.

Anneaux Z/nZ. Classes d'équivalence et ensemble quotient. L'ensemble Z/nZ, cardinal, représentants. Congruences et opérations sur Z/nZ (propriété : les axiomes d'un anneau…).

Idéaux de Z. Motivation et définition. Classification des idéaux de Z.

PGCD, PPCM. Définition du PGCD (du PPCM) comme le générateur positif de l'idéal engendré (de l'intersection des idéaux), relation de Bézout. Caractérisation du PGCD (du PPCM) comme le plus grand diviseur (multiple) commun… Nombres premiers entre eux, lemme de Gauss. Algorithme d'Euclide. Résolution de l'équation ax+by=c dans Z. Lemme chinois (deux versions : équivalence d'un système de congruences et d'une congruence seule ; bijection Z/mnZZ/mZ×Z/nZ si (m,n)=1).

Interprétation géométrique de l'algorithme d'Euclide

Nombres premiers. Factorisation d'un entier en produit de nombres premiers. L'anneau Z/pZ pour p premier : inversibles de Z/nZ pour n quelconque, Z/pZ est un corps pour p premier ; petit théorème de Fermat.

Chapitre 6 : Groupes

Définition, exemples. Groupes, exemples. Sous-groupes : définition et exemples, intersection, théorème de Lagrange. Morphismes, isomorphismes, exemples ; image et noyau, critère d'injectivité.

Groupes engendrés par un élément. Définition. Générateurs de Z/nZ, ordre d'un élément, application au petit théorème de Fermat. (Ce paragraphe a été repris dans Math. II Algèbre.)

Math II Algèbre

Chapitre 7 : Espaces vectoriels

Des exemples. Vecteurs du plan et de l'espace (opérations, théorème de Thalès et distributivité, coordonnées). Combinaisons linéaires pour les systèmes linéaires, certaines équations différentielles, l'intégrale.

Espaces vectoriels. Définition et exemples (dont Rn et les matrices). Combinaisons linéaires (familles finies uniquement). Applications linéaires : définition et exemples. Sous-espaces vectoriels : définition, test du sous-espace, sous-espace engendré par une famille (familles génératrices), noyau et image d'une application linéaire.

Familles libres et génératrices, bases, dimension. Familles libres (finies). Rappel de la définition d'une famille génératrice (finie). Liens entre familles libres et familles génératrices : libre maximale ⇒ génératrice ; génératrice minimale ⇒ libre ; le cardinal de toute famille libre est majoré par le cardinal de toute famille génératrice (finie). Bases : définition, théorème de la base incomplète (cas d'un espace finiment engendré), égalité du cardinal de toutes les bases (cas d'un espace finiment engendré), dimension, base et dimension d'un sous-espace vectoriel, rang d'une famille de vecteurs, équivalence entre indépendance linéaire, propriété d'engendrement pour une famille de *n* vecteurs en dimension *n*. Bases et applications linéaires : application linéaire déterminée par l'image d'une base, critères d'injectivité et de surjectivité (image des familles libres ou génératrices ou des bases), interprétation des théorèmes sur la dimension en termes de classification des espaces vectoriels à isomorphisme près.

Sommes de sous-espaces. Rappel de la définition de la somme de deux sous-espaces. Supplémentaires et projecteurs : définition de la somme directe, notation &oplus;, supplémentaires (cas de deux sous-espaces), projecteur sur un sous-espace parallèlement à un supplémentaire, bijection entre projecteurs et couples de supplémentaires, construction d'une base par recollement de bases de supplémentaires. Dimension de la somme de deux sous-espaces. Existence de supplémentaires.

Théorème du rang. La restriction à un supplémentaire du noyau induit un isomorphisme sur l'image. Égalité numérique : dim ker f + rg f = dim E. Équivalence entre injectivité et surjectivité quand les dimensions au départ et à l'arrivée sont égales.

Espaces de dimension quelconque. Combinaison linéaire d'une famille infinie, famille libre. Énoncé du théorème de la base incomplète et du théorème sur la dimension.

Chapitre 8 : Matrices

Matrice d'une application linéaire. L'espace des matrices. Colonne des coordonnées d'un vecteur. Matrice d'une application linéaire, calcul de l'image d'un vecteur, application linéaire associée à une matrice. Composition d'application linéaire et produit de matrices : calcul de la matrice de la composée, définition et propriétés du produit, lien entre les deux, inversibilité.

Changement de base. Au niveau des vecteurs : matrice de passage, formule liant les colonnes de coordonnées et la matrice de passage. Au niveau des applications linéaires : formule de changement de base (équivalence), cas des endomorphismes (similitude).

Rang. Déjà connus : rang d'une famille de vecteurs, rang d'une application linéaire. Rang d'une matrice : définition, lien avec le rang de l'application linéaire associée, version matricielle du théorème du rang (forme normale des matrices rectangulaires, i.e. classification des matrices à équivalence près par leur rang), rang selon les lignes et rang de la transposée.

Systèmes linéaires. Étude abstraite : écriture d'un système à l'aide d'une application linéaire, conséquence sur l'ensemble des solutions (structure, dimension). Étude concrète : systèmes échelonnés, algorithme de Gauss, interprétation matricielle des opérations élémentaires sur les rangées, utilisation des systèmes pour trouver le rang d'une matrice, l'inverse d'une matrice, une base d'un sous-espace dont on connaît des équations, des équations d'un sous-espace dont on connaît une famille génératrice.

Chapitre 9 : Polynômes

Vocabulaire des anneaux et des corps. Anneaux : définition, exemples, morphismes, idéaux. Inversibilité et corps.

L'anneau des polynômes. Construction : formule du produit de fonctions polynômiales réelles, structure d'anneau sur l'espace des suites presque nulles, indéterminée. Degré, valuation, application à l'intégrité et aux inversibles. Polynôme dérivé, formule de Leibniz, formule de Taylor (pour un sous-corps des complexes). Évaluation, racines, multiplicité d'une racine.

Arithmétique des polynômes. Divisibilité. Division euclidienne. Idéaux de l'anneau des polynômes. PGCD, PPCM, théorème de Bézout et lemme de Gauss. Polynômes irréductibles, cas des complexes et des réels. Factorisation unique, cas des complexes et des réels.

Applications. Polynômes d'interpolation de Lagrange. Relations entre coefficients et racines (évocation des polynômes symétriques). Division aux puissances croissantes.

Chapitre 10 : Fractions rationnelles

Construction du corps des fractions rationnelles. Propriété essentielles : l'anneau des polynômes est un anneau intègre. Définition de l'ensemble des fractions rationnelles comme quotient, définition des opérations, propriété de corps. Représentant irréductible.

Décomposition en éléments simples. Énoncés : cas général, reformulation en termes de base du K-espace vectoriel K(X), cas des complexes, cas des réels. Démonstration. Calcul pratique.

Chapitre 11 : Déterminants

Preuves des parties admises en cours

Cas de la dimension 2. Résolution de systèmes 2×2 : critère numérique d'inversibilité pour une matrice 2×2 ; définition du déterminant ; formules de Cramer en dimension 2.

Construction du déterminant. Formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n, unicité à scalaire près. Définition du déterminant d'une matrice par récurrence, exemples des dimensions 2 et 3. Caractérisation du déterminant comme l'unique forme multi-linéaire alternée par rapport aux colonnes prenant la valeur 1 en Id.

Propriétés essentielles du déterminant. Multiplicativité, application à l'inversibilité, déterminant d'un endomorphisme. Multi-linéarité et anti-symétrie par rapport aux lignes, invariance par transposition. Développement selon une rangée. Comatrice : produit d'une matrice par la transposée de sa comatrice, expression de l'inverse d'une matrice inversible.

Applications des déterminants. Formules de Cramer (application : déterminant de Cauchy). Rang et déterminants des sous-matrices. Calcul du déterminant d'une matrice par blocs. Orientation d'un espace vectoriel réel.

Travaux dirigés

Groupe CCP (P1)

Planches (premier semestre) :

Fiches de TD (deuxième semestre) :

Documents divers (deuxième semestre) :

Groupes P2 & P3

Devoirs surveillés

Partie commune

Énoncés (premier semestre) : plus disponibles.

Corrigés (premier semestre) : plus disponibles.

Énoncés (deuxième semestre) :

Corrigés (deuxième semestre) :

Problème

Énoncés (premier semestre) : plus disponibles.

Corrigés (premier semestre) : plus disponibles.

Énoncés (deuxième semestre) :

Corrigés (deuxième semestre) :

(Les corrigés manquants ont été manuscrits et distribués aux étudiants, mais il n'en existe pas de version dactylographiée).

 
 
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