Topologie et équations Différentielles

Semestre d'automne 2020. Les cours sont maintenant terminés, et l'examen de première session est passé. La seconde session (“seconde chance”) aura lieu en juin.

Les ressources utilisées lors de l'enseignement à distance (ainsi que le sujet de l'examen, et son corrigé) se trouvent sur Claroline: https://clarolineconnect.univ-lyon1.fr/

Cours: Julien Melleray(partie topologie) et Élise Fouassier (partie équations différentielles)

TD:

• Élise Fouassier (groupe B)
• Sébastien Gauthier (groupe C)
• Julien Melleray (groupe A)

• 07/09/2020: Quelques rappels sur l'ensemble des réels: borne supérieure et ses caractérisations. Applications (toute suite croissante majorée converge, l'ensemble des rationnels est dense dans l'ensemble des réels). Définition d'une distance; exemples: la distance discrète, la distance induite par une norme.
• 08/09/2020: Boules ouvertes et fermées. Parties bornées, diamètre. Suites convergentes, unicité de la limite; toute suite convergente est bornée. Distance produit, et convergence de suites dans un espace métrique produit. Distances Lipschitz-équivalentes; deux distances Lipschitz-équivalentes ont les mêmes suites convergentes. Normes équivalentes.
• 10/09/2020 : reformulation de l'équivalence de normes en termes d'inclusion entre boules. Parties ouvertes dans un espace métrique, parties fermées; exemples et caractérisations séquentielles des ouverts et des fermés.
• 15/09/2020 : Propriété de stabilité des ouverts par réunion quelconque et intersection finie; et des fermés par intersection quelconque et réunion finie. Intérieur d'une partie A (le plus grand ouvert contenu dans A) et caractérisation séquentielle. Adhérence d'une partie A (le plus petit fermé qui contient A) et caractérisation séquentielle. Exemple: dans un espace normé, l'adhérence d'une boule ouverte de centre x et de rayon r>0 est la boule fermée de centre x et de rayon r; et l'intérieur d'une boule fermée de centre x et de rayon r >0 est la boule ouverte de centre x et de rayon r (dans un espace métrique quelconque, ces propriétés ne sont en général pas vérifiées).
• 17/09/2020 : Topologie : distances équivalentes, caractérisations, lien avec la notion de distances Lipschitz-équivalentes ; topologie induite. Équations différentielles : les équations étudiées, définitions de solutions, solutions maximales, solutions globales puis exemple des équations linéaires scalaires d’ordre 1.
• 22/09/2020 : Lemme de Gronwall (forme différentielle et forme intégrale). Problème de Cauchy, énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz et premières conséquences (deux trajectoires de solutions distinctes ne peuvent se croiser, et dans R, les trajectoires sont ordonnées).
• 24/09/2020 : Suites extraites, valeurs d'adhérence et leur caractérisation. Notion de base de la topologie d'un espace métrique (X,d); définition d'un espace métrique séparable: un espace dont la topologie admet une base dénombrable ou, ce qui est équivalent, un espace admettant un sous-ensemble dénombrable dense. Application: tout ouvert de R^n s'écrit comme la réunion d'une famille au plus dénombrable de boules ouvertes. Début du chapitre suivant: fonctions continues, uniformément continues, lipschitziennes.
• 29/09/2020 : Continuité de la distance, vue comme une fonction de deux variables. Caractérisation séquentielle et caractérisation topologique de la continuité. Preuve que si deux applications continues coïncident sur une partie dense, alors elles sont égales partout (autrement dit, l'ensemble sur lequel deux applications continues sont égales est un fermé). Continuité de la composition de deux fonctions; preuve que somme et un produit de deux fonctions continues, à valeurs réelles, sont des fonctions continues. Cas des fonctions continues à valeurs dans un espace produit: une fonction à valeur dans un produit est continue si, et seulement si, chacune de ses applications coordonnées est continue.
• 01/10/2020 : Théorème d'explosion en temps fini. Conséquences: si le champ de vecteurs est défini sur RxR^d et est borné, ou globalement lipschitzien par rapport à la variable d'état, alors les solutions maximales sont globales.
• 06/10/2020 : Limite d'une fonction en un point, caractérisation séquentielle et utilisation pour caractériser la continuité d'une fonction en un point. Convergence simple, convergence uniforme; preuve qu'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues est une fonction continue. Exemples. Continuité des applications linéaires entres espaces vectoriels normés, caractérisation et norme subordonnée. Début de l'étude des propriétés des normes subordonnées (énoncé du théorème 3.37 des notes de cours, preuve à finir au cours du 08/10).
• 08/10/2020 : Fin de la preuve du théorème 3.37; la norme subordonnée définit une norme sur l'espace des applications linéaires continues entre deux espaces vectoriels normés. Majoration de la norme subordonnée d'une composée par le produit des normes subordonnées. Exemples de calculs de normes subordonnées, exemple d'une application linéaire non continue d'un espace normé vers la droite réelle. Début du chapitre sur la compacité: définition d'un recouvrement ouvert, d'un sous-recouvrement, de la propriété de Borel-Lebesgue et de la propriété de Bolzano-Weierstrass.
• 13/10/2020 : Preuve du fait que l'union des termes d'une suite convergente et de sa limite est un ensemble compact. Un compact d'un espace métrique est toujours un fermé; un fermé dans un espace métrique compact est un compact. Une intersection quelconque de compacts est un compact; une union finie de compacts est un compact. L'image d'un compact par une fonction continue est un compact. Théorème de la borne atteinte: si f est une fonction continue, de domaine compact, à valeurs dans R, alors f est bornée et atteint ses bornes. Énoncé du théorème de Heine: si (X,d) est un espace métrique compact, et (Y,d') est un espace métrique, alors toute fonction continue de (X,d) vers (Y,d') est uniformément continue.
• 15/10/2020 : Preuve du théorème de Heine. Si f est une bijection continue de domaine compact, alors son image est un compact et l'inverse de f est continue (on dit que f est un homéomorphisme). Un produit fini de compacts (muni de la distance produit) est compact. Tout espace métrique compact est borné. Un segment dans R est compact; toute partie à la fois fermée et bornée, dans R muni de la norme infinie, est un compact (et la réciproque est vraie). En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes; application: dans un espace vectoriel normé de dimension finie, une partie est compacte si, et seulement si, elle est à la fois fermée et bornée.
• 20/10/2020 : Une application linéaire entre espaces vectoriels normés est continue dès que l'espace de départ est de dimension finie. Un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est toujours fermé. Théorème de Riesz: un espace vectoriel normé est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée est compacte. Preuve du fait qu'un espace métrique avec la propriété de Bolzano–Weierstrass a aussi la propriété de Borel-Lebesgue.
• 22/10/2020 : Preuve qu'un espace métrique avec la propriété de Borel-Lebesgue a aussi la propriété de Bolzano-Weierstrass. Produit dénombrable d'espaces métriques: distance produit, caractérisation des suites convergentes. Un produit dénombrable d'espaces métriques compacts, muni de la distance produit, est un espace métrique compact (preuve par extraction diagonale).

Pour les dates ultérieures, voir Claroline (et en particulier les vidéos qui couvrent ce qui est fait à distance). Résumé du contenu traité à distance:

• Équations différentielles linéaires (chapitre 4 de la partie équations différentielles des notes de cours jusqu'à la fin de la section 4.6).
• Connexité (Chapitre 5 de la partie topologie, en entier).
• Complétude (Chapitre 6; section 1 jusqu'au théorème 6.10 inclus; section 6.2; section 6.3 jusqu'au théorème 6.23 inclus; section 6.4 ; section 6.5; dans la section 6.6, seuls la définition 6.32 et l'énoncé du théorème 6.33 sont au programme.

Voici les notes de cours que nous utilisons cette année.

• Feuille 1: distances, normes, ouverts et fermés… Voici une version de la feuille avec des indications.
• Feuille 2: équations différentielles. Version avec indications. Voici une correction de la dernière question de l'exercice 7; correction de l'exercice 9; correction de l'exercice 10.
• Feuille 3: fonctions continues. Voici une correction de l'exercice 5.
• Feuille 4: compacité. À préparer pour la semaine du 02/11: exercices 5,6,8,9. Attention, il y a une typo dans l'exercice 9, question 3: il faut supposer que f est continue et propre.

Les évaluations ont eu lieu aux dates suivantes:

• mardi 29 septembre (45 minutes) programme de révision et corrigé.
• mardi 20 octobre (1h) programme de révision et corrigé.
• jeudi 12 novembre (1h30) programme de révision .

Examen final le 5 janvier, durée 3h. Voici le programme de révision.

Comme le contrôle continu de décembre ne peut avoir lieu, la note finale sera calculée comme suit:

• CC1 = 20% de la note finale
• Max(CC3, (CC2+2CC3)/3)= 40 % de la note finale.
• Examen du 5 janvier: 40% de la note finale.