Table des matières

Analyse 3

Analyse 3

Contrôle des connaissances

Contrôle partiel (CP) + Contrôle terminal (CT).

Le CP sera constitué de deux épreuves de 1h30 pendant le semestre.

La note à l'UE sera le maximum entre la moyenne CP(50%)+CT(50%) et la note de CT.

1ère épreuve (CP) : mercredi 19/10 Fiche et programme de révision, sujet et corrigé.

2nde épreuve (CP) : mercredi 7/12 sujet et corrigé

examen - mercredi 11/01 sujet et corrigé.

Séance de révision mercredi 30/10 à 9h45 Amphi Jordan : Fiche d'exercices (les exercices A & B pour le partiel et l'examen / les exercices C & D pour l'examen).

Cours

Enseignant : Thomas Blossier

Chapitre 1

Nombres réels

7/09 : Approche axiomatique de R : unique corps commutatif totalement ordonné satisfaisant l'axiome de la borne sup (existence et unicité admises). Propriétés de l'ordre. (Exemples/culture : Q est également un corps totalement ordonné, par contre le corps C ne peut être muni d'un ordre qui en fait un corps totalement ordonné.) Majorants, minorants, max, min, sup, inf, axiome de la borne supérieure. (Pour la culture : l'axiome de la borne supérieure entraîne la propriété d'Archimède - c.à.d. N n'est pas majoré - et le principe de récurrence - c.à.d. toute partie non vide de N admet un minimum -.) Caractérisations de la borne sup. Preuve de la convergence des suites monotones majorées/minorées. (Pour la culture : exemple d'une suite croissante majorée de rationnels qui ne converge pas vers un rationnel - i.e. Q ne satisfait pas l'axiome de la borne sup.) Suites adjacentes. Démo à connaître (caractérisations de la borne sup.) : étant donné un majorant M d'une partie non vide A, M est la borne supérieure de A si seulement si $\forall \varepsilon >0\; \exists a \in A, \; a > M-\varepsilon$ si seulement s'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers M.
14/09 : Théorème des valeurs intermédiaires. Suites extraites. Toute suite admet une sous-suite monotone. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy. Théorème des bornes atteintes (toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes). Théorème de Rolle. Démo à connaître : preuve par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires.
21/09 : Fonctions uniformément continues, exemple $x \mapsto \sqrt x$ sur $[0,+\infty[$ , contre-exemple $x \mapsto x^2$ sur R. Théorème de Heine. Exemple d'application : $x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ sur $]0,1]$ . Démo à connaître Preuve du théorème de Heine.

Chapitre 2

Intégrale de Riemann

21/09 : Diapos et illustrations sur Geogebra. Fonctions en escaliers. Une définition de l'intégrale. Propriétés de l'intégrale. Les fonctions continues par morceaux sont intégrables.
28/09 : Théorème fondamental du calcul intégral : soit $f :I \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors pour tout $a \in I$ , la fonction $F : I \to \mathbb{R}, \; x \mapsto \displaystyle \int_a^x f(t) dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$ . Corollaire : si $a,b \in I$ et $G$ est une primitive de $f$ , $\displaystyle \int_a^b f(t) dt = G(b)-G(a)$ . Intégration par parties : soit $u,v :[a,b] \mapsto \mathbb{R}$ deux fonctions $C^1$ , alors $\displaystyle \int_a^b u'(t)v(t) dt = u(b)v(b)- u(a)v(a) - \int_a^b u(t)v'(t) dt.$ Changement de variables : soit $f :[a,b] \to \mathbb{R}$ continue et $\varphi : [\alpha,\beta] \to [a,b]$ de classe $C^1$ telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ , alors $\displaystyle \int_a^b f(x) dx =\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt$ . Démo à connaître : preuve intégration par parties.

Chapitre 3

Introduction au calcul numérique d'une intégrale

28/09 : Diapos et illustrations sur Geogebra. Sommes de Riemann et vitesse de convergence dans le cas d'une fonction $C^1$ . Méthodes des rectangles, des trapèzes. Interpolation de Lagrange. Méthodes simples/méthodes composites

Chapitre 4

Intégrales impropres

12/10 : Définition (convergence/divergence). Premiers exemples. Intégrales de Riemann : $\int_1^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha} dt$ converge ssi $\alpha>1$ . Linéarité, monotonie, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives : critère de convergence, premier théorème de comparaison (cas où $f$ est majorée par $g$ au voisinage de $+\infty$ ). Démo à connaître - critère de convergence de $\int_a^{+\infty} f(t) dt$ pour $f \geq 0$ : $x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt$ est une fonction croissante et $\int_a^{+\infty} f(t) dt$ converge ssi $x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt$ est majorée.

26/10 : Fonctions à valeurs positives-Théorèmes de comparaison (suite) : cas où $f=O(g)$ , où $f \sim g$ , où $f(t)/g(t)$ tend vers $0$ , $\ell >0$ ou $+\infty$ en $+\infty$ . Intégrales de Bertrand : $\int_2^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha (\ln t)^\beta} dt$ converge ssi $\alpha>1$ ou $(\alpha=1 \text{ et } \beta>1)$ . Fonctions de signes arbitraires : Intégrales absolument convergentes et inégalité triangulaire. Exemple/contre-exemple. Intégrales semi-convergentes. Exemple : $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}t dt$ . Intégrales impropres sur $[a,b[$ , $]a,b]$ , $]-\infty,b]$ , $]a,b[$ …Exemples: $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt t} dt$ , $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$ . Intégrations par parties. Formule du changement de variables. Exemple: $\int_0^{+\infty} \frac{t^{-1/3}}{1+t} dt$ . Démo à connaître : Une intégrale absolument convergente est convergente.
9/11 : Critère de Cauchy pour les fonctions en $+\infty$ . Critère de Cauchy pour les intégrales impropres en $+\infty$ . Application : une autre preuve du fait qu'une intégrale absolument convergente est convergente.

Chapitre 5

Séries numériques

9/11 : Généralités : Notation, définitions, première propriété : si la série $\sum u_n$ converge alors la suite $(u_n)$ converge vers $0$ , premiers exemples : séries géométriques, exponentielles, harmonique, $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac 1 {n(n+1)}$ , linéarité et monotonie, critère de Cauchy, séries absolument convergentes, exemple des séries géométriques, preuve par le critère de Cauchy qu'une série absolument convergente est convergente. Séries à termes positifs : Caractérisation de la convergence des séries à termes positifs, théorème de comparaison
16/11 : Séries à termes positifs (suite) : exemple des développement décimaux, seconde preuve que la convergence absolue d'une série implique sa convergence. Corollaire du théorème de comparaison (deux séries à termes positifs équivalents sont de même nature, et cas où le rapport des termes admet une limite finie ou infinie), exemples : $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac 1{n^2}$ , $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \sin\left(\frac {\pi}{2^n}\right)$ , $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{\ln(n)}{n^3}$ , $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{\ln(n)}{n}$ , $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\sqrt n}$ , $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n+\ln(n)}{n^3}$ , $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n+\sqrt n}{n^2}$ , règle de Cauchy (supposons que $\sqrt[n]{u_n} \longrightarrow \ell$ , si $\ell <1$ alors $\sum u_n$ converge; si $\ell >1$ alors $\sum u_n$ diverge, si $\ell=1$ , on ne peut conclure), règle de d'Alembert (supposons que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow \ell$ , si $\ell <1$ alors $\sum u_n$ converge; si $\ell >1$ alors $\sum u_n$ diverge, si $\ell=1$ , on ne peut conclure). Démo à connaître : deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ à termes strictement positifs telles que $u_n \sim v_n$ , sont de même nature.
23/11 : Séries à termes positifs (fin) : exemples d'utilisation de la règle de d'Alember (retour sur les séries exponentielles,…). Théorème (comparaison avec une intégrale) : soit $f:[a,+\infty[\to \mathbb{R}$ une fonction positive et décroissante, et $n_0 \geq a$ . Alors $\displaystyle \sum_{n\geq n_0} f(n)$ et $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) dt$ sont de même natures. De plus, si elles convergent, on a les inégalités $\displaystyle \sum_{n= n_0+1}^{+\infty} f(n) \leq \int_{n_0}^{+\infty} f(t) dt \leq \sum_{n= n_0}^{+\infty} f(n)$ . Séries de Riemann : $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha>1$ ; règle de Riemann : si $n^\alpha u_n \rightarrow \ell \in ]0,+\infty[$ , alors $\sum u_n$ converge ssi $\alpha>1$ ; si $n u_n \rightarrow \ell \in ]0,+\infty[ \cup \{+\infty\}$ , alors $\sum u_n$ diverge, si pour un réel $\alpha >1$ , $n^\alpha u_n \rightarrow 0$ , alors $\sum u_n$ converge. Séries à termes de signes quelconques : Séries semi-convergentes (exemple). Critère des séries alternées. Produit de Cauchy : cas des séries absolument convergentes. Démo à connaître : théorème de comparaison séries/intégrales en partant de l'énoncé avec $a=n_0=0$ .

Travaux dirigés

Feuilles de TD

Feuille 1 : Nombres réels
Feuille 2 : Intégrales sur un segment
Un corrigé du devoir maison (exercice 7 feuille 2)
Feuille 3 : Intégrales impropres
Feuille 4 : Séries numériques

Avancement

Groupe A -- Tuna Altınel

14/09. Feuille 1 : Exercices 1, 2, 3, 4, 5(1) partiellement fait.
21/09. Feuille 1 : Exercices 5, 6, 7, 8(1, 2).
28/09. Feuille 1 : Exercices 8(3), 10, 11, 12, 13, 15, 17, 20.
12/10. Feuille 2 : Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 11(a,b).
19/10. Feuille 2 : Exercices 9, 11(c,d,e,f,h), 12(a,b,c,d).
26/10. Feuille 3 : Exercices 1, 2, 3(a,b), 6(a).
09/11. Feuille 3 : Exercices 3(c-f), 4, 5, 7, 8.
16/11. Feuille 3 : Exercices 9, 12(a,b), 13.
23/11. Feuille 4 : Exercices 1, 2, 3, 4, 6.
30/11. Feuille 4: Exercices 8, 9.

Groupe B -- Thomas Blossier

14/09. Feuille 1 : Exercices 1 (partiellement), 2, 3, 4, 6 ((trop) rapidement).
21/09. Feuille 1 : Exercices 5, 8, 10, 11.
28/09. Feuille 1 : Exercices 13, 12, 15, 17, 18, 20.
12/10. Feuille 2 : Exercices 1, 2, 3, 4, 5(1).
19/10. Feuille 2 : Exercices 5(2), 11(a,b,c,d), 12(a,b,c,d,e), 9.
26/10. Feuille 2 : Exercices 11 (e,f), 12 (g,h). Feuille 3 : Exercices 1, 2(1).
9/11. Feuille 3 : Exercices 2(2), 3, 5, 6.
16/11. Feuille 3 : Exercices 4, 7, 8, 9, 10(1).
23/11. Feuille 3 : Exercices 10(2), 13. Feuille 4 : Exercices 1, 2, 3(a).
30/11. Feuille 4 : Exercices 3, 4, 6, 7, 8, 9 (a,c,d,e).
7/12. Feuille 4 : Exercices 9(f-l), 10, 11, 12, 14.

Groupe C -- Ivan Gentil

14/09. Feuille 1 : exo 1, 2, 3, 4.
21/09. Feuille 1 : exo 5, 6, 7, 9 et 10. Pour le 28/01 faire le 8 et le 11.
28/09. Feuille 1 : exo 8, 11, 13, 20 (question 1 et 2). Feuille 2 : exo 2 question 1.
12/10. Feuille 1 : exo 17. Feuille 2 : exo 1, 3, 4, 5, 9 (a).
26/10. feuille 2, exo 11 (i), exo 12 (d) (g) (h). Feuille 3 exo 1 et 2.
9/11. Feuille 3 exo 3 et 5.
16/11. Feuille 3 exo 7, 6, 4, 8, 9.
23/11. feuille 3 exo 9. Feuille 4 exo 1, 8
30/11 Feuille 4 exo 2, 3, 4, 6 9.
7/12.

Groupe E -- Simon Robert

14/09. Feuille 1 : Exercices 1, 2, 3, 4
21/09. Feuille 1 : Exercices 5, 6, 7 questions 1 et 2, intuition sur la 3 ; 8, 10, 11, 12, 15 rapidement, on y reviendra en séance 3.
28/09. Feuille 1 : Exercices 13, 16, 17, 18, 20, parenthèse sur la visualisation graphique de l'uniforme continuité. Preuve de “f UC° sur I_1 et I_2 d'intersection non vide ⇒ f UC° sur I_1 U I_2”
12/10. Feuille 2 : Exercices 1, 2, 4, 5, un tout petit peu du 11.
19/10. Feuille 2 : Exercices 3, 9, 11 a) à f), 12 a), b)
26/10. Feuille 2 : Exercices 12 fin, 8. Feuille 3 : Exercices 1, 2, 4.
09/11. Feuille 3 : Exercices 5, 6, 7, 8, 9, 10.
16/11. Feuille 3 : Exercices 11, 12, 13, 14.
23/11. Feuille 4 : Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Travaux pratiques (le 5 octobre)

Les TP se feront en Python sur la Plateforme Jupyter du département de mécanique de Lyon 1

Feuilles de TP

TP0 : Introduction à Python (autre format sur une colonne)
TP1 : Méthodes d'intégration numérique.

Programme de l'UE

Nombres réels : sup, inf. Relations d’ordre. Retour sur la preuve de la convergence des suites monotones minorées/majorées. Suites extraites, preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, preuve du théorème de Weierstrass (théorème des bornes). Continuité uniforme.

Intégrale de Riemann : fonctions en escaliers. Fonctions continues par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Sommes de Riemann : si f : [a, b] → R est continue par morceaux alors la somme de Riemann (b-a)/n∑_{k=0}^nf(a+k(b-a)/n) tend vers l'intégrale de f sur [a,b]. Preuve dans le cas où f est C1. Théorème fondamental du calcul intégral (preuve).

Méthode des rectangles, des trapèzes. Polynômes d’interpolation de Lagrange et construction de formules de quadrature.

Intégrales généralisées pour les fonctions f : I → R continues par morceaux sur un intervalle I de R. Convergence. Linéarité, positivité, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales de Riemann et de Bertrand. Théorèmes de comparaison. Convergence absolue. Exemple d'intégrale semi-convergente. Changements de variables. Intégration par parties. Abel hors programme.

Séries numériques. Convergence. Linéarité, positivité. Séries à termes positifs. Théorèmes de comparaison. Critères de Cauchy et de d'Alembert.

Comparaison série/intégrales. Séries de Riemann et de Bertrand. Convergence absolue. Absolue convergence implique convergence. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Séries semi-convergentes. Séries alternées. Le critère d’Abel est hors programme.

Référence bibliographique

François Liret et Dominique Martinais, Analyse 1ère année (Chapitres 1, 4, 9, 10, 16) - Analyse 2ème année (Chapitres 1 & 2)