Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2020-2021

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 31 aout 2020 : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuve à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, domination et d'équivalence, liens entre ces relations).
  • 2 septembre 2020 : Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) dans le cas ou f=O(g), f=o(g) ou f ~ g (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives). Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables,exemples d'étude et propriétés (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz).
  • 7 septembre 2020 : Intégrales généralisées : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence. Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties généralisée). Intégrales de Bertrand (preuve en cours pour l'intégrabilité au voisinage de +infini).
  • 9 septembre 2020 : Intégrales généralisées : Intégrales de Bertrand (idée de la preuve à connaître, au voisinage de +infini et au voisinage de 0). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Retour sur les fonctions intégrables et les liens entre intégrabilité d'une fonction et intégrale convergente. Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence), si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle), convergence d'une série télescopique (preuve à connaître).
  • 16 septembre 2020 : Séries numériques : exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), convergence de la série de terme général 1/n^2 en exemple. Critères de convergence : règle de D'Alembert (énoncé, principe de la preuve seulement).
  • 21 septembre 2020 : séries numériques : preuve de la règle de D'Alembert et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître), série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, la convergence absolue entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu).
  • 23 septembre 2020 : Séries numériques : définition de semi-convergence. Retour sur la preuve de la convergence de la série définissant l'exponentielle dans le cas a complexe. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique. Transformation d'Abel : principe général puis règle d'Abel (deux versions).
  • 30 septembre 2020 : Fin du cours sur les séries numériques : démonstration de la règle d'Abel et exemple d'utilisation, théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité triangulaire inversée (preuve à connaître).
  • 5 octobre 2020 : Fonctions de plusieurs variables réelles : inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n), norme euclidienne (preuve à savoir refaire), distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties bornées, caractérisation d'une partie bornée par inclusion dans une boule fermée. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n, exemples. Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée ou une sphère n'est pas ouverte (démonstration de ces deux résultats à savoir expliquer au moins sur un dessin).
  • 7 octobre 2020 : Propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, définition d'une suite convergente. Opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite, exemple des fonctions constantes et des projections coordonnées p_i : x=(x_1,…,x_n) → x_i à savoir refaire rigoureusement, caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées).
  • 14 octobre 2020 : Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité : définition, caractérisation séquentielle, définition d'une application lipschitzienne, continuité des fonctions lipschitziennes (la preuve est à connaître), opérations sur les fonctions continues (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La démonstration de la continuité des applications projection p_i : (x_1,…,x_n) → x_i est à savoir. Les fonctions polynomiales sont continues sur R^n.
  • 19 octobre 2020 : Fonctions de plusieurs variables réelles : exemple de rédaction de la continuité d'une fonction à l'aide des opérations sur les fonction continues. La continuité entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert. Exemple d'étude de la continuité une fonction définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse. Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples, lien (équivalence) avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent. Définition du gradient, du rotationnel et de la divergence.
  • 21 octobre 2020 : Dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent), fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles). La démonstration du caractère C^1 des projections coordonnées p_i : (x_1,…,x_n)→ x_i est à savoir refaire au moins dans le cas n=2. Propriétés des fonctions de classe C^1 : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne). Exemples non terminés sur la dérivation en chaîne.
  • 4 novembre 2020 : Retour sur la formule de dérivation en chaîne avec exemples, version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes), exemple d'application pour retrouver en pratique la formule de dérivation en chaîne. Dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz.
  • 9 novembre 2020 : Exemple de détermination de la classe d'une fonction à l'aide de la contraposée du théorème de Schwarz. Début du cours sur les suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, de la convergence simple (différents exemples), unicité de la limite simple. Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité. Quelques propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque), techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) (pas encore illustrées sur des exemples).


Fiches de cours
Pour s'entraîner
  • Le sujet de la session 1 de 2019-2020 et sa correction
  • Un exemple des sujets donnés en seconde session de 2019-2020


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:


Fiches de TD

Avancement :

Groupe P5 (au 11/12/20 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 4.
  • 04/09 : fiche 1 : exercice 7 question 1. Fiche 2 : exo 1 (1,2,3 seulement x→-ln(x)), exo 2 (1 à 3, 5, 6), exo 3 (2, 3, 4), exo 4.
  • 11/09 : fiche 2 : fin des exos 1,2 et 3, exo 7 (Q1, moitié de Q2 à terminer), exo 5 (Q1 seulement, Q2 à faire à la maison).
  • 18/09 : fiche 2 : Fin des exercices 7 et 5, exos 6, 8 et 9. Fiche 3 : exo 1 : questions 1 et 2 seulement.
  • 25/09 : fiche 3 : fin de l'exercice 1 (avec question facultative), exos 2, 3 (sauf Q2.d et Q3.c), 5, 4 (seulement Q1 et Q2).
  • 02/10 : fiche 3 : Fin de l'exo 4, exos 6, 9 (sauf Q2.c), 10, 11, et 7 (non terminé, seul l'encadrement de u_n par des intégrales a été fait)
  • 09/10 : fiche 3 : exos 7, 8, 12, 13, 14 (sauf Q3) et 15.
  • 16/10 : fiche 3 : exo 16. Fiche 4 : exos 1, 2, 4, 5, 6, 7 (uniquement les questions 1 à 4).
  • 23/10 : fiche 4 : fin de l'exo 7, exos 8 à 10, 12 (sauf Q3), 13 et question 1 du 17.
  • 06/11 : fiche 4 : exos 15, 16 et 18 (corrigés des 11, 14 et 17 Q2 et Q3 donnés). Fiche 5 : exos 1, 2, moitié du 4 (après une digression sur la classe infinie sur l'ouvert R^2\{(0,0)}).
  • 16/11 : Fiche 5 : fin de l'exo 4, exos 5, 6, 9, 10, 12 (uniquement questions 1 et 2).
  • 20/11 : Fiche 5 : fin de l'exo 12, 11 (corrigé des exos 8 et 13 donnés). Fiche 6 : exos 1, 2, 4 et 5.
  • 27/11 : Fiche 6 : exos 3, 6, 7, 9, 10.1, principe du 11 commencé et à terminer à la maison.
  • 04/12 : Fiche 6 : exos 11, 10.2 et 15. Fiche 7 : exos 1 et 2.
  • 11/12 : Fiche 7 : exos 4, 5, 6, moitié du 7 (jusqu'à la continuité de F).
Groupe P6 (au 11/12/20 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 4 (1,2)
  • Fiche 2 : exercices 1 à 6, ex 7 (1.), ex 8, 9(1.)
  • Fiche 3 : exercices 1 à 16.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 10, 11(1,2), 12(1,2), 13, 15, 16, 17 (1), 18, corrigé donné pour le 14.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 5, exercices 9 à 12, correction donnée pour l'ex 13.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 7, 9 à 11, 13 à 15, corrigé des exos 8 et 12 donnés.
  • Fiche 7 : exercices 1,2, 4 à 7, 8 (1.,2a.), corrigé des exercices 8, 10,11 et 3 donnés.
Groupe P7 (au 11/12/20 après 15 TD sur 15):

Lien Claroline pour les notes de correction

  • 03/09 : fiche 1, exercices 1 à 4, 5 et 6 à faire à la maison.
  • 04/09 : fiche 1, exercice 7(1,2) ; fiche 2, exercices 1(1,2), 2(1,5,7) et 3(2).
  • 11/09 : fiche 2, exercices 1(3), 2(2,3,4,6), 3(1,4), 4.
  • 18/09 : fiche 2, exercices 5, 7, 9(1) ; fiche 3, exercice 1(1, 2).
  • 25/09 : fiche 3, exercices 1(3), 2, 3(1, 2ab, 3ab, 4b), 4.
  • 02/10 : fiche 3, exercices 3(2cd, 3cd, 4a), 5, 7, 9(1a, 2a).
  • 09/10 : fiche 3, exercices 9(1bc, 2bc), 10, 11, 15 ; fiche 4, exercice 1.
  • 16/10 : fiche 4, exercices 2, 4, 7(1,2,5), 11(1 pour limite en 0).
  • 23/10 : fiche 4, exercices 5, 6, 7(3,4,6), 8, 9, 11(2,3), 13. Méthode donnée pour le 12.
  • 06/11 : fiche 4, exercices 15, 17, 18 (explications / corrigé donné pour 10, 14, 16) ; fiche 5, exercices 1-4.
  • 16/11 : fiche 5, exercices 5, 6, 8, 9, 11, 12. Corrigé donné pour 13.
  • 20/11 : fiche 6, exercices 1 à 5.
  • 27/11 : fiche 6, exercices 6, 7, 9, 14.
  • 04/12 : fiche 6, exercices 10.1, 11 ; fiche 7, exercices 1, 2, 6 et 4(1-2).
  • 11/12 : fiche 7, exercices 4(fin), 3, 5, 7(1-4).
Groupe P8 (au 11/12/20 après 15 TDs sur 15):

Lien Zoom pour les TDs à distance

  • Séance 1 (01/09) : fiche 1, sauf le 3 3, le 7 3 et le 8
  • Séance 2 (03/09 : fiche 2, exercices 1 1 et 1 2, 2 1, 2 5 et 2 7, 3 2, 4 et 6 1.
  • Séance 3 (11/09) : fiche 2, exercices 1 3, 2 2 à 2 4, 2 6, 3 1, 3 3 à 3 5, 6 2, 7 1 et 8.
  • Séance 4 (18/09) : fiche 2, exercices 5, 7 2 et 9 ; fiche 3, exercices 1(1) et 2(u,v).
  • Séance 5 (25/09) : fiche 3, exercices 1(2), 2(w,x), 3(1(a,c,e),2(a,c)3(a,b),4(a)) et 4.
  • Séance 6 (02/10) : fiche 3, exercices 3(1(b,d,f),2(b,d)3(d),4(b)), 5, 7(1) et 9(1(a,c),2(a)).
  • Séance 7 (07/10) : fiche 3, exercices 9(1(b),2(b,c)), 10, 11 et 15 ; fiche 4 exercices 1(1), 2(1,3,4).
  • Séance 8 (16/10) : fiche 4, exercices 1(2,3), 2(2,5), 3(sphère), 4, 5, 7(1,2,4), 8, 9(1), 11(1,3).
  • Séance 9 (23/10) : fiche 4, exercices 6, 7(3,5,6), 9(2), 10, 11(2), 12(2), 13, 15(2), 17(1,2), 18.

Ici commencent les séances à distance…

  • Séance 10 (6/11) : fiche 4, exercices 14, 16, 17(3) ; fiche 5, exercices 1 à 6 et 8.
  • Séance 11 (16/11) : fiche 5, exercices 9 à 13 ; fiche 6, exercice 1.
  • Séance 12 (20/11) : fiche 6, exercices 2 à 4, 6, 7, 9.
  • Séance 13 (27/11) : fiche 6, exercices 5, 8, 10, 11 et 14.
  • Séance 14 (04/12) : fiche 6, exercices 13 et 15 ; fiche 7, exercices 1, 2 et 9.
  • Séance 15 (11/12) : fiche 7, exercices 3, 4, 6 et 8.


Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Rouchdi Bahloul.

  • 31 aout et 1er septembre : Révisions de L1; introduction du cours d'algèbre III. Chapitre 1 - Groupe des permutations : définition d'un groupe; groupe des permutations; cardinal; support d'une permutation; cycle.
  • 7 septembre : Transposition; décomposition en cycles à supports disjoints; décomposition comme produit de transpositions; signature; exemples. Chapitre 2 - Déterminant : définition du dét d'une matrice.
  • 14 septembre : Prop : le dét est multilinéaire alterné en les colonnes. Prop : dét après une permutation des colonnes. Prop: Le dét est nul si la matrice a deux colonnes identiques. Prop : dét(A) = dét(transposée de A). Conséquence : ce qu'on a dit sur les colonnes vaut pour les lignes. Théorème : dét(AB)=dét(A)dét(B). Théorème : dét non nul et inversibilité d'une matrice et dét de l'inverse. Prop : comportement du dét lors d'opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes. Définition des mineurs d'une matrice, de la comatrice puis lien entre mineurs non nuls et rang d'une matrice. Théorème : développement du dét suivant une ligne ou une colonne. Quelques déterminants particuliers : matrice diagonale, triangulaire, triangulaire par blocs. Exemples de calculs. Formule donnant l'inverse en fonction du dét et de la comatrice.
  • 21 septembre : Formule de Cramer; déterminant d'un endomorphisme (deux matrices semblables ont le même déterminant). Chapitre 3 : Réduction et polynôme caractéristique. Définitions sur les sommes directes et liens avec les définitions de L1. Sous-espaces stables : définitions, exemples et propriétés (par exemple : si u et v commutent alors ker(v) et Im(v) sont stables par u).
  • 28 septembre : Endomorphismes induits sur un sous-espace stable. Stabilité d'un point de vue matriciel (lien avec les matrices diagonales par bloxs). Valeurs propres et vecteurs propres d'un endom : définitions. Sous-espaces propres (ils sont en somme directe). Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice et lien avec les endomorphismes. Définition du polyn caractéristique d'une matrice : P_A=det(X I_n -A). Remarque : P_A=(-1)^n.det(A - X I_n).
  • 05 octobre : P_A=X^n -tr(A) X^{n-1} +…+ (-1)^n det(A). Valeur propre d'une matrice et zéros du polynôme caract. Matrice compagnon. Polynôme caract. d'un endomorphisme (deux matrices semblables ont le même polyn. caract). Rappels sur la multiplicité d'une racine d'un polynôme. Définition d'un polynôme scindé (à racines simples) dans un corps. Définitions de la multiplicité algébrique et géométrique d'une valeur propre. La somme des multiplicités est toujours majorée par la dimension et on a égalité si et s. si le polynôme caract est scindé dans le corps.
  • 12 octobre : On a toujours : pour toute valeur propre, la dimension de l'espace propre est majorée par la multiplicité (algébrique). - Définition d'un endomorphisme et d'une matrice diagonalisables. Lien entre les deux. Théorème : CNS pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable : E est la somme directe des sous-espaces propres - il existe une base constituée de vecteurs propres - la somme des dimension des espaces propres est égale à la dimension totale - P_u est scindé et pour toute valeur propre la dimension de l'espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre. Corollaire : Si P_u est scindé à racines simples alors u est diagonalisable. Attention : la réciproque est fausse en général, j'ai donné un exemple pour cela. J'ai traité 4 exemples avec calcul du polynôme caractéristique, comparaison des multiplicités géométriques, détermination d'une base de vecteurs propres et diagonalisation. - Définition d'un endomorphisme et d'une matrice trigonalisable. Lien entre les deux. Théorème : u trigonalisable ssi P_u est scindé dans le corps. Corollaire : Si P_u est scindé dans le corps alors la trace (respec. le dét) est obtenue comme somme (respc. produit) des valeurs propres comptées avec leur multiplicité.
  • 19 octobre : J'ai fait la démonstration des derniers résultats énoncés au cours précédent. J'ai donné un algorithme pour trigonaliser. J'ai commencé des exemples.
  • 2 novembre : Fin des exemples de trigonalisation. Nilpotence : définition et point de vue matriciel. Début du chapitre 4 sur le polynôme minimal et les projecteurs spectraux. Polynôme d'endomorphisme ou de matrice. Polynôme annulateur. Proposition : Si A et B sont deux matrices semblables alors elles ont le même ensemble de polynômes annulateurs. Théorème de Cayley-Hamilton. Définition du polynôme minimal d'un endom non nul en dimension finie : l'unique polynôme annulateur non nul unitaire de degré minimal (il en existe au moins un par Cayley-Hamilton). Proposition : le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur. Proposition : l'ensemble des racines du polynôme minimal est égal au spectre de l'endomorphisme en question.
  • 9 novembre : Lemme des noyaux. En dim finie, u diagonalisable ssi m_u est scindé à racines simples et u trigonalisable ssi m_u scindé. Prop (en dim finie) : Si F est stable par u alors m_u_F divise m_u et si u diagonalisable alors l'endomorphisme induit u_F l'est aussi. Prop (en dim finie) : si u et v commutent et sont diagonalisables alors on peut les les diagonaliser dans une même base. J'ai un peu introduit les espaces caractéristiques en disant que leur dimension est égale à la multiplicité algébrique.
  • 23 novembre : Définition des sous-espaces caractéristiques (ker (u-lambda Id)^q où q est la multiplicité de lambda dans le polynôme minimal, ou de façon équivalente q=la multiplicité algébrique de lambda). Bilan provisoire avec entre autre le lien entre multiplicité algébrique et géométrique, la dimension des espaces caractéristiques, les CNS pour la trigonalisabilité et la diagonalisabilité. Généralité sur les projecteurs (c'est la même chose que la projection sur un sous-espace parallèlement à un supplémentaire donné, ou sur l'image parallèlement au noyau). Projecteurs spectraux. Formule donnant les projecteurs spectraux comme polynôme en u (on utilise une relation de Bézout au préalable).
  • 30 novembre et 2 décembre : Décomposition de Dunford. Exemples de calculs (comment obtenir le relation de Bézout nécessaire à l'obtention des projecteurs spectraux, calculs sur des exemples). Puissances de matrices et d'endomorphismes. Systèmes récurrents. Généralités sur les suites et séries de matrices; définitions de l'exponentielle d'une matrice puis d'un endomorphisme. Systèmes différentiels linéaires homogènes et avec second membre : cas complexe et réel. Lien avec une équation linéaire d'ordre n. Exemples de calculs (comment calculer exp(t A) à l'aide des projecteurs spectraux ou sans).
  • 3 décembre : J'ai corrigé en direct sur Discord l'examen de session 1 de 2019/2020.


Démonstrations non données en CM (mais faisant partie du cours) :


Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:


Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 09/12/20 après 15 TD sur 15):
  • 02/09 : Fiche 1 : exercices 1 à 4, questions 1 et 2 du 5.
  • 04/09 : fiche 1 : fin de l'exercice 5, exos 6 à 8 (dernier contre-exemple en dimension infinie à terminer).
  • 09/09 : Fiche 1 : fin de l'exercice 8, exos 9, 10, 12, 16, 19.A et 21.A. (13 à chercher)
  • 16/09 : Fiche 1 : exos 13, 15, 18, 22, 24 (à terminer).
  • 23/09 : Fiche 1 : fin de l'exo 24. Fiche 2 : exos 1 à 6, 8 (matrice A seulement), 10 (Q1 seulement).
  • 30/09 : Fiche 2 : fin des exercices 10 et 8, exos 7, 9, 12, 13, 14, 16.
  • 07/10 : Fiche 2 : exos 11, 17 et 18. Fiche 3 : exercices 1 à 3.
  • 14/10 : Fiche 3 : exo 4. Fiche 4 : exos 1 (sauf matrices C et F), 2, 4(uniquement la question 1)
  • 21/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 1, exos 3, 4 (cas lambda < 0 laissé à la maison pour Q4), 5.
  • 04/11 : Fiche 4 : exos 6, 7, question 1 de l'exercice 8 (correction du reste de l'exercice donné). Fiche 5 : exo 1 (matrice A), exo 2 (matrice A uniquement).
  • 11/11 : Fiche 5 : fin des exercices 1 et 2, exos 5, 6, questions 1 à 3 de l'exercice 3.
  • 18/11 : Fiche 5 : fin de l'exo 3, exos 4,7,8,9.
  • 25/11 : Fiche 5 : exos 10, 11, 14, 15 (corrigé du 12 et 13 donnés). Fiche 6 : exo 8 (quelques matrices de la 2ème ligne laissées en entraînement) et 11.
  • 02/12 : Fiche 6 : exos 9, 12, 13, 15, 17 et 18.
  • 09/12 : Fiche 7 : exos 2, 6, 7 (uniquement Q1), 10, 12, 14 (juste le principe).
Groupe P6 (au 09/12/2020 après 15 TD sur 15):
  • 02/09 : Fiche 1 : exercices 1 à 4.
  • 04/09 : Fiche 1 : exos 5 à 8.
  • 09/09 : Fiche 1 : exos 9 à 13.
  • 16/09 : absente, corrigé écrit de la Fiche 1 transmis par mail le 19 soir.
  • 23/09 : Fiche 2 : exercices 1 à 6.
  • 30/09 : Fiche 2 : exercices 7 à 13 (Ale remplacée par Alexis Tchoudjem).
  • 07/10 : Fiche 2 : exercices 11 (refait), 14 à 18 (sauf le 15). Fiche 3 : exo 1.
  • 14/10 : Fiche 3 : exos 2 à 4. Fiche 4 : début de l'exo 1.
  • 21/10 : Fiche 4 : exos 1 à 3, début du 4.
  • 04/11 : Fiche 4 : exos 4, 5, 6.1 et début du 6.2.
  • 11/11 : Fiche 4 : exos 6 à 8 (plus longs rappels sur la factorisation des polynômes réels et complexes).
  • 18/11 : Fiche 5 : exos 1 à 3.
  • 25/11 : Fiche 5 : exos 4, 5, 7 à 12, 14 à 16. (+2h le 26/11)
  • 02/12 : Fiche 6 : exos 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19 (+45' le 02/12 +1h30 le 08/12)
  • 09/12 : Fiche 7 : exos 2, 6, 7, 10, 12, 14. (+45' le 09/12)
Groupe P7 (02/12/2020 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : ex 1-4, 5 (en partie), 6-13, 14, 15, 16, 18, 21 (matrice A), 22, 24.
  • Fiche 2 : Tout sauf l'exercice 15.
  • Fiche 3 : Ex. 1 à 4.
  • Fiche 4 : Ex. 1, 2, 3 (j'ai laissé la question 2), 4-8.
  • Fiche 5 : Ex. 1-7, 9 (donné par écrit), 10, 11 (donné par écrit), 12, 13, 14, 15, 16. (Les 17 et 18 ont été donnés par écrit à tout le monde.)
  • Fiche 6 : Ex. 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19.
  • Fiche 7 : Ex. 2 (matrices A, B, C).
Groupe P8 (au 09/12/20 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 13, 15 à 18, 21 et 24.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 10, 12 à 14, 16 à 18.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 4.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 4 (sauf question 4), exercices 5 à 7, exercice 8 (uniquement question 2).
  • Fiche 5 : exercices 1 à 4, 6 à 8, 9, 14, 15, 16.
  • Fiche 6 : exercices 8, 11, 12, 13, 17, 18, 19.
  • Fiche 7 : exercices 2, 6, 10.

Devoirs

Dates prévisionnelles (horaire : lundi de 17h30 à 19h)

Semestre de printemps

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 18 janvier : Séries de fonctions : vocabulaire de base, convergence simple, absolue simple, uniforme. Conditions nécessaires de convergence simple et de convergence uniforme. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples (utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
  • 20 janvier : Séries de fonctions : Convergence normale, lien avec les autres modes de convergence. Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples. Théorème de continuité pour les séries de fonctions.
  • 27 janvier : Fin du cours sur les séries de fonctions : théorème de la double limite (interversion limite/série), théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque), exemples de calcul explicite, utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale (vu très rapidement), théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Exemples. Début des séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel, deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons).
  • 3 février : Séries entières : Lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence et exemples explicites, détermination pratique du rayon : règles de D'Alembert, de Cauchy, exemples des séries lacunaires.
  • 10 février : Séries entières : Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence). Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence. Séries entières d'une variable réelle :continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme. Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement). Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes. Fonctions développables en série entière : définition en 0 seulement.
  • 24 février : Fonctions développables en séries entières : définition (en 0 et en un point quelconque), cas des fonctions d'une variable réelle : série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DSE usuels à connaître : uniquement ceux issus de l'exponentielle et de 1/(1+z) pour l'instant, celui de arctan n'est pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver (la preuve peut être demandée en question de cours, ainsi que pour ceux de -ln(1-x) et de ln(1+x)).
  • 3 mars : Fin du cours sur les séries entières : DSE de x→(1+x)^alpha, rayon de convergence de la série entière associée. Application au DSE de arcsin (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C), distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes usuelles à connaître. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître et savoir redémontrer), norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie). Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes.
  • 10 mars : Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite. Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Topologie des e.v.n : voisinage, ouverts (définition, exemples du complémentaire d'un singleton, des boules ouvertes).
  • 17 mars : Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : propriétés (intersection, union finie). Caractérisation séquentielle des fermés. Exemples, les boules fermées et les sphères sont fermées (la preuve peut être demandée en question de cours). Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble. Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, caractérisation séquentielle, exemple de l'adhérence d'une boule ouverte. Frontière, densité d'une partie. Exemple : densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées; suites extraites (définition, propriétés), compacts (définition), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n.
  • 24 mars : Fonctions vectorielles : limites, opérations sur les limites. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre la continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions (exemple détaillé d'étude de la continuité d'une fonction définie sur R^2 par deux expressions sur {(x,y)| x =y} et son complémentaire), fonctions lipschitziennes (la preuve de lipschitzienne implique continue peut être demandée en question de cours). Opérations sur les fonctions vectorielles continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens).
  • 31 mars : Continuité d'une fonction vectorielle : caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit. Continuité et topologie : caractérisations équivalentes de la continuité à l'aide de l'image réciproque des fermés/ouverts, image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes. Applications linéaires continues : caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire (continuité en 0_E, existence de k dans R^+ vérifiant ||u(x) ||⇐ k ||x|| pour tout x dans E, lipschitziannité, caractère borné sur la boule unité fermée/la sphère unité), toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue, contre-exemples en dimension infinie. Calcul différentiel : uniquement la définition d'un développement limité à l'ordre 1 en un point avec unicité de le l'application linéaire intervenant dans le DL, fonction différentiable en un point, équivalence avec l'existence d'un Dl à l'ordre 1, différentiable implique continue, lien entre différentiabilité et dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle (à savoir réexpliquer), les fonctions constantes et les applications linéaires sont différentiables (la preuve peut être demandée en question de cours), différentielle d'une application bilinéaire (dèm en TD), opérations sur les fonctions différentiables (uniquement les combinaisons linéaires pour l'instant).
  • 7 avril : Fin des opérations sur les fonctions différentiables (équivalence avec la différentiabilité des applications coordonnées (dans une base de l'espace d'arrivée ou dans un espace produit)), différentiation d'une composée. Application du théorème de différentiation d'une composée au produit de deux fonctions différentiables (dont l'une est scalaire). Dérivées partielles : dérivation selon un vecteur, la différentiabilité entraîne l'existence des dérivées selon tout vecteur, dérivées partielles dans une base de l'espace de départ (vues comme les dérivées selon les vecteurs de la base), expression de la différentielle en un point à l'aide des dérivées partielles (pour une fonction différentiable)
  • 14 avril : Fin du calcul différentiel : calcul pratique des dérivées partielles (en identifiant avec une fonction au départ de R^n par les coordonnées d'un vecteur dans la base choisie), exemples. Matrice jacobienne, version matricielle du théorème de différentiation d'une composée, formule de dérivation en chaîne, fonction de classe C^1 (équivalence entre f est différentiable de différentielle continue avec l'existence et la continuité de ses dérivées partielles dans une base), exemple des applications constantes et linéaires, dérivées partielles successives, définition d'une fonction de classe C^k à l'aide de l'existence et la continuité de ses dérivées partielles d'ordre k, opérations, théorème de Schwarz dans le cas d'une fonction de classe C^2. Extrema : définitions (minimum/maximum/extremum local/global (strict ou non)), points critiques, condition nécessaire d'extremum sur un ouvert.
  • 28 avril : Fin du chapitre sur les extrema : Matrice hessienne, formule de Taylor Young à l'ordre 2 (admise), version matricielle à l'aide de la jacobienne et de la hessienne au point, condition suffisante d'extremum sur un ouvert à l'aide des valeurs propres de la Hessienne en un point critique, corollaire dans le cas d'une fonction au départ de R^2 à l'aide du déterminant et de la trace de la Hessienne. Exercices. Extrema sur un compact (très rapidement) : méthode d'étude et un exemple.


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Fiches de TD

Avancement :

Groupe P5 (au 30/04/21 après 13 TD sur 15):
  • 22 janvier : Fiche 1 : exercices 1, 2, 3.a, 4, 5, 8 et 10.
  • 29 janvier : Fiche 2 : exercices 1 à 4.
  • 5 février : Fiche 2 : exercices 5, 6, 7, 8 (sauf la dernière question à terminer).
  • 12 février : Fiche 2 : fin de l'exo 8 et exo 9. Fiche 3 : exercices 1 à 3.
  • 26 février : Fiche 3 : exos 4, 6, 7 (sauf les deux dernières questions) (correction de l'exo 5 donnée)
  • 05 mars : Fiche 3 : fin de l'exo 7, exos 8 et 9, première question du 12.
  • 12 mars : Fiche 3 : Exercice 12 (questions 2 à 8), 13 (questions 1 et 2), 15, 10 (très rapidement, à revenir dessus).
  • 19 mars : Fiche 3 : retour sur l'exercice 10, exo 14. Fiche 4 : exos 1 et 2.
  • 26 mars : Fiche 4 : exos 3 à 6, début du 8.
  • 02 avril : Fiche 4 : fin de l'exo 8, exos 7 et 9. Fiche 5 : Questions 1 à 3 de l'exercice 1.
  • 9 avril : Fiche 5 : fin de l'exo 1, exos 2 à 4, questions 1 et 2 de l'exo 5, question 1 de l'exo 7.
  • 16 avril : Fiche 5 : fin de l'exercice 7, ensembles A, G et C de l'exercice 8, exo 9, question 1 de l'exo 10.
  • 30 avril : Fiche 5 : fin de l'exo 10, exo 11. Fiche 6 : exo 1, et moitié du 4.
Groupe P6 (au 12/05/21 après 15 TD sur 15):
  • 22 janvier : Fiche 1 : exercices 1, 2, 3(a.), 4, 5, 7(b.,c.), 8, 9, 10.
  • 29 janvier : Fiche 2 : exercices 1 (1.,2., corrigé de 3. donné), 2, 3(1.).
  • 5 février : Fiche 2 : exercices 3, 4, 5, 6, 8, 9, corrigé de l'exercice 7 donné.
  • 12 février : Fiche 3 : exercices 1 à 3 (1., 2.)
  • 26 février : Fiche 3 : exercices 3 (3.), 4 à 6.
  • 5 mars : Fiche 3 : exercices 7,8.
  • 12 mars : Fiche 3 : exercices 9, 12 (1 à 6), 13 (1.,2.), 14. Corrigé des exercices 10,11,15, 16 donné.
  • 19 mars : Fiche 3 : exercice 12 (7), 15. Fiche 4 : Ex 1 et 2.
  • 26 mars : Fiche 4 : exercices 3,4,5,7 (1,2 a.,b.)
  • 02 avril : Fiche 4, exercices 7,9, 11 (2), corrigé des exercices 6 et 8 donné. Fiche 5, exercice 1 (1.,2.)
  • 9 avril : Fiche 5, exercices 1 à 5 (1.2.). Corrigé des exercices 6, 7 donné.
  • 16 avril : Fiche 5 : fin de l'exercice 5, exercies 8, 9.
  • 30 avril : Fiche 5 : exercices 10,11. Fiche 6 : exercice 1.
  • 7 mai : Fiche 6 : Ex 3 à 6. Fiche 7 : exercice 1.
  • 12 mai : Fiche 7 : Ex 2 à 5, exercice 10 1.a.
Groupe P7 (au 30/01/21 après 10 TD sur 15):
  • 22 janvier : Fiche 1 : exercices 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10 et 11.
  • 29 janvier : Fiche 2 : exercices 1, 2, 3, 4.
  • 5 février : Fiche 2 : exercices 5, 6, 7,8 9.
  • 12 février : Fiche 2 : exercices 10 et Fiche 3 : début exercice 1.
  • 26 février : Fiche 3 : exercices 1, 2, 3, 5, 12, 13.
  • 5 mars : Fiche 3 : exercices 8, 9, 10.
  • 19 mars : Fiche 3 : exercices 7, 8, 12, 15. Fiche 4 : exercice 1.
  • 26 mars : Fiche 4 : exercices 3, 4, 5, 7.
  • 02 avril : Fiche 4 : exercices 8, 9. Fiche 5 : exercice 1 (1-5).
  • 09 avril : Fiche 5 : exercices 1-4, exercice 5 (1).
  • 16 avril : Fiche 5 : exercices 5 (2), 7, 8 (1,2), 10
Groupe P8 (au 26/04/21 après 13 TD sur 15):
  • 18 janvier : Fiche 1 : exercices 1, 3, 4, 6.a, 9, 10 et 11.
  • 25 janvier : Fiche 2 : exercices 1, 2, 3, 4.
  • 1er février : Fiche 2 : exercices 6, 7 et 9.
  • 8 février : Fiche 2 : exercices 5 et 8. Fiche 3 : exercices 1, 2, 3(1).
  • 22 février : Fiche 3 : exercices 3, 4, 5, 6, 7 (1,2).
  • 1er mars : Fiche 3 : exercices 4, 7, 12 (1-3).
  • 8 mars : Fiche 3 : exercices 8, 9, 12.
  • 15 mars : Fiche 3 : exo 16, exo 12 (questions 7 et 8). Fiche 4 : exos 1 et 2.
  • 22 mars : Fiche 4 : exos 3 à 6, début du 8.
  • 29 mars : Fiche 4 : exos 8, 7 et 9. Fiche 5 : questions 1 à 3 de l'exercice 1.
  • 12 et 15 avril : Fiche 5 : fin de l'exo 1, exos 2 à 4, 5 (uniquement la question 1), 7, 8 (uniquement les ensembles A et G, moitié du C), 9, question 1 de l'exo 10.
  • 26 avril : Fiche 5 : fin de l'exo 10 et exo 11. Fiche 6 : exo 1, moitié de l'exo 4.

Algèbre IV

Les cours d'Algèbre IV sont assurés par Itaï Ben Yaacov.

  • 18 janvier : enregistrement PDF Espaces préhilbertiens réels. Produit scalaire, Cauchy-Schwarz, norme, formule de polarisation, identité du parallélogramme.
  • 20 janvier : enregistrement PDF Espaces préhilbertiens complexes. Produit scalaire, Cauchy-Schwarz, norme, formule de polarisation, identité du parallélogramme, comparaison avec le cas réel. Orthoginalité, familles orthogonales / orthornormées. Calcul du produit scalaire / norme / coordonnées dans une base orthogonale ou orthonormée. L'espace orthogonal à un ensemble, quelques propriétés.
  • 27 janvier : enregistrement PDF Gram-Schmidt (orthogonalisation ou orthonormalisation), existence de bases orthogonales et orthonormées, supplémentaire orthogonal – définition, dimension, base par G-S.
  • 3 février : enregistrement PDF Projecteurs orthogonaux, propriétés, calcul, distance d'un vecteur à un s.e.v. Matrice associée au produit scalaire dans une base, base orthogonale / orthonormée, changement de base, matrices orthogonales et unitaires. Endomorphismes, la matrice d'un endomorphisme dans une base orthonormée. L'endomorphisme adjoint et sa matrice dans une base orthonormée. Propriétés de l'opération “adjoint”.
  • 10 février : enregistrement PDF Les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles. Un endomorphisme auto-adjoint admet une valeur propre réelle. Sous-espace stable par un endomorphisme, restriction d'un endomorphisme. Théorème spectral: tout auto-adjoint est diagonalisable dans une base orthonormée. Cor: Toute matrice réelle symétrique (complexe hermitienne) est diagonalisable par une matrice réelle orthogonale (complexe unitaire).
  • 24 février : enregistrement PDF Diagonalisation simultanée d'auto-adj commutant. Version matricielle (exo: diagonalisation d'une matrice complexe normale). Matrices et endomorphismes positifs et définis-positifs, caractérisation par le signe des valeurs propres. La racine carrée positive d'une matrice positive. Étude des matrices de la forme tA.A . Décomposition polaire d'une matrice inversible (exo: A est normale ssi la déc polaire commute). Critère de Sylvester pour une matrice définie positive.
  • 03 mars : enregistrement PDF Matrices et endomorphismes orthogonaux. Déterminant. Critères. Le groupe orthogonal d'une espace euclidien, le groupe O(n,R). Une isométrie d'un espace euclidien fixant l'origine est un endomorphisme orthogonal.
  • 10 mars : enregistrement PDF Caractérisation des projecteurs orthogonaux par p=p^2=p^*. Projecteur sur le supplémentaire orthogonal. Symétries orthogonales, lien avec projecteurs orthogonaux, caractérisation par s=s^{-1}=s^*. Réflexions orthogonales, formule. Décomposition des endomorphismes orthogonaux en produit de réflexions orthogonales. Isométries linéaires en petite dimension: 0, 1, 2. Rotations et réflexions du plan. Début de la dimension 3.
  • 17 mars : enregistrement PDF Endomorphismes orthogonaux en dim 3: rotation autour d'un axe ou rotation-réflexion. Une matrice de rotation n'est pas diagonalisable (sauf si theta = n pi). Début de la preuve de réduction en rotations, 1 et -1.
  • 24 mars : enregistrement PDF Réduction des endomorphismes orthogonaux en rotations, 1 et -1. Dimensions 2 et 3 revisitées. Espaces vectoriels orientés. Espaces euclidiens orientés. SO(n). Le volume signé dans un espace euclidien orienté. Le produit vectoriel en dim 3. L'angle d'une rotation dans un plan euclidien orienté, l'angle entre deux vecteurs.
  • 31 mars : enregistrement PDF Géométrie affine. Motivation. Définition d'un espace affine dirigé par un espace vectoriel. La relation de Chasles et ses conséquences. Translation, vectorialisatino d'un espace affine. Barycentre pondéré.
  • 07 avril : enregistrement PDF Combinaisons affines. Repères affines (n+1 points ou un point et n vecteurs). Coordonnées barycentriques et affines. Droite affine passant par deux points. Sous-espace affine, s-e-a engendré.
  • 14 avril : enregistrement PDF Situation relative de deux sous-espaces affines – supplémentaires, parallèles. Applications affines: définition, partie linéaire. Exemples simples. Caractérisations équivalents.
  • 28 avril : enregistrement PDF Séries de Fourier (très vite, sans preuves): inégalité de Bessel, identité de Bessel-Parseval dans un préhilbertien de dimension infinie. L'espace des fonctions T-périodiques à valeurs complexe, coefficients de Fourier c_n(f) , identité de Parseval. Cas réel, passage aux coefficients réels (avec la convention a_0 = c_0). Convergence d'une série de Fourier, sommes partielles: en norme, uniformément (si la série de coefficients converge), ponctuellement (Dirichlet). Exemple: f(t) = |t| sur [-pi,pi], calcul des coefficients, calcul de zeta(2).
  • Prochain CM : Lien ZOOM


Fiches de TD

Avancement :

Groupe P5 (au 29/04/21 après 13 TD sur 15):
  • 21 janvier : Fiche 1 : exercices 1 et 4.
  • 28 janvier : Fiche 1 : exercices 2, 5, 7, 8, 9 et question 1 du 13.
  • 4 février : Fiche 1 : fin de l'exercice 13, question 2 de l'exercice 6, exo 11. Fiche 2 : exercices 1 et 2, question 1 de l'exo 3.
  • 11 février : Fiche 2 : fin de l'exercice 3, exos 4 à 6.
  • 25 février : Fiche 2 : exos 8, 10, 11, 12 et 13. (15 entamé : une seule implication).
  • 4 mars : Fiche 2 : exercices 15 et 14. Fiche 3 : exercices 1 à 3, première question de l'exo 4.
  • 11 mars : Fiche 3 : fin de l'exercice 4, exos 5, 6, 7, 8 (non terminé, arrêté à l'obtention des sous-espaces propres).
  • 18 mars : Fiche 3 : fin de l'exercice 8, exos 9, 10, 11, 14 et 16.
  • 25 mars : Fiche 3 : exos 13, 15, 17 (sauf question 5) et 16. Fiche 4 : exo 1 (questions 1 et 2 seulement)
  • 1er avril : Fiche 4 : exo 1, première matrice de l'exercice 3, exos 5, 8 et 2 (question 3.b non faite encore)
  • 8 avril : Fiche 4 : les exercices restants sur la fiche (matrice de taille 3 changée pour la décomposition polaire de l'exo 3)
  • 15 avril : Fiche 5 : 2, 3, questions 1 à 3 de l'exo 5.
  • 29 avril : Fiche 5 : fin de l'exo 5, 6 et 8.
Groupe P6 (au 06/05/21 après 15 TD sur 15) :
  • 21 janvier : Fiche 1 : ex. 1, 2, 3, 4 en partie.
  • 28 janvier : Fiche 1 : Fin du 4, 5, 6, 7, 8, 10.
  • 4 février : fiche 1 : 9, 11, 12, 13. Fiche 2 : ex. 1
  • 11 février : fiche 2 : ex. 2, 3, 5 (question 3), 13, début du 6.
  • 25 février : Fiche 2 : fin du 6, 7, 8, 10, 11; j'ai donné des indications pour le 12.
  • 4 mars : Fiche 2 : ex. 12, 14, 15 + des indications pour le 9 (interpolation de Lagrange). Fiche 3 : ex. 1, 2 et la moitié du 3.
  • 11 mars : fiche 3 : ex 3 à 7.
  • 18 mars : fiche 3 : ex. 8, 9, 10, 12, 13.
  • 25 mars : fiche 3 : ex. 11, 14, 15, 16, 17 (je leur ai donné le 18 par écrit).
  • 1 avril : fiche 4 : ex. 1, 2, 3.
  • 8 avril : fiche 4 : ex. 4, 5, 6, 7, 8
  • 15 avril : fiche 5 : ex. 2, 3, 5 (questions 1 et 2)
  • 29 avril : fiche 5 : fin de l'ex. 5, ex. 6. Fiche 6 : ex. 1, 2, 3.
  • 5 mai : Fiche 6 : 4, 5, 7, 9, 11, 12, 18.
  • 6 mai : Fiche 7 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 et une partie du 8.
Groupe P7 (au 06/05/21 après 14 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : ex. 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 et 13.
  • Fiche 2 : ex. 1 à 8 et 10 à 14.
  • Fiche 3 : ex. 1 à 6, 8, 9, 11 à 13, 15 et 17.
  • Fiche 4 : Toute la fiche mais le 3 avec une autre matrice 3×3.
  • Fiche 5 : ex. 2, 3, 5 (Q1 et 2), 6.
  • Fiche 6 : ex. 1, 2, 4 à 7, 9.
  • Fiche 7 : ex. 1 à 5 et début du 8.
Groupe P8 (au 19/03/21 après 10 TD sur 15):
  • 22 janvier : Fiche 1 : exercices 1,2,3,5.
  • 29 janvier : Fiche 1 : exercices 8,9,13.
  • 5 février : Fiche 1 : exercice 4, 10. Fiche 2 : exo 1
  • 12 février : fiche 2 : 2,3,4,5
  • 26 février : fiche 2 : 6,7,8,9,10
  • 5 mars : fiche 2 : 11,12. Fiche 3 : exo 1
  • 12 mars : fiche 3 : 2,3,4,5,6,8
  • 19 mars : fiche 3 : 9,11,14
  • 26 mars : fiche 3 : 12,15,16,17. fiche 4 : début du 1
  • 2 avril : fiche 4 : 1,2,3,5,8
  • 9 avril : fiche 4 : 4,6,7
  • 16 avril : fiche 5 : 1.1,2,3.1,3.2
  • 30 avril : fiche 5 : fin du 3, 5, 6.3, 8

Devoirs

Dates prévisionnelles (horaire : mardi de 16h30 à 18h pour le devoir commun, puis de 18h15 à 19h45)

 
 
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