Mesure et intégration

Semestre d'automne 2017

Équipe pédagogique

Emploi du temps

Cours le lundi de 14h à 15h30 et le mardi de 8h à 9h30. 1er cours le 11 septembre.

TD le lundi de 15h45 à 17h15 et le vendredi de 9h45 à 13h. 1er TD le 15 septembre.

Khôlles le lundi de 17h30 à 19h30 et le mardi de 11h30 à 12h30. 1ères khôlles le 25 septembre.

Devoirs surveillés:

Contrôle final:

  • lundi 15 janvier de 9h à 12h

Consultation des copies:

  • janvier (date à préciser)

NB Les salles sont à vérifier sur ade avant chaque séance.

Le planning des khôlles est visible sur tomuss.

Programme prévisionnel de l'UE

Notion de limsup et liminf.

Rappels sur la dénombrabilité et opérations sur les ensembles.

Tribus, tribus engendrées, tribu borélienne.

Fonctions mesurables.

Mesures, exemples : mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de Lebesgue (admis).

Fonctions étagées, définition de l’intégrale. Lien avec l’intégrale de Riemann.

Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée.

Intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité.

Mesure produit, théorème de Fubini (admis).

Changement de variables (admis).

Espaces Lp : définition, inégalité de Hölder, structure espace vectoriel normé, complétude, structure hilbertienne de L2.

Convolution, régularisation par convolution, lemme d’Urysohn.

Transformée de Fourier : classe de Schwartz, L1, extension à L2.

Avancement du cours

«Paquet 1» Outils de base

Lundi 11 septembre (deux cours)

Introduction générale notes manuscrites

Chapitre I - Compléments sur les suites réelles notes manuscrites

  1. Limites inférieure / supérieure : définition, caractérisation des suites convergentes.
  2. Valeurs d'adhérence : définition, rappel du théorème de Bolzano-Weierstrass (toute suite réelle bornée admet au moins une valeur d'adhérence, admis ici), une valeur d'adhérence est caractérisée par l'existence d'une suite extraite qui converge vers elle.
  3. La limite inférieure et la limite supérieure d'une suite bornée sont respectivement sa plus petite et sa plus grande valeur d'adhérence; les notions de limite inférieure et limite supérieure ne sont pas additives.

Chapitre II - Opérations sur les ensembles [début]

  1. Exemples d'ensembles : ensemble vide, ensembles de nombres classiques, singletons, paires.
  2. Appartenance versus inclusion.
  3. Inclusion versus égalité.
  4. Réunions et intersections [début]

Lundi 18 septembre (un cours)

Chapitre II - Opérations sur les ensembles notes manuscrites

4. Réunions et intersections
5. Différences entre ensembles
6. Produits cartésiens

Mardi 19 septembre (un cours)

Chapitre III - Fonctions notes manuscrites

  1. Image directe, image réciproque
  2. Injections
  3. Surjections
  4. Bijections

Chapitre IV - Dénombrabilité notes manuscrites

  1. Ensembles finis (définition et propriétés du cardinal)
  2. Ensembles dénombrables (N, Z, N2 sont dénombrables, [0,1[ ne l'est pas)

Lundi 25 septembre (un cours)

2. Ensembles dénombrables: tout produit fini d'ensembles dénombrables est dénombrable
3. Ensembles au plus dénombrables (ensembles finis ou dénombrables): toute partie de **N** est au plus dénombrable; conditions suffisantes (l'existence d'une injection de A dans **N** ou d'une surjection de **N** dans A impliquent que A est au plus dénombrable); toute réunion dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable; **Q** est dénombrable.

«Paquet 2» Tribus, fonctions mesurables et mesures

Chapitre V - Tribus [début]

  1. Définitions et exemples de base: algèbre de parties, tribu, tribu grossière, tribu discrète.
  2. Tribus engendrées: définition
  3. Tribus boréliennes: définition

Jeudi 28 septembre (un cours)

Chapitre V - Tribus notes manuscrites

3. Tribus boréliennes: contiennent les ouverts, les fermés, les réunions dénombrables de fermés (F<sub>σ</sub>), les intersections dénombrables d'ouverts (G<sub>δ</sub>) ; les boréliens de **R** sont engendrés par l'ensemble dénombrable d'intervalles de la forme ]q,+∞[ avec q rationnel.

Chapitre VI - Fonctions mesurables notes manuscrites

  1. Définitions: fonctions mesurables, continues, boréliennes; cas des fonctions indicatrices.
  2. Tribu image par une fonction (la plus grande de l'ensemble d'arrivée rendant la fonction mesurable); application à la caractérisation des fonctions boréliennes; toute fonction continue est borélienne.
  3. Tribu engendrée par une fonction (la plus petite de l'ensemble de départ rendant la fonction mesurable).

Lundi 2 octobre (un cours)

Chapitre VI - Fonctions mesurables

4. Tribu produit: sur un produit cartésien d'ensembles munis chacun d'une tribu, la tribu produit est engendrée par les «rectangles mesurables» (c'est-à-dire les produits d'ensembles mesurables) ; c'est la plus petite tribu rendant les projections canoniques mesurables.
5. Produit de tribus boréliennes: la tribu produit de tribus boréliennes est incluse dans la tribu borélienne sur l'espace topologique produit; il y a égalité pour des espaces métriques séparables; par exemple la tribu borélienne sur **R**<sup>d</sup> coïncide avec la tribu produit.
6. Opérations sur les fonctions mesurables : la composée de deux fonctions mesurables est mesurable ; si deux fonctions //f// et //g// à valeurs réelles sont mesurables, les fonctions //f<sub>+</sub>=max(f,0)//, //f<sub>-</sub>=max(-f,0)//, //|f|//, //f+g//, //fg//, //min(f,g)// et //max(f,g)// le sont ; une fonction //f// à valeurs complexes est mesurable si et seulement si //Re f// et //Im f// le sont ; si deux fonctions //f// et //g// à valeurs complexes sont mesurables, les fonctions //|f|//, //f+g// et //fg// le sont ; si une fonction //f// à valeurs complexes est mesurable il existe une fonction //g// mesurable telle que //|g|=1// et //f=g|f|//.

Mardi 3 octobre (un cours)

6. Opérations sur les fonctions mesurables [suite et fin] : une fonction à valeurs dans un produit est mesurable si et seulement si ses composantes le sont ; pour une suite de fonctions mesurables (fn) à valeurs dans la droite réelle achevée, sup(fn), inf(fn), limsup(fn), liminf (fn) sont mesurables ; si une suite de fonctions mesurables (fn) converge simplement, sa limite est mesurable; l'ensemble des points où une suite de fonctions mesurables a une limite est mesurable.

Chapitre VII - Mesures notes manuscrites

  1. Définitions et premiers exemples: définition d'une mesure, mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de probabilités; un espace mesuré est un espace mesurable (c'est-à-dire un ensemble muni d'une tribu) muni d'une mesure.

Lundi 9 octobre (un cours)

Chapitre VII - Mesures [suite]

2. Propriétés élémentaires: une mesure positive est monotone et sous-additive; la mesure d'une réunion croissante dénombrable de parties mesurables est la limite des mesures de ces parties; la mesure d'une intersection décroissante dénombrable de parties mesurables, dont la première est de mesure finie, est la limite des mesures de ces parties.
3. Mesure de Lebesgue sur **R**: il existe une unique mesure positive sur **R** muni de sa tribu borélienne telle que la mesure de tout intervalle ouvert ]a,b[ avec a<b réels soit égale à b-a (admis); la mesure de Lebesgue des singletons est nulle; la mesure de tout intervalle borné d'extrémités a≤b réels vaut b-a; la mesure de tout intervalle non majoré ou non minoré vaut +∞.
4. Ensembles de Cantor

Mardi 10 octobre (un cours)

5. Complétion des mesures: une partie N d'un ensemble X muni d'une tribu et d'une mesure μ sur cette tribu est dite μ-négligeable s'il existe une partie de X mesurable contenant N et de mesure nulle; une mesure μ est dite complète (sur sa tribu) si toute partie μ-négligeable est mesurable; la mesure de Lebesgue sur la tribu borélienne n'est pas complète (admis); par définition, la tribu complétée sur un espace mesuré est la tribu engendrée par les parties mesurables et les parties négligeables; les éléments de la tribu complétée sont les réunions de parties mesurables et de parties négligeables; de façon équivalente, une partie E est dans la tribu complétée si et seulement s'il existe des parties mesurables A et B telles que A ⊂ E ⊂ B et μ(B\A)=0; il existe une unique mesure μ* prolongeant μ à la tribu complétée, et μ*(A ∪ N) = μ(A) si A est dans la tribu de départ et N est négligeable.
6. Tribu et mesure de Lebesgue sur **R**<sup>d</sup>

a) Cas d=1. On appelle tribu de Lebesgue sur R la tribu complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue. On appelle encore mesure de Lebesgue la mesure complétée sur la tribu de Lebesgue. Il existe des parties de R non Lebesgue-mesurables.

b) Cas d quelconque. Théorème admis: il existe une unique mesure positive λd sur Rd muni de sa tribu borélienne telle que la mesure de tout pavé P= ∏i [ai,bi] est λd(P)=∏i (bi-ai). On appelle mesure de Lebesgue la mesure λd sur la tribu borélienne ainsi que la mesure complétée sur la tribu de Lebesgue.

Propriétés géométriques (admises): la mesure de Lebesgue est invariante par translation et rotation; si u est un endomorphisme de Rd et E une partie Lebesgue-mesurable, alors λd(u(E))=|dét u| λd(E).

Lundi 16 octobre (un cours)

Chapitre VII - Mesures [fin]

Propriétés topologiques (admises): la mesure de Lebesgue est borélienne, c'est-à-dire qu'elle ne prend que des valeurs finies sur les compacts, et elle est régulière, c'est-à-dire que pour toute partie E Lebesgue-mesurable,

λd(E) = sup { λd(K) ; K ⊂ E, K compact} = inf { λd(U) ; E ⊂ U, U ouvert}.

Une partie E est Lebesgue-mesurable si et seulement si elle s'écrit: E= G \ N avec G un Gδ et N mesurable de mesure nulle, ou de façon équivalente, E = F ∪ N avec F un Fσ et N mesurable de mesure nulle.

«Paquet 3» Intégrale de Lebesgue

Chapitre VIII - Intégrale de Riemann notes manuscrites

  1. Fonctions en escalier: définitions (subdivision d'un segment, pas d'une subdivision, subdivision adaptée à une fonction en escalier); intégrale d'une fonction en escalier
  2. Fonctions intégrables au sens de Riemann sur un segment: cas particulier des fonctions réglées, des fonctions monotones
  3. Propriétés de l'intégrale de Riemann sur un segment: linéarité, monotonie; sommes de Riemann, sommes de Darboux.
  4. Quelques limitations: nécessité de recourir à des intégrales généralisées, pour des fonctions non bornées ou l'intégration sur un intervalle non borné; impossibilité d'intégrer des fonctions «simples» comme la fonction indicatrice des rationnels; problèmes de passage à la limite sous le signe d'intégration; lien avec le calcul différentiel.

Mardi 17 octobre (un cours)

Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue notes manuscrites

  1. Fonctions étagées: définition, caractérisation des fonctions étagées mesurables, écriture canonique, intégrale des fonctions étagées mesurables à valeurs dans [0,+∞]
  2. Propriétés de l'intégrale des fonctions étagées mesurables: additivité, homogénéité, monotonie de l'intégrale des fonctions étagées mesurables à valeurs dans [0,+∞[; mesure associée à l'intégrale d'une fonction étagée mesurable à valeurs dans [0,+∞[.

Lundi 23 octobre (un cours)

Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue [suite]

3. Intégration des fonctions mesurables positives: toute fonction mesurable à valeurs dans [0,+∞] est la limite simple d'une suite croissante de fonctions étagées mesurables à valeurs dans [0,+∞[; définition de l'intégrale d'une fonction mesurable à valeurs dans [0,+∞], homogénéité positive, monotonie.
4. Premiers théorèmes fondamentaux: théorème de convergence monotone (Beppo Levi); additivité de l'intégrale.

Lundi 6 novembre (un cours)

Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue [suite]

4. Premiers théorèmes fondamentaux: interversion ∫ et ∑ (intégrale et somme d'une série de fonctions mesurables positives); lemme de Fatou.
5. Presque partout
6. Mesures à densité

Mardi 7 novembre (un cours)

7. Intégration des fonctions à valeurs réelles: définitions et propriétés de l'intégrale.
8. Intégration des fonctions à valeurs complexes: définitions et propriétés de l'intégrale.

Lundi 13 novembre (un cours)

Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue [suite et fin]

9. Théorèmes fondamentaux: théorème de convergence dominée; théorème de convergence dominée presque partout; théorème d'interversion ∫ et ∑.
10. Mesure image: définition; théorème de transfert.

Mardi 14 novembre (un cours)

Chapitre X - «Applications» de l'intégrale de Lebesgue notes manuscrites

  1. Probabilités: loi d'une variable aléatoire
  2. Intégrales de Riemann: toute fonction intégrable au sens de Riemann sur un segment de R est intégrable au sens de Lebesgue pour la mesure de Lebesgue et les deux intégrales coïncident/
  3. Intégrales de Riemann généralisées: une fonction intégrable au sens de Riemann sur tout segment de [a,b[ avec a réel et b dans ]a,+∞] est intégrable au sens de Lebesgue sur [a,b[ pour la mesure de Lebesgue si et seulement si l'intégrale de Riemann généralisée de f sur [a,b[ est absolument convergente; si c'est le cas les deux intégrales coïncident.
  4. Séries numériques: une fonction f de N dans C est intégrable au sens de Lebesgue pour la mesure de comptage sur N si et seulement si la série numérique ∑ f(n) est absolution convergente; si c'est le cas, la somme de cette série est égale à l'intégrale de f par rapport à la mesure de comptage.

Lundi 20 novembre (un cours)

Chapitre XI - Intégrales à paramètre notes manuscrites

  1. Passage à la limite sous le signe ∫
  2. Continuité sous le signe ∫ (applications aux transformées de Fourier et de Laplace des fonctions intégrables, et à la fonction Γ).
  3. Dérivation sous le signe ∫ (application à la transformée de Laplace d'une fonction intégrable, et à la fonction Γ).

Mardi 21 novembre (un cours)

Chapitre XII - Intégrales multiples notes manuscrites

  1. Mesure produit: rappels et compléments sur les tribus produits, espaces mesurés σ-finis, théorème admis d'existence et unicité de la mesure produit sur le produit cartésien de deux espaces mesurés σ-finis.
  2. Intégration sur un espace produit: théorème de Tonelli (pour les fonctions à valeurs dans [0,+∞]), théorème de Fubini (pour les fonctions à valeurs dans R ou C).

Lundi 27 novembre (un cours)

Chapitre XII - Intégrales multiples [suite]

3. Questions de complétude: les résultats suivants sont admis. - Si p,q,d sont des entiers naturels non nuls avec d=p+q, la tribu borélienne sur Rd est la tribu produit de la tribu borélienne sur Rp et de la tribu borélienne sur Rq; elle est strictement incluse dans la tribu produit de la tribu de Lebesgue sur Rp et de la tribu de Lebesgue sur Rq, qui est elle-même strictement incluse dans la tribu de Lebesgue sur Rd; l'espace mesuré Rd muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue λd est le complété de RpxRq muni de la tribu produit de la tribu de Lebesgue sur Rp et de la tribu de Lebesgue sur Rq et de la mesure produit de λp⊗λq. - Variante des théorèmes de Tonelli et Fubini pour les fonctions mesurables sur la tribu complétée de la tribu produit.

Mardi 27 novembre (un cours)

Chapitre XII - Intégrales multiples [fin]

4. Changement de variables dans Rd

Rappel du théorème de transfert. Justification de la formule λd(u(A))=|dét u| λd(A) pour A borélien de Rd et u un endormorphisme de Rd. Justification de la formule de changement de variables lorsque le changement de variables est un isomorphisme de Rd.

Définition d'un difféomorphisme de classe C1 entre deux ouverts de Rd. Caractérisation à l'aide du déterminant de la matrice jacobienne. Exemple des coordonnées polaires et des coordonnées sphériques.

Théorème de changement de variables (admis). Application à l'intégration en coordonnées polaires et en coordonnées sphériques.

«Paquet 4» Analyse fonctionnelle

Chapitre XIII - Espaces Lp notes manuscrites

  1. Espaces Lp pour p ∈ [1,+∞[: définition; décroissance avec p lorsque l'espace est de mesure finie; croissance avec p lorsque l'espace est muni de la mesure de comptage.
  2. Inégalités fondamentales: Hölder, en particulier Cauchy–Schwarz, Minkowski.

Lundi 4 décembre (un cours)

Chapitre XIII - Espaces Lp [suite]

3. Espaces L: majorants essentiels, fonctions essentiellement bornées, inégalité de Hölder avec p=1, q=∞.

Mardi 5 décembre (un cours)

Chapitre XIV - Convolution notes manuscrites

Avancement des TD

– Vendredi 15 Septembre: Feuille de TD numéro 1 Indications de solutions
Groupe A: Feuille 1: Ex 1 à 4.
Groupe B: Feuille 1, Ex 1-5(1,2)
Groupe C: pas de séance

– Lundi 18 Septembre:
Groupe A: Feuille 1: Ex 5-6
Groupe B: Feuille 1 : Ex 6
Groupe C: Feuille 1: Ex 1-4, 5(1,2,3abc)

– Vendredi 22 Septembre:
Groupe A: Feuille 1: Ex 7, 8, 10, 11, 12. (Ex 9 pas fait)
Groupe B: Feuille 1: Ex 7-12
Groupe C: Feuille 1: Ex 5, 6, 7, 10

– Lundi 25 Septembre: Feuille de TD numéro 2 Solution exercice 2 Indications de solutions des autres exercices
Groupe A: Feuille 1: Ex 13-14. Feuille 2: Ex 1, 2
Groupe B: Feuille 1: Ex 13, 14; Feuille 2: Ex 1, 2(1,2)
Groupe C: Feuille 1: Ex 8, 9, 11

– Vendredi 29 Septembre:
Groupe A: Feuille 2: Ex 3 à 7.
Groupe B: Feuille 2: Ex 3 à 9.
Groupe C: Feuille 1: Ex 12, 13, 14 (terminée); Feuille 2: Ex 1, 2 (1,2,3).

– Lundi 02 Octobre:
Groupe A: Feuille 2: 8, 10
Groupe B: Feuille 2: Ex 10 à 11.
Groupe C: Feuille 2: Ex 3, 4, 7.

– Vendredi 6 Octobre: Feuille de TD numéro 3
Groupe A: Feuille 2: Ex 9, 11, 15, 16. Feuille 3: Début Ex 1.
Groupe B: Feuille 2: Ex 12-16. Feuille 3: Ex 1(1-5).
Groupe C: Feuille 2: Ex 5, 6, 8, 9, 10(1-4)

– Lundi 9 Octobre:
Groupe A: Feuille 3: Ex 1-2-3
Groupe B: Feuille 3: Ex 1(6-9), Ex 2,3
Groupe C: Feuille 2: Ex 10, 11, 12, 13, 14 (1,2)

– Vendredi 13 Octobre:
Groupe A: Feuille 3: Ex 4, 5 (1), 6 à 9 et ex 11 (1).
Groupe B: Feuille 3: Ex 4(1,4), Ex 5(1,3), Ex 6-9
Groupe C: Feuille 2: Ex 14(3), 15, 16, Feuille 3: Ex 1(1,6-9), Ex 2, Ex 3

– Lundi 16 Octobre: Feuille de TD numéro 4
Groupe A: Feuille 4: Ex 1 à 4
Groupe B: Feuille 3: Ex 11(1); Feuille 4: Ex 1(2,3,7,8), Ex 2,3,6
Groupe C: Feuille 3: Ex 4, 5(1,4), 6, 7

– Vendredi 20 Octobre:
Groupe A: Feuille 4: Ex 5, 6,8, 9, 10. (Ex 7 non fait).
Groupe B: Feuille 4: Ex 7,8,9,10,11
Groupe C: Feuille 3: Ex 8, 9, Feuille 4: Ex 1

– Lundi 23 Octobre:Feuille de TD numéro 5
Groupe A: Feuille 4: Ex 11. Feuille 5: Ex 1, début Ex 2.
Groupe B: Feuille 5: Ex 1,2,3(1,2)
Groupe C: Feuille 4: Ex 2,3,4,5.

– Vendredi 27 Octobre:
Groupe A: Feuille 5: Ex 2, 3, 4 .
Groupe B: Feuille 5: Ex 3(3,4),4,6(1)
Groupe C: Feuille 4: Ex 6, 7, 8, 9, 10. Feuille 5: Ex 1, 2.

– Lundi 6 novembre: Feuille de TD numéro 6
Groupe A: Feuille 6: Ex 1 à 3
Groupe B: Feuille 6: Ex 1-4
Groupe C: Feuille 5: Ex 3 (sans 5), Ex 4.

– Vendredi 10 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex 4,5,6, 9
Groupe B: Feuille 6: Ex 5-9,11
Groupe C: Feuille 6: Ex 1-7,9,10,12.

– Lundi 13 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex 10,11, 12,14
Groupe B: FeuIlle 6: Ex 12-15
Groupe C: Feuille 6: Ex 8,11,14.

– Vendredi 17 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex 13,15,16,17, 18 (1-2)
Groupe B: Feuille 6: Ex 15-22
Groupe C: Feuille 6: Ex 13, 15-18.

– Lundi 20 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex: 18, 21, 23
Groupe B: Feuille 6: Ex 23,25
Groupe C: Feuille 6: Ex 19, 21.

– Vendredi 24 novembre: Feuille de TD numéro 7
Groupe A: Feuille 7: Ex 1, 2 et début 3.
Groupe B: Feuille 7: Ex 1-3
Groupe C: Feuille 6: Ex 20, 22-24.

– Lundi 27 novembre:
Groupe A: Feuille 7: Ex 3, 6, 7.
Groupe B: Feuille 7: Ex 4,5(1-2)
Groupe C: Feuille 6: Ex 25. Feuille 7: Ex 1.

– Vendredi 1 Décembre:
Groupe A: Feuille 7: Ex 8, 12. Feuille 8: Ex 1 et début Ex 2.
Groupe B: Feuille 7: Ex 5(3-4), 6-10
Groupe C: Feuille 7: Ex 2, 3, 6, 9.

– Lundi 4 Décembre: Feuille de TD numéro 8
Groupe A: Feuille 8: Ex 2, 3.
Groupe B: Feuille 8: Ex 1-3,5
Groupe C: Feuille 7: Ex 4(1,2,3), 6, 7.

– Vendredi 8 Décembre:
Groupe A: Feuille 8: Ex 4, 7, 9, 10, 11. Ex: 12 (indications). Feuille 9: Début Ex 1.
Groupe B: Feuille 8: 6,8,14; Feuille 9: Ex 1-5
Groupe C: Feuille 8: Ex 1-3, Feuille 9: Ex 1-4.

– Lundi 11 Décembre:
Groupe A:Feuille 9: Ex 1,3, 5, 7.
Groupe B: Ex 7,8
Groupe C:

 
 
Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki