Cette page (en évolution) contient les informations relatives au cours d'algèbre 1B dans le parcours progressif de L1.

Le programme est disponible ici.

• Nombres complexes : (la construction de C est hors programme) forme algébrique (parties réelle et imaginaire), opérations, conjugaison, module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d'Euler, formule de Moivre. Rappels et applications à la trigonométrie : linéarisation / polynomialisation. Racines n-ièmes. Extension au cas complexe des sommes géométriques, de la factorisation de aⁿ – bⁿ par a – b et de la formule du binôme de Newton.
• Interprétation géométrique des complexes : droites, cercles, affixe d'un point, d'un vecteur, interprétation du module, de l'argument, de la conjugaison,
• Équations polynomiales de degré deux : équations à coefficients réels, équations à coefficients complexes.
• Polynômes sur R ou C. La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, théorème de d'Alembert-Gauss (admis).
• Fractions rationnelles. Forme irréductible d'une fraction rationnelle. Fonction rationnelle. Degré, partie entière, zéros et pôles, multiplicités. Décomposition en éléments simples.

Cours : M. Jérôme Germoni — mél

Travaux dirigés :

• Groupe A : Mme Véronique Battie – mél
• Groupe B : M. François Denizou – mél
• Groupe C : M. Grégoire Ranson – mél

Tutorat : à préciser

Légende :

• CM = cours magistral (de 14 h à 15 h 30 le jeudi) ;
• TD = travaux dirigés (de 9 h 45 à 13 h) ;
• Tu = tutorat (de 14 h à 15 h 30 s'il n'y a pas CM ; de 15 h 45 à 17 h 15 s'il y a CM).

• Nombres complexes
• Polynômes (début)

• Feuille n° 1 : Nombres complexes
• Feuille n° 2 : Polynômes

• Trois tests d'une heure : on obtient trois notes CC1, CC2, CC3 dont on fait la moyenne CC
• Un examen final : la note sera désignée par CT
• Note de l'UE :
  • UE = CT × 0,4 + CC × 0,6 (c'est-à-dire CT × 0,4 + CC1 × 0,2 + CC2 × 0,2 + CC2 × 0,2 s'il n'y a pas d'absence)

• Contrôle continu : 11 février (sujet ; sujet avec solution), 18 mars (sujet ; sujet avec solution), 8 avril (sujet ; sujet avec solution)
• Contrôle terminal : 7 mai (sujet, sujet avec solution)
• Deuxième session : 26 juin (sujet, sujet avec solution)

• Évaluations du printemps 2024 (l'an dernier) :
  • CC1 (sujets avec solutions), CC2 (sujets avec solutions), CC3 (sujets avec solutions)
  • Contrôle final (sujet avec solutions)
  • Deuxième session (sujet avec solutions)
• Ce cours téléchargeable d'Alain Soyeur, François Capaces, Emmanuel Vieillard-Baron est une référence utile couvrant toutes les mathématiques de première année.
• Le site Exo7 nous donne beaucoup d'exercices avec les corrigés.

• 21 et 23 janvier : nombres complexes : définition ; partie réelle, partie imaginaire, conjugaison ; représentation dans un plan ; module (définition et interprétation comme hypoténuse d'un triangle rectangle)
• 30 janvier : propriétés du module (module du conjugué, du produit, de l'inverse, du quotient…) ; inégalité triangulaire ; racines carrées (définition, exemples, recherche des racines de 5 – 12i
• 6 février : racines carrées, cas général (existence de deux racines carrées et démonstration) ; équation de degré 2, exemple (CC2 de 2024)
• 20 février : rappels sur le cosinus et le sinus, argument d'un nombre complexe de module 1, exponentielle complexe (additivité), Euler et Moivre, arguments d'un nombre complexe non nul, écriture géométrique/exponentielle, critère d'égalité (modules égaux, arguments égaux à 2π près)
• 13 mars : racines n-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe
• 20 mars : polynômes : notion d'anneau (axiomes, binôme de Newton et factorisation de aⁿ-bⁿ) ; introduction de K[X] où K = R ou C, opérations ; degré, degré d'un produit et d'une somme ; évaluation, racine (a est racine SSI P(X) = (X-a)Q(X) pour Q convenable) ; dérivation, linéarité et formule de Leibniz
• 27 mars : formule de Taylor ; multiplicité d'une racine (caractérisation par les dérivées et par la factorisation) ; début de l'arithmétique : divisibilité et division euclidienne (énoncé, un exemple et la démonstration de l'existence)
• 3 avril : pgcd (unicité en exercice, existence pas encore assurée), algorithme d'Euclide (d'où l'existence du pgcd), identité de Bézout (pas démontrée) ; polynômes premiers entre eux, lemme de Gauss (démontré) ; polynômes irréductibles, examen en petit degré (degré 1 ⇒ irréductible, degré 2 ou 3 ⇔ pas de racine, cas de C et R, équivalence fausse en degré ≥4) ; factorisation unique (énoncé général, énoncé sur C puis sur R ; théorèmes pas démontrés)

• 28 janvier :
  • groupe A → feuille n° 1 : 1, 2 (à finir pour certains étudiants), 3 (revoir e,f,h), 4.1, 6.1.
  • groupe B → feuille n° 1 : ex. 1 (a,b,c,d,e) à finir 3 (a,b,c,g) d,f,h à faire ex. 4 (a,b,c) d à faire + identités remarquables.
  • groupe C → feuille n° 1 : ex. 1 (a-e), 3 (a, c, d), 6, 7.
• 4 février :
  • groupe A → feuille n°1 : 3(e), 7(b,c), 8(a,b,c), 10(a). Etude du CC1 de l'an dernier (1h).
  • groupe B → Calculs dans C, conjugués, racine carrée (8a,b,c et 10a,c); VF CC1
  • groupe C →
• 11 février :
  • groupe A → CC1 (1h), feuille n°1 : 8(d,e), 11, 12 a) à finir pour certains étudiants.
  • groupe B → CC1 (1h), feuille n°1 : 9(1,2),11, 12 a)b) à finir
  • groupe C →
• 18 février :
  • groupe A → 1.38 page 57 du livre indiqué ci-dessus (à partir de l'écriture algébrique) ; feuille 1 : 4.2, 9, 12 (à finir pour certains étudiants).
  • groupe B → Calculs dans C, racines carrées, équation du 2nd degré, ex 10 - 2c) avec recherche d'une racine imaginaire pure et factorisation
  • groupe C →
• 11 mars :
  • groupe A → feuille n°1 : 15, 3b du CC2 2024-2025, retour feuille n°1 : 16, 17 (question 1 uniquement).
  • groupe B → feuille n°1 : 4, 15 a),b) d) et 2. Ecritures trigonométriques
  • groupe C →
• 18 mars :
  • groupe A → CC2 (1h), feuille n°1 : 17, 13 (à finaliser), 19.1
  • groupe B → CC2 (1h), feuille n°13 (sauf 2b à faire chez soi), n°20 a (c à faire chez soi)
  • groupe C →
• 25 mars :
  • groupe A → feuille n°1 : 18, 19.2, 20a, 21, 22.1, 23 a)b)c).
  • groupe B → feuille n°1 : 26, 20c), 24 (sauf f(C)=C)
  • groupe C →
• 1er avril :
  • groupe A → Exercice 3 CC3 printemps 2024, feuille n°2 : 1, 10 a)d)f).
  • groupe B → feuille n°2 : 2, 4 et 6 1,2,3) à finir
  • groupe C →
• 8 avril :
  • groupe A → CC3 (1h), feuille n°2 : 16 (10 e), 17, 18.1.2.
  • groupe B → CC3 (1h), feuille n°2 : 18 1&3, ex 4 CT 2023 - 2024
  • groupe C →

• La page de l'UE de 2023-2024.
• La page de l'UE de 2022-2023 par Francesco Fanelli.