Licence de mathématiques
 

Table des matières

Analyse IV : Suites et séries de fonctions - Printemps 2016

Séquence 1
Responsable du cours : Jiang ZENG
Chargés des TD : Tuna Altinel, Nadine Badr-Vovelle, Léon-Matar Tine
Khôlleurs : Lorenzo Brandolese, Nadine Guillotin-Plantard, Luca Zamboni, Jiang Zeng

Emploi du temps et évaluation de l'UE

  • CM: mardi, 14h00–16h00, Amphi Lavoisier
  • TD: Lundi 9h30–12h45
  • Groupe A: Préfa 12 (Tuna Altınel)
  • Groupe B : Préfa P1 (Léon-Matar Tine)
  • Groupe C : Amphi Caullery (Nadine Badr-Vovelle)
  • Khôlles: voir Tomuss pour les dates, heures et groupes de vos convocations.

*K1(mercredi, 16h–19h): Thémis 39
*K2(mardi, 16h15–19h15): Thémis 39
*K3(mardi, 16h15–19h15): Darwin D 71 (08/03, 15/03, 22/03) et Forel 102 (29/03, 05/04, 12/04, 26/04, 03/05, 10/05)

Modalité de contrôle de connaissances :

Résumé du cours

  • 26/01/2016: Chapitre 1. Séries numériques: Convergence, condition nécéssaire de convergence, série géométrique, séries à termes positifs. Théorème de comparaison, critères de convergence : règle de Cauchy, règle de D'Alembert. Comparaison avec une intégrale.
  • 02/02/2016: Séries de Riemann. Propriétés d’associativité et de commutativité d'une série positive. Séries extraites d’une série positive convergente. Séries à termes réels de signes quelconques. Convergence absolue. Semi-convergence. Séries alternées. Théorème : Pour qu’une série alternée converge, il suffit que la valeur absolue de son terme général tende vers 0 en décroissant. Propriétés des séries absolument convergentes. Théorème : On ne change ni la nature ni la somme d’une série numérique absolument convergente en modifiant l’ordre de ses termes ou en les regroupant pour les associer d’une manière quelconque. Chapitre 2. Suites de fonctions. Convergences simples, convergences uniformes.
  • 09/02/2016: Critère de convergence uniforme. Critère de Cauchy uniforme. Norme de la convergence uniforme. Propriétés des suites de fonctions: Théorème (Continuité). Toute limite uniforme de suites de fonctions continues sur D est continue sur D. Théorème (Intégration). Toute limite uniforme de suites de fonctions Riemann intégrables sur [a, b] est intégrable sur [a, b]. Si on note f la limite uniforme de la suite (f_n) on a de plus limite de l'intégrale de f_n= l'intégrale de f sur [a, b]. Théorème (Dérivation). Soit (f_n) une suite de fonctions de classe C1 sur un intervalle I de R, qui converge simplement sur I vers une fonction f. Si (f'_n) converge uniformément sur I, f est dérivable sur I, et f'=lim f'_n. Chapitre 3. Séries de fonctions. Convergences simples, convergences uniformes.
  • 16/02/2016: Convergence normale, critère de Cauchy uniforme pour les séries de fonctions. Théorème: Une série normalement convergente converge uniformément. La réciproque est fausse. Le critère d'Abel pour la convergence de séries numériques. Propriétés des séries de fonctions. Continuité. Intégrabilité. Dérivabilité. Chapitre 4. Séries entières. Définition et exemple. Etude de la convergence par la règle de D'Alembert. Rayon de convergence, disque ouvert de convergence, cercle de convergence. Exemples.
  • 1/03/2016: Rayon de convergence via la règle de Cauchy. Etude générale de la convergence: l'existence du rayon de convergence. Opérations linéaires sur les séries entières. Produit de deux séries absolument convergentes. Produit de deux séries entières. Convergence d'une série entière est uniforme sur tout disque fermé de centre O, intérieur à son disque ouvert de convergence. Intégration et dérivation terme à terme d'une série entière.
  • 8/03/2016: Chapitre 5. Développement en séries entières. Condition nécéssaire de développement en série entière et unicité du développement. Série de Taylor-Maclaurin d'une fonction. Une condition suffisante est qu'il existe un majorant pour la dérivée d'ordre quelconque de la fonction. Ce qui implique que le reste de Lagrange du DL tends vers zéro. Opérations sur les fonctions développables en série entière. Développements usuels. Fonction exponentielle complexe par série, des fonctions circulaires complexes.
  • 22/03/2016: Chapitre 6. Séries trigonométriques. Définitions et convergence. Exemples. Correction de CC1 (voir le corrigé sur ce site).
  • 29/03/2016: Série trigonométrique associée à une série entière. Continuité, dérivation et intégration de la somme. Dévéloppement en séries trigonométriques. Définition de la série de Fourier associée à une fonction.
  • 12/04/2016: Développement en série de Fourier d'une fonction périodique. Théorème de Dirichlet. Exemples de calcul. Formule de Parseval avec preuve dans le cas d'un polynôme trigonométrique.
  • 26/04/2016: Séries de Fourier d'une fonction périodique de période T. Exemples de calcul. Solution de l'équation de la chaleur. Chapitre 7. Intégrales dépendant d'un paramètre sur un intervalle compact. Théorème 1. Continuité sur un segment. Théorème 2. Dérivation sur un segment.
  • 10/05/2016: Chapitre 8. Intégrales dépendant d'un paramètre sur un intervalle non compact. Définition de convergences simple, uniforme et normale. Continuité et dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale. Exemples.
  • Deux théorèmes:2theoremes.pdf

Fiches de TD

* Fiche 1: Séries numériquestd1-2016.pdf

* Fiche 2: Suites de fonctionstd2-2016.pdf

* Fiche 3: Séries de fonctionstd3-2016.pdf

* Fiche 4: Séries entièrestd4-2016.pdf

* Fiche 5: Développement de fonctions en séries entièrestd5-2016.pdf

* Fiche 6: Séries de Fouriertd6-2016.pdf

* Fiche 7: Intégrales dépendant d'un paramètretd7-2016.pdf

* Corrigé de Fiche 7: Intégrales dépendant d'un paramètrecorrige_serie7_2016.pdf

Travaux dirigés

01/02/2016:
Groupe A : Exercice I , Exercice II (a) – (c sauf la dernière série)
Groupe B : Exercice I , Exercice II a) et b)
Groupe C : Exercice I , Exercice II a), b) puis c) les 2 premières séries et d) les 2 premières séries

08/02/2016:
Groupe A : Fin Exercice II, Exercice III 1., 2. (Méthode d'Abel), 3.a.
Groupe B : Fin Exercice II, Exercice III 1., 2.
Groupe C : Fin Exercice II, Exercice III 1., 2., 3.a.

15/02/2016:
Groupe A : Fin Fiche 1. Fiche 2 Exercice I 1 et 2.
Groupe B: Fiche 2 exercice I (1. et 2.)
Groupe C : Fin Fiche 1. Fiche 2, Exercice I: 1., 2., 3. pour f_n et 1., 2. pour g_n.

29/02/2016:
Groupe A : Fiche 2 faite entièrement.
Groupe B : Fiche 2: Ex II, III, IV et V.
Groupe C : Fiche 2: Ex II, III, IV et V.

07/03/2016:
Groupe A : Fiche 3 Exercices I, II, III 1 et 2.
Groupe B : Fiche 3 Exercices I, II
Groupe C :Fiche 2: Ex VI, Fiche 3: Ex I, II, III.

14/03/2016:
Groupe A : Fiche 3 terminée.
Groupe B : Fiche 3 terminée.
Groupe C : Fin Fiche 3.

21/03/2016:
Groupe A : Fiche 4: Exercices I à VI.
Groupe B : Fiche 4 Exercices I, II, III.
Groupe C : Fiche 4: Exercices I à VI.

04/04/2016:
Groupe A : Fiche 4 terminée. Fiche 5 Exercices I, II, III, V.
Groupe B : Fiche 4 terminée.
Groupe C : Fin Fiche 4, Fiche 5: Exercice I.

11/04/2016:
Groupe A : Fiche 5 faite entièrement. Fiche 6 Exercices I, II (sauf 4).
Groupe B : Fiche 5: Fin
Groupe C : Fin Fiche 5.

25/04/2016:
Groupe A : Fiche 6: Exercices 2-6.
Groupe B : Fiche 6: Ex 1, 2.
Groupe C : Fiche 6: Ex 1, 2, 3.

02/05/2016:
Groupe A : Fiche 6 terminée; exercices supplémentaires sur les thèmes du contrôle continu.
Groupe B : Fiche 6: Ex 1 à 7
Groupe C : Fin Fiche 6.

09/05/2016:
Groupe A : Fiche 7, exercices 1-3.
Groupe C : Fiche 7: Ex 1, 2, 3.

 
 
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