Mesure et intégration - Automne 2015 - Thémis 70

Contenu

Mesure. Algèbres et tribus, questions d'engendrement. La tribu borélienne, mesures positives définies sur les algèbres et sur les tribus, la mesure extérieure. Fonctions mesurables, fonctions absolument continues.

Intégrale de Lebesgue. Intégration des fonctions mesurables. Comparaison entre l'intégrale de Lebesgue et celle de Riemann. Théorème de convergence dominée de Lebesgue et ses conséquences. Mesure produit, théorème de Fubini. Mesure de Lebesgue sur Rⁿ. Théorème du changement de variables. Mesures de probabilités, variables aléatoires.

Contrôles

Partiel : 30% Lundi 19 octobre, 10h-12h, Amphi 1 Déambulatoire. Dénombrabilité, clans et tribus, espaces mesurables, fonctions mesurables, mesures. Intégration de fonctions mesurables positives. Théorème de Convergence Monotone. Le sujet et son corrigé.

Examen final : 40% Le sujet et son corrigé.

3 notes de khôlle : 10% chacune.

TD

Mardi 14h-17h15. Groupe A préfa 17, groupe B préfa 16.

Mardi 10 novembre : Groupe A (Nadine BADR) Darwin D 71, Groupe B (Jean-Michel BROCHET) pas de TD

Fiches TD: TD1, TD2, TD3, TD4, TD5 TD6 TD7 TD8 TD9

Khôlles

Mardi 17h30 - 19h30 et 17h30 - 19h30. Khôlle 1 Lippmann 108, Khôlle 2 Thémis 43, Khôlle 3 Thémis 47 (sous-sol).

Documents en ligne

Les notes du cours d'A. Lambert, par J. Jacod.

Les notes du cours de T. Gallay, par T. Lepoint.

Une feuille de rappels sur les ensembles.

Une présentation de rappels sur le dénombrement.

Une présentation de rappels sur les fonctions monotones.

Une présentation de rappels sur les tribus.

Une présentation de rappels sur les mesures et fonctions mesurables.

Note sur la mesure produit

Pour s'entraîner

Le Partiel 2013 et son Corrigé.

Le Devoir Maison Devoir Maison 2913 et son Corrigé.

Le Contrôle Final 2013 et son Corrigé.

Le Partiel 2014 et son Corrigé.

Le Contrôle Final 2014 et son Corrigé.

Livres recommandés

André Gramain, Intégration, Hermann.

Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Vuibert.

Avancement du cours

• 7 septembre : Ensembles dénombrables et leurs propriétés. Dénombrabilité de N² et Q, non-dénombrabilité de R.

• 14 septembre : Clans et Tribus : Définitions d'un clan, d'une tribu, propriétés, exemples. Tribu borélienne et définitions équivalentes de B(R). Tribu image réciproque, image directe et le fait que l'image réciproque de la tribu engendré par une famille A ⊆ P(Y) est la tribu engendrée par l'image réciproque de A.

• 21 septembre : Espaces mesurables. Fonctions mesurables : définition, composition avec une fonction borélienne, fonction dans R². Somme, produit, multiple scalaire, valeur absolue, sup, inf de fonctions mesurables. La droite achevée, sa topologie et ses opérations arithmétiques. Sup, inf, limsup, liminf d'une suite dénombrable de fonctions mesurables. Fonctions étagées.

• 28 septembre : Toute fonction mesurable dans [0,∞] est limite d'une suite croissante de fonctions étagées mesurables finies et positives. Mesures, propriétés, Exemples : mesure triviale, mesure de Dirac, mesure de comptage, mesure infinie, mesure de Lebesgue. Rappel de l'axiome du choix et du lemme de Zorn. Exemple d'une partie de [0,1] non mesurable (au sens de Lebesgue). L'intégrale de Lebesgue de fonctions mesurables positives : définition pour les fonction étagées.

• 5 octobre : Intégration de fonctions mesurables positives. Propriétés pour les fonction étagées finies : monotonicité, linéarité. Définition générale. Intégrale sur un ensemble mesurable. Mesure induite par une fonction étagée mesurable finie positive. Théorème de la convergence monotone. Linéarité de l'intégrale. Commutativité avec une sommation infinie. Mesure induite par une fonction mesurable positive. Intégrale d'une fonction positive par rapport à une mesure induite.

• 12 octobre : Intégration abstraite. Les espaces vectoriels L¹(X,μ;R) et L¹(X,μ;C) des fonctions intégrables réelles ou complexes, et l'intégral comme forme linéaire. Exemple: Les séries numériques absolument convergentes. Ensembles négligeables, mesures complètes, complétion d'une mesure. Propriétés vraies presque partout.

• 19 octobre : Partiel.

• 2 novembre : Egalité de fonctions presque partout, et l'espace vectoriel des fonctions de support négligeable. Les espaces vectoriels normés L¹(X,μ;R) et L¹(X,μ;C) des classes de fonctions intégrables réelles ou complexes, et l'intégral comme forme linéaire de norme ≤1. Le Théorème de Convergence Dominée (Théorème de Lebesgue).

• 9 novembre : Intégrales à paramètres : Commutativité entre intégration et sommation, et entre intégration en x et dérivation en y, sous l'hypothèse de majorabilité par une fonction intégrable. Mesure sur un clan. La mesure extérieure : définition, propriétés de base.

• 16 novembre : La mesure extérieure et la mesure induite sur la complétion de la tribu engendré ; unicité. La mesure de Lebesgue sur la droite réelle : définition, invariance par translation, caractérisation par l'invariance par translation et la finitude sur les intervalles bornés. Caractérisation de la mesure de Lebesgue λ(A)=inf{λ(U):A⊆U ouvert}=sup{λ(K):A⊇K compact} ; un ensemble A est Lebesgue mesurable ss'il y a des boréliens X⊆A⊆Y avec λ(Y\X)=0.

• 23 novembre : Propriétés de l'intégrale de Lebesgue : il étend l'intégrale de Riemann ; les fonctions en escalier à support compact, et aussi les fonctions infiniment dérivables à support compact forment un sous-espace vectoriel de L¹(R) ; si f est intégrable au sens de Lebesgue, alors F(x)=∫fχ(]-∞,x]) est continue, et si f est continue en x, alors F est dérivable en x avec F'(x)=f(x) ; formule de l'intégration par parties. Espaces produit : tribu produit de deux tribus, et mesure produit de deux mesures σ-finies. Propriétés. Intégration sur des espaces produits, Théorèmes de Tonelli et de Fubini.

• 30 novembre : Démonstration des théorèmes de Tonelli et Fubini. Changement de variable linéaire, changement de variable par un C¹-difféomorphisme. Théorème du changement de variable. Exemple : Coordonnées polaires dans R².