Analyse 4 Page du cours de Stéphane Attal

Cours

Le programme (succinct) du cours pour ce semestre est le suivant :

Espaces vectoriels normés

Normes, convergence des suites dans les E.V.N., séries dans les E.V.N.

Topologie

Ouverts, fermés, intérieur, adhérence, compacité

Séries de fonctions

Généralités, régularité, séries entières.

Calcul différentiel

Fonctions de plusieurs variables dans les E.V.N., continuité. Différentiabilité, différentielle, formule de dérivation des fonctions composées.

Avancement du cours

22/01 : E.V.N. (1)

Norme, exemples des normes_p et norme_infini dans K^n, exemples des normes_p et norme_infini dans les espaces de fonctions (démonstration hors programme), distance associée.

Boules, bornitude.

Tout espace vectoriel de dimension finie admet une norme. Norme dans les produits cartésiens d'E.V.N.

Suite dans les E.V.N., convergence des suites.

29/01 : E.V.N. (2 et fin)

Convergence d'une suite ⇒ convergence de la suite des normes. Limite de $a u_n+ b v_n$.

Equivalence de normes. Equivalence ⇒ mêmes suites convergentes, mêmes limites, mêmes éléments bornés. La norme_infini n'est pas équivalente à la norme_1 dans $C([0,1])$.

Toutes les normes sont équivalentes dans les E.V.N. de dimension finie (démonstration hors programme)

Convergence dans les E.V.N. produits. Critère de convergence coordonnée par coordonnée.

Séries dans les E.V.N., convergence absolue ⇒ convergence.

06/02 : Topologie des E.V.N.

Voisinages, ouverts. Ouverts stables par union quelconque et par intersection finie. Produit cartésien d'ouverts est ouvert.

Fermés comme complémentaires d'ouverts. Stables par intersection quelconque et union finie.

Caractérisation séquentielle des fermés.

13/02 : Topologie des E.V.N. (2)

Produit cartésien de fermés est fermé. Les singletons et les ensembles finis sont fermés. Les sphères sont fermées.

Intérieur. Caractérisations équivalentes.

Adhérence ou fermeture. Caractérisation séquentielle. Caractérisation par “tous les voisinages intersectent A”.

Complémentaire de la fermeture etc

Frontière

27/02 : Topologie des E.V.N. (3)

La première heure était consacrée au D.S.1

Ensuite, en deuxième heure j'ai fait :

Définition de limite et de continuité pour f : E –> F, avec epsilon, delta. Théorèmes usuels (sommes de limites, limite coordonnées par coordonnées, etc)

Caractérisation de la continuité par f^{-1}(ouvert) = ouvert etc. Exemples d'applications : {(x,y}/ x+y=1} est fermé, l'ensemble des matrices inversibles est ouvert, etc. Ils doivent lire chez eux la section sur “Densité” que j'ai mise dans le poly.

J'ai défini compact par existence de sous-suite convergente. J'ai montré que compact implique fermé, borné.

06/03 : Topologie des E.V.N. (4 et fin)

Les fermés bornés sont compacts en dim finie. Contre-exemple en dim infinie. Convergence des suites dans les compacts, unique valeur d'adhérence. Les sous-espaces de dim finie sont toujours fermés.

L'image continue d'un compact est compacte. Une fonction continue sur un compact atteint toujours son sup et son inf.

Applications : distance à un fermé en dim finie, distance à un compact en dim quelconque.

13/03 : Suites et séries de fonctions (1)

Uniquement des fonctions sur des EVN de dim finie

I : Suites de fonctions

Convergence simple (CVS), convergence uniforme (CVU). Caractérisation par la convergence vers 0 de sup{|f_n(x)-f(x)|, x\in[a,b]}

Rappel sur suite de Cauchy. Critère de Cauchy uniforme pour les suites de fonctions. Equivalent à convergence uniforme

Si (f_n) CVU vers f et si chaque f_n est continue alors f est continue

II : Séries de fonctions

Définition de la somme partielle S_N, de série convergente, du reste R_N (pour les séries de fonctions)

CVS, CVU

CVU de la série ⇔ R_n CVU vers 0

Critère de Cauchy uniforme appliqué aux séries de fonctions

Convergence absolue (CVA)

Convergence normale (CVN)

20/03 : Suites et séries de fonctions (2 et fin)

Théorème de la double limite pour les suites de fonctions. Un contre-exemple pour voir que l'uniforme convergence est vraiment nécessaire. Démonstration détaillée du théorème.

Interversion limite-continuité pour les suites de fonctions, interversion somme-continuité pour les séries de fonctions.

Interversion limite-intégrale pour les suites de fonctions, interversion somme-intégrale pour les séries de fonctions.

Interversion limite-dérivée pour les suites de fonctions, interversion somme-dérivée pour les séries de fonctions.

Théorème de dérivation C^p pour les suites et pour les séries de fonctions.

27/03 : Séries entières (1)

Définition des séries entières, domaine de convergence, somme. Un premier exemple.

Rayon de convergence comme sup des r tels que (a_n r^n) est bornée. La série converge pour |z|<R et diverge grossièrement pour |z|>R. Le domaine de convergence est compris entre la B(0,R) ouverte et la B(0,R) fermée.

Il y a convergence normale sur tout disque fermé de rayon <R. Il n'y a pas cv normale sur B(0,R). La somme d'une série entière est continue sur B(0,R).

Calcul du rayon de convergence : comme unique seuil pour lequel en dessous ça converge, au delà ça diverge. Par d'Alembert. Par Cauchy. Cas des séries lacunaires.

Si a_n=O(b_n) alors R_a\geq R_b. Idem si a_n=o(b_n). Si a_n equivalent à b_n alors R_a=R_b.

03/04 : Séries entières (2 et fin)

Les séries sum_n a_n z^n et sum_n n a_n z^n ont même rayon de convergence. Idem pour \sum_n n^alpha a_n z^n, pour tout alpha dans R.

Sommes et produits de séries entières. Rayon de convergence.

Séries entières de la variable réelle. Intervalle de convergence. Série dérivée, série primitive. Les séries entières sont C^\infty. Les coefficients a_n sont donnés par S^{(n)}(0)/n!. Si deux séries coïncident sur un voisinage de 0 alors elles sont égales.

Fonctions développables en séries entières. Si f est DSE alors elle est C^\infty et ces coefficients sont donnés par f^{(n)}(0)/n!.

Exemple de fonction C^\infty qui n'est pas DSE.

Les fonctions DSE sont stables par combinaisons linéaires“aires, produits, conjugaison, partie réelle, partie imaginaire, dérivée, primitive.

10/04 : Calcul différentiel

Développement limité à l'ordre 1 et définition de la différentielle, de différentiable. Deux exemples à la main.

D(af+bg), D(fg) quand c'est défini. Et surtout D(fog).

En coordonnées. Notion de dérivée directionnelle. Lien avec la différentielle. Dérivées partielles. Exemples. Matrice jacobienne. Lien avec la différentielle. Exemples.

Application de D(fog) en matrice jacobienne : les dérivations en chaine.

Travaux dirigés

TD de Stéphane Attal

Séance du 29/01

Fiche 1, Exercice 1 et 2 en entier. Le 3 est à faire à la maison (correction rapide la semaine prochaine).

Séance du 05/02

Fiche 1 entièrement terminée.

Séance du 12/02

Une partie de fiche 2 et de fiche 3. Les fiches sont à terminer pour les vacances.

Séance du 26/02

Corrigé complet de fiches 2 et 3 hors compacts.

Séance du 05/03

Tous les exosmoses sur les compacts, fiche 3

Séance du 12/03

Fiche 4, Ex 1,3 et 4

Séance du 19/03

Fiche 5, ex 1 et 2, début du 7

TD Groupe B (Francis Clarke)

Au 7/05, après 12 TD sur 12 :

Fiche 1 : Exer 1 à 6

Fiche 2 : Exer 1 à 3

Fiche 3 : Exer 1 à 7

Fiche 4 : Exer 1 à 6

Fiche 5 : Exer 1 à 10 (sauf 5)

Fiche 6 : Tout (sauf 10)

Fiche 7/8 : rappels de cours, Exer 1 à 4

TD Groupe C (Tuna Altınel)

Séance du 29/01

Fiche 1: Exercice 1, 2, 3.1, 3.2 .

Séance du 5/02

Fiche 1 : Tout sauf le dernier exercice sur la topologie . Fiche 2 : Exercice 1.1, 1.2 .

Séance du 12/02

Fiche 2: Terminée. Fiche 3: Exercices 2 et 4 (dans R)

Séance du 26/02

Fiche 3: Exercices 1, 3, 4 (dans R^2)

Séance du 05/03

Fiche 3: entièrement finie. Fiche 4: Exercice 1, sauf le dernier point.

Séance du 12/03

Fiche 4: Tout sauf l'exercice 7.

Séance du 19/03

Fiche 5: Exercices 1, 2, 7.1, 7.2.

Séance du 26/03

Fiche 5: Exercices 3, 4.

Fiche 5bis: Exercices 1, 2.1-4.

Séance du 09/04

Fiche 6: Exercices 1 - 6 (6.3.c et d sont laissés comme exercice d'entraînement)

Séance du 23/04

Fiche 6: Exercices 7 - 12

Séance du 30/04

Fiche 6: Exercices 13, 14 (les deux derniers points laissés comme exercice)

Fiche 7 (faute de frappe pour le numéro de fiche) : Exercice 1, exemples simples de différentiabilité: applications linéaires, en particulier la trace.

Séance du 07/05

Fiche 7: Les quatre premiers exercices faits entièrement. Exemples supplémentaires: la différentiabilité du cube d'une matrice carrée, la non différentiabilité de la norme au vecteur nul.

TD Groupe D (Nadine Badr)

Séance du 29/01

Fiche 1: Exercice 1 à 4 .

Séance du 5/02

Reprise des exercices 3-4 de la fiche 1 (vu le changement des groupes). Puis Ex 5, 6.

Fiche 2: Ex 1.1

Séance du 12/02

Fiche 2: Ex 1 à 3. Fiche 3: Ex 2 .

Séance du 26/02

Fiche 3: Exercices 1, 3, 4 (dans R et le 1er exemple dans R^2)

Séance du 05/03

Fiche 3: Fin de le la fiche 3. Fiche 4: Ex 1.1

Séance du 12/03

Fiche 4: Ex 1 à 6. Corrigé de l'Ex 7 distribué.

Séance du 19/03

Fiche 5: Ex 1, 2, Ex 3 (1, 2), Ex 6, Ex 7 (3, 4, 5), Ex 9 (2) .

Séance du 26/03

Fiche 5: Ex 3, 4, Ex 10 (1, 2) , Ex 12 (2, 4) . Devoir maison : Exercices 1 et 2 de la Fiche 5bis à préparer pour Lundi 9 Avril.

Séance du 09/04

Fiche 6: Ex 1 à 4 .

Séance du 23/04

Fiche 6: Ex 5, 6, 8, 9. Ex 10.1 .

Séance du 30/04

Fiche 6: Ex 10, 11, 13, 14 (sauf 4.)

Séance du 07/05

Fiche 7: Ex 1 à 4 .

Devoirs surveillés

Il y aura 3 D.S. ce semestre

1er D.S. : 27 Février en C.M. (E.V.N. et topologie), durée 1h

Le sujet du D.S.1 ds1.pdf

Un corrigé rapide du D.S.1, avec un barème qui n'est pas définitif ds1_c.pdf

2ème D.S. : 26 Mars en T.D. (Topologie et séries de fonctions), durée 1h. Sujet et correction : ds2_sujet_v2.pdf

3ème D.S. : 24 Avril en C.M. (Calcul différentiel), durée 1h

Colles

mis à jour le 27/04/2018 :

Il n'y a plus de séances (et pas de rattrapage possible)

Les dates sont sur tomuss, ainsi que les groupes K1,K2,K3 et K4

 
 
Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki