Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2017-2018

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 04 septembre 2017 : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann. Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Rappels sur les relations de comparaisons locales de fonctions. Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables).
  • 12 septembre 2017 : Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables, premier exemple et propriétés (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz). Intégrales impropres : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence, début des propriétés.
  • 13 septembre 2017 : Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties). Intégrales de Bertrand. Brève extension aux fonctions continues par morceaux. Séries numériques : Vocabulaire, si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique, télescopiques. Divergence grossière. Combinaisons linéaires de séries convergentes.
  • 20 septembre 2017 : Retour sur les séries dont le terme général est une somme. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence). Critères de convergence : règle de D'Alembert, théorème de comparaison série-intégrale (les séries de Riemann n'ont pas encore été vues).
  • 27 septembre 2017 : Séries de référence : séries géométriques, séries de Riemann, série définissant l'exponentielle (les séries de Bertrand n'ont pas été vues). Séries numériques à termes quelconques : critère de Cauchy sur les sommes partielles (la règle de Cauchy avec la racine n-ième ne sera pas vue), série absolument convergente, la convergence absolue entraîne la convergence, série semi-convergente. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Transformation d'Abel : principe général puis règle d'Abel (deux versions).
  • 04 octobre 2017 : Fin des séries numériques : théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n) et norme euclidienne, distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties bornées, caractérisation d'une partie bornée par inclusion dans une boule fermée. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n.
  • 11 octobre 2017 : Propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, suite convergente, opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite, caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées). Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible).
  • 18 octobre 2017 : Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité : définition, caractérisation séquentielle, fonctions lipschitziennes, opérations (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La continuité d'une fonction entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert. Exemple d'étude de la continuité une fonction définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse.
  • 25 octobre 2017 : Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples, lien avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne, gradient, rotationnel et divergence. Dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent), fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles) : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne : exemples non encore traités).
  • 8 novembre 2017 : Retour sur la dérivation en chaîne, et sa version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes). C^1-difféomorphismes : définition, exemples, condition nécessaire pour avoir un C^1-difféomorphisme (dimension de l'espace de départ et d'arrivée égale, et matrice jacobienne inversible en tout point), théorème d'inversion globale (admis), exemple sur les coordonnées polaires. Fonctions de classe C^k : dérivées partielles d'ordre supérieur, classe d'une fonction, opérations (équivalence avec le caractère C^k des fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens. Théorème de Schwarz (admis) et corollaire pour une fonction de classe C^k.
  • 15 novembre 2017 : Retour sur un exemple d'utilisation de la contraposée du théorème de Schwarz. Suites de fonctions : convergence simple, propriétés préservées par passage à la limite simple (signe, monotonie, convexité), exemples de propriétés non conservées (caractère borné, continuité, échange limite/intégrale). Convergence uniforme, caractérisation équivalente (à partir d'un certain rang, f_n-f est bornée et sa norme infinie tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini), la convergence uniforme entraîne la convergence simple, techniques d'étude de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration).
  • 22 novembre 2017 : Suites de fonctions : critère de Cauchy uniforme, propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité. Théorème de la double limite. Théorèmes d'échange limite et intégrale : dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues ou continues par morceaux et théorème de convergence dominée (admis). Exemples.
  • 29 novembre 2017 : Fin des suites de fonctions : théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Intégrales à paramètres, seulement le cas où le domaine d'intégration est un segment pour l'instant : théorème de continuité, de dérivation, cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions continues/resp. de classe C^1). Exemples d'utilisation.
  • 06 décembre 2017 : Fin des intégrales à paramètres : théorème de continuité par domination (lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)), exemples. Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), exemples d'utilisation.


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.


Pour s'entraîner


Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 08/12/17 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 7, 9, 11 (uniquement la première question) et 13.
  • Fiche 3 : exercices 1 (questions 1 et 2, avec extension à exp(x) pour tout x réel), 2 à 18 (sauf exo 18 questions (d) et (e) expliquées brièvement).
  • Fiche 4 : tous les exercices sauf les questions 2 et 3 du 18 ainsi que la question 3 du 19.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6, 9 à 13, 17 (pas d'exercice traité sur les équations aux dérivées partielles).
  • Fiche 6 : exercices 1 à 4, 6, 8 à 11, 12, 13 et 14.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 5 et première question du 6.
Groupe P6 (au 1/12/17 après 13 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 3, 5 et 7, 9, 11
  • Fiche 3 : exercices 1 à 6, 9-10, 12-14, 15.1, 15.2, 16 et 17 (à la maison)
  • Fiche 4 : exercice 1-7,8.1 et 8.2,9-10,12,13-19 (voir la correction distribuée)
  • Fiche 5 : 1-6,8-10,12,13,15,16 (voir la correction de 16),18
  • Fiche 6 : 1-4,6-10.1, 12.1 (voir la correction distribuée)

>Groupe P7 (au 15/12/17 après 15 TD sur 15):

  • Fiche 1 : exos 1 à 7
  • Fiche 2 : exercices 1 à 9, 11 à 13
  • Fiche 3 : exos 1 à 18
  • Fiche 4 : tout
  • Fiche 5 : 1-4,6,8,10-13,16
  • Fiche 6 : 1 à 7,10-13.1,14
  • Fiche 7 : 1,2,5,6,8,3(maison)
  • Fiche 8 : 1,3,5 à 8
Groupe P8 (au 8/12/17 après 14 TDs sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : tout sauf la question 4 du 3, le 8, la deuxième question du 9 et le 10.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 16.
  • Fiche 4 : tout sauf les exercices 3, 12, les questions 2 et 4 du 13, le 17 et le 2 du 18.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6, 8 à 15 et 17.
  • Fiche 6 : exercice 1 (sans la question 3), 2 à 8 et 10 à 15.
  • Fiche 7 : exercice 1 (sans la question 4), 3, 6 (inachevé), 10 et 11.


Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Rouchdi Bahloul.

  • CM 1 (05/09) : Chapitre 0 : Introduction/Motivation (traitement d'un exemple). Chapitre 1 : Groupe des permutations : Définition, exemples; Cycles, longueur d'un cycle; décomposition en cycles à supports disjoints; Signature, signature d'une composée = produit des signatures; signature d'une transposition.
  • CM 2 (07/09) : Suite du chapitre 1 : signature d'un cycle. Exemples. Chapitre 2 : Déterminants : Déterminant d'une matrice; le déterminant est multilinéaire alterné en les colonnes; le déterminant est stable par la transposition; déterminant d'un produit = produit des déterminants; une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul; déterminant de la matrice inverse; Calcul pratique du déterminant : stabilité si, à une colonne (ou ligne) on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes.
  • CM 3 (11/09) : Suite du chap. 2 : Définition d'un mineur et d'un cofacteur; développement du dét suivant une ligne ou une colonne; déterminant des matrices 2×2, diagonales, triangulaires et triangulaires par blocs; exemples de calculs; Comatrice et formule de l'inverse en fonction du dét et de la comatrice.
  • CM 4 (18/09) : Fin du chap. 2 : Formule de Cramer; Déterminant d'un endomorphisme : définition (la définition ne dépend pas du choix d'une base), déterminant de la composée de deux endos = produit des déterminants, endo bijectif ssi det u non nul, det de l'endomorphisme identité, déterminant de l'inverse d'un endo. Chapitre 3 : Réduction des endom : Sous-espaces stables; définition, stabilité par somme et intersection; Si u et v commutent alors ker v et Im v est stable par u; en particulier ker(u- lambda Id) et Im(u-lambda Id) sont stables par u; Endomorphisme induit; Sous-espaces stables en dimension finie et matrices (matrices triangulaires ou diagonales par blocs); Valeur propre et vecteur propre : définitions.
  • CM 5 (25/09) : Suite du chapitre 3 : Sous-espace propre; stabilité et restriction égale à “lambda.Id”. Les sous-esp propres sont en somme directe, donc une famille de vecteurs propres (pour différentes val. propres) est libre; Exemples en dim infinie; Cas de la dimension finie :val. propres, vecteur propre, sous-espace propre d'une matrice et lien avec un endomorphisme; Polyn. caractéristique (det(X Id - A) pour une matrice A); c'est un polynôme unitaire avec 2eme coeff = -tr(A) et dernier coeff= (-1)^n*det(A); Matrice compagnon; Théorème : les valeurs propres de A sont les racines du polyn. caractéristique; polyn caractéristique d'un endo; Multiplicité d'une valeur propre (définition).
  • CM 6 (02/10) : Suite du chap. 3 : Proposition (Si F stable par u alors P_u est divisible par P_u_F); Corollaire (Pour toute valeur propre, la dimension de l'espace propre est entre 1 et la multiplicité). Diagonalisabilité : Définition d'un endo diagonalisable (si sa matrice est diagonale dans une certaine base ou encore s'il existe une base de vecteurs propres); Si le polyn. caract est scindé à racines simples alors l'endo est diagonalisable; On a équivalence entre (1) être diagonalisable (2) E est la somme des espaces propres (3) P_u est scindé et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre assocée; Définition de matrice diagonalisable; Lien entre endom et matrice diagonalisable; plusieurs exemples traités avec calcul de la matrice de passage; Trigonalisabilité : définition d'un endo trigonalisable.
  • CM 7 (09/10) : Suite du chap. 3 : Définition d'une matrice trigonalisable; Caractérisation (u trigonalisable ssi P_u est scindé); Conséquence : trace = somme des v.p. et déterminant=produit des vp si P_u est scindé dans K; Méthode algorithmique pour trigonaliser une matrice; traitement de deux exemples; Nilpotence : définition; u nilpotent ssi u trigonalisable avec des 0 sur la diagonale; le polyn. caractéristique est alors X^n. Début du Chapitre 4 (Réduction, polyn. minimal et projecteurs spectraux) : Polynômes d'endomorphismes (et de matrices) : définition.
  • CM 8 (16/10) : K[u] est stable par somme et composée. Polynôme annulateur (définition). Th. de Cayley-Hamilton. Polynôme minimal (c'est le polyn annulateur de plus bas degré unitaire) : existence et unicité et il divise tout autre polynôme annulateur. Les racines du polyn minimal sont les val propres. Lemme de noyaux. Critère de diagonalisabilité (le polyn minimal est scindé à racines simples).
  • CM 9 (23/10) : diagonalisabilité d'un endom induit sur un sous-espace stable, diagonalisation simultanée de deux endo qui commutent. Critère de trigonalisabilité (le polyn minimal est scindé). Sous-espace caractéristique (définition). La suite des puissances des noyaux de u - lambda. Id est stationnaire à partir de la multiplicité de lambda dans le polynom minimal. De plus la dimension du sous-espace caract est égale à la multiplicité de la valeur propre. Début du paragraphe sur les projecteurs spectraux (quelques généralités sur les projecteurs en général).
  • CM 10 (6/11) : Généralités sur les projecteurs : équivalence entre u^2=u et (E est somme directe de Im(u) et ker(u) et u est l'identité sur Im(u)) et u est une projection sur F parallèlement à G où E=F \oplus G. Définition des projecteurs spectraux, Proposition : Id= somme des projecteurs spectraux, la composée de deux proj. spect. distincts est nulle, l'image est l'esp. caract. correspondant et le noyaux est la somme directe des autres esp. caract. Décomposition de Dunford (démonstration en cours).
  • CM 11 (13/11) : Fin de Dunford. Méthodes pratiques pour le calcul des projecteurs spectraux et pour Dunford : Proposition donnant les projecteurs spectraux à partir d'une relation de Bezout sur les facteurs irréductibles du polynôme minimal (ou caractéristique). Conséquence (nécessaire pour Dunford) : les projecteurs spectraux sont des polynômes en l'endomorphisme de départ. Traitement en détail de 4 exemples avec différentes méthodes pour obtenir les projecteurs spectraux (identité de Bezout, division euclidienne, inverser un système dans le cas diagonalisable). Chapitre 5 : Applications de la réduction des endomorphismes : 1) Puissances de matrices. Lemme si AB=BA alors (A+B)^k=…. D'où une formule pour u^k en fonction des projecteurs spectraux et de l'endo nilpotent. Traitement d'un exemple.
  • CM 12 (20/11) : une formule de A^k dans le cas A diagonalisable. Systèmes récurrents. Solution générale (X_k=A^k*X_0), traitement d'un exemple. Paragraphe sur l'exponentielle d'une matrice et d'un endo. J'ai donné un certain nombre de résultats préparatoires (qui seront vus en Analyse IV de façon plus générale) : définition d'une norme sur un esp. vect., norme infinie sur M_n(C), suite de matrices, séries de matrices, suite de Cauchy ⇒ convergente, série absolument cvgente⇒ convergente. Définition de e^A pour une matrice carrée A de M_n(C), la série la définissant converge. Suivent un certain nombre de propriétés de exp : (*) exp(lambda I_n)=exp(lambda) I_n, (*) Si AB=BA alors exp(A+B)=exp(A)exp(B)=exp(B)exp(B), (*) pour toute A, exp(A) est inversible d'inverse exp(-A), (*) si B=P^-1 A P alors exp(B)=P^-1 exp(A) P, (*) det(exp(A))=exp(trace(A)). Définition de exp(u) pour un endo en dimension finie comme l'unique endo dont la matrice dans une base donnée est exp de la matrice de u dans la base en question (on montre que cette définition ne dépend pas du choix de la base). Début du paragraphe sur les systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 à coeff constants : uniquement la définition d'un tel système et son écriture matricielle.
  • CM 13 (27/11) : L'application t→exp(tA) est dérivable et de dérivée t→Aexp(tA). Si on note S_A l'esp. vect. des solutions C^1 sur R à valeurs dans M_{nx1}(C) du système X'(t)=AX(t) alors : si deux matrices complexes A et B sont semblables alors S_A et S_B sont isomorphes. J'ai énoncé et démontré un lemme technique qui a pour corollaire : dim(S_T) est majorée par n (si T est triangulaire inférieure). Corollaire : pour toute matrice complexe A, dim(S_A)=n et est égal à l'ensemble des (t→ exp(tA)X_0) où X_0 est une matrice colonne de taille nx1; j'ai également énoncé et démontré le résultat dans le cas d'une matrice A réelle. Corollaire : il existe une unique solution avec condition initiale. Ensuite, j'ai introdui les systèmes avec second membre (X'(t)=AX(t) + V(t), où V(t) est une matrice colonne à coeff complexes). Théorème : Soit Y une solution particulière du système avec second membre alors X est une solution si et s. si X-Y est une solution de l'équation homogène associée.
  • CM 14 (4/12) : Méthode de la variation de la constante. Equation lineaire d'ordre n et comment se ramener à un système matriciel. Traitements de deux exemples en détails (le même exemple: 1 fois avec les projecteurs et 1 fois en trigonalisant). J'ai énoncé (dans le temps qu'il me restait) la réduction de Jordan.
  • CM 15 (11/12) : Intégrales doubles : voir partie analyse.


Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 06/12/17 après 14 TD sur 15):

Algèbre

  • Fiche 1 : exercices 1 à 8, 10, 12, 15 à 19, 21, 24 et 25.
  • Fiche 2 : exercices Algèbre 1 à 11, 13 à 15, 17 à 19.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 4.
  • Fiche 4 : exercice 1 (sauf la dernière question), exercices 2 à 7.=====
  • Fiche 5 : tous les exercices.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 9, 11 à 14, 17, 18.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, moitié du 4.
Groupe P6 (au 13/12/17 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 6, 8, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 25.
  • Fiche 2 : exercices 1, 2, 4 à 15, 17.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2 et 4. Le 3 a été donné en DM (la correction est ici).
  • Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 6 et 7.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 9, 11, 14 à 17. Le 10 a été donné en DM (la correction est ici).
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 4 à 8, 10 à 12, 16, 17.
  • Fiche 7 : exercices 1 et 2 puis 6 à 13.
Groupe P7 (au 29/11/17 après 15 TD sur 15) :
  • Fiche 1 : exercices 1 à 7, exercices 12, 16, 17 partiellement, 21 et 24.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 7, exercice 9, 15 et 17.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2 et 5.
  • Fiche 4 : exercices 1 (questions 1 à 7), 2 et 6.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 9, 14 à 18.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 8, 12.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 6, 9, 10, 11 et 12
Groupe P8 (au 13/12/17 après 15 TDs sur 15):
  • Fiche 1 : tout sauf les exercices 3, 4, 10, 13, 18 (et seulement par extrait pour le 25).
  • Fiche 2 : tout sauf les exercices 6 et 16.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2, 3 (questions 1 et 2), 4 et 5.
  • Fiche 4 : en entier (sauf un bout de l'exercice 7).
  • Fiche 5 : en entier, sauf l'exercice 13.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 8 et 9 à 18.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 4, 5 et 7 à 16.

Devoirs

Dates prévisionnelles

  1. lundi 25 septembre : Premier devoir et son corrigé.
  2. lundi 16 octobre
  3. lundi 4 décembre : ds4.pdf et son corrigé ds4_corr.pdf
  4. lundi 11 décembre : uniquement le devoir CCP.



Semestre de printemps

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 16 janvier 2018 : Séries de fonctions : vocabulaire de base, convergence simple, absolue simple, uniforme. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples. Critère de Cauchy uniforme. Convergence normale, lien avec les autres modes de convergence. Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme. Théorème de continuité pour les séries de fonctions, théorème de la double limite (interversion lim/série).
  • 18 janvier 2018 : Séries de fonctions : théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment) et théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque). Utilisation du théorème de convergence dominée sur la suite des sommes partielles pour échanger série et intégrale.
  • 24 janvier 2018 : Fin des séries de fonctions théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Exemples. Début des séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel, deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R. Lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R, disque ouvert de convergence, exemples.
  • 31 janvier 2018 : Séries entières : détermination pratique du rayon (règles de D'Alembert, de Cauchy, exemples des séries lacunaires). Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence), série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence, continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence.
  • 7 février 2018 : Séries entières d'une variable réelle : reformulation de la continuité de la fonction somme, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme. Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Fonctions exponentielles, trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes. Fonctions développables en série entière : définition (en 0 et en un point quelconque, cas d'une série entière d'une variable complexe seulement pour l'instant), exemples.
  • 14 février 2018 : Développements en série entière, cas des fonctions d'une variable réelle : série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DLSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DLSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DLSE usuels à connaître, exemples. Début des espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C).
  • 28 février 2018 : Espaces vectoriels normés : Distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes usuelles à connaître. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître), norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie). Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes.
  • 7 mars 2018 : Retour sur l'encadrement des boules pour deux normes équivalentes. Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite. Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Topologie des e.v.n : voisinage, ouverts (définition, exemples du complémentaire d'un singleton, des boules ouvertes, contre-exemple des boules fermées/sphères). Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : définition seulement et premiers exemples.
  • 14 mars 2018 : Fermés : propriétés (intersection, union finie). Caractérisation séquentielle des fermés. Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble. Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, exemple de l'adhérence 'd'une boule ouverte. Frontière, densité (caractérisation séquentielle). Exemple de la densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées.
  • 21 mars 2018 : Fin de la topologie : suites extraites (définition, propriétés), compacts (définition), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Fonctions vectorielles : limites, opérations sur les limites. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions, fonctions lipschitziennes.
  • 28 mars 2018 : Opérations sur les fonctions vectorielles continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit. Continuité et topologie : caractérisations équivalentes de la continuité à l'aide de l'image réciproque des fermés/ouverts, image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes. Applications linéaires continues : caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire, définition de la norme subordonnée pour une application linéaire continue, toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue. Calcul différentiel : uniquement la définition d'un développement limité à l'ordre 1 en un point.
  • 4 avril 2018 : Calcul différentiel : fonction différentiable en un point, équivalence avec l'existence d'un Dl à l'ordre 1, différentiable implique continue, lien entre différentiabilité et dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle, les fonctions constantes et les applications linéaires sont différentiables, différentielle d'une application bilinéaire (dèm en TD), opérations sur les fonctions différentiables (combinaisons linéaires, équivalence avec la différentiabilité des applications coordonnées (dans une base de l'espace d'arrivée ou dans un espace produit)), différentiation d'une composée.
  • 11 avril 2018 : Application du théorème de différentiation d'une composée au produit de deux fonctions différentiables (dont l'une est scalaire). Dérivées partielles : dérivation selon un vecteur, la différentiabilité entraîne l'existence des dérivées selon tout vecteur, dérivées partielles dans une base de l'espace de départ (vues comme les dérivées selon les vecteurs de la base), calcul pratique des dérivées partielles. Matrice jacobienne, version matricielle du théorème de différentiation d'une composée, formule de dérivation en chaîne.
  • 25 avril 2018 : Calcul différentiel : fonction de classe C^1 (équivalence entre f est différentiable de différentielle continue avec l'existence et la continuité de ses dérivées partielles dans une base), exemple des applications constantes et linéaires, dérivées partielles successives, définition d'une fonction de classe C^k à l'aide de l'existence et la continuité de ses dérivées partielles d'ordre k, opérations, théorème de Schwarz dans le cas d'une fonction de classe C^2. Extrema : définitions (minimum/maximum/extremum local/global (strict ou non)), points critiques, condition nécessaire d'extremum sur un ouvert, exemples. Matrice hessienne, formule de Taylor Young à l'ordre 2 (admise), version matricielle à l'aide de la jacobienne et de la hessienne au point.
  • 2 mai 2018 : Extrema : condition suffisante d'extremum sur un ouvert à l'aide des valeurs propres de la Hessienne en un point critique, corollaire dans le cas d'une fonction au départ de R^2 à l'aide du déterminant et de la trace de la Hessienne. Plan tangent à une surface d'équation z=f(x,y) (équation, position relative au voisinage du point). Extrema sur un compact : méthode d'étude et exemples.


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi (sauf P8 : lundi matin) et sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.


Fiches de TD
Avancement

Groupe P5 [au 4 mai, après 15 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : tous les exercices sauf le 6 et le 11.
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 9.
  • Fiche 3 : Exercices 1 à 10, questions 1 à 7 de l'exo 11 (corrigé des autres distribué), questions 1 et 2 de l'exo 12 (corrigé des autres distribué), 13 et 14.
  • Fiche 4 : tous les exercices sauf le 9.
  • Fiche 5 : Exercices 1 à 9, 11 à 13.
  • Fiche 6 : Exercices 1 à 4.
  • Fiche 7 : Exercice 1 à 8, 1à à 12 et 14.
  • Fiche 8 : exercices 1 et 2, moitié de l'exercice 3.


Groupe P6 [au 4 Mai, après 15 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : Ex 1 à 12 sauf Ex 6
  • Fiche 2 : Ex 1 à 9
  • Fiche 3: Ex 1 à 10, Ex 11 (1 à 5 et corrigé du 6,7,9,10 distribué), Ex 12, Ex 13, Ex 14, corrigé de l'Ex 15 distribué.
  • Fiche 4: Ex 1 à 10 (sauf Ex 3 corrigé distribué) et Ex 11 (2, 3, et correction entière de l'exercice distribué).
  • Fiche 5: Ex 1 à 9, Ex 11,13,14 (corrigé de l'Ex 12 distribué).
  • Fiche 6: Ex 1 à 5 (corrigé de l'Ex 6 distribué)
  • Fiche 7: Ex 1 à Ex 7, Ex 10,11,12,14 (corrigé de l'Ex 9 distribué).
  • Fiche 8: Ex 1, 2, Ex 3.1 .


Groupe P7 [au 4 mai, après 15 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : Ex 1 à 10 (largement, sauf le 5).
  • Fiche 2 : Ex 1 à 11
  • Fiche 3 : Ex 1 à 8 (sauf 6.5,6.6), Ex 11 (1 à 8), Ex 12 (1 et 3), Ex 13.1, Ex 14 (discussion rapide de 15, 16)
  • Fiche 4 : Ex 1 à 11 (sauf le 3)
  • Fiche 5 : Ex 1 à 14
  • Fiche 6 : Ex 1 à 6 (finir 5 à la maison)
  • Fiche 7 : Ex 1 à 4, 6 et 10
  • Fiche 8 : Ex 1,3,4,5


Groupe P8 [au 04 mai, après 14 TD sur 15 (pas de TD le lundi de Pâques)] :

  • Fiche 1 : Tous les exercices sauf le 6 et le 11
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 10.
  • Fiche 3 : Exercices 1 à 10, questions 1 à 7 de l'exo 11 (corrigé des autres distribué), questions 1 et 2 de l'exo 12 (corrigé des autres distribué) et 13.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 8, 10 et 11.
  • Fiche 5 : Exercices 1 à 9 et 11 à 13.
  • Fiche 6 : Exercice 1 à 4.
  • Fiche 7 : Exercices 1 à 8.


Algèbre

Les cours d'algebre sont assurés par María Carrizosa.

  • 20 décembre 2017 : Chap 1 : Produit scalaire, produit hermitien. Définition, exemples fondamentaux, inégalité de Cauchy-Schwartz, norme associée au produit scalaire, identité du parallélogramme, formules de polarisation.
  • 17 janvier 2018 : Chap 2 : Orthogonalité. Déf, propriétés (par rapport à l'inclusion, intersection, et somme de sous-espaces).Théorème de Pythagore (et réciproque). Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, corollaire 1: existence d'une base orthonormée dans un espace euclidien (ou hermitien).
  • 22 janvier 2018 : pas de cours
  • 31 janvier 2018 : corollaire 2 (de Gram-Schmidt) : si E euclidien, F sous-espace vect. F et sont orthogonal sont supplémentaires, l'orthogonal de l'orthogonal de F = F. Projection orthogonale : rappels des propriétés des projecteurs, définition, existence d'un projecteur orthogonal sur un sous-espace F, formules dans une base orthonormée, lien avec Gram-Schmidt, caractérisations, relation avec la distance d'un vecteur à un sous-espAnalyse ace. Matrices et produit scalaire : matrice d'une application bilinéaire (ou sesquilinéaire), changement de base, cas du produit scalaire ou hermitien, définition matrice orthogonale et unitaire. Dualité dans les espaces euclidiens : définition du dual, théorème de représentation (isomorphisme entre E et son dual).
  • 7 février 2018 : Chap 3 : Endomorphismes des espaces euclidiens. Adjoint d'un endomorphisme : déf, existence, unicité. L'adjonction est une application linéaire de l'espace des endomorphismes dans lui même, anti-involutive et l'adjoint de l'inverse d'un automorphisme est l'inverse de l'adjoint. Déf. des endomorphismes symétriques, orthogonaux et normaux. Caractérisation des endomorphismes orthogonaux comme ceux qui préservent le produit scalaire ou la norme. L'adjonction au niveau des matrices. Noyau et image de l'adjoint d'un endomorphisme, adjoint et sous-espaces stables. Théorème spectral : si u dans End(E) symétrique, il existe une base orthonormée de E de vecteurs propres de u, version matricielle, preuve, corollaire : les espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont orthogonaux.
  • 14 février 2018 : Endomorphismes positifs et décomposition spectrale : définition des endom. et matrices positives, définies, caractérisation par la positivité des valeurs propres ; racine carrée d'un endom. positif, théorème de décomposition polaire. Chap 4 : Le groupe orthogonal. Différentes caractérisations des endomorphismes orthogonaux, structure de groupe de l'ensemble des endom. orthogonaux, det et valeurs propres réelles d'un end. orth. Symétries orthogonales, réflexions : matrice, déterminant, ces sont les endom orth. diagonalisables.
  • 28 février 2018 : Tout end. orthogonal s'écrit comme produit d'au plus n réflexions. Actions du groupe orthogonal sur plusieurs ensembles : vecteurs unitaires, bases orthomormées. Questions de transitivité de ces actions. Définition de l'orientation d'un espace euclidien. Groupe orthogonal en dimension 2 : description de SO_2(R), unicité de la matrice d'un élément u de SO(E) dans toute base orthonormée directe, les éléments de O(E)\SO(E) sont les réflexions. Définition de l'angle orienté entre deux vecteurs du plan euclidien.
  • 7 mars 2018 : Propriétés des angles orientés du plan euclidien, lien avec produit scalaire et le déterminant. Groupe orthogonal en dimension 3 : produit mixte et produit vectoriel, propriétés, formule pour le produit vectoriel en fonction des coordonnées des vecteurs dans une bond.
  • 14 mars 2018 : Angles non orientés, étude des rotations de l'espace, classification complète de O(E) en dimension 3.
  • 21 mars 2018 : Retour sur les rotations dans l'espace, exemples, dessins. Discussion sur l'indetermination dans le signe de l'angle. Réduction des endomorphismes orthogonaux en dimension quelconque.
  • 28 mars 2018 : Chap 5 : Espaces affines. Introduction : point de vue axiomatique vs point de vue moderne (à partir de l'algèbre linéaire), premiers exemples (dans R^2, R^3). Définition d'un espace affine, premières propriétés. Sous-espaces affines : déf, exemples.
  • 4 avril 2018 : Intersection de sous-espaces affines, sous-espace affine engendré, exemples, sous-espaces affines parallèles, questions d'incidence. Espaces affines euclidiens : déf, notion de distance entre deux points, sous-espaces affines orthogonaux.
  • 11 avril 2018 : Repères cartésiens, repères affines. Projection orthogonale sur un sous-espace affine. Hyperplan médiateur.
  • 25 avril 2018 : Chap 6 : Séries de Fourier. Motivation, rappels : fonctions périodiques, continues par morceaux, quelques formules d'intégration, exemples : fonctions créneaux et dents de scie. Coefficients de Fourier : produit scalaire sur l'espace de fonctions continues par morceaux périodiques à valeurs réelles, familles orthonormées et orthogonales pour ce produit scalaire, définition des coef. de Fourier, exemples (créneau, dents de scie).
  • 02 mai 2018 : Formule de Parseval : énoncé, inégalité de Bessel, preuve dans le cas des fonctions de classe C^1. Théorème de Dirichlet (sans preuve).
Fiches de TD
Avancement

Groupe P5 [au 03 mai, après 14 TD sur 15 ] :

  • Fiche 1 : exercices 1, 2, 5, 7 à 13.
  • Fiche 2 : Exercices 1 à 7, 9, 11 à 16.
  • Fiche 3 : tous les exercices (les angles orientés pour les rotations n'ont pas encore été vus).
  • Fiche 4 : tous les exercices.
  • Fiche 5 : exercices 1, 2, 4 et 5.
  • Fiche 6 : exercices 1, 2, 4 à 10. Définition et premières propriétés des barycentres, puis exercices 13 et 14.

Groupe P6 [au 26 avril, après 13 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : exercices 1, 2, 5, 7, 8, 9, 12 et 13.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 8, 12, 13 et 16.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 9.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 4, 7, 8 et 9 Q1-Q4.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 4.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 3 et 5 à 10.

Groupe P7 [au 7 mai, après 15 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : exercices 1, 2, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 7, 9, 11 à 13, 15, 16.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 12.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 10.
  • Fiche 5 : exercices 1, 2, 4, 5.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 7, 9, 16.
  • Fiche 7 : exercices 1, 7.

Groupe P8 [au 10/05, après 15 TD sur 15] :

  • Fiche 1 : Tout sauf ex. 3 et 4.
  • Fiche 2 : Tout fait.
  • Fiche 3 : la moitié du 1; dans le reste, tout sauf le 12.
  • Fiche 4 : Tout fait
  • Fiche 5 : exercices 1, 2, 4 et dans le 5 les questions 1 et 2.
  • Fiche 6 : exercices 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 et la 1ere question du 16.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, le 9 (en partie), le 11 en partie, 12.

Devoirs

Dates prévisionnelles

  1. mardi 06 février : DS1 commun avec la correction d'analyse sans la faute de frappe dans le calcul de l'intégrale - La partie algèbre commentée ici
  2. mardi 27 mars Sujet analyse et correction ici : 2018_ds3_analyse.pdf et la partie algèbre ici
  3. mardi 24 avril : Sujet avec son corrigé

L'examen finale d'algèbre IV 24/05/2018 Sujet et son corrigé

 
 
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