Cours du 21 février Leçon 0 : Rappels sur les structures de groupes et corps. Groupes, sous-groupes, produits de groupes, morphismes de groupes, noyau, image. Structure de corps. Exemples.
Cours du 4 mars Leçon 1 : Les espaces vectoriels. Motivations : le cœur de l'algèbre linéaire. Espace vectoriel, sous-espace vectoriel. Exemples. Opérations sur les sous-espaces vectoriels : intersection, somme, somme directe. Supplémentaire d'un sous-espace.
Cours du 14 mars Leçon 2 : Familles génératrices et bases. Sous-espace vectoriel engendré par une partie. Combinaison linéaire. Espace vectoriel engendré en terme de combinaisons linéaires. Droite vectorielle. Famille génératrice. Famille libre. Famille liée. Diverses remarques autour de ces deux dernières notions. Base. Décomposition dans une bases, famille de coordonnés.
Cours du 21 mars fin de la leçon 2 et Leçon 3 : Espaces vectoriels de dimension finie. Espace vectoriel de dimension finie et de dimension infinie. Le cardinal d'une famille génératrice majore le cardinal d'une famille libre. Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont le même cardinal. Théorème de la base incomplète. Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base. Dimension d'un espace vectoriel. Exemples.
Cours 1 :
Anneau des polynômes. Définition, degré, dérivée. Fonctions polynômiales. Egalité entre deux polynômes. Division euclidienne, PGCD de deux polynômes, identité de Bézout. Polynômes irréductibles, les polynômes de degré un sont irréductibles. Lemme de Gauss,décomposition “unique” en produit de polynômes irréductibles.
Cours 2 :
Racines d'un polynôme, factorisation de P par X-a lorsque a est une racine de P, nombre de racines d'un polynôme. Multiplicité des racines. Formule de Taylor pour les polynômes, a est une racine d'ordre k si et seulement si P(a)=P'(a)=…=P^(k-1)(a)=0. Cas des polynômes de R[X] et de C[X], théorème de D'Alembert, les polynômes irréductibles dans C[X] sont exactement les polynômes de degré 1, les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif. Division suivant les puissances croissantes. Relation entre les racines et les coefficients des polynômes. Définition des fractions rationnelles.
Cours 3 :
Unicité de la composition des fractions rationnelles en éléments simples. Exemple.
Cours 4 :
Définition des espaces vectoriels de R^n. Combinaisons linéaires, espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. Sous-espaces vectoriels.Familles libres et génératrices, bases. Propriétés des familles libres et des familles génératrices.
Cours 5 :
Coordonnées des vecteurs. Bases canoniques de R^n. Intersection et somme des espaces vectoriels. Chapitre dimension. Le cardinal d'une famille libre est inférieur au cardinal d'une famille génératrice. Cardinal d'une base, dimension d'un espace vectoriel.
Cours 6 :
Systèmes libres maximaux, systèmes générateur minimaux. Existence de base des sous-espaces de R^n, théorème de la base incomplète. Dimension des sous espaces vectoriels de R^n. Formule de Grasmann. Somme directe, somme directe de deux espaces vectoriels.
Cours 7 : Applications linéaires, restriction d'une application linéaire à un sous-espace vectoriel. La bijection réciproque d'une application linéaire est linéaire. L'image réciproque par une application linéaire d'un espace vectoriel est un espace vectoriel. L'image d'un espace vectoriel par une application linéaire est un espace vectoriel. Noyau d'une application linéaire, le noyau est réduit au vecteur nul équivaut à ce que l'application est injective, l'image d'une application linéaire est l'espace vectoriel engendré par les images des vecteurs d'une base. Formule du rang. Critère de bijectivité.
Cours 8 : Espaces vectoriels généraux. Espaces vectoriels des polynômes, des applications de E vers F, des suites. Définition des matrices, combinaison linéaire de matrices. Multiplication des matrices, associativité du produit. Base de l'espace vectoriel des matrices, dimension. Transposée d'une matrice. Matrice d'une application linéaire.