Licence de mathématiques
 

Table des matières

Algèbre IV - Printemps 2018

Programme du cours

Pour l'entraînement pour l'examen finale vous pouvez faire les sujets des années précédentes en bas de la page de Itaï BEN YAACOV sauf la géométrie affine qui n'est pas dans le programme cette année.

Il est aussi conseillé de bien travailler les fiches de Tds et en particulier , Notes de TDs Partie I et Notes de TDs Partie II redigées par Serge Parmentier (une bon = une base orthonormée)

La partie sur la décomposition de Fourier ne sera pas à l'еxamen, mais tout le reste du cours et des TDs peuvent être utile pour réussir l'examen.

Les cours d'algèbre IV: Algèbre Géométrique ont lieu jeudi matin de 7:45 à 9:45 et sont assurés par Olga Kravchenko

Les TD d'algèbre IV ont lieu le vendredi après-midi et sont assurés par:

Archives et notes des cours différents :

Términologie :

  • Isomorphisme = application linéaire bijective,
  • Endomorphisme = application linéaire d’un espace dans lui-même,
  • Automorphisme = endomorphisme bijectif = isomorphisme d’un espace dans lui même

Avancement du cours

  • 25 janvier 2018: Chapitre 1. Produit scalaire, produit hermitien. Définition, exemples fondamentaux, inégalité de Cauchy-Schwartz, norme associée au produit scalaire, identité du parallélogramme, formules de polarisation.
  • 1 février 2018 : Chapitre 2. Orthogonalité. Théorème de Pythagore. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, existence d'une base orthonormée dans un espace euclidien.
  • 8 février 2018 : Exemples de procédé Gram-Schmidt - polynômes de Legendre. Projection orthogonale sur un sous-espace. Existence et unicité.
  • 15 février 2018 : projecteur orthogonal sur un sous-espace F, formules dans une base orthogonale, lien avec Gram-Schmidt, la distance d'un vecteur à un sous-espace. Matrice de projecteur orthogonale dans une base orthogonale. Matrices et produit scalaire : matrice d'une application bilinéaire (ou sesquilinéaire), changement de base, cas du produit scalaire ou hermitien, définition matrice orthogonale et unitaire. Dualité dans les espaces euclidiens : définition du dual, théorème de représentation - isomorphisme entre E et son dual (sans preuve).
  • 1 mars 2018 : Rappel sur la dualité E et E* de dimension finie. Chapitre 3. Endomorphismes dans les espaces euclidiens : adjoint d'un endomorphisme. Expressions matricielles - d'abord dans une base orthonormale : M* = t M, et puis dans une base quelconque. Endomorphisme autoadjoint = la matrice est symétrique. Exemple :projection orthogonale sur un sous-espace. Automorphismes orthogonaux : U* = U-1. Groupe orthogonale On(R). Caractérisation des matrices orthogonales - la famille des colonnes (lignes) est orthonormale.
  • 15 mars 2018 : Adjoint et stabilisation. Le théorème spectral : soit u - symétrique, il existe une base orthonormé des vecteurs propres de u. Preuve - récurrence sur la dimension de l'espace. Chapitre 4. Le groupe orthogonal. Transformations orthogonales. Isométries linéaires = transformation orthogonal. Symétrie par rapport à un sous-espace. Reflexions.
  • 22 mars 2018 : Symétrie par rapport à un sous-espace. Reflexions. Isométries comme compositions des reflexions - Théorème (Cartan-Dieudonné) : toute isométrie (endomorphisme orthogonal) est une composition d'au plus n réflexions (n = dimension de l'espace). Base directe ou indirecte. Groupe O(2) - description complète. Forme générale d'une isométrie de l'espace réel en dimension n dans une base appropriée : 1 et -1 sur la diagonale et des rotations.
  • 29 mars 2018 : Groupe O(3) et angles orientés. Classification : soit A une matrice d'un automorphisme orthogonal U. Si le déterminant de A est 1 alors U est une rotation autour d'un vecteur propre de valeur propre 1 de l'angle t donné par Trace A = 2 cos t + 1, si le déterminant de A est 1 - alors U est une rotation autour d'un vecteur propre f de valeur propre - 1 de l'angle t donné par Trace A = 2 cos t - 1 suivi par la symétrie orthogonale par rapport au plan orthogonal de f.
  • 5 avril 2018 : Angles orientés. Produit mixte et vectoriel Dans un plan : angles non orientés (resp. orientés) sont défini comme les classes d'équivalence de couples de vecteurs. Relation d'équivalence : un couple de vecteurs est équivalent à un autre couple si quand on normalise les vecteurs il y a une isométrie (resp. rotation) envoyant le premiere couple vers le deuxième. Dans l'espace : le produit vectoriel et le produit mixtes. Le produit mixte donne le signe de l'angle dans la reconnaissance des isométries dans l'espace.
  • 12 avril 2018 Chapitre 5. Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien Endomorphismes auto-adjoints. Partie 1. Diagonalisation : théorème spectrale. Endomorphismes symétriques positifs (défini positifs), spectre positif. Racine carré d'un endomorphisme symétrique défini positif.
  • 26 avril 2018 Endomorphismes auto-adjoints. Partie 2. Théorème de de décomposition polaire - toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive.
  • 3 mai 2018 Chapitre 6. Décomposition de Fourier Famille orthogonale de fonctions. Coefficients de Fourier. Propriétés de développement de Fourier. L'inégalité de Bessel et l'égalité de Parseval.

Travaux Dirigés

12 séances de TD : 2, 9, 16 février, 2, 9, 16, 23 (Examen Mi-Parcours), 30 mars, 6,13,27 avril, 04 mai

Fiches de TD

Avancement :

Groupe A (au 13/04/18 après 10 TDs sur 12):
  • Fiche 1 : Exo 1: 1. a), b), c) et 2. Exo 2: 1. et 2. Exos 3, 8
  • Fiche 2 : Exo 1: I 1. et 2. et II. Exo 2: 1. Exo 5: complet
  • Fiche 3 : Exos 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • Fiche 4 : Exos 1, 4. Exo 5 1. 2. 3. 4. (en progression)
  • Fiche 4 bis : Exos 3,4,5,6,7,10,11
  • Fiche 5 : Exos 1,3, Exo 4 questions 1 et 2, Exo 6 en cours
Groupe B (au 30/03/18 après 8 TDs sur 12):
  • Fiche 1 : exos
  • Fiche 2 : exos
  • Fiche 3 : 1,2,3,4,5,7
  • Fiche 4 : Tout
  • Fiche 4 bis : Ex 3-4
  • Fiche 5 : Exo
Groupe C (au 06/04/18 après 10 TDs sur 12):
  • Fiche 1 : Exercices 1, 2, 3
  • Fiche 2 : Exercices 1, 2, 3, 4, 5
  • Fiche 3 : Exercices 1, 2, 3, 6, 7
  • Fiche 4 : Tout
  • Fiche 4 bis : Exercices 2, 3, 5, 6.1, 7
  • Fiche 5 : Exercices 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9(1,2)
Groupe D (au 06/04/18 après 9 TDs sur 12):
  • Fiche 1 : exos 1,2
  • Fiche 2 : exos 1, 3, 5, 6 (1)
  • Fiche 3 : exos 1, 3, 4, 5, 6, 7 (1,2)
  • Fiche 4 : exos 1, 2, 3, 4, 5 (1, 2)
  • Fiche 4 bis : exos 2, 3, 6, 7, 8, 9

Colles

Dans le programme des kholles de la semaine numéro n - les cours et les TDs des semaines n-1,n-2 et n-3

- Il faut connaitre le cours et aussi savoir faire les exercices types qui ressemblent aux exercices de TDs. Pour cela c'est utile de s’entraîner - on peut trouver des exercices corrigés sur l'internet comme par exemple Ici ou pas corrigés là

- Les dates sont sur tomuss, ainsi que les groupes K1,K2 etc

- Les salles correspondantes sont indiquées ici (mis à jour le 27/04): PAS DE RATTRAPAGE POSSIBLE

Examens

Consultation de copies de l'examen mi-parcours ainsi que l'examen finale est prévue à la fin du semestre - la date sera communiquée ultérieurement

 
 
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