Le programme (succinct) du cours pour ce semestre est le suivant :
Normes, convergence des suites dans les E.V.N., séries dans les E.V.N.
Ouverts, fermés, intérieur, adhérence, compacité
Généralités, régularité, séries entières.
Fonctions de plusieurs variables dans les E.V.N., continuité. Différentiabilité, différentielle, formule de dérivation des fonctions composées.
Norme, exemples des normes_p et norme_infini dans K^n, exemples des normes_p et norme_infini dans les espaces de fonctions (démonstration hors programme), distance associée.
Boules, bornitude.
Tout espace vectoriel de dimension finie admet une norme. Norme dans les produits cartésiens d'E.V.N.
Suite dans les E.V.N., convergence des suites.
Convergence d'une suite ⇒ convergence de la suite des normes. Limite de .
Equivalence de normes. Equivalence ⇒ mêmes suites convergentes, mêmes limites, mêmes éléments bornés. La norme_infini n'est pas équivalente à la norme_1 dans .
Toutes les normes sont équivalentes dans les E.V.N. de dimension finie (démonstration hors programme)
Convergence dans les E.V.N. produits. Critère de convergence coordonnée par coordonnée.
Séries dans les E.V.N., convergence absolue ⇒ convergence.
Voisinages, ouverts. Ouverts stables par union quelconque et par intersection finie. Produit cartésien d'ouverts est ouvert.
Fermés comme complémentaires d'ouverts. Stables par intersection quelconque et union finie.
Caractérisation séquentielle des fermés.
Produit cartésien de fermés est fermé. Les singletons et les ensembles finis sont fermés. Les sphères sont fermées.
Intérieur. Caractérisations équivalentes.
Adhérence ou fermeture. Caractérisation séquentielle. Caractérisation par “tous les voisinages intersectent A”.
Complémentaire de la fermeture etc
Frontière
La première heure était consacrée au D.S.1
Ensuite, en deuxième heure j'ai fait :
Définition de limite et de continuité pour f : E –> F, avec epsilon, delta. Théorèmes usuels (sommes de limites, limite coordonnées par coordonnées, etc)
Caractérisation de la continuité par f^{-1}(ouvert) = ouvert etc. Exemples d'applications : {(x,y}/ x+y=1} est fermé, l'ensemble des matrices inversibles est ouvert, etc. Ils doivent lire chez eux la section sur “Densité” que j'ai mise dans le poly.
J'ai défini compact par existence de sous-suite convergente. J'ai montré que compact implique fermé, borné.
Les fermés bornés sont compacts en dim finie. Contre-exemple en dim infinie. Convergence des suites dans les compacts, unique valeur d'adhérence. Les sous-espaces de dim finie sont toujours fermés.
L'image continue d'un compact est compacte. Une fonction continue sur un compact atteint toujours son sup et son inf.
Applications : distance à un fermé en dim finie, distance à un compact en dim quelconque.
Uniquement des fonctions sur des EVN de dim finie
Convergence simple (CVS), convergence uniforme (CVU). Caractérisation par la convergence vers 0 de sup{|f_n(x)-f(x)|, x\in[a,b]}
Rappel sur suite de Cauchy. Critère de Cauchy uniforme pour les suites de fonctions. Equivalent à convergence uniforme
Si (f_n) CVU vers f et si chaque f_n est continue alors f est continue
Définition de la somme partielle S_N, de série convergente, du reste R_N (pour les séries de fonctions)
CVS, CVU
CVU de la série ⇔ R_n CVU vers 0
Critère de Cauchy uniforme appliqué aux séries de fonctions
Convergence absolue (CVA)
Convergence normale (CVN)
Théorème de la double limite pour les suites de fonctions. Un contre-exemple pour voir que l'uniforme convergence est vraiment nécessaire. Démonstration détaillée du théorème.
Interversion limite-continuité pour les suites de fonctions, interversion somme-continuité pour les séries de fonctions.
Interversion limite-intégrale pour les suites de fonctions, interversion somme-intégrale pour les séries de fonctions.
Interversion limite-dérivée pour les suites de fonctions, interversion somme-dérivée pour les séries de fonctions.
Théorème de dérivation C^p pour les suites et pour les séries de fonctions.
Définition des séries entières, domaine de convergence, somme. Un premier exemple.
Rayon de convergence comme sup des r tels que (a_n r^n) est bornée. La série converge pour |z|<R et diverge grossièrement pour |z|>R. Le domaine de convergence est compris entre la B(0,R) ouverte et la B(0,R) fermée.
Il y a convergence normale sur tout disque fermé de rayon <R. Il n'y a pas cv normale sur B(0,R). La somme d'une série entière est continue sur B(0,R).
Calcul du rayon de convergence : comme unique seuil pour lequel en dessous ça converge, au delà ça diverge. Par d'Alembert. Par Cauchy. Cas des séries lacunaires.
Si a_n=O(b_n) alors R_a\geq R_b. Idem si a_n=o(b_n). Si a_n equivalent à b_n alors R_a=R_b.
Les séries sum_n a_n z^n et sum_n n a_n z^n ont même rayon de convergence. Idem pour \sum_n n^alpha a_n z^n, pour tout alpha dans R.
Sommes et produits de séries entières. Rayon de convergence.
Séries entières de la variable réelle. Intervalle de convergence. Série dérivée, série primitive. Les séries entières sont C^\infty. Les coefficients a_n sont donnés par S^{(n)}(0)/n!. Si deux séries coïncident sur un voisinage de 0 alors elles sont égales.
Fonctions développables en séries entières. Si f est DSE alors elle est C^\infty et ces coefficients sont donnés par f^{(n)}(0)/n!.
Exemple de fonction C^\infty qui n'est pas DSE.
Les fonctions DSE sont stables par combinaisons linéaires“aires, produits, conjugaison, partie réelle, partie imaginaire, dérivée, primitive.
Développement limité à l'ordre 1 et définition de la différentielle, de différentiable. Deux exemples à la main.
D(af+bg), D(fg) quand c'est défini. Et surtout D(fog).
En coordonnées. Notion de dérivée directionnelle. Lien avec la différentielle. Dérivées partielles. Exemples. Matrice jacobienne. Lien avec la différentielle. Exemples.
Application de D(fog) en matrice jacobienne : les dérivations en chaine.
Fiche 1, Exercice 1 et 2 en entier. Le 3 est à faire à la maison (correction rapide la semaine prochaine).
Fiche 1 entièrement terminée.
Une partie de fiche 2 et de fiche 3. Les fiches sont à terminer pour les vacances.
Corrigé complet de fiches 2 et 3 hors compacts.
Tous les exosmoses sur les compacts, fiche 3
Fiche 4, Ex 1,3 et 4
Fiche 5, ex 1 et 2, début du 7
Fiche 1 : Exer 1 à 6
Fiche 2 : Exer 1 à 3
Fiche 3 : Exer 1 à 7
Fiche 4 : Exer 1 à 6
Fiche 5 : Exer 1 à 10 (sauf 5)
Fiche 6 : Tout (sauf 10)
Fiche 7/8 : rappels de cours, Exer 1 à 4
Fiche 1: Exercice 1, 2, 3.1, 3.2 .
Fiche 1 : Tout sauf le dernier exercice sur la topologie . Fiche 2 : Exercice 1.1, 1.2 .
Fiche 2: Terminée. Fiche 3: Exercices 2 et 4 (dans R)
Fiche 3: Exercices 1, 3, 4 (dans R^2)
Fiche 3: entièrement finie. Fiche 4: Exercice 1, sauf le dernier point.
Fiche 4: Tout sauf l'exercice 7.
Fiche 5: Exercices 1, 2, 7.1, 7.2.
Fiche 5: Exercices 3, 4.
Fiche 5bis: Exercices 1, 2.1-4.
Fiche 6: Exercices 1 - 6 (6.3.c et d sont laissés comme exercice d'entraînement)
Fiche 6: Exercices 7 - 12
Fiche 6: Exercices 13, 14 (les deux derniers points laissés comme exercice)
Fiche 7 (faute de frappe pour le numéro de fiche) : Exercice 1, exemples simples de différentiabilité: applications linéaires, en particulier la trace.
Fiche 7: Les quatre premiers exercices faits entièrement. Exemples supplémentaires: la différentiabilité du cube d'une matrice carrée, la non différentiabilité de la norme au vecteur nul.
Fiche 1: Exercice 1 à 4 .
Reprise des exercices 3-4 de la fiche 1 (vu le changement des groupes). Puis Ex 5, 6.
Fiche 2: Ex 1.1
Fiche 2: Ex 1 à 3. Fiche 3: Ex 2 .
Fiche 3: Exercices 1, 3, 4 (dans R et le 1er exemple dans R^2)
Fiche 3: Fin de le la fiche 3. Fiche 4: Ex 1.1
Fiche 4: Ex 1 à 6. Corrigé de l'Ex 7 distribué.
Fiche 5: Ex 1, 2, Ex 3 (1, 2), Ex 6, Ex 7 (3, 4, 5), Ex 9 (2) .
Fiche 5: Ex 3, 4, Ex 10 (1, 2) , Ex 12 (2, 4) . Devoir maison : Exercices 1 et 2 de la Fiche 5bis à préparer pour Lundi 9 Avril.
Fiche 6: Ex 1 à 4 .
Fiche 6: Ex 5, 6, 8, 9. Ex 10.1 .
Fiche 6: Ex 10, 11, 13, 14 (sauf 4.)
Fiche 7: Ex 1 à 4 .
Il y aura 3 D.S. ce semestre
1er D.S. : 27 Février en C.M. (E.V.N. et topologie), durée 1h
Le sujet du D.S.1 ds1.pdf
Un corrigé rapide du D.S.1, avec un barème qui n'est pas définitif ds1_c.pdf
2ème D.S. : 26 Mars en T.D. (Topologie et séries de fonctions), durée 1h. Sujet et correction : ds2_sujet_v2.pdf
3ème D.S. : 24 Avril en C.M. (Calcul différentiel), durée 1h
mis à jour le 27/04/2018 :
Il n'y a plus de séances (et pas de rattrapage possible)
Les dates sont sur tomuss, ainsi que les groupes K1,K2,K3 et K4