Parcours Mathématiques pour l'enseignement

Ce parcours de la licence de mathématiques s'adresse aux étudiants souhaitant préparer le concours de recrutement des professeurs de mathématiques de l'enseignement secondaire (CAPES de mathématiques), ainsi qu'aux étudiants souhaitant préparer le concours de recrutement de professeur des écoles (CRPE).

  • Le parcours propose des UE de mathématiques dont les programmes et niveaux sont adaptés à ceux exigés au CAPES de mathématiques. Le parcours est complété des UE d'Analyse numérique, Statistiques et de logique.
  • En outre, le parcours propose une UE Histoire, épistémologie et didactique des mathématiques à 6 crédits ects.
  • Au sixième semestre, le stage de pré-professionnalisation est obligatoire, il est recommandé de l'effectuer en établissement scolaire. Un accompagnement pédagogique de ce stage est prévu.
  • Le parcours propose deux cours de langues, un d'anglais de 3 ects et un de français de 3 ects, qui présentent un intérêt particulier pour les étudiants souhaitant préparer les épreuves de langues des concours de l'enseignement tels que le CRPE. Le cours de français entend
    • familiariser les futurs candidats aux épreuves des concours de professeur des écoles,
    • outiller davantage les étudiants au niveau de l’écriture de textes,
    • leur permettre de renouer avec les contenus de la discipline notamment ce qui relève des savoirs sur la langue.

Responsable du parcours : Guillaume Aubrun, aubrun@math.univ-lyon1.fr.

Deuxième et troisième années du parcours Mathématiques pour l'enseignement

Programme des UE de L3 Maths pour l'enseignement

Architecture : Toutes les UE sont obligatoires.

Semestre 5 :

  • HEDM (6 ects, MAT3010L)
  • Analyse réelle (6 ects, MAT+L313)
  • Arithmétique et groupes (6 ects, MAT+L314)
  • Géométrie (6 ects, MAT+L315)
  • UE (3 ects, MAT+L316) avec logiciels (geogebra, python) sur des thèmes en géométrie et arithmétique.
  • TR5 (3 ects, TVL3051L)

Semestre 6 :

  • Combinatoire, probabilités et statistiques (9 ects, MAT+L317)
  • Séries et intégrales (6 ects, MAT+L318)
  • Algèbre linéaire et géométrie vectorielle (6 ects, MAT+L319)
  • UE (3 ects, MAT+L320) avec logiciels (geogebra, python) sur des thèmes en analyse et algèbre linéaire (suites récurrentes réelles et vectorielles)
  • Stage (6 ects, MAT+L321)

HEDM (S5, 6 ects)

Format UE : CM 24h TD : 36h Il s’agit d’abord de proposer une ouverture sur les mathématiques par l’étude de textes historiques afin de permettre aux étudiants de prendre du recul par rapport à leurs propres connaissances mathématiques. L’usage fréquent d’un concept finit par le rendre « naturel » et en gommer la complexité. De ce fait, cette perception se constitue pour l’enseignant en obstacle à la compréhension des difficultés d’apprentissage. Ce travail de retour sur la construction des concepts est donc particulièrement important pour de futurs enseignants de mathématiques. Articulé avec l’approche historique, le second axe de travail en jeu dans cette UE est l’étude de certains concepts et méthodes de la didactique des mathématiques. Les apports théoriques sont faits dans le prolongement de l’étude de situations d’enseignement. L’enjeu est d’amorcer la formation initiale en termes d’outils pour différentes facettes de la pratique enseignante : exploitation critique de ressources didactiques, analyses a priori et a posteriori de situations d’enseignement, analyse de difficultés d’élèves, etc.

Les séances de TD sont consacrées à des études en sous-groupes (3 à 5 étudiants) de textes historiques et de textes didactiques (productions d’élèves du secondaire par exemple) pour en produire collectivement une analyse ou une synthèse.“

Analyse réelle (S5, 6 ects)

Format UE : CM 24h TD : 36h

Dans le cadre des fonctions d'une variable réelle, on travaillera les notions d'image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité. Les réels : sup, valeurs approchées, nombres décimaux … Suites réelles ou complexes : limites, critères de convergence, suites récurrentes. Fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles : continuité, dérivabilité, étude locale, analyse asymptotique. Extension aux fonctions à valeurs dans R^2 (ou dans C). Exemples simples de courbes paramétrées. Séries numériques.

Arithmétique et groupes (S5, 6 ects)

Format UE : CM 24h TD : 36h

Vocabulaire de la théorie des ensembles. Applications, relations d’ordre et relations d’équivalence. Exemples de relations d'ordre et d'équivalence dans Z.

Arithmétique dans Z. Nombres premiers, PGCD, PPCM, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout. Sous-groupes de Z. Congruences. Petit théorème de Fermat. Théorème des restes chinois.

Arithmétique des polynômes à coefficients réels ou complexes. Racines. Décomposition dans R[X] et C[X].

Groupes. Sous-groupes, morphismes de groupes. Groupes cycliques. Groupes Z/nZ, groupe des racines n-ième de l'unité. Groupes symétriques. Exemples de groupes agissant sur un ensemble, exemple de groupes laissant invariante une partie du plan ou de l’espace.

Géométrie affine et euclidienne (S5, 6 ects)

Format UE : CM 24h TD : 36h

Quand on rencontrera des exemples, on introduira le vocabulaire des relations d'ordre et/ou d'équivalence. Produit scalaire et espaces euclidiens. Produit scalaire sur un espace de dimension finie. Géométrie affine euclidienne. Barycentres, parties convexes. Isométries affines : actions sur des configurations géométriques. Utilisation des nombres complexes en géométrie du plan.

Géométrie et arithmétique avec des logiciels (S5, 3 ects)

Format UE : TP 30h

Dans cette UE, on abordera des thèmes de géométrie et d'arithmétique en lien avec les autres UE du semestre. Sur chaque thème, on utilisera les logiciels geogebra et/ou python pour la représentation dynamique et la mise en œuvre d'algorithmes. Thèmes abordés :

  • Géométrie : 
      ◦ Droites remarquables du triangle : preuves en TD et représentation dynamique avec geogebra. 
      ◦ Preuve et illustrations des théorèmes de Pythagore et Thalès.
      ◦ Actions sur un triangle équilatéral, un polygone.
      ◦ Constructions à la règle et au compas ?
  • Étude et représentations de courbes paramétrées.
  • Arithmétique :
      ◦ Division euclidienne dans Z.
      ◦ Crible.
      ◦ Algo d'Euclide.
      ◦ Bézout.
      ◦ Restes chinois.
      ◦ RSA.
      ◦ Chiffrement affine, Hill.

Séries et intégrales (S6, 6 ects)

Format UE : CM 24h TD : 36h

Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme. Norme infinie sur C^0([a,b]). Intégration : intégrale d'une fonction continue sur un segment ; sommes de Riemann. Primitives. Intégrales généralisées. Suites d'intégrales. Séries de fonctions, séries entières. Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et d'ordre 2 à coefficients constants. Exemples d'équations différentielles à variables séparables.

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle (S6, 6 ects)

Format UE : CM 24h TD : 36h

Dans le cadre des applications linéaires, on travaillera les notions d'image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité. Algèbre linéaire en dimension finie. Familles libres, génératrices, bases. Applications linéaires, théorème du rang. Matrices d'applications linéaires. Réduction (diagonalisation, trigonalisation). Exemples d'étude de suites récurrentes d'ordre 2 et de suites récurrentes à valeurs dans R^2. Utilisation de la réduction. Exemples en géométrie vectorielle dans R^2 et R^3. Cas affines.

Combinatoire, probabilité et statistiques (9 ects)

Format UE : CM 30h TD : 51h TP : 9h

Dans le cadre de cette UE, on travaillera à nouveau les notions d'image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité.

Dénombrements élémentaires. Ensemble des parties d’un ensemble, combinaisons, arrangements, permutations. Graphes. Notion de graphe, graphe eulérien, théorème d'Euler. Matrice d'adjacence. Recherche du plus court chemin sur un graphe pondéré connexe (Algorithme de Dijkstra), coloriage de graphes, exemples d’application.

Espaces probabilisés. expériences aléatoires, événements, probabilité. Probabilité conditionnelle et indépendance. Formules des probabilités totales et de Bayes. Variables aléatoires réelles. Loi, fonction de répartition, indépendance, espérance, variance, lois usuelles (discrètes et à densité), inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Couples de variables aléatoires discrètes. Loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle pour les variables discrètes. Suites de variables aléatoires. Convergence en moyenne et moyenne quadratique, convergence en probabilité, loi faible des grands nombres, convergence en loi et théorème central limite. Introduction aux chaînes de Markov sur un espace d’états fini. Probabilité de transition, matrice de transition, probabilités invariantes, convergence en loi des chaînes de Markov irréductibles et apériodiques. Statistiques descriptives en une et deux variables. Moyenne, variance, médiane, quartiles. Représentations graphiques. Droite de régression. Intervalles de confiance et de fluctuation. Tests d’une proportion, d’une moyenne, tests de comparaison de proportions et moyennes.

Suites réelles et vectorielles avec des logiciels (S5, 3 ects)

Format UE : TP 30h

Dans cette UE, on abordera des thèmes d'analyse et d'algèbre linéaire en lien avec les autres UE du semestre. Sur chaque thème, on utilisera les logiciels geogebra et/ou python pour la représentation dynamique et la mise en œuvre d'algorithmes.

Thèmes abordés :

  • Suites récurrentes : représentation, comportement asymptotique, vitesse de convergence
  • Méthodes de résolution de f(x)=0 : dichotomie, Newton, sécante.
  • Méthode des rectangles
  • Schéma d'Euler pour les équations différentielles
  • Algo de Gauss ?
  • Méthode de la puissance, chaînes de Markov, pageRank
  • Suites récurrentes vectorielles 

Stage (S6, 6 ects)

2h CM, 8h TD, 40h stage

L’enjeu du stage est une première prise de conscience des conditions réelles d'exercice de la profession envisagée. Il peut être effectué en établissement scolaire ou en entreprise, en cohérence avec le projet professionnel de l’étudiant. Stage en entreprise ou dans une administration : connaissance de l'entreprise ou de l'administration et de son fonctionnement spécifique. Rôle d'une formation en mathématiques et plus généralement scientifique dans l'entreprise ou l'administration. Développement d'applications simples. Stage en établissement scolaire : connaissance de l'école, du collège ou du lycée et de son fonctionnement. Observation du travail d'une ou plusieurs classes. Participation active à l'encadrement d'élèves lors de séquences d’enseignement. Éventuellement conception et mise en oeuvre d’activités didactiques sous la responsabilité du tuteur de stage. L'étudiant recherche lui-même son établissement d'accueil, son choix devant être validé par le responsable de l'UE. Dans le cas d’un établissement scolaire, la recherche via le Bureau des stages de l’INSPE en partenariat avec le Rectorat est à privilégier par l’intermédiaire du responsable de l’UE. Le stage comporte au minimum une quarantaine d'heures de présence dans l’établissement d’accueil. Hormis une phase préalable d'observation, le stagiaire doit, en accord avec son tuteur de stage, effectuer des tâches en participation accompagnée, et dans la mesure du possible, des tâches en autonomie (sous la responsabilité du tuteur). Tout au long du semestre, l’équipe pédagogique de l’UE accompagne les étudiants en proposant un encadrement méthodologique, spécifique à la didactique des mathématiques dans le cas des stages en établissement scolaire. Le cas échéant, la formation reçue dans le cadre de l’UE HEDM (Histoire, Epistémologie et Didactique des Mathématiques) est mise en pratique. À l'issue du stage, l'étudiant rédige un rapport qu'il remet au responsable de l’UE. Ce rapport fait l'objet d'une soutenance devant un jury qui évalue l’étudiant à partir de trois items : la fiche d’évaluation du tuteur de stage, le rapport écrit et la soutenance.

 
 
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