Le cours a lieu le lundi de 9h45 à 12h15 en séquence 1 et de 14h à 16h30 en séquence 2.
Les TD ont lieu le mardi 14h-17h15 (séquence 1) ou le vendredi 9h45-13h (séquence 2).
L'assiduité en TD sera prise en compte pour le bilan final.
Chaque fichier de transparents correspond approximativement au contenu d'un amphi.
Cours 1: Relations de comparaison.
Cours 2: Suites et séries de fonctions.
Cours 3: Séries de Fourier.
Cours 4: Séries de Fourier: Parseval-Bessel et notions EDP.
Cours 5: Séries de Fourier: rappels EDO et équation des ondes.
Cours 6: Intégrale généralisée.
Cours 7: Intégrales à paramètre.
Cours 8: Transformée de Laplace et convolution.
Cours 9: Transformée de Fourier.
Cours 10: Révisions.
Principales notions à connaître pour la première partie du cours. Transparents.
Principales notions à connaître pour la deuxième partie du cours. Transparents.
Lundi : Relations de comparaison. Définition d'une fonction bornée au voisinage de a (réel ou infini). Relations de domination (“O”), négligeabilité (“o”) et équivalence (“~”). Propriétés algébriques (sommes, produits, substitutions). Mise en garde pour la somme d'équivalents. Développements limités usuels à partir des formules de Taylor. Exemples d'application en 0, en \pi/2, en 1 et en l'infini.
Lundi : Suites de fonctions.
Convergences simple, uniforme. Théorème de continuité, dérivabilité et intégration de la limite. Exemples et contre-exemples.
Séries de fonctions. Convergences simple, absolue, uniforme et normale. Théorèmes analogues pour les séries. Implications entre les convergences. Exemples et contre-exemples. Un exercice complet d'application des théorèmes via la convergence normale.
Lundi : Séries trigonométriques, écritures réelle et complexe. Convergence normale, critère d'Abel. Calculs des coefficients à partir de la somme si convergence uniforme. Séries de Fourier. Exemples (créneaux à paramètres, dents de scie, exponentielle périodisée). Théorèmes de Dirichlet-Jordan : convergences simple et normale dans le cadre C^1 par morceaux. Remarques sur parités. Relations de Bessel-Parseval.
Lundi : Fin des séries trigonométriques. Retour sur les relations de Bessel-Parseval. Un mot sur la théorie L^2. Rappels sur les dérivées partielles, règle de la chaîne, notion de fonction C^1, C^k, équation caractéristique EDO d'ordre 2. Exemples (gradient, laplacien). Formules liant les coefficients de Fourier de f et f' (preuve IPP).
Lundi : Résolution d'EDP par séries de Fourier. Méthode générale et exemples. Équations des ondes sur la droite ou la demi-droite. Formules de d'Alembert associées. Solutions à variables séparées. Cadre périodique. Équations de Laplace et Poisson. Solutions à variables séparées. Équation de la chaleur sur la droite.
Retour sur les principales notions à connaître avant l'examen.
Lundi : Intégration. Rappels sur les primitives et les primitives usuelles. Intégrales impropres. Fonctions intégrables. Exemples de référence (intégrales de Riemann). Théorèmes de comparaison pour montrer la convergence ou la divergence d'une intégrale. Exemples. Cas oscillants : intégrations par parties. Preuve de la non intégrabilité de sin(x)/x sur \R_+. Convergence de l'intégrale de cos(x^2) sur \R_+. Mesures : approximation d'une masse de Dirac. Un mot sur l'intégrale de Lebesgue.
Lundi : Intégrales à paramètre. Théorèmes de continuité et de dérivations successives. Exercice d'application. Contre-exemples en l'absence de domination intégrable. Un mot sur le théorème de convergence dominée.
Transformée de Laplace. Définition. Formules calculatoires.
Lundi : Transformée de Laplace. Rappels sur les décompositions en éléments simples de fractions rationnelles. Exemples de référence. Théorème des valeurs initiales et finales.
Convolution Rappels de nombres complexes. Définitions. Propriétés calculatoires de la convolution.
Lundi : Transformée de Fourier. Etude de la Gaussienne. Exemple des mesures de Dirac. Formule f*δ_0=f. Exemples. Formules calculatoire sur la transformée de Fourier (dérivation, changement d’échelle, translation, produit par x). Lemme de Riemann-Lebesgue. Injectivité et inversion de la transformée de Fourier. Théorème de Plancherel. Exemples Gaussiens.
Equation de la chaleur. Equation des ondes. Equation de Schrödinger
Inégalité d'incertitude d'Heisenberg.
Lundi : (2h) Retour sur les principales notions à connaître avant l'examen.
1/ Votre note de contrôle terminal.
2/ Une moyenne pondérée: 60 pourcent de la note du contrôle terminal plus 40 pourcent de la note du partiel.
En cas d'absence au partiel, seulement la note du contrôle terminal compte. Le contrôle partiel n'est pas rattrapable, que votre absence soit justifiée ou non. Il n'y a pas de deuxième session pour celui-ci.
En cas d'absence au contrôle terminal, vous serez convoqués à la deuxième session. Les modalités vous seront communiquées ultérieurement.
Exemple: vous avez 8 au partiel et 12 au contrôle terminal. La moyenne pondérée est de 10.4 et la note du contrôle terminal est 12 donc votre note d'UE est 12.
Autre exemple: vous avez 12 au partiel et 8 au contrôle terminal. La moyenne pondérée est de 9.6 et la note du contrôle terminal est 8 donc votre note d'UE est 9.6.
Encore un exemple: vous étiez absent au partiel et vous avez eu 10 au contrôle terminal. Seul ce dernier compte donc votre note d'UE est 10.
* Dans le cours et les TD, le programme
* Il faut bien comprendre tous les autres outils introduits et rappelés dans le cours, dont ceux vus en Maths 3 ou avant (équivalents, suites et séries dans le cours…)
Aucun document personnel, ni aucune calculatrice, téléphone… ne sera autorisé. Avant tout, lisez la correction et le barème avant de discuter votre note.
Sujet corrigé séquence 1. Sujet corrigé séquence 2. Sujet. Sujet corrigé partie 1. Barème et erreurs fréquemment commises partie 1. Sujet corrigé partie 2 avec erreurs fréquemment commises. Barème partie 2. | Sujet partie 1. Sujet corrigé partie 1. Sujet partie 2. Sujet corrigé partie 2.
Attention: le nouveau programme de Math 4 est appliqué depuis le printemps 2022 : ne travailler que les parties correspondant au programme de cette année.
Avant 2020:
Après 2020:
Notes de cours plus complètes deuxième partie pour ceux qui ont le temps d'aller plus loin (VERSIONS 2023-2024 DUES A PIERRE-DAMIEN THIZY):
Références pour approfondir :
Le rythme à suivre est très simple: 2 séances par fiche. Les TD comportent des rappels mais c'est avant tout à vous de connaître des prérequis de TMB et de Mathématiques 3 (et du lycée…)
Séquence 1:
Groupe A ()
- Vendredi :
Groupe B ()
- Vendredi:
Groupe C ()
- Vendredi:
Groupe D ()
- Vendredi:
Séquence 2:
Groupe G ()
- Vendredi :
Groupe H ()
- Vendredi:
Groupe I ()
- Vendredi:
Groupe J ()
- Vendredi: