Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2018-2019

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 05 septembre 2018 : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuve à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, découverte de la notion de domination et d'équivalence, liens entre ces relations).
  • 11 septembre 2018 : Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives). Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables, premier exemple et propriétés (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz). Intégrales impropres : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence.
  • 12 septembre 2018 : Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties). Intégrales de Bertrand (idée de la preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Retour sur les différents liens entre fonction intégrable et intégrale convergente. Séries numériques : Vocabulaire, si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique, télescopiques (à connaître).
  • 19 septembre 2018 : Séries numériques : condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence). Critères de convergence : règle de D'Alembert, théorème de comparaison série-intégrale (les séries de Riemann n'ont pas encore été vues).
  • 26 septembre 2018 : Retour sur la démonstration du théorème de comparaison série-intégrale. Séries de référence : rappel des séries téléscopiques et géométriques, séries de Riemann, série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, critère de Cauchy sur les sommes partielles, la convergence absolue entraîne la convergence, définition de semi-convergence. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste).(A chaque fois exemples et contre-exemples). (La règle de Cauchy concernant la racine n-ième de u_n ne sera pas vue.)
  • 3 octobre 2018 : Fin des séries numériques : Transformation d'Abel : principe général puis règle d'Abel (deux versions), théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n) (pas encore prouvée).
  • 10 octobre 2018 : Inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n) et norme euclidienne, distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties bornées, caractérisation d'une partie bornée par inclusion dans une boule fermée. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n. Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée ou une sphère n'est pas ouverte (démonstration de ces deux résultats à savoir expliquer). Propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, définition d'une suite convergente.
  • 17 octobre 2018 : Opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite, caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées). Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité : définition, caractérisation séquentielle.
  • 24 octobre 2018 : Continuité : fonctions lipschitziennes, opérations (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La démonstration de la continuité des applications projection p_i : (x_1,…,x_n) → x_i est à savoir. La continuité d'une fonction entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert. Exemple d'étude de la continuité une fonction définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse. Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples.
  • 7 novembre 2018 : Dérivées partielles : lien (équivalence) avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent, gradient, rotationnel et divergence. Dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent), fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles) : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne), version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes). C^1-difféomorphismes : définition, exemples, condition nécessaire pour avoir un C^1-difféomorphisme (dimension de l'espace de départ et d'arrivée égale, et matrice jacobienne inversible en tout point).
  • 14 novembre 2018 : Fin du chapitre sur les fonctions de plusieurs variables : théorème d'inversion globale (admis), exemple des coordonnées polaires, dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz. Exemple de détermination de la classe d'une fonction à l'aide de la contraposée du théorème de Schwarz. Début du cours sur les suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, de la convergence simple (différents exemples), unicité de la limite simple. Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité. Quelques propriétés non préservées : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0).
  • 21 novembre 2018 : Suites de fonctions : la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque), techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) avec différents exemples, critère de Cauchy uniforme, propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve de ces deux résultats est à connaître). Théorème de la double limite. Théorèmes d'échange limite et intégrale : pour l'instant, uniquement dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée), rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m.
  • 28 novembre 2018 : Fin du cours sur les suites de fonctions : généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m, théorème de convergence dominée, exemples. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Intégrales à paramètres, seulement le cas où le domaine d'intégration est un segment pour l'instant : théorème de continuité, de dérivation, exemples d'utilisation.
  • 05 décembre 2018 : Fin des intégrales à paramètres : cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions continues/resp. de classe C^1). Intégrale à paramètre dans le cas où le domaine d'intégration est un intervalle quelconque : théorème de continuité par domination (la preuve peut être demandée) (lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)), exemples. Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), exemples d'utilisation.


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.


Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 07/12/18 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 2 à 8.
  • Fiche 2 : exercices 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 11, 12 en DM (correction distribuée).
  • Fiche 3 : exercices 1 à 6, 9, 10 , 12 à 17, 7 et exercice 8 presque terminé.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4 à 11, 13, 14, 16, 18 (questions 1 et 2) (corrigés des exercices 12, 15, 17, 18.3 et 19 donnés)
  • Fiche 5 : exercices 1, 3 à 6, 9 à 13 et 17.
  • Fiche 6 : exercices 1 (avec différentes méthodes pour la convergence uniforme) à 4, - à 10, 12 à 14.
  • Fiche 7 : exercice 1.
Groupe P6 (au 14/12/18 après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 2 à 8.
  • Fiche 2 : exercices 1, 2, 4, 5, 6, 7, ex. 9 (1. et indication pour 2.), correction de l'ex 8, 13, et 11.1 distribuée.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 10, Ex 12 à 17.
  • Fiche 4 : exercices 1,2, 4 à 11, Ex 12 (1.,2.), Ex 13 (1,2), Ex 14,15,16, Ex 17 (1), Ex 18 (1). Correction des Ex 12 (3,4), Ex 17 (2), Ex 18 (2,3) et Ex 19 distribuée.
  • Fiche 5: exercices 1 à 6 et 9 à 12, Ex 17 et correction de l'exercice 13 distribuée.
  • Fiche 6: exercices 1 à 4, Ex 6 à 8, Ex 10 à 15.
  • Fiche 7: exercices 1 à 6.
Groupe P7 (au 16 novembre, après 13 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 7.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 5, 6 (sauf question 3), 7, 9 (question 1) et 11 (question 2).
  • Fiche 3 : exercices 1 à 10.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 7, ex. 8 (pas complet), 9, 12 (pas complet), 13 (1 à 3), 14, 15, 16, 18 (1).
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6, 9, 10, 12 et 13, 17.
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 3, 6, 7, 10, 12.
Groupe P8 (au 14 décembre 2018 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : complètement, sauf dernières questions du 8.
  • Fiche 2 : exercices 1 et 2, 5 à 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 13, 16 et 18.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12 (seulement 1° et 2° en l'infini), 13 3°, 14, 18 1° et 3° et 19.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6, 8 à 13 et 17.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 8, 10 à 12, 13 1), 14 et 15.
  • Fiche 7 : exercices 1 (sans question 4), 2, 3 (sans question 3), 6, 7, 10 et 11.

Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Rouchdi Bahloul.

  • CM 1 (04 septembre 2018) Une intro au cours d'algèbre III. Chap. 1 sur les permutations. Définition et quelques propriétés d'un groupe, exemples. Définition de l'ensemble des permutations (c'est un groupe). S_n n'est pas abélien pour n plus grand que 2. Le cardinal de S_n est n factorielle. Définition d'un cycle, longueur d'un cycle. Support d'une permutation. Deux permutations à supports disjoints commutent.
  • CM 2 (06 septembre 2018) et CM 3 (10 septembre 2018) Décomposition en cycles à supports disjoints deux à deux. Tranposition : définition. Décomposition en transpositions (pas unique). Signature. Signature d'une composée = produit des signatures. Signature de la permutation identité. Signature d'une transposition et d'un cycle. Exemples. Chap. 2 : Déterminant. Exemples: déterminant d'une matrice diagonale et d'une matrice 2×2. Le dét est multilinéaire alterné en les colonnes. Déterminant d'une matrice avec permutation des colonnes. Si deux colonnes sont égales alors dét est nul. Déterminant de la transposée ce qui donne des résultats similaires pour les lignes.
  • CM 4 (17 septembre 2018) Théor. det(AxB)=det(A)xdet(B). Théor. det(A) non nul ssi A inversible. Définition : mineur, cofacteur, comatrice. Lien entre rang et taille des mineurs non nuls. Début du développement par rapport à une ligne ou une colonne (pas encore fait mais j'ai donné un résultat intermédiaire).
  • CM 5 (24 septembre 2018) Développement par rapport à une ligne et une colonne. Déterminant des matrices diagonales, triangulaires et triangulaires par blocs. Exemples de calculs. Formule de Cramer. Inverse d'une matrice en fonction du déterminant et de la comatrice. Déterminant d'un endomorphisme (c'est le dét de la matrice dans une base quelconque et ça ne dépend pas du choix de la base). Début du chapitre 4 : Réduction et polyn. caractéristique. Pour le moment, juste quelques rappels sur les sommes directes.
  • CM 6 (1er octobre 2018) Sous-espaces stables (définitions, endomorphisme induit, traduction matricielle) - Valeurs propres et vecteurs propres (définitions), sous-espace propre (définitions, ils sont en somme directe, ils sont stables par l'endomorphisme).
  • CM 7 (8 octobre 2018) D'où une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre et en dimension finie n, on n'a pas plus de n valeurs propres distinctes. Exemples d'endom en dimension infinie. Polyn caract d'une matrice. Exemple en taille 2×2 et matrice diagonale quelconque. Forme du polyn. caract. P_A=X^n - tr(A) X^{n-1} +..+(-1)^ndet(A). Un sclaire est une valeur propre de A si et s.si elle est racine de P_A. Matrice compagnon. Deux matrices semblables ont le même polyn caract. Définition du polyn caract d'un endom. Multiplicité (rappels généraux); puis, étant donnée une valeur propre, multiplicité algébrique (la multiplicité dans le polyn caract. associé) et multiplicité géométrique (la dimension de l'espace propre associé).
  • CM 8 (15 octobre 2018) On a : somme des m_\lambda inférieure ou égale à dim(E) et égalité si et s.si P_u est scindé sur K. Si F est un sous-espace stable par u alors P_u est multiple que le polyn. caract. de u_F. On a toujours dim(E_\lambda) compris entre 1 et m_\lambda. Diagonalisabilité : définition d'un endomorphisme diagonalisable et d'une matrice diagonalisable. Lien entre endom et matrice diagonalisables (si u est un endom et A sa matrice dans une base alors u est diag si et s. si A l'est; Si A est une matrice et u est l'endom associé sur M_{n x 1} alors on a la même équivalence). Théorème : on a équivalence entre (i) u est diagonalisable (ii) il existe une base de E constituée de vecteurs propres (iii) E est la somme directe des sous-espaces propres (iv) la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à dim(E) (v) P_u est scindé sur K et pour toute valeur propre lambda, dim(E_\lambda)=m_\lambda. Corollaire : si P_u est scindé à racines simples alors u est diagonalisable. Remarque : tout ça est vrai pour les matrice et de plus la réciproque du corollaire est fausse en général (avec un exemple). Exemples (pour le moment j'ai traité 2 exemples).
  • CM 9 (22 octobre 2018) Fin des exemples. Trigonalisabilité : u trigonalisable ssi P_u est scindé. Corollaire : Si P_u est scindé alors tr(u)=somme des val propres comptées avec leur multiplicités et det(u)=produit… Trigonalisation d'un point de vue pratique. Exemples (j'ai fait un exemple sur 3 prévus).
  • CM 10 (5 novembre 2018) Le cours d'aujourd'hui est ici. Les démos ne sont pas toutes détaillées (à faire en exercice). Au prochain CM je démarrerai avec le paragraphe 5.5.
  • CM 11 (12 novembre 2018) Théorème : u diagonalisable ssi u est annulé par un polyn scindé à racines simples ssi m_u est scindé à racines simples. Applications : Si F est stable par u alors m_{u_F} divise m_u et si u est diagonalisable alors u_F aussi. Autre application : si u et v sont diagonalisables et commutent alors on peut les diagonaliser dans une même base. Trigonalisabilité : u est trigon ssi u est annulé par un polyn scindé ssi m_u est scindé. Si F est stable par u et si u est trigonalisable alors u_F aussi. Sous-espaces caractéristiques : définition ker (u-lambda Id puissance la multiplicité dans le polynôme minimal). J'ai montré qu'on a une suite croissante de tels noyaux et que cette suite stationne à partir de cette multiplicité.
  • CM 12 (19 novembre 2018) Bilan provisoire (sur les espaces propres et caractéristiques, les dimensions, multiplicités,… et la diagonalisabilité). Projecteurs spectraux : d'abord un rappel sur les projecteurs (on montre que projecteur, projection sur Im parallèlement à ker ou bien projection sur un sev parallèlement à un autre sont trois choses équivalentes). Projecteurs spectraux : définitions et propriétés basiques (Id= somme des projecteurs, Pi_i o P_ij=0 si i différent de j, Im(Pi_i) et ker(Pi_i)). Expression des projecteurs à l'aide d'un identité de Bézout. Décomposition de Dunford. Expression de la partie diagonalisable en fonction des projecteurs spectraux. La prochaine séance : exemples et méthodes pratiques.
  • CM 13 (26 novembre 2018) Exemples de calculs des projecteurs spectraux et de Dunford. Chapitre 6 : Applications de la réduction. Puissances de matrices et systèmes récurrents et traitement d'un exemple avec une matrice 2×2. Généralités sur les séries de matrices : j'ai tout fait avec la norme infinie sur M_n(C). Définition de suites de matrices convergentes et de Cauchy (équivalence entre les deux sans donner les détails). Définition d'une série, d'une série absolument convergente puis j'ai montré que la convergence absolue implique la convergence. Prochain cours sur l'exponentielle d'une matrice puis les systèmes linéaires.
  • CM 14 (3 décembre 2018) exponentielle d'une matrice (définie comme série). Exponentielle de (lamda . Id); exp(A+B)=exp(A)exp(B) si AB=BA; exp(A) est inversible d'inverse exp(-A). exp(P^-1 A P) = P^-1 exp(A) P; Lemme sur A^k et exp(A) si A est triangulaire; det(exp(A)) = exp(trace(A)); exponentielle d'un endom à partir de sa matrice dans une base quelconque (ne dépend pas du choix de la base). Système différentiels du type X'=AX; l'application t→exp(tA) est dérivable de dérivée Aexp(tA); l'ensemble des solution est un sev de l'espace des fonction C^1(R, M_nx1(C)). Si A est semblable à B alors les espaces de solutions sont isomorphes. Théorème donnant les solutions et disant que l'espace des solutions est de dimension n.
  • Lemme 6.27 énoncé mais pas démontré : voici la démonstration
  • CM 15 (10 décembre 2018) Corollaire : unique solution avec une condition initiale du type X(t_0)=X_0. Système linéaire avec second membre : solution générale = solution générale de l'équation homogène associée + une solution particulière. Variation de la constante. Equation linéaire d'ordre n à coefficients constants qui se ramène à une équation d'ordre 1 avec une matrice (j'ai aussi donné le polynôme caractéristique de la matrice en fonction de l'équation de départ). Calculs pratiques et exemples. J'ai fini par un mini-chapitre (sans aucune démo) sur la réduction de Jordan (c'est hors-programme mais utile pour ceux qui continuent en L3).


Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 05/12/18 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 4, 6, 8, 10, 12, 13, 16 à 19, 21, 22, 24 et 25.
  • Fiche 2 : tous les exercices.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2 et 4.
  • Fiche 4 : exercice 1 (sauf question 10), 2 à 7.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 9 (corrections des 10 à 13 données), 14, 15 et 17.
  • Fiche 6 : exercices 1,2, 4 à 8, question 1 du 10, 11, 12, 17 et 18.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2 (seulement les matrices A, B et C) et 9.
Groupe P6 (au 12/12/18 après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 6, 8, 10, 12, 14, 17, 19, 21, 22, 24 et 25.
  • Fiche 2 : tout.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2 et 4. La correction du 3 se trouve ici.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 5 et 7.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 11 sauf 10 et 14 à 17. Le corrigé de l'exercice 10.
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 16, 17 et 18.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 4, 6 à 10 et indications pour 11 et 13.
Groupe P7 (au 5/12/18 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1: Tout sauf 4, 11, 16, 20, 23.
  • Fiche 2: 1 - 4, 8 - 17, 19.
  • Fiche 3: Tout sauf 5 (donné en DM).
  • Fiche 4: 1 (tout sauf 10), 2, 3, 4, 5,6.
  • Fiche 5: 1-16, mais 2 en DM seulement, 4 q 1 seulement, et 10 seulement partiellement. 17 matrice A seulement, B et C sont données en DM, 18.
  • Fiche 6: 1-5, 7-19.
  • Fiche 7: 1, 3, 4.
Groupe P8 (au 12/12/18 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 ~ 4, 6 ~ 15, 18, 19(B), 20 ~ 25.
  • Fiche 2 : tous exercices sauf 8 et 10.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2, 3 (1), 4, 5.
  • Fiche 4 : tous exercices sauf 1 (9)(10) et 7 (2)(3).
  • Fiche 5 : exercices 1 ~ 17.
  • Fiche 6 : exercices 1 ~ 13, 15, 17.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2(ABC), 3, 4, 6 ~ 15.

Devoirs

Dates prévisionnelles

Archives pour révisions :

examens finaux d'algèbre III de 2017-2018 :

examens finaux d'analyse III de 2017-2018 :

Semestre de printemps

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 19 décembre 2018 : Séries de fonctions : vocabulaire de base, convergence simple, absolue simple, uniforme. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples. Critère de Cauchy uniforme. Convergence normale, lien avec les autres modes de convergence.
  • 20 décembre 2018 : Séries de fonctions : Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme. Théorème de continuité pour les séries de fonctions, théorème de la double limite (interversion lim/série), théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment).
  • 17 janvier 2019 : Fin des séries de fonctions : théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque), théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Exemples. Début des séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel, deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons).
  • 23 janvier 2019 : Séries entières : Lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), détermination pratique du rayon : règles de D'Alembert, de Cauchy, (les démonstrations de ces deux règles sont à connaître), exemples des séries lacunaires. Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence).
  • 30 janvier 2019 : Séries entières : série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence. Séries entières d'une variable réelle :continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme. Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés).
  • 6 février 2019 : Retour sur les propriétés de la fonction exponentielle complexe. Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes. Fonctions développables en série entière : définition (en 0 et en un point quelconque), cas des fonctions d'une variable réelle : série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DLSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DLSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DLSE usuels à connaître : DLSE du binôme (preuve en cours). (Le DLSE en 0 de arcsin n'a pas encore été traité, celui de arctan n'est pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver (la preuve peut être demandée, ainsi que pour ceux de ln(1+x) et -ln(1-x).)
  • 13 février 2019 : Retour sur la preuve du DLSE du binôme, ainsi que sur le rayon de convergence de la série entière associée. Application au DLSE de arcsin (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C), distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes usuelles à connaître. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître), norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie). Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.
  • 27 février 2019 : Encadrement des boules pour deux normes équivalentes. Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite. Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Topologie des e.v.n : voisinage, ouverts (définition, exemples du complémentaire d'un singleton, des boules ouvertes, contre-exemple des boules fermées/sphères). Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : définition seulement et premiers exemples.
  • 06 mars 2019 : Fermés : propriétés (intersection, union finie). Caractérisation séquentielle des fermés. Exemple : les boules fermées et les sphères sont fermées (la preuve peut être demandée en question de cours). Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble. Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, caractérisation séquentielle, exemple de l'adhérence d'une boule ouverte. Frontière, densité d'une partie. Exemple : densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées (non terminé).
  • 13 mars 2019 : Fin de la topologie : suites extraites (définition, propriétés), compacts (définition), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Fonctions vectorielles : limites, opérations sur les limites. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre la continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions, fonctions lipschitziennes (la preuve de lipschitzienne implique continue peut être demandée en question de cours). Opérations sur les fonctions vectorielles continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit.
  • 20 mars 2019 : Continuité et topologie : caractérisations équivalentes de la continuité à l'aide de l'image réciproque des fermés/ouverts, image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes. Applications linéaires continues : caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire, définition de la norme subordonnée pour une application linéaire continue, toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue. Calcul différentiel : uniquement la définition d'un développement limité à l'ordre 1 en un point avec unicité de le l'application linéaire intervenant dans le DL.
  • 27 mars 2019 : Calcul différentiel : fonction différentiable en un point, équivalence avec l'existence d'un Dl à l'ordre 1, différentiable implique continue, lien entre différentiabilité et dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle, les fonctions constantes et les applications linéaires sont différentiables (la preuve peut être demandée en question de cours), différentielle d'une application bilinéaire (dèm en TD), opérations sur les fonctions différentiables (combinaisons linéaires, équivalence avec la différentiabilité des applications coordonnées (dans une base de l'espace d'arrivée ou dans un espace produit)), différentiation d'une composée. Application du théorème de différentiation d'une composée au produit de deux fonctions différentiables (dont l'une est scalaire) : démonstration non terminée.
  • 3 avril 2019 : Calcul différentiel : retour sur la démonstration du produit de deux fonctions différentiables. Dérivées partielles : dérivation selon un vecteur, la différentiabilité entraîne l'existence des dérivées selon tout vecteur, dérivées partielles dans une base de l'espace de départ (vues comme les dérivées selon les vecteurs de la base), calcul pratique des dérivées partielles (en identifiant avec une fonction au départ de R^n par les coordonnées d'un vecteur dans la base choisie), exemples.


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.


Les TD d'analyse sont assurés par:


Fiches de TD
Avancement

Groupe P5 [au 05/04, après 12 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7, 9 et 10 (exercice 8 très rapidement expliqué à l'oral).
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8 (corrigés du 8 et 11 distribués).
  • Fiche 3 : Exercices 1 à 6, 13, 7 à 9, 11, 14 et 15 (questions 1 et 2 expliquées rapidement, à faire à la maison, question 3 rédigée) (le corrigé du 10 a été distribué).
  • Fiche 4 : Exercices 1, 2, 4, 6 à 11.
  • Fiche 5 : Exercices 1 à 9 et 11 (sauf les deux dernières questions).

Groupe P6 [au 12/04, après 13 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée), 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.
  • Fiche 3: Exercices 1 à 8, ex 10, 13, ex 11 (1 à 6 et 10), Ex 12 (1 à 3), ex 14 et correction de l'exercice 15 distribuée.
  • Fiche 4: Exercices 1, 2, 4 à 7, 10,11.
  • Fiche 5: Exercices 1 à 6, Ex 7, 8,9, 11,13,14.
  • Fiche 6: Exerices 1, 3.

Groupe P7 [au 12/04, après 13 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée), 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.
  • Fiche 3: Exercices 1 à 8, ex 10, 13, ex 11 (1 à 6 et 10), Ex 12 (1 à 3), ex 14 et correction de l'exercice 15 distribuée.
  • Fiche 4: Exercices 1, 2, 4 à 7, 10,11.
  • Fiche 5: Exercices 1 à 6, Ex 7, 8,9, 11,13,14.
  • Fiche 6: Exerices 1, 3.

Groupe P8 [au 05/04, après 12 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7, 9 et 10.
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8 (corrigés du 8 et 11 donnés)
  • Fiche 3 : Exercices 1 à 6, 13, 7 à 9, 11 , 14, 15 (question 3 rédigée en admettant les 2 premières) (le corrigé de l'exercice 10 a été distribué)
  • Fiche 4 : Exercices 1, 2, 4, 6 à 11.
  • Fiche 4 : exercice 1 à 9 et 11.

Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Maria Carrizosa.

  • 17 décembre 2018 Chapitre 1. Produit scalaire. Définition, exemples. Inégalité de Cauchy-Schwarz, norme associée à un produit scalaire, identité du parallélogramme, formules de polarisation. Cas complexe : produit hermitien, espace hermitien, exemples, parallèlle entre cas réel et complexe pour les différentes propriétés.
  • 20 décembre 2018 Chapitre 2. Orthogonalité. Vecteurs et espaces orthogonaux, bases orthogonales, orthonormées, propriétés. Théorème de Pythagore, formules pour la norme et le produit scalaire dans une base orthonormée. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
  • 16 janvier 2019 Projection orthogonale : rappels sur projecteurs, si E=F⊕G sur la projection sur F parallèlement à G. Définition d'un projecteur orthogonal. En dimension finie, formule pour la projection orthogonale sur un sous-espace. Lien avec Gram-Schmidt.
  • 23 janvier 2019 Pas de cours.
  • 30 janvier 2019 Distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel, en dimension finie formule avec la projection orthogonale. Exemples : moindres carrés. Matrice associée à un produit scalaire (et plus généralement à une forme bilinéaire) dans une base donnée. Lien entre les matrices associées dans deux bases différentes. La matrice de passage P entre deux bases orthonormées a la propriété ^tPP=I, on dit que c'est une matrice orthogonale. Chapitre 3. Endomorphismes des espaces euclidiens Notion d'espace dual d'un espace vectoriel E, si E de dimension finie n, son dual est de dimension n. Theorème de representation de Riesz. Définition de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien.
  • 6 février 2019 Preuve de l'existence et l'unicité de l'adjoint. Dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint de u est la transposée de la matrice de u. Exemple du calcul de l'adjoint d'un endomorphisme donné. Premières propriétés des adjoints : pour f,g ∈ End(E), k∈ R, (f*)*=f, (f+g)*=f*+g*, (kf*)=k(f)*, (fg)*=g*f*, si f inversible, (f^{-1})*=(f*)^{-1}. Définition des endomorphismes symétriques, orthogonaux et normaux. Différentes caractérisations des endomorphismes orthogonaux (conservent la norme, conservent le produit scalaire). Propriétés des matrices associées aux endomorphismes symétriques et orthogonaux. Retour sur la projection orthogonale : elle est symétrique (pas orthogonal) et la symétrie orthogonale (symétrique et orthogonale). Noyau et image de l'adjoint : Ker(u*) est l'orthogonal de Im(u), Im(u*) est l'orthogonal de Ker(u). Adjoint et sous-espaces stables : si F est un sous-espace stable par u alors l'orthogonal de F est stable par u* et son corollaire : si F stable par u et u est symétrique ou orthogonal alors l'orthogonal de F est stable par u.

Classification complète

  • 13 février 2019 Les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique sont toutes réelles. Théorème spectral : si u est un endomorphisme symétrique de E, il existe une base orthonormée de vecteurs propres. Version matricielle du theorème. Corollaire : les espaces propres de u (symetrique) sont orthogonaux 2 à 2. Exemples. Endomorphismes positifs et définis positifs : déf, equivalence avec la positivité de ses valeurs propres. Étude de l'endomorphisme u*u : sym. positif, déf positif ssi u inversible, Ker(u*u)=Ker(u), Im(u*u)=Im(u*). Racine carrée d'un endomorphisme sym. positif (existence, unicité). Décomposition polaire (existence, unicité).
  • 27 février 2019 Chapitre 4. Groupe Orthogonal L'ensemble des endomorphismes orthogonaux forment un groupe pour la composition. Le determinant d'une matrice orthogonale est +-1, les valeurs propres réelles sont +-1. Sous-groupe special orthogonal (ou des endomorphismes directs) notation SO(E) ou O^+(E), def des réflexions. Theo : tout endomorphisme orthogonal s'ecrit comme produit d'au plus n (=dim E) réflexions. Définition de l'orientation d'un espace euclidien. Groupe orthogonal en dimension 2 : description des matrices de SO_n(R) et O^-(R).
  • 6 mars 2019 unicité de la matrice d'un élément u de SO(E) dans toute base orthonormée directe, les éléments de O(E)\SO(E) sont les réflexions. Définition de l'angle orienté entre deux vecteurs du plan euclidien. Propriétés des angles orientés du plan euclidien, lien avec produit scalaire et le déterminant. Groupe orthogonal en dimension 3 : produit mixte et produit vectoriel, propriétés, formule pour le produit vectoriel en fonction des coordonnées des vecteurs dans une bond.
  • 13 mars 2019 Groupe orthogonal en dimension 3 : étude des rotations.
  • 20 mars 2019 Étude des endomorphismes orthogonaux en dimension 3 de déterminant -1. En dimension n quelconque, tout endomorphisme orthogonal a pour matrice dans une base orthonormée adaptée, une matrice diagonale par blocs avec un bloc I_p (matrice identité de taille p), un bloc -I_q, et des blocs de matrices R_{θ_1},…,R_{θ_r} ou les R_{θ_i} sont des matrice de rotation sur des espaces de dimension 2 d'angle θ_i (avec p+q+2r=n).
  • 27 mars 2019 Chapitre 5 : Espaces affines Définition et exemples d'espaces affines. Premières propriétés (milieu de [AB], parallélogramme), notation A+u avec A un point de l'espace affine et u un vecteur de sa direction. Dimension d'un espace affine. Sous-espaces affines : définition, exemples, notation A+F avec A un point de l'espace affine et F un sous-espace vectoriel.
  • 3 avril 2019 Intersection de sous-espaces affines : vide ou un sous-espace affine dirigé par l'intersection des directions des sous-espaces affines. Sous-espace affine engendré (exemple par deux points, par trois points,…). Notion de parallelisme entre sous-espaces affines, exemples. Espaces affines euclidiens, orthogonalité, si V,W sous-espaces affines orthogonaux, leur intersection est vide ou un singleton. Repère cartésien, repère affine.
  • 10 avril 2019 Projection orthogonal d'un point sur un sous-espace affine, déf, existence, propriétés. Hyperplan médiateur de 2 points (en dimension 2 c'est la médiatrice). Équation normale d'un hyperplan affine. Chapitre 6 : Séries de Fourier Rappels sur fonctions continues par morceaux périodiques à valeurs réelles (ou complexes) et définition du produit scalaire (ou hermitien) sur cet espace.

Les TD d'algèbre sont assurés par

Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 04/04 après 12 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices sauf le 6 et 12.
  • Fiche 2 : tous les exercices sauf le 10 et 15.
  • Fiche 3 : exercices 1, 7 à 12 + exercice : une matrice est orthogonale ssi ses colonnes forment une base orthonormée. Exercices 2, 3 (plus 3bis pour les endomorphismes orthogonaux de déterminant -1), 4 , 5 (aucune notion d'orientation n'a été vue pour l'instant en TD, les angles sont déterminés au signe près avant d'y revenir lors des ev orientés) et 6.
  • Fiche 4 : tous les exercices.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 3, exercice 4 (sauf la dernière question).
Groupe P7 (au 04/04 après 12 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices sauf le 12.
  • Fiche 2 : tous les exercices sauf le 8.
  • Fiche 3 : tous les exercices sauf le 4.
  • Fiche 4 : tous les exercices sauf le 5 (1 donné en DM).
  • Fiche 5 : exercices 1 à 4, moitié du 5.
Groupe P6 (au 04/04 après 12 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 3, 5, 8, 9, 12 et 13.
  • Fiche 2 : exercices 1, 3 à 6, 9, 12, 13 et 16.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 5, 7 à 9 et 12.
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 7, 8 et début du 9.
  • Fiche 5 : exercices 1, 2 (Q 1 à 3), 4 (Q 1).
Groupe P8 (au 12/04 après 13 TD sur 15)
  • Fiche 1 : tout sauf l'ex. 6.
  • Fiche 2 : tout sauf 8 et 11.
  • Fiche 3 : moitié du 1 + tout le reste.
  • Fiche 4 : tout fait.
  • Fiche 5 : ex. 1, 2, 4; ex. 5 (questions 1 et 2).
  • Fiche 6 : ex. 1 + rappels sur les similitudes.

Devoirs

Dates prévisionnelles

 
 
Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki