Colloscope

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 2 septembre 2022 (partie 1) : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuves à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, inégalité de Cauchy-Schwarz, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, domination et d'équivalence).
• 2 septembre 2022 (partie 2) : Liens entre les relations de comparaison des fonctions (preuves de f=o(g) ⇒ f=O(g) ainsi que f ~ g ⇒ f=O(g) et g=O(f) à connaître). Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) dans le cas ou f=O(g), f=o(g) ou f ~ g (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives). Exemples d'étude d'intégrabilité par comparaison.
• 7 septembre 2022 : Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables, exemples d'étude d'intégrabilité par comparaison. Propriétés de l'intégrale (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz). Intégrales généralisées : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente. Lien entre absolue convergence et convergence.
• 12 septembre 2022 (partie 1) : Retour sur les fonctions intégrables et les liens entre intégrabilité d'une fonction et intégrale convergente. Exemples d'intégrales semi-convergentes. Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties généralisée). Intégrales de Bertrand au voisinage de +infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite).
• 12 septembre 2022 (partie 2) : Intégrales de Bertrand au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changementd e variable). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle), convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes.
• 21 septembre : Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), convergence de la série de terme général 1/n^2 parmi les exemples. Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert (preuve à savoir refaire, demander uniquement un seul des cas l<1 ou l>1) et exemples.
• 26 septembre (partie 1) : Séries numériques : théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire, la question peut être posée en colle), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître). Série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (attention : les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, la convergence absolue entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence.
• 26 septembre (partie 2) : Séries numériques : critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique. Théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
• 5 octobre : Séries numériques : retour sur la démonstration de la convergence de la série définissant l'exponentielle dans le cas général (la preuve est à savoir refaire). Suites de fonctions : définition, convergence simple, domaine de convergence simple, différents exemples, unicité de la limite simple, propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité (la preuve est à savoir refaire). Exemples de propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque).
• 10 octobre (partie 1) : Suites de fonctions : techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) avec différents exemples, propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve peut être donnée en question de cours). Énoncé du théorème de la double limite.
• 10 octobre (partie 2) : Suites de fonctions : exemple d'utilisation du théorème de la double limite, théorèmes d'échange limite et intégrale : théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée en question de cours), rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m., généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m, théorème de convergence dominée, exemples.
• 19 octobre : Fin des suites de fonctions : retour sur le théorème de convergence dominée, théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Début des séries de fonctions : vocabulaire de base (définition, somme partielle), convergence simple (définie par la convergence simple de la suite de fonctions des sommes partielles, puis caractérisation par la convergence de la série numérique associée en tout point).
• 24 octobre (partie 1) : Séries de fonctions : exemples d'étude de domaines de convergence simple, la convergence simple de la série de fonctions entraîne la convergence simple de la suite de fonctions de son terme général vers la fonction nulle, en cas de convergence simple définition du reste d'ordre n et propriétés de celui-ci, convergence absolue simple (lien avec la convergence simple), uniforme. Condition nécessaire de convergence uniforme sur la suite de fonctions du terme général. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples (utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
• 24 octobre (partie 2) : Séries de fonctions : Convergence normale, liens avec les autres modes de convergence (différents contre-exemple sur les implications qui ne fonctionnent pas, la démo de la convergence normale entraîne la convergence absolue simple et la convergence uniforme est à connaître). Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples (méthodes d'étude de non convergence uniforme dans le cas de fonctions positives : pas minoration de R_n, par encadrement série/intégrale). Théorème de continuité pour les séries de fonctions.
• 9 novembre : Séries de fonctions : exemples d'utilisation du théorème de continuité, théorème de la double limite (interversion limite/série), théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), exemples, énoncé du théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque).
• 14 novembre (partie 1) : Fin du cours sur les séries de fonctions : exemple d'utilisation du théorème d'intégration terme à terme, brève explication concernant l'utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale dans les cas où les théorèmes d'interversion série/intégrale ne fonctionneraient pas, théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p et applications explicites.
• 14 novembre (partie 2) : Chap.5 - Séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel (la preuve peut être demandée en question de cours), deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons), lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence et exemples explicites, détermination pratique du rayon : règle de D'Alembert (preuve non terminée).
• 23 novembre : Séries entières : règle de D'Alembert (la preuve est à savoir refaire, dans le cas où l appartient à ]0,+infini[), règle de Cauchy (la preuve peut être demandée en question de cours, dans le cas où l appartient à ]0;+infini[), exemples de détermination du rayon de séries lacunaires (de la forme sum a_n z^{3n} par exemple). Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence).
• 28 novembre (partie 1) : Séries entières : Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence (la preuve est à savoir refaire). Séries entières d'une variable réelle :continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme, expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme.
• 28 novembre (partie 2) : Séries entières : identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement). Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés : exponentielle d'une somme, inverse, conjugué, module). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes (définition et écriture comme sommes de séries entières). Fonctions d'une variable réelle développables en séries entières : définition (en 0 et en un point quelconque), série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DSE).
• 30 novembre : Développements en séries entières : Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives) (idée de la preuve à connaître, avec un DSE en 0), DSE usuels à connaître (exp, ch, sh, sin, cos, x→1/(1+-x), celui de arctan n'est pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver (la preuve peut être demandée en question de cours, ainsi que pour ceux de -ln(1-x) et de ln(1+x), idem avec argth). DSE de x→(1+x)^alpha, rayon de convergence de la série entière associée. Application au DSE de arcsin (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Chap. 6 - Equations différentielles linéaires : rappels de L1 sur les EDL d'ordre 1, et les EDL d'ordre 2 à coefficients constants. Structure des solutions d'une EDL d'ordre 2 (homogène ou non), définition d'un système fondamental de solutions, wronskien (définition et propriétés, utilité pour caractériser un système fondamental de solutions).
• 7 décembre : Equations différentielles linéaires d'ordre 2 : méthode de variations des constantes, méthode de Lagrange (= abaissement de l'ordre) à partir d'une solution de l'équation homogène ne s'annulant pas sur l'intervalle, problème des raccords.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Intégrales généralisées
• Récapitulatif sur l'intégrabilité d'une fonction/la convergence d'une intégrale
• Chap.2 - Séries numériques
• Chap.3 - Suites de fonctions
• Chap.4 - Séries de fonctions
• Chap.6 - Equations différentielles

Les TD d'analyse ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

• Gaelle Dejou (groupe P10),
• Rouchdi Bahloul (groupe P6),
• Luca Francone (groupe P7) (puis Antonio Maria Scielzo)
• Arnaud Duran (groupe P9) (puis Simon Masnou)

• TD1- Révisions
• TD2 - Intégrales généralisées
• TD3 - Séries numériques
• TD4 - Suites de fonctions
• TD5 - Séries de fonctions
• TD6 - Séries entières
• TD7 - Equations différentielles

Avancement :

Groupe P6 (après 15 TD sur 15) :

• 07/09 : Fiche 1 : ex. 1-5.
• 14/09 : Fiche 2 : ex. 1 et ex. 2 (questions 1 à 5).
• 21/09 : Fiche 2 : ex. 3, 4, 5.
• 28/09 : Fiche 2 : ex. 7. Fiche 3 : ex. 1, 2. Ex. 3 (question 1 et (a) de la question 2).
• 05/10 : Fiche 3 : fin du 3, ex. 4, 5, 6.
• 12/10 : Fiche 3 : Fiche 3 : ex. 8, 9, 10, 11 (j'ai fait le 1 et donné le résultat pour le 2 et le 3), 12 (idem : le 1 traité et solutions pour les 2 et 3).
• 19/10 : Fiche 3 : ex. 13 (indications seulement) et 14. Fiche 4 : ex. 1, 2, 4, 5 (en partie).
• 26/10 : Fiche 4 : fin de l'ex. 5; ex. 6, 7, 8, 9.
• 09/11 : Fiche 4 : ex. 10, 11, 14. — Fiche 5 : ex. 1 (question 1 en partie).
• 16/11 : Fiche 5 : fin de l'ex. 1. Ex. 2, 3, 4 (en partie).
• 23/11 : Fiche 5 : fin de l'ex. 4. Ex. 5, 6, 7 (en partie), début du 8.
• 30/11 : Fiche 5 : fin de l'ex. 8. — Fiche 6 : ex. 1, 2, 3.
• 07/12 : Fiche 6 : ex. 4 (4 questions sur 6), ex. 5, 6 (indications pour les questions 6 et 7), ex. 8 (en grande partie).
• 12/12 : Fiche 6 : fin de l'ex. 8. Ex. 9, ex. 10 (solution pour 2/3 des questions, indications pour les autres), ex. 11.
• 14/12 et 16/12 : Fiche 6 : ex. 12, 13, 14. —- Fiche 7 : ex. 1, 2 et début du 3 (je leur donnerai la fin du 3 par écrit).

Groupe P7 (après 13 TD sur 15) :

• 07/09 : Fiche 1 : Ex 1,2,3 pt 1 Fiche 2 : Ex 1 (1,2)
• 14/09 : Fiche 2 : Ex 1 (3) Ex 2 (1,2,3,4,5,6)
• 21/09 : Fiche 2 : Ex 3,4,5.
• 28/09 : Fiche 2 : Ex 6,7,8. Fiche 3 : Ex 1,2,3 (1 sauf point (f)).
• 05/10 : Fiche 3 : Fin ex 3, Ex 4,5, Ex 9 (1.a, 1.b, 2.a) Ex 10.
• 12/10 : Fiche 3 : Ex 4(2.d), Ex 6,7; fin Ex 9, Ex 11 (1,2).
• 19/10 : Fiche 4 : Ex 1,2,3,5.
• 26/10 : Fiche 4 : Ex 4, 6, 7, 9, 10 (Q1).
• 09/11 : Fiche 4 : Ex 10 (Q2), 11, 12, 13, 14
• 16/11 : Fiche 5 : Ex 1, 2
• 23/11 : Fiche 5 : Ex. 3 à 6, 7 (en partie)
• 30/11 : Fiche 5 : fin de l'ex. 7, ex 8. Fiche 6 : ex. 1, 2, 3, 4 (Q1, Q5)
• 07/12 : Fiche 6 : ex. 5, 6 (sauf 7), 7

Groupe P9 (après 15 TD sur 15):

• 07/09 : Fiche 1, Ex. 1 à 5.
• 14/09 : Fiche 2, Ex. 1,2,3(1).
• 21/09 : Fiche 2, Ex. 3(3,4,5),4,5,6(1),7(1),8,9(1)
• 28/09 : Fiche 2, Ex. 9(2) ; Fiche 3, Ex 1,2,3(1).
• 05/10 : Fiche 3, Ex. 3,4,5,6.
• 12/10 : Fiche 3, Ex. 9,10,11(1),12(1,2),13 ; Fiche 4, Ex 1.
• 19/10 : Fiche 4, Ex. 2 à 7.
• 26/10 : Fiche 4, Ex. 8 à 11, début de l'Ex. 12.
• 09/11 : Fiche 4, fin de l'Ex. 12, Ex. 14, 15 ; Fiche 5, Ex. 1 (Q1 et Q2)
• 16/11 : Fiche 5, Ex. 1 (Q3), Ex. 2, 3, 4
• 23/11 : Fiche 5, Ex. 5, 6, 7, 8 (Q1-3)
• 30/11 : Fiche 5, Ex. 8 (Q4), Ex. 9. Fiche 6, Ex. 1, 2, 3 (Q1 et Q2)
• 07/12 : Fiche 6, Ex. 3 (Q3), 4, 5, 6 (sauf 6 et 7)
• 12/12 : Fiche 6, Ex. 8, 9, 10(Q1 à 7),11(Q1,Q2), 12.
• 14/12 : Fiche 6, Ex. 6 (6), Fiche 7 algèbre Ex. 2 et 4.

Groupe P10 (au 30/11 après 12 TD sur 15):

• 07/09 : Fiche 1 : exos 1 à 4
• 14/09 : Fiche 2 : exos 1, 2 (sauf la question 4).
• 21/09 : Fiche 2 : Q4 de l'exo 2, exos 3, 4, 5 (uniquement la Q1), 7 (uniquement la Q1).
• 28/09 : Fiche 2 : exo 7 (retour sur la Q1, et Q2), fin de l'exo 5. Fiche 3 : exercices 1 (Q1 et 2), 2, 3 (Q1 et Q2(a) seulement).
• 05/10 : Fiche 3 : fin de l'exercice 3, exos 4, 5, 6 et 9 (Q1.a. uniquement)
• 12/10 : Fiche 3 : fin de l'exercice 9, exos 10, 11 (sauf Q3), 12 (sauf Q3), 13 et 7.
• 19/10 : Fiche 3 : exercice 8. Fiche 4 : exos 1, 2, 4 et Q1 du 5.
• 26/10 : Fiche 4 : fin de l'exercice 5, exos 6, 7, 9 et Q1 du 10.
• 09/11 : Fiche 4 : fin de l'exo 10, exos 11 et 14 (corrigés des exos 8, 12, 13, 15 donnés). Fiche 5 : début de la Q1 de l'exo 1, uniquement la convergence simple pour l'instant.
• 16/11 : Fiche 5 : exercices 1 et 2.
• 23/11 : Fiche 5 : exercices 3 à 6, principe du 7 expliqué mais non appliqué encore.
• 30/11 : Fiche 5 : exercices 7, 8 (l'encadrement série/intégrale pour la dernière question a juste été expliqué rapidement à l'oral) et 9 (sauf la dernière question). Fiche 6 : exercices 1 et 2, question 1 de l'exo 3.
• 7/11 : Fiche 6 : exo 3, exo 4 (Q1, 2 et 4), exo 5, exo 6 (Q1 à 3 seulement).

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

• 1er septembre 2022 (partie 1) : Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Groupe symétrique : définition, cardinal, cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions.
• 1er septembre 2022 (partie 2) : nombre d'inversions d'une signature, signature d'une permutation, signature d'une transposition, signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p.
  Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître).
• 5 septembre 2022 (partie 1) : Déterminants : déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes, effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées.
• 5 septembre 2022 (partie 2) : Déterminant d'un produit de matrices, caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes), exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure par blocs (énoncé seulement).
• 14 septembre : Preuve du déterminant d'une matrice triangulaire supérieure par blocs. Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice donne det(A) I_n, application au calcul d'inverse d'une matrice. Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation.
• 19 septembre (partie 1) : Fin des applications des déterminants : formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée). Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition, caractérisation d'une base, déterminant d'une famille d'images de vecteurs par un endomorphisme u en fonction du déterminant de u et de celui de la famille).
  Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels, lien avec l'intersection des sev, caractérisation à l'aide de la dimension, caractérisation à l'aide de la concaténation des bases respectives des sous-espaces, définition d'une base adaptée à la décomposition de l'espace en somme directe de sev.
• 19 septembre (partie 2) : Sous-espaces stables : définition, exemples, somme et intersection de sous-espaces stables (preuve à connaître). Si deux endomorphismes u et v commutent, leurs noyaux et images respectifs sont stables par u et v (preuve à connaître). Endomorphisme induit : définition, endomorphisme induit par une somme, une composée, noyau et image d'un endomorphisme induit. Caractérisation matricielle en dimension finie de la stabilité d'un sev, de plusieurs sev.
• 28 septembre : Éléments propres d'un endomorphisme : définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre. Les sous-espaces propres de u sont stables par tous les endomorphismes commutant avec u. Somme directe des sous-espaces propres, liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En dimension n, un endomorphisme admet au plus n valeurs propres distinctes. Exemples d'étude des éléments propres d'un endomorphisme en dimension infinie. Éléments propres d'une matrice carrée : définition de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice.
• 3 octobre (partie 1) : Lien entre le spectre d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base, idem avec les sous-espaces propres respectifs (en particulier, spectre et espaces propres de l'endomorphisme de M_{n,1}(K) canoniquement associé à une matrice A). Deux matrices semblables ont même spectre. Polynôme caractéristique d'une matrice carrée (défini comme unitaire), coefficients remarquables du polynôme caractéristique, les valeurs propres d'une matrice sont exactement les racines dans K de son polynôme caractéristique (preuve à connaître), nombre maximal de valeurs propres d'une matrice de taille n, une matrice complexe possède au moins une valeur propre complexe. Matrice compagnon d'un polynôme unitaire P, son polynôme caractéristique est égal à P. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique (preuve à connaître), définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Traduction des résultats précédemment vus sur les matrices en terme d'endomorphismes. Retour sue la définition de polynôme scindé/scindé à racines simples sur K. Définition des multiplicités algébriques et géométriques d'une valeur propre.
• 3 octobre (partie 2) : La somme des multiplicités algébriques des valeurs propres est inférieure ou égale à la dimension de l'espace vectoriel, tout endomorphisme d'un C-ev possède exactement dim(E) valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise le polynôme caractéristique de u (démonstration à connaître), la multiplicité géométrique est supérieure à 1 et inférieure à la multiplicité algébrique. Diagonalisabilité : définition d'un endomorphisme diagonalisable (il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale), caractérisation équivalente avec l'existence d'une base formée de vecteurs propres, caractérisations équivalentes à l'aide des sous-espaces propres (E est la somme directe de ceux-ci/la somme de leurs dimensions vaut dim(E)/le polynôme caractéristique est scindé sur K et les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre sont égales). Condition suffisante de diagonalisabilité : \chi_u est scindé à racines simples sur K. Matrice diagonalisable : définition, lien avec la diagonalisabilité d'un endomorphisme associé, traduction matricielle des caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité vues sur les endomorphismes.
• 12 octobre : Réduction des endomorphismes : retour sur l'application des caractérisations de la diagonalisabilité, explication de la méthode de diagonalisation et exemples rédigés de diagonalisation d'endomorphismes, de matrices. Trigonalisation : définition d'un endomorphisme trigonalisable (donnée avec une matrice triangulaire supérieure, puis explication du passage à une matrice triangulaire inférieure). Une base (e_1,..,e_n) de E est une base de trigonalisation de u ssi les espaces vectoriels Vect(e_1,…,e_k) sont stables par u. Définition d'une matrice trigonalisable, lien entre matrice trigonalisable et endomorphisme trigonalisable.
• 17 octobre (partie 1) : Trigonalisation : un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur K, cas des endomorphismes d'un C-ev (resp. matrices complexes). Dans le cas trigonalisable, la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité est la trace,et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité le déterminant, exemple d'utilisation pour obtenir toutes les valeurs propres d'un endomorphisme de rang 1. Exemples de méthodes de trigonalisation sur des matrices de taille 3 (puis présentation des différents cas de matrice réduite de Jordan en taille 3, sans parler de réduction de Jordan).
• 17 octobre (partie 2) : Endomorphismes nilpotents, caractérisations équivalentes d'un endomorphisme nilpotent : par l'existence d'une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure stricte, par le polynôme caractéristique. Version matricielle. Chap. 4 : Réduction algébrique : définition de l'évaluation d'un polynôme en un endomorphisme, propriétés, polynômes d'endomorphismes. Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme et exemples.
• 26 octobre : Réduction algébrique : les valeurs propres d'un endomorphisme figurent parmi les racines des polynômes annulateurs (la démo est à savoir refaire), inclusion réciproque fausse, exemples, théorème de Cayley-Hamilton. Évaluation d'un polynôme en une matrice, exemples sur des matrices diagonales/triangulaires, propriétés des polynômes en une matrice, polynôme annulateur d'une matrice, lien avec les polynômes annulateurs d'un endomorphisme associé. Deux matrices semblables ont même polynômes annulateurs (preuve à connaître), version matricielle du théorème de Cayley-Hamilton. Polynôme minimal (défini comme l'unique polynôme annulateur unitaire de u de degré inférieur à celui de tout polynôme non nul annulateur de u) (uniquement la définition et la preuve de l'existence/unicité pour l'instant, pas encore d'exemples ou ses propriétés).
• 7 novembre (partie 1) : Réduction algébrique : retour sur la définition du polynôme minimal (son degré est supérieur ou égal à 1, les polynômes minimaux d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base quelconque sont égaux), le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur (la preuve est à connaître), les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal. Lemme des noyaux et corollaire avec m polynômes 2 à 2 premiers entre eux, caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur, exemples.
• 7 novembre (partie 2) : Réduction algébrique : réduction d'un endomorphisme induit sur un sous-espace stable (démonstration à connaître), application à la codiagonalisation de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent, version matricielle. Caractérisations équivalentes de la trigonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur, toute matrice trigonalisable est semblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme lambda I + N où N est nilpotente, trigonalisabilité d'un endomorphisme induit. Chap. 5 - Applications de la réduction : puissances de matrices et d'endomorphismes dans le cas diagonalisable à l'aide de la diagonalisation.
• 15 novembre : Applications de la réduction : puissances de matrices et d'endomorphismes dans le cas trigonalisable, formule du binôme de Newton (pour des endomorphismes/matrices qui commutent), exemples explicites, retour sur la trigonalisation sous la forme d'une matrice diagonale par blocs précédemment vue et intérêt pour le calcul des puissances. Calculs de puissances à l'aide de la division euclidienne de X^k par un polynôme annulateur. Systèmes récurrents linéaires.
• 21 novembre (partie 1) : exemple de résolution d'un système récurrent. Exponentielle de matrices : définition de la convergence d'une suite de matrices (par la convergence de chacun des coefficients), d'une série de matrice, la convergence absolue entraîne la convergence (j'ai utilisé la norme infinie pour la définition de la convergence absolue), convergence de la série de terme général A^k/k!, définition de exp(A). Exponentielle d'une somme de matrices lorsque celles-ci commutent, exp(P^{-1}AP) =P^{-1} exp(A)P, exemple de calculs (par diagonalisation, cas d'une matrice nilpotente, par utilisation d'un polynôme annulateur).
• 21 novembre (partie 2) : Définition de la dérivation d'une fonction à valeurs dans M_n(K), dérivation d'une somme, d'un produit, dérivabilté de l'application t→ exp(tA). Définition de l'exponentielle d'un endomorphisme u comme l'unique endomorphisme dont la matrice dans une base B est l'exponentielle de Mat_B(u). Systèmes différentiels homogènes X'(t)=AX(t) : la solution générale est t→ exp(tA) X_0, unicité d'un problème de Cauchy associé, exemple rédigé (par utilisation du polynôme minimal de A pour le calcul de exp(tA)). Systèmes différentiels avec second membres X'(t)=AX(t)+V(t), la solution générale est la solution du système homogène à laquelle on ajoute une solution particulière, brève explication de la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière.

(Le cours d'algèbre est terminé, merci de ne pas demander en question de cours de calculs explicites de puissances ou d'exponentielles tant qu'ils n'ont pas été traités en TD.)

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Groupe symétrique
• Chap.2 - Déterminants
• Chap.3 - Réduction géométrique
• Chap. 4 - Réduction algébrique

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:

• Gaelle Dejou (groupe P10),
• Rouchdi Bahloul (groupe P6),
• Luca Francone (groupe P7) (puis Antonio Maria Scielzo)
• Arnaud Duran (groupe P9) (puis Simon Masnou)

• TD1 - Révisions
• TD2 - Groupe symétrique et déterminants
• TD3 - Sommes directes et sous-espaces stables
• TD4 - Valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique
• TD5 - Réduction des endomorphismes et des matrices
• TD6 - Polynômes annulateurs et polynôme minimal
• TD7 - Applications de la réduction

Avancement :

Groupe P6 (après 15 TD sur 15) :

• 02/09 : Fiche 1 : ex 1, ex. 2 (question 1), ex. 3-5.
• 09/09 : Fiche 1 : ex 6, 7 et 10.
• 16/09 : Fiche 1 : ex. 11, 12 et 20 (en partie seulement. J'ai donné des indications pour le finir.)
• 23/09 : Fiche 2 : ex. 1 à 9 sauf le 8 pour lequel j'ai donné des indications.
• 30/09 : Fiche 2 : ex. 10 (j'ai donné la fin sous forme d'indications), ex. 11 matrice B, ex. 13, 15–20.
• 07/10 : Fiche 3 : ex. 1, 2, 3.
• 14/10 : Fiche 3 : ex. 4, 5, 6. Fiche 4 : ex. 1 question 1.
• 21/10 : Fiche 4 : fin de l'ex. 1 (sauf la question 5 : indications seulement). Ex. 2 (question 1).
• 28/10 : Fiche 4 : ex. 3, 4, 5, 6 et début du 8 (je ne l'ai pas fini, je distribuerai la fin par écrit).
• 18/11 : Fiche 5 : ex. 1 à 5.
• 25/11 : Fiche 5 : ex. 6, 7, 9, 10, et 12 (la moitié).
• 02/12 : Fiche 5 : fin du 12; ex. 14, 15, 16, 17. Fiche 6 : ex. 1 et 2.
• 05/12 : Fiche 6 : ex. 3, 4, 6, 7, 8, 9 (en grande partie).
• 09/12 : Fiche 6 : fin du 9, ex. 10 et 11. —- Fiche 7 : ex. 1, ex. 2 (en grande partie).
• 14/12 et 16/12 : Fiche 6 : fin du 2. Ex. 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Groupe P7 (après 14 TD sur 15) :

• 02/09 : Fiche 1 : Ex 1,2,4.
• 09/09 : Fiche 1 : Ex 3, 5(1),10,11(1,2,3).
• 16/09 : Fiche 1 : Ex 11 (4),12,14,20(1,2,indications pour resoudre 3).
• 23/09 : Fiche 2 : Ex 1,2,3,4,5,8,17,18.
• 30/09 : Fiche 2 : Ex 7,9,10,11,13.
• 07/10 : Fiche 2 : Ex 12,15. Fiche 3 : Ex 1,3.
• 14/10 : Fiche 3 : Ex 2 (1,2) Ex 4,5,6(1.). Fiche 4: Ex 1 (1,4);
• 21/10 : Fiche 4 : Fin Ex 1, Ex 2 (1.A,D,F, 2.) Ex 3.
• 28/10 : Fiche 4 : ex 4, 5, 6, 7 (Q1)
• 18/11 : Fiche 4 : fin de l'ex. 7, ex. 9. Fiche 5 : ex. 1 et 2
• 25/11 : Fiche 5 : ex. 3 à 8
• 02/12 : Fiche 5 : ex. 9, 10, 12, 14, 15, 17
• 05/12 : Fiche 6 : ex. 1, 2, 3 (en partie), 4, 5, 6, 9 (en partie)
• 07/12 : Fiche 6 : fin de l'ex. 9, ex. 7, 8, 10 à 13

Groupe P9 (après 15 TD sur 15) :

• 02/09: Fiche 1, Ex. 1,2,3,4(1).
• 09/09: Fiche 1, Ex. 4(2),5,6,7.
• 16/09: Fiche 1, Ex. 8,10,11,12(1).
• 23/09: Fiche 1, Ex. 12. Fiche 2, Ex. 1 à 5.
• 30/09: Fiche 2, Ex. 6 à 12.
• 07/10: Fiche 2, Ex. 15. Fiche 3, Ex. 1,3,5.
• 14/10: Fiche 3, Ex. 2,6,7.
• 21/10 : Fiche 4, Ex. 1 et 2 (1.A à F)
• 28/10 : Fiche 4, Ex. 3, 4, 5, 6, 7 (Q1 et Q2)
• 18/11 : Fiche 4, Ex.2 (Q2 et Q3), Fiche 5, Ex. 1, Ex. 2 (A et B), Ex. 3
• 25/11 : Fiche 5, Ex. 2 (C), Ex. 4, 5, 6, 7, 8, début du 10
• 02/12 : Fiche 5, fin du 10, Ex. 9, 13, 14, 15, 17, Fiche 6, Ex. 1, 2, deux matrices de l'Ex. 3
• 05/12 : Fiche 6, Ex. 3, 4, 5, 6, 9, 10 (Q1 et Q2), Fiche 5 Ex. 16
• 09/12 : Fiche 6, Ex. 10 (Q3,4,5), Ex. 11, 12, 13, Fiche 7, Ex. 1
• 16/12 : Fiche 7 EDO, Ex. 1,3,4,6, Fiche 7 Applications Ex. 5,8,9

Groupe P10 (au 09/12 après 14 TD sur 15):

• 02/09 : Fiche 1 : exos 1 à 3 (Q1).
• 09/09 : Fiche 1 : fin de l'exercice 3, exos 4, 11 et Q1 de l'exo 13.
• 16/09 : Fiche 1 : fin de l'exo 13, exos 6, 15, 17 (matrice A).
• 23/09 : Fiche 2 : exos 1 à 7.
• 30/09 : Fiche 2 : exos 8 à 13 et 16 à 19.
• 07/10 : Fiche 2 : exos 20 et 12. Fiche 3 : exos 1, 2, début du 3 (Q1 et 2 seulement).
• 14/10 : Fiche 3 : fin de l'exercice 3, exos 4, 5 et 6. Fiche 4 : Q1 et 2 de l'exo 1.
• 21/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 1, exos 2 (Q1 et Q2, sauf la matrice F), 3 et 4.
• 28/10 : Fiche 4 : fin de l'exercice 2 (retour sur les liens entre espace propre d'un endomorphisme et espace propre d'une matrice associée), exos 5, 6 et 8 (uniquement Q1 et Q2).
• 11/11 : pas de TD.
• 18/11 : Fiche 4 : fin de l'exercice 8, fiche 5 : exos 1 à 3 et Q1 du 4.
• 25/11 : Fiche 5 : fin de l'exercice 4, exos 5 à 9.
• 02/12 : Fiche 5 : exos 11, 12, 14, 15 et 17. Fiche 6 : exo 1 (et retour sur la manière de trouver le polynôme minimal d'une matrice explicite à partir du polynôme caractéristique).
• 05/12 : Fiche 6 : exos 2 à 6 et 8.
• 09/12 : Fiche 6 : exos 9, 10 et 11. Fiche 7 : exo 1, et Q1 de l'exo 2.

Dates prévisionnelles (horaire : lundi de 17h30 à 19h)

• Lundi 19 septembre : DS1 CUPGE
• Lundi 26 septembre : DS1 commun : le sujet du DS et une correction.
• Lundi 10 octobre : DS2 CUPGE
• Lundi 17 octobre : DS2 commun : le sujet du DS et une correction
• Lundi 14 novembre : DS3 CUPGE
• Lundi 21 novembre : DS3 commun le sujet du DS et une correction
• Lundi 5 décembre : DS4 CUPGE
• Lundi 12 décembre : DS4 commun : le sujet avec la correction (DS5 CUPGE à placer la semaine du 12 décembre, probablement le mardi 13)

• Le sujet avec sa correction de l'examen terminal d'analyse 3 session 1 de 2021-2022 (exo 1 : séries numériques, exo 4 : intégrales généralisées, exo 5 : suites de fonctions)
• Le sujet avec sa correction de l'examen terminal d'analyse 4 session 1 de 2021-2022 (exo 1 : séries de fonctions, exo 2 : séries entières)
• Le sujet avec sa correction de l'examen terminal d'analyse 3 session 1 de 2022-2023
• Le sujet avec sa correction de l'examen terminal d'algèbre 3 session 1 de 2022-2023

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 12 et 14 décembre : Chap. 1 : Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C), distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères, convexité des boules ouvertes/fermées et non convexité des sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes 1, 2 et infinie (ces trois tracés sont à savoir refaire et peuvent être demandés en question de cours). Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître et savoir redémontrer), norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie). Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes, notion invariante par passage à une norme équivalente. Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite (la preuve est à connaître). Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit.
• 18 janvier: Chap. 2 : Topologie des evn : voisinage, ouverts (définition, exemples dans R avec des intervalles, complémentaire d'un singleton (peuvent être demandés en question de cours)), une boule ouverte est un ouvert, mais ce n'est pas le cas des boules fermées ou des sphères (l'explication pour les boules ouvertes/fermées/sphères est à savoir réexpliquer, au minimum à l'aide d'un dessin). Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : propriétés (intersection, union finie). Caractérisation séquentielle des fermés (non encore démontrée, mais appliquée sur un exemple).
• 25 janvier (partie 1) : Topologie des evn : Caractérisation séquentielle des fermés. Exemples, les boules fermées et les sphères sont fermées (la preuve peut être demandée en question de cours). Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble, exemples (intérieur d'une boule ouverte).
• 25 janvier (partie 2) : Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, caractérisation séquentielle, exemples (adhérence d'une boule ouverte). Frontière, densité d'une partie. Exemple : densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées; suites extraites (définition, propriétés : suite extraite d'une sous-suite, convergence des sous-suites dans le cas d'une suite convergente), compacts (définition), un compact est fermé borné (énoncé seulement).
• 1er février: Caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Chap.3 - Fonctions vectorielles : limite (unicité de la limite), exemples des fonctions constantes et des projections coordonnées p_i : x=(x_1,…,x_n) → x_i à savoir refaire, caractérisation séquentielle de la limite, opérations sur les limites (combinaisons linéaires, multiplication par une fonction scalaire, composition, lien avec les limites des suites coordonnées dans un ev de dimension finie), très brève explication pour les fonctions à valeurs dans un ev produit. (pas encore d'exemple détaillé)
• 8 février (partie 1) : Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Extension à l'infini de la notion de limite. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre la continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions (exemple détaillé d'étude de la continuité d'une fonction définie sur R^2 par deux expressions sur {(x,y)| x =y} et son complémentaire).
• 8 février (partie 2) : Fonctions lipschitziennes (la preuve de lipschitzienne implique continue peut être demandée en question de cours). Opérations sur les fonctions continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), continuité des projections coordonnées p_i : (x_1, …,x_n)→ x_i (à savoir redémontrer), continuité d'une fonction polynomiale. Caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit (ne pas trop insister en question de cours sur cette dernière partie). Continuité et topologie : caractérisations équivalentes de la continuité à l'aide de l'image réciproque des fermés/ouverts, exemples.
• 22 février : Fin du cours sur la continuité : image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes. Applications linéaires continues : caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire (continuité en 0_E, existence de k dans R^+ vérifiant ||u(x) || \leq k ||x|| pour tout x dans E, lipschitziannité, caractère borné sur la boule unité fermée/la sphère unité), toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue, contre-exemples en dimension infinie.
• 1er mars (partie 1) : Chap. 4 - Calcul différentiel : Dérivée d'une fonction d'une seule variable réelle à valeur dans un evn F de dimension finie, caractérisation équivalentes à l'aide des fonctions coordonnées dans une base de F, combinaison linéaire de fonctions dérivables. Définition d'un développement limité à l'ordre 1 en un point avec unicité de l'application linéaire intervenant dans le DL (pour une fonction de E dans F deux R-evn de dimensions finies), fonction différentiable en un point, équivalence avec l'existence d'un Dl à l'ordre 1, les fonctions constantes et les applications linéaires sont différentiables (ces 2 preuves peuvent être demandées en questions de cours). Différentiable implique continue, lien entre différentiabilité et dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle (preuve à connaître), différentielle d'une application bilinéaire (dèm en TD).
• 1er mars (partie 2) : Opérations sur les fonctions différentiables (combinaisons linéaires, équivalence avec la différentiabilité des applications coordonnées (dans une base de l'espace d'arrivée ou dans un espace produit) ne pas trop insister en question de cours sur ces deux résultats), différentiation d'une composée, exemples d'applications. Application du théorème de différentiation d'une composée au produit de deux fonctions différentiables (dont l'une est scalaire), exemple des fonctions polynomiales. Dérivées partielles : dérivation selon un vecteur (uniquement la définition pour l'instant).
• 8 mars : Si f est différentiable en un point, existence des dérivées directionnelles selon tout vecteur en ce point (démo à connaître), différents exemples de calcul de dérivées directionnelles, celles-ci donnant le candidat potentiel pour df(a) (utilisation de la non linéarité de celui-ci pour montrer qu'une fonction n'est pas différentiable). Dérivées partielles dans une base donnée de E : définition comme dérivée directionnelle selon les vecteurs de la base, existence pour une fonction différentiable et expression de la différentielle en un point à l'aide des dérivées partielles. Méthode de calcul pour une fonction au départ de R^n : définition des applications partielles en a=(a_1,…,a_n), lien avec la dérivabilité de l'application partielle en a_i, début des exemples.
• 15 mars (partie 1) : Exemples de calculs de dérivées partielles pour des fonctions définies sur une partie de R^n. Calcul pratique des dérivées partielles d'une fonction d'une variable vectorielle (en identifiant avec une fonction au départ de R^n par les coordonnées d'un vecteur dans la base choisie), exemples. Matrice jacobienne, version matricielle du théorème de différentiation d'une composée, formule de dérivation en chaîne, différents exemples d'application.
• 15 mars (partie 2) : Fonctions de classe C^1 (équivalence entre f est différentiable de différentielle continue avec l'existence et la continuité de ses dérivées partielles dans une base), exemple des applications constantes et linéaires, opérations sur les fonctions de classe C^1 (lien avec le caractère C^1 des applications coordonnées, combinaison linéaire, produit par une application scalaire, composée). Chap. 5 - Intégrales à paramètres : théorème de continuité dans le cas où le domaine d'intégration est un segment.
• 22 mars : Intégrales à paramètres : théorème de dérivation (dans le cas où le domaine d'intégration est un segment), cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions continues/resp. de classe C^1). Intégrale à paramètre dans le cas où le domaine d'intégration est un intervalle quelconque : théorème de continuité par domination (l'idée de la preuve (passage par la caractérisation séquentielle et utilisation du thm de convergence dominée) peut être demandée).
• 29 mars (partie 1) : Fin du cours sur les intégrales à paramètres : retour sur le théorème de continuité par domination, corollaire avec hypothèse de domination obtenue seulement sur tout segment pour x (lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)), exemples. Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), corollaire où les hypothèses de domination sont demandées seulement sur tout segment pour x.
• 29 mars (partie 2) : exemples d'utilisation des théorèmes précédents. Chp. 6 - Extrema : pour des fonctions de R^n dans R^p seulement : dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), exemples des fonctions constantes et polynomiales (à savoir réexpliquer), opérations sur les fonctions de classe C^k. Retour sur la fonction Gamma d'Euler du chap. 5.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Espaces vectoriels normés
• Chap.2 - Topologie des e.v.n.
• Chap.3 - Continuité des fonctions vectorielles
• Chap.5 - Intégrales à paramètres

Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul (groupe P6),
• Pierre Lavaurs (groupe P7),
• Baptiste Maucourt (groupe P9),
• Gaelle Dejou (groupe P10).

• TD1 - Espaces vectoriels normés
• TD2 - Topologie des espaces vectoriels normés
• TD3 - Continuité
• TD4 - Calcul différentiel
• TD5 - Intégrales à paramètres

Avancement :

Groupe P6 (après 14 TD sur 15) :

• 19/01 : Fiche 1 : ex. 1 (en partie), ex. 2, 3, 4.
• 20/01 : Fiche 1 : fin du 1 puis ex. de 5 à 9.
• 27/01 : Fiche 1 : ex. 9. Fiche 2 : ex. 1 et 2.
• 03/02 : Fiche 2 : ex. 3, 4, 5 (ensemble A)
• 10/02 : Fiche 2 : ex. 5 ensembles G et C, ex. 6, 7, début du 8.
• 24/02 : Fiche 2 : fin du 8. Fiche 3 : ex. 1, 2, 3, 4 (Q1, 2, 3, 4).
• 03/03 : Fiche 3 : ex. 6, ex. 8 (Q1 et 3), ex. 9 (Q1 et 2), ex. 10, 11, 12, 13, 15 (Q1).
• 10/03 : Fiche 3 : ex. 15 (Q2), ex. 16 (Q1 et Q2), ex. 17 et 18.
• 17/03 : Fiche 3 : ex. 17 et 20 —– Fiche 4 : ex. 1 et 2.
• 24/03 : Fiche 4 : ex. 3, 4, 5, 6.
• 31/03 : Fiche 4 : ex. 7, 8, 9, 11, 12.
• 07/04 : Fiche 4 : ex. 10 et 13. ——- Fiche 5 : ex. 1, 2, 3.
• 21/04 : Fiche 5 : ex. 4 à 7.
• 27/04 : Fiche 6 : ex. 1 (en partie), ex. 3.

Groupe P7 (après 15 TDs sur environ 15) :

• 19/01 : Fiche 1 : exercices 1 à 3.
• 20/01 : Fiche 1 : exercices 4 à 8.
• 27/01 : Fiche 1 : exercices 9 et 10. Fiche 2 : exercice 1, en sautant des trucs.
• 03/02 : Fiche 2 : exercices 3 et 4, question A de l'exercice 5.
• 10/02 : Fiche 2 : exercice 5, questions C et G, exercices 6 et 7, exercice 10.
• 24/02 : Fiche 2 : exercices 8 et 9. Fiche 3 : exercices 1 à 3 et 4 (questions 1 à 3).
• 03/03 : Fiche 3 : fin de l'exercice 4, exercices 6 et 7, 8 (1 et 2) et 9.2.
• 10/03 : Fiche 3 : exercices 12, 13.2, 14, 15, 16 (sauf 2), 10.
• 17/03 : Fiche 3 : exercices 11, 17, 18, 20, 21. Fiche 4 : exercices 1 et 2.1.
• 24/03 : Fiche 4 : fin de l'exercice 2, exercices 3 à 6 et 9.
• 31/03 : Fiche 4 : exercice 8, exercices 10 à 14.
• 07/04 : Fiche 5 : exercices 1, 3 et 5.
• 21/04 : Fiche 5 : exercices 6 et 9.
• 26/04 : Fiche 6 : exercices 3, 4 et 5.
• 27/04 : Fiche 6 : exercices 6 et 7.
• 02/05 : Fiche 6 : exercices 1 et 2.

Groupe P9 (après 15 TD sur 15) :

• 19/01 : Fiche 1 : exercices 1 à 3.
• 20/01 : Fiche 1 : exercices 4 à 7, exercice 9.
• 27/01 : Fiche 1 : exercices 10 et 11. Fiche 2 : exercice 1 (et beaucoup d'explications et de dessins).
• 03/02 : Fiche 2 : exercices 2, 3 et début du 4.
• 10/02 : Fiche 2 : fin exo 4, 5, 6, 7.
• 24/02 : Fiche 2 : ex 8. Fiche 3 : exercices 1, 2, 3 et début du 4.
• 03/03 : Fiche 3 : fin ex4, 5, 6, 8 q1 2, 9 q1 2.
• 10/03 : Fiche 3 : exercices 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18.
• 17/03 : Fiche 3 : exercices 19, 20 + correction du 21. Fiche 4 : 1, 2.
• 24/03 : Fiche 4 : exercices 3, 4, 5, 6.
• 31/03 : Fiche 4 : 7, 8, 9.
• 07/04 : Fiche 4 : 10, 11, 12, 13. Fiche 5 : exercice 1.
• 17/04 : Fiche 5 : exercices 2, 3, 4.
• 26/04 : Fiche 5 : (ex 5 fait en DM) ex 7. Fiche 6 : ex 1.
• 28/04 : Fiche 6 : 3, 4, 5, 9.

Groupe P10 (après 13,5 TD sur 15) :

• 19/01 : Fiche 1 : exercices 1, 2 (pour N1), 3 et Q1 du 4.
• 20/01 : Fiche 1 : fin de l'exo 2, exos 4 à 7, 9.
• 27/01 : Fiche 1: exos 8 et 10. Fiche 2 : exercice 1 (questions 1,2,3 et 5 seulement, avec différentes méthodes et dessins).
• 03/02 : Fiche 2 : fin de l'exo 1, exos 2, 3, 4 (sauf Q3), 5 (uniquement l'ensemble A pour l'instant).
• 10/02 : Fiche 2 : exo 5 (ensembles C et G), exo 6, exo 7 (questions 1 à 4).
• 24/02 : Fiche 2 : fin de l'exo 7, exo 8. Fiche 3 : exos 1 à 3, exo 4 (questions 1 à 4).
• 03/03 : Fiche 3 : fin de l'exo 4, exos 5, 6, 8 (Q1 et Q2 seulement), 9 (Q1 et Q2 seulement), 12 et 13 (uniquement Q1)
• 10/03 : Fiche 3 : fin de l'exo 13, exos 14, Q1 de l'exo 16, 10, 11, 17 et 18.
• 17/03 : Fiche 3 : exos 19 et 20. Fiche 4 : exos 1 et 2.
• 24/03 : Fiche 3 : Fiche 4 : exos 3 à 7.
• 31/03 : Fiche 4 : retour sur l'exercice 7, exos 8, 9 et 10.
• 07/04 : Fiche 4 : exos 11 et 12. Fiche 5 : exos 1, 2, 4 et 5.
• 21/04 : Fiche 5 : exos 6 et 7.

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

• 18 janvier (partie 1) : Chap.1 : Espaces préhilbertiens : produit scalaire sur un R-ev, caractérisation équivalente (la linéarité à droite et la symétrie entraînent la bilinéarité), définition d'un espace préhilbertien réel, d'un espace euclidien. Produits scalaires sur R^n, M_{n,p}(R) et C([a;b];R) (à connaître et à savoir redémontrer), calculs de développements de <ax,ax>, <x +/- y, x+/- y> (etc… à savoir manipuler), inégalité de Cauchy-Schwarz avec cas d'égalité (la preuve est à connaître), exemples d'utilisation.
• 18 janvier (partie 2): Norme euclidienne associée à un produit scalaire, identités de polarisation et identité du parallélogramme (à savoir retrouver). Produit scalaire hermitien sur un C-ev, caractérisation équivalente (la linéarité à droite et la symétrie hermitienne entraîne la sesquilinéarité), définition d'un espace préhilbertien complexe, d'un espace hermitien. Produits scalaires usuels sur C^n, M_{n,p}(C), C([a;b]; \C) (seule la preuve sur M_{n,p}(C) a été faite en entier en CM, les deux autres rapidement expliquées, les preuves peuvent être demandées en question de cours).
• 25 janvier : Espaces préhilbertiens complexes : manipulation de la sesquilinéarité du produit scalaire hermitien pour des calculs (< ax, ax>, <x +- y, x+-y>, …), inégalité de Cauchy-Schwarz avec cas d'égalité, norme hermitienne associée, identité de polarisation et identité du parallélogramme (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver rapidement, les preuves de ces identités peuvent êtres demandées). Matrice d'un produit scalaire (réel ou hermitien), écriture du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de la matrice, effet d'un changement de base. Chap.2 - Orthogonalité : définition de deux vecteurs orthogonaux, exemples et propriétés de base (seul le vecteur nul est orthogonal à tous les autres, si deux vecteurs sont orthogonaux, alors deux vecteurs respectifs des droites vectorielles qu'ils engendrent sont aussi orthogonaux, l'orthogonalité dépend du produit scalaire utilisé), identité de Pythagore (démo à connaître : équivalence dans le cas réel et implication dans le cas complexe). Définition d'une famille orthogonale, orthonormée. Toute famille orthogonale ne comportant pas le vecteur nul est libre (énoncé seulement).
• 1er février (partie 1): Toute famille orthogonale ne comportant pas le vecteur nul est libre (preuve à connaître). Base orthonormée : définition, expression des coordonnées d'un vecteur dans une telle base, du produit scalaire de deux vecteurs, de la norme (calculs à savoir refaire). Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur une famille libre (la preuve n'est pas à connaître mais les étudiants doivent savoir construire la base orthogonale/orthonormée), exemple. Tout espace euclidien admet une base orthonormée, toute famille orthonormée peut être complétée en une base orthonormée.
• 1er février (partie 2): Orthogonal d'une partie (exemple de l'orthogonal de {0_E} et E à savoir refaire), propriétés de l'orthogonal (c'est un sev, inclusion pour l'orthogonal de l'orthogonal, inversion de l'inclusion), l'orthogonal d'un sev engendré par une famille est l'ensemble des éléments orthogonaux aux éléments de cette famille (preuve à connaître). Définition de deux sev orthogonaux, lien avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sev de dimension finie (cas d'un espace euclidien/hermitien), contre-exemple en dimension infinie, dimension de l'orthogonal dans un espace euclidien/hermitien. Début des rappels sur les projections/symétries vectorielles : dans le cas où F et G sont supplémentaires dans E, définition de la projection sur F (resp. symétrie par rapport à F) parallèlement à G.
• 8 février: Retour sur les projections et les symétries vectorielles : caractérisation équivalentes (p^2=p et s^2=Id), lien entre les deux, matrice d'une projection/symétrie dans une base adaptée. Projection orthogonale et symétrie orthogonale, relations entre la projection orthogonale sur F et celle sur son orthogonal. Formule du projeté orthogonal sur un sev de dimension finie F dans une base orthonormée (démonstration à connaître). Retour sur le procédé de Gram-Schmidt avec écriture à l'aide d'une projection orthogonale. Exemple de détermination d'un projeté orthogonal sur F en calculant d'abord le projeté sur l'orthogonal de F. Distance d'un vecteur à une partie non vide de E (uniquement définition et existence).
• 22 février (partie 1) : Distance à un sous espace (admettant un supplémentaire orthogonal) : calcul à l'aide de la projection orthogonale sur le sev (ou son orthogonal) (preuve à connaître). Chap. 4 - Endomorphismes autoadjoints : Matrices orthogonales (pour l'instant, uniquement introduites dans le but du théorème spectral, leur étude spécifique sera faite dans le chapitre suivant), groupe orthogonal, une matrice est orthogonale ssi ses colonnes (resp.lignes) forment une famille orthonormée, lien avec les matrices de passage entre deux bases orthonormées, matrices orthogonalement semblables (définition, elles représentent le même endomorphisme dans deux base orthonormées).
• 22 février (partie 2) : Théorème de représentation de Riesz (isomorphisme explicite entre E et L(E,R)), définition de l'adjoint d'un endomorphisme, matrice de l'adjoint dans une base orthonormée, propriétés de l'adjoint (d'une combinaison linéaire, d'une composée, involutivité de l'adjoint, adjoint d'une bijection réciproque). Image et noyau de l'adjoint (preuve à connaître), si F est stable par u, l'orthogonal de F est stable par u* (preuve à connaître). Endomorphisme autoadjoint (ou symétrique), équivalence avec la symétrie de sa matrice dans une base orthonormée, dimension de l'ev des endomorphismes autoadjoint.
• 1er mars : endomorphisme autoadjoint : Un projecteur est orthogonal ssi il est symétrique, le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réel est scindé sur R, existence d'une valeur propre (réelle) d'un endomorphisme autoadjoint sur un ev euclidien non nul, orthogonalité des sev propres d'un endomorphisme autoadjoint (la preuve est à connaître), stabilité par un endomorphisme autoadjoint u de l'orthogonal d'un sev stable et caractère autoadjoint des endomorphismes induits respectifs, théorème spectral (équivalence du caractère autoadjoint avec E est la somme directe orthogonale des sev propres, et avec la diagonalisabilité dans une base orthonormée). Version matricielle du théorème spectral. Définition d'un endomorphisme positif/resp. défini positif, caractérisation équivalente à l'aide du spectre.
• 8 mars (partie 1) : Pour un endomorphisme autoadjoint, lien entre le caractère positif (resp. défini positif) et celui de sa matrice dans une base orthonormée. Caractérisation des matrices symétriques positives (resp. définies positives) à l'aide de leur spectre. Existence et unicité d'une “racine carrée” d'un endomorphisme autoadjoint positif, version matricielle. Chap. 4 - Endomorphismes orthogonaux : définitions d'un endomorphisme orthogonal (par u o u*=Id, ou u* o u=Id ou u bijectif d'inverse u*), équivalence avec l'orthogonalité de sa matrice dans une base orthonormée, exemple des symétries orthogonales (démo à connaître), les projecteurs orthogonaux différents de l'identité ne sont pas orthogonaux (à savoir refaire aussi). L'ensemble des endomorphismes orthogonaux de E est un sous-groupe de GL(E), caractérisations équivalentes des endomorphismes orthogonaux : par conservation de la norme, du produit scalaire, par l'image de toute/d'une base orthonormée.
• 8 mars (partie 2) : Fin de la démo des équivalences, vocabulaire : endomorphisme orthogonal = isométrie, déterminant d'un endomorphisme orthogonal, définition d'une isométrie directe/indirecte. Groupe spécial orthogonal (et version matricielle). Définition d'un hyperplan et caractérisation comme l'orthogonal d'une droite vectorielle, définition d'une réflexion, écriture explicite de l'image d'un vecteur par une réflexion à l'aide d'un produit scalaire. Tout endomorphisme orthogonal s'écrit comme une composée d'au plus n=dim(E) réflexions. Le spectre d'un endomorphisme orthogonal est inclus dans {-1;1} (démo à connaître), stabilité de l'orthogonal d'un sev stable par un endomorphisme orthogonal (démo à connaître). Pour un endomorphisme u de E, existence d'une droite ou d'un plan stable par u (non terminé).
• 15 mars : Existence d'une droite ou d'un plan stable par un endomorphisme u de E, classification des matrices orthogonales de taille 2 : matrices de rotation ou de réflexion, réduction des endomorphismes associés (détail des cas diagonalisables ou non); théorème de réduction d'un endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien (de dimension n non nulle). Chap.5 - Isométries vectorielles en dimension 2 et 3 : définition de l'orientation d'un espace euclidien (bases directes/indirectes, effet d'un échange entre deux vecteurs d'une base, etc…)
• 22 mars (partie 1) : Produit mixte. Classification des isométries en dimension 2 : rotation du plan, unicité de la matrice dans une base orthonormée directe, angle orienté de deux vecteurs non nuls dans le plan (défini à 2pi près comme l'angle de l'unique rotation qui envoie le premier vecteur normé sur le second normé), propriétés des angles orientés (conservation de l'angle par multiplication des vecteurs par un réel strictement positif, angle opposé, somme d'angles), lien avec le produit scalaire et le produit mixte.
• 22 mars (partie 2) : Isométries négatives du plan : ce sont les réflexions, expression de la droite par rapport à laquelle la réflexion est effectuée en fonction de la matrice de la réflexion dans une base orthonormée (e_1,e_2) (angle entre Vect(e_1) et cette droite). Récapitulatif de classification des endomorphismes orthogonaux en dimension 2, corollaire sur la composée de 2 rotations/2 réflexions etc… Classification des isométries en dimension 3 (isométries directes seulement pour l'instant) : unicité de l'écriture de la matrice dans une base orthonormée directe de premier vecteur un vecteur unitaire dans E_1(u), définition d'une rotation autour d'un axe orienté, recherche des éléments caractéristiques de la rotation (axe à l'aide de l'étude de E_1(u), cosinus de l'angle à l'aide de la trace, sinus de l'angle à l'aide d'un produit mixte).
• 29 mars : Fin des exemples d'isométries directes en dimension 3, isométries indirectes en dimension 3 : unicité de l'écriture de la matrice dans une base orthonormée directe de premier vecteur un vecteur unitaire dans E_{-1(u)}, les isométries indirectes sont les composées commutatives d'une rotation et d'une réflexion par rapport à l'orthogonal de l'axe, recherche des éléments caractéristiques (axe à l'aide de l'étude de E_{-1}(u), cosinus de l'angle à l'aide de la trace, sinus de l'angle à l'aide d'un produit mixte). (le produit vectoriel n'a pas encore été vu)
• 5 avril : Produit vectoriel : définition, caractère bilinéaire antisymétrique, le produit vectoriel de x par y est orthogonal à x et à y, la famille (x,y) est libre si et seulement le produit vectoriel de x par y est non nul. Expression du produit vectoriel dans une base orthonormée directe de E, construction d'une base orthonormée directe de E à l'aide de deux vecteurs orthonormés et leur produit vectoriel. Application pour l'étude d'une isométrie en dimension 3 par création d'une base orthonormée directe dans laquelle la nature et les caractéristiques se lisent directement sur la matrice réduite. Chap.6 - Séries de Fourier : rappels sur les fonctions périodiques, pseudo-produit scalaire sur l'espace CM_{2pi} des fonctions continues par morceaux 2pi périodiques, polynômes et séries trigonométriques (vocabulaire surtout)
• 19 avril (partie 1) : (tous les résultats sur les séries de Fourier ont été énoncés pour des fonctions 2pi périodiques) Coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques, liens entre les deux, coefficients de Fourier d'un polynôme trigonométrique, d'une série trigonométrique convergeant uniformément sur R. Propriétés calculatoires. Série de Fourier, interprétation géométrique des sommes partielles dans le cas d'une fonction continue, inégalité de Bessel. Théorème de Dirichlet, convergence normale en rajoutant l'hypothèse de continuité de la fonction étudiée, théorème de Parseval-Bessel. Généralisation rapide aux fonctions T périodiques. * 19 avril (partie 2) : Chap.7 - Espaces affines : Définition générale d'un espace affine, structure affine canonique sur un espace vectoriel de dimension finie, exemples, notation A+u pour un point A de l'espace affine et un vecteur u de son espace directeur. Sous-espace affine, définition et caractérisations équivalentes, exemples. Intersection de sous-espaces affines (cas de 2 s.e.a dont les directions sont supplémentaires dans l'espace directeur E), sous-espace affine engendré par une partie (définition, obtenu comme un point A de la partie auquel on ajoute l'espace vectoriel engendré par les vecteurs AM, pour M dans la partie), sous-espaces affines parallèles, exemples dans un plan affine. (la notion de barycentre n'a pas été vue, ainsi que la notion de repère affine).

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap. 1 - Espaces préhilbertiens
• Chap.2 - Orthogonalité
• Chap.3 - Endomorphismes autoadjoints
• Chap.5 - Isométries en dimension 2 et 3

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le jeudi matin et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul (groupe P6),
• Pierre Lavaurs (groupe P7),
• Baptiste Maucourt (groupe P9),
• Gaelle Dejou (groupe P10).

• TD1 - Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz
• TD2 - Sous-espaces vectoriels orthogonaux et projections
• TD3 - Adjoints et théorème spectral
• TD4 - Endomorphismes orthogonaux et espaces orientés
• TD5 - Séries de Fourier
• TD6 - Espaces affines

Avancement :

Groupe P6 (après 15 TD sur environ 15) :

• 26/01 : Fiche 1 : ex. 1 et 2 et début du 3.
• 02/02 : Fiche 1 : ex. 3, 4, 5, 6, 7, 8.
• 09/02 : Fiche 1 : ex. 9, 10, 11, 12.
• 23/02 : Fiche 2 : ex. 1, 2, 3, 4, début du 5.
• 02/03 : Fiche 2 : ex. 5, 6, 7.
• 09/03 : Fiche 2 : ex. 8, 9, 10, 11.
• 16/03 : Fiche 2 : ex. 12 et 13 —— Fiche 3 : ex. 1, 2 et début du 3.
• 23/03 : Fiche 3 : Fin du 3 (question 3 passée). Ex. 4, 5, 6, 7, et 8.
• 30/03 et 31/03 : Fiche 3 : ex. 9 - 16.
• 06/04 et 07/04 : Fiche 3 : ex. 17. —— Fiche 4 : 1-7.
• 20/04 : Fiche 4 : ex. 8 et 9 (q.1).
• 21/04 : Fiche 4 : Fin du 9; ex. 10, 11 et 12.
• 26/04 : Fiche 5 : ex. 1, 2, 3 (en grande partie), 7, 8.
• 27/04 : Fiche 6 : ex. 1, 3, 4, 6.

Groupe P7 (après 14 TDs sur environ 14) :

• 26/01 : Fiche 1, exercices 1, 2 et 3 2).
• 02/02 : Fiche 1, exercices 3 1), 4, 6 à 9.
• 09/02 : Fiche 1, exercices 5, 10 à 12. Fiche 2 : exercice 1.
• 23/02 : Fiche 2, exercices 2 à 4 et exercice 5 question 1 (a).
• 02/03 : Fiche 2, exercice 5 (fin), 6, 7 (pas tout à fait achevé).
• 09/03 : Fiche 2, fin du 7, exercices 8, 10, 11 et 12 (pas achevé).
• 16/03 : Fiche 2 : fin du 12. Fiche 3 : exercices 1, 2, 3 et 5.
• 23/03 : Fiche 3 : exercices 4, 6, 7, 8 et 11.
• 30/03 : Fiche 3 : exercices 9 et 10, puis 12 à 16.
• 06/04 : Fiche 4 : exercices 1 à 5.
• 20/04 : Fiche 4 : exercices 6, 7 et 10.
• 21/04 : Fiche 4 : exercices 9.3 et 11.
• 28/04 : Fiche 5 : exercices 1, 3, et 7 à 10.
• 02/05 : Fiche 4 : quelques questions des exercices 8 et 9. Fiche 6 : exercices 1,2 et 4 à 6.

Groupe P9 (après 15 TD sur 15) :

• 26/01 : Fiche 1 : exercices 1, 2.
• 02/02 : Fiche 1 : exercices 3, 4, 6, 7, 8.
• 09/02 : Fiche 1 : exercices 11, 12. Fiche 2 : exercices 1, 2, 3.
• 23/02 : Fiche 2 : exercices 4, 5 (sans aller au bout des calculs) 6.
• 02/03 : Fiche 2 : 7, 8, 9 (q1).
• 09/03 : Fiche 2 : 11, 12, 13, 14.
• 16/03 : Fiche 3 : exercices 1, 2, 3, 4.
• 23/03 : Fiche 3 : exercices 5, 6, 7, 8.
• 30/03 : Fiche 3 : exercices 9, 11, 12 début du 13.
• 03/04 : Fiche 3 : exercices 13, 14.
• 06/04 : Fiche 3 : 15, 16, 17. Fiche 4 : exercice 1.
• 20/04 : Fiche 4 : ex 2 à 6.
• 21/04 : Fiche 4 : ex 7, 8, 9.
• 24/04 : Fiche 4 : ex 10 et 13.
• 26/04 : Fiche 5 : ex 1, 2, 3 q1.
• 27/04 : Fiche 5 : ex 3 q2, 7, 8, 9, 10. Fiche 6 : ex 3, 4, 5, 6.

Groupe P10 (après 11 TD sur 15) :

• 26/01 : Fiche 1 : exos 1, 3, 4 et Q1 du 5.
• 02/02 : Fiche 1 : exos 2, fin du 5, 6, 7 et 8.
• 09/02 : Fiche 1 : exos 9, 11 et 12. Fiche 2: exos 1, 2 (uniquement la première égalité)
• 23/02 : Fiche 2 : fin de l'exo 2, exos 3, 4 et 5.
• 02/03 : Fiche 2 : exos 6, 7, 8 et Q1 du 9.
• 09/03 : Fiche 2 : fin de l'exercice 9, exos 10, 12, 14, 11 question 1 (question 2 très rapidement expliquée)
• 16/03 : Fiche 3 : exercices 1 à 4, question 1 du 5.
• 23/03 : Fiche 3 : fin de l'exercice 5, exo 6, 7, 8, 9, début du 10.
• 30/03 : Fiche 3 : Fin de l'exercice 10, exos 11 à 14.
• 06/04 : Fiche 3 : exercices 15, 16 et 17. Fiche 4 : exo 1, Q1 de l'exo 2.
• 20/04 : Fiche 4 : fin de l'exo 2, exos 3 à 7. Question 1 de l'exo 8.

Dates prévisionnelles (horaires : mardi de 17h30 à 19h pour les DS communs, et jeudi de 8h à 9h30 pour les DS CUPGE)

• DS1 CUPGE : le jeudi 2 février
• DS1 commun : le mardi 7 février. Le sujet du DS et une correction
• DS2 CUPGE : le jeudi 2 mars
• DS2 commun : le mardi 7 mars. Le sujet du DS et une correction (version corrigée)
• DS3 CUPGE : le jeudi 23 mars
• DS3 commun : le mardi 28 mars. Le sujet du DS et une correction
• DS4 commun : le mardi 18 avril. Le sujet du DS, une correction de la partie algèbre et une correction de la partie analyse.
• DS4 CUPGE : le jeudi 27 avril

(DS5 CUPGE à placer la semaine du 1er mai)

• Le sujet avec sa correction d'analyse 4 de 2021-2022 (exos 3 et 4).
• Le sujet avec sa correction d'analyse 4 de session 2 de 2021-2022 (exos 3, 4 et 5)