Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2018-2019

Fondements des Mathématiques I

Contrôle des connaissances

Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes)

DS : 30% (la moyenne des trois meilleurs notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)

Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30% consulter dès

Colles

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Début des colles : la semaine du 17 septembre.

Colloscope A consulter dès vendredi 14 septembre au soir, et chaque week-end. Les khôlles peuvent être modifiées à tout instant.

Cours

Enseignant : Frank Wagner (mél, web)

Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Analyse (normalement le mercredi matin) et algèbre (normalement le mercredi aprrès-midi).

Algèbre

Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes arithmétiques, sommes géométriques. Raisonnement par l’absurde, par contradiction par récurrence (simple, double ou forte).

Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien, coefficients binomiaux.

Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).

Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.

Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert- Gauss (admis).

Analyse

Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.

Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.

Suites réelles : Propriétés de R, inégalités réelles. Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).

Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.

Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Avancement du cours

4 septembre : [Chapitre 4] Applications réelles, ensemble de départ (domaine), ensemble d'arrivée, graphe, opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale, parité. Application injective, surjective, bijective (uniquement définition et exemples), application réciproque, graphe de l'application réciproque comme symétrique par rapport à la diagonale y=x. Composition d'applications. Exemples. Dérivation : définition de la dérivée à un point, à droite/gauche. Règles de dérivation : somme, produit, composée (sans démonstration). Application : calcul de la dérivée de 1/f, de g/f et de f-1 (pour f bijective).

5 septembre : [Annexe A4, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe, démonstration par cas. Démonstration par contraposée, démonstration par l'absurde. Récurrence (simple), récurrence avec initialisation à un entier naturel, récurrence double. Récurrence forte. Principe du contre-exemple minimal et descente infinie. Exemples. Notations pour la somme et pour le produit. Somme des n premiers entiers naturels, somme géométrique, n!.

7 septembre : [Chapitre 4] Fonctions usuelles: Logaritme néperien, exponentielle néperienne, logarithme et exponentielle de base a>1, puissances réelles. Propriétés, dérivées, limites.

12 septembre : [Chapitre 8.1, Annexe A1] Suite arithmétique, somme arithmétique. Somme sur un rectangle, sur un carré, sur un triangle. Bases de logique. Propositions, connecteurs booléens (négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Lois de de Morgan. Exemples. Quantificateurs. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur.

[Chapitre 4] Croissances comparées entre l'exponentielle, le logarithme et les puissances. Fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques réciproques, propriétés, périodicité. Fonctions hyperboliques, propriétés. Parité, tables de variation.

14 septembre : [Annexe A2] Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Non-existence de l'ensemble de tous les ensembles (hors programme). Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Complément d'un ensemble (par rapport à un ensemble ambiant). Propriétés. Produit cartésien, ensemble de parties, ensemble des fonctions de X vers Y.

19 septembre : [Chapitre 4, Chapitre 9] Fonctions hyperboliques réciproques : dérivées, formules explicites. Asymptotes. Définition d'une relation sur un ensemble. Réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Définition d'une relatin d'équivalence, d'un ordre partiel, d'un ordre total. Majorant/minorant, borne supérieure/inférieure d'une partie. Eléments maximaux/minimaux d'une partie, maximum et minimum.

[Annexe A2, Chapitre 8.2] Applications : Rappels, domaine, image. Restriction, composition, associativité de la composition. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Critère d'injectivité: f(x)=f(x') implique x=x'. Caractérisation par inverse à gauche (injectivité), inverse à droite (surjectivité), inverse bilatéral = fonction réciproque (bijectivité). Cardinal d'un ensemble fini.

26 septembre : [Chapitre 9] Exemples d'ordres. Pour un ordre total, équivalence maximum = élément maximal et minimum = élément minimal; unicité de la borné supérieure/inférieure. Le corps ordonné des réels : axiomes d'un corps, d'un corps ordonné, exemples. Caractérisation de la borné supérieure. Axiome de la borne supérieure. Archimédianité de R, et densité de Q dans R. La droite numérique achevée. Intervalles.

[Chapitre 8, Chapitre 1] Calcul du cardinal d'une réunion, d'un produit, d'un ensemble de fonctions, d'un ensemble de parties. Arrangements, combinaisons, coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Les nombres complexes : motivation par la formule de Cardano d'une racine d'une équation de troisième degré. Construction de C en munissant R2 d'une loi additive et d'une loi multiplicative.

3 octobre : [Chapitre 10] Suites réelles : définition, exemples. Opérations sur les suites : somme, produit scalaire, produit. Résolution d'une suite donné par une récurrence d'ordre 1 et d'ordre 2. Suites (strictement) croissantes/décroissantes, suites majorées, minorées, bornées. Convergence d'une suite, limite.

[Chapitre 1] Forme algébrique d'un nombre complexe, partie réelle, partie imaginaire. Formules binomiaux. Représentation d'Argand, affixe d'un point de R2, image d'un nombre complexe. Conjugaison complexe, module, inégalité triangulaire. Argument, interprétation géométrique de la multiplication et de la conjugaison. Exponentielle imaginaire, forme exponentielle d'un nombre complexe, forme trigonométrique. Relation d'Euler, Formule d'Euler, formule de Moivre. Factorisation par angles moitiés. Exponentielle complexe. Le groupe U des complexes de module 1.

10 octobre : [Chapitre 10] Opérations sur les limites (somme, produit, réciproque, produit scalaire). Inégalités sur les suites, théorème du gendarme. Suites divergentes vers ∞ ou -∞ ; opérations sur les limites dans la droite réelle achevée. Suites extraites (sous-suites) ; critère de divergence. Suites monotones, convergence dans la droite réelle achevée. Suite adjacentes, théorème de convergence.

[Chapitre 1] Groupe des racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes primitives de l'unité. Expression comme exp(i2πk/n) avec k=0,…,n-1 ; primitive ssi pgcd(n,k)=1 (admis). Représentation sur le cercle U. La relation 1+ω+ω²+…+ωn-1=1. Racines n-ièmes d'un nombre complexe sous forme exponentielle. Calcul d'une racine carrée d'un nombre complexe sous forme algébrique, résolution d'une équation de second degré (à coefficients complexes ou réels). Nombres complexes et géométrie plane : distance, barycentre. Associativité du barycentre. Angles et argument. Similitudes directes : translations, homothéties, rotations. Composition de similitudes directes. Points fixes ; détermination d'une similitude directe. Similitudes indirectes.

7 novembre : [Chapitre 10] Théorème de la suite extraite monotone, Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème de Ramsey (sans démonstration), avec comme application le théorème de la suite extraite monotone. Suite et séries géométriques, conditions pour être bornée/convergente. Comparaison de suites : suite dominée par une autre, négligeable devant une autre. Equidominance et équivalence. Propriétés.

[Chapitre 20] Arithmétique : Relation de divisibilité; la divisibilité comme ordre partiel sur N. Congruences, système complet de restes modulo n. Division euclidienne, pgcd, ppcm. Théorèmes d'Euclide et de Bézout. Algorithme d'Euclide et calcul des coefficients de Bézout. Théorème de Gauss. Résolution de l'équation diophantienne ax + by = n. Résolution de la congruence ax≡b mod n. Résolution du système de congruences x≡a mod n et x≡b mod k. Propriétés et caractérisation du ppcm et du pgcd.

Travaux dirigés

Feuilles d'exercices :

Feuille 1: Révisions d'analyse, fonctions réelles.

Feuille 2: Récurrence, sommes et produits.

Feuille 3: Logique et raisonnements.

Feuille 4: Fonctions usuelles.

Feuille 5: Ensembles et applications.

Feuille 6: Nombres réels et suites réelles.

Feuille 7 : Nombres complexes.

Feuille 8 : Arithmétique.

Avancement des TD

Groupe P1 (Amaury Thuillier):
  • Jeudi 6 septembre : feuille “Révisions d'analyse”, exercices 1 à 9 (sauf 6).
  • Vendredi 7 septembre : feuille “Révisions d'analyse”, exercice 10 et feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercices 1 à 5.
  • Lundi 10 septembre : feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercices 6 à 10.
  • Vendredi 14 septembre : feuille “Révisions d'analyse”, exercices 12 et 15 ; feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercice 11.
  • Lundi 17 septembre : feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercice 12. Feuille “Logique et raisonnement”, exercices 1 à 4 et exercice 7.
  • Vendredi 21 septembre : feuille “Fonctions usuelles”, exercices 1 à 6, exercices 8 à 11 et rappels sur les fonctions trigonométriques réciproques.
  • Lundi 24 septembre : feuille “Logique et raisonnement”, exercices 8-10, 12, 13, 17, 18.
  • Vendredi 28 septembre : feuille “Fonctions usuelles”, exercices 12 à 20 (sauf 19).
  • Lundi 1er octobre : feuille “Ensembles et applications”, exercices 1 à 5 et exercice 7.
  • Vendredi 5 octobre : feuille “Nombres réels et suites réelles”, exercices 1 à 3, 6 et 7.
  • Lundi 8 octobre : feuille “Ensembles et applications”, exercices 10-12, 15 et 23.
  • Vendredi 12 octobre : commentaires sur le DS1, puis feuille “Nombres réels et suites réelles”, exercices 8, 10, 11 et 12.
  • Lundi 15 octobre : feuille “Ensembles et applications”, exercices 16, 18, 20, 22.
  • Vendredi 19 octobre : feuille “Nombres réels et suites réelles”, exercices 13, 14, 16, 18 et 19.
  • Lundi 22 octobre : feuille “Ensembles et applications”, exercice 24. Feuille “Nombres complexes (sans trigonométrie)”, exercices 1 à 6, 12 et 13.
  • Vendredi 26 octobre : correction du DS2 CCP puis feuille “Nombres réels et suites réelles”, exercice 21.
  • Lundi 5 novembre : feuille “Nombres complexes (sans trigonométrie)”, exercices 8, 13 et 15 puis feuille “Nombres complexes (forme trigonométrique)”, exercices 1, 2, 3 et 5.
  • Vendredi 9 novembre : feuille “Nombres réels et suites réelles”, exercices 17 et 24.
  • Lundi 12 novembre : feuille “Nombres complexes (sans trigonométrie), exercices 6, 8, 9, 11 et 12. “Nombres complexes (géométrie)”, exercices 1, 2, 3 et 5.
Groupe P2 (Miguel Bermudez):
  • Mercredi 5 septembre: Feuille 1 “Révisions d'analyse”: exos 1-8.
  • Vendredi 7 septembre: Feuille 2 “Récurrence, sommes et produits”, exos 1-6.
  • Lundi 10 septembre : Feuille 1 “Révisions d'analyse”: Exos 9 et 10. Feuille 2 “Récurrences, sommes et produits”: Exos 9 et 10. Feuille 3 “Logique et raisonnement”: Exos 1, 2 et 3.
  • Vendredi 14 septembre : Feuille 3 “Logique et raisonnement”: Exos 4, 5 et 8.
  • Lundi 17 septembre : Feuille 2 “Récurrence, sommes et produits”: Exos 8, 10 et 11. Feuille 1 “Révisions d'analyse”: Exos 13, 14 et 15.
  • Vendredi 21 septembre : Feuille 1 “Révisions d'analyse”: Exo 11. Feuille 4 “Fonctions usuelles”: Exos 1 et 2
  • Lundi 24 septembre : Feuille 4 “Fonctions usuelles”: Exos 1-5 et 7-10.
  • Vendredi 28 septembre: Feuille 4 “Fonctions usuelles”: Exos 11-15
  • Lundi 1er octobre : Feuille 4 “Fonctions usuelles”: Exos 16-20 et Rappels sur les fonctions trigonométriques réciproques.
  • Vendredi 5 octobre : Feuille 3 “Logique et raisonnement”: Exos 9 à 12
  • Lundi 8 octobre : Feuille 5 “Ensembles et applications”, exercices 1 à 7.
  • Vendredi 12 octobre : commentaires sur le DS1, Feuille 6 “Nombres réels et suites réelles”, exercices 1 à 3,
  • Lundi 15 octobre : Feuille 6 “Nombres réels et suites réelles”, exercices 6 à 8, 10,
  • Vendredi 19 octobre : Feuille 5 “Ensembles et applications”, exercices 8 à 12.
  • Lundi 22 octobre : Feuille 5 “Ensembles et applications”, Exos 13 à 15.
  • Vendredi 26 octobre : Feuille 6  “Nombres réels et suites réelles”, exos 12 à 15
  • Lundi 5 novembre : Feuille 6 “Nombres réels et suites réelles”, exos 16 à 18
  • Mercredi 7 novembre : Feuille 7 “Complexes sans trigo”, Exos 1 à 7
  • Vendredi 9 novembre : Feuille 7 “Complexes sans trigo”, Exos 12 à 15
Groupe P3 (Khaled Saleh):
  • Mercredi 5 septembre: Feuille “Révisions d'analyse”: exos 1 à 9-1.
  • Jeudi 6 septembre: Feuille “Révisions d'analyse”: exos 9 et 10. Feuille “Récurrence, sommes et produits”, exos 1 à 5.
  • Vendredi 7 septembre: Feuille “Récurrence, sommes et produits”, exos 6 à 9-4.
  • Lundi 10 septembre : Feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercices 9 à 12. Feuille “Logique et raisonnement”, exo 1.
  • Vendredi 14 septembre: Feuille “Logique et raisonnement”: Exos 3 à 7.
  • Lundi 17 septembre: Feuille “Fonctions usuelles”, exos 1 à 10-c.
  • Lundi 24 septembre: Feuille “Fonctions usuelles”, exos 1 à 10-d à 17.
  • Vendredi 28 septembre: Feuille “Logique et raisonnement”: exos 8, 10, 14, et 18. Feuille “Ensembles et applications”: exos 1 à 4.
  • Lundi 1er octobre: Feuille “Fonctions usuelles”, exos 18, 19, 20. Feuille: “Nombres réels et suites réelles”, exo 1.
  • Vendredi 5 octobre: Feuille “Ensembles et applications”: exos 5 à 9 et 12.
  • Lundi 8 octobre: Feuille “Nombres réels et suites réelles”, exos 2 à 6.
  • Vendredi 12 octobre: Feuille “Ensembles et applications”: exos 13, 16, 17, 18, 22. Feuille “Complexes sans trigo”: exos 1 et 2-1.
  • Lundi 15 octobre: Feuille “Nombres réels et suites réelles”: exos 7 à 13, exo 15-1.
  • Vendredi 19 octobre: Feuille “Complexes sans trigo”: exos 3 à 10 et exo 11-1 et 11-2.
  • Lundi 22 octobre: Feuille “Nombres réels et suites réelles”, exos 15, 17, 18, 19 et 20.
  • Vendredi 26 octobre: Feuille “Complexes sans trigo”: exos 11 à 15. Feuille “Complexes forme trigo”: exos 1 à 4.
  • Lundi 5 novembre: Feuille “Nombres réels et suites réelles”: exos 21 à 25.

> Groupe P4 (Arnaud Duran):

  • Mercredi 5 septembre: feuille “Révisions d'analyse”: exercices 1 à 8.
  • Vendredi 7 septembre: feuille “Révisions d'analyse”: exercices 9 et 10. Feuille “Récurrence, sommes et produits”: exercices 1 à 5.
  • Lundi 10 septembre: feuille “Récurrence, sommes et produits”: exercices 6 à 10.
  • Vendredi 14 septembre: feuille “Récurrence, sommes et produits”: exercices 11 et 12. Feuille “Logique et raisonnement”: exercices 1 et 2.
  • Lundi 17 septembre : feuille “Logique et raisonnement”: exercices 3 à 5.
  • Vendredi 21 septembre : feuille “Logique et raisonnement”: exercice 8. Feuille “Fonctions usuelles”: exercices 1 à 5.
  • Lundi 24 septembre : feuille “Révisions d'analyse”: exercice 11. Feuille “Logique et raisonnement”: exercice 7. Feuille “Fonctions usuelles”: exercices 6 à 8.
  • Lundi 1er octobre : feuille “Fonctions usuelles”: exercices 9 et 10. Feuille “Logique et raisonnement”: exercice 9 à 11, 13, 16 et 18.
  • Vendredi 5 octobre : feuille “Fonctions usuelles”: exercices 12 à 18.
  • Lundi 8 octobre : feuille “Ensembles et applications”: exercices 1 à 7.
  • Vendredi 12 octobre : feuille “Ensembles et applications”: exercices 10, 11, 12, 17, 18(a,b), 21 et 22.
  • Vendredi 19 octobre : feuille “Ensembles et applications”: exercice 18(c-g). Feuille “Nombres réels et suites réelles”: exercices 1 à 5.
  • Lundi 22 octobre : Feuille “Nombres réels et suites réelles”: exercices 6 à 12.
  • Mercredi 24 octobre : Feuille “Ensembles et applications”: exercices 13, 15, 20 et 24.
  • Mercredi 24 octobre : Feuille “Nombres réels et suites réelles”: exercices 15 et 16.
  • Lundi 5 novembre : Feuille “Complexes sans trigo”: exercices 1 à 8.
  • Vendredi 9 novembre : Feuille “Nombres réels et suites réelles”: exercices 13, 18, 19 et 21. Feuille “Complexes sans trigo”: exercices 8, 10 et 15.
  • Lundi 12 novembre : Feuille “Complexes sans trigo”: exercices 10, 12 à 15. Feuille “Complexes forme trigo”: exercices 1 et 2.

Devoirs surveillés

Les mercredis 26 septembre, 17 octobre, 14 novembre et 5 décembre pour tous, plus le 3 octobre, 24 octobre, 21 novembre et 12 décembre pour le CUPGE.

DS1 Sujet Corrigé

DS1CCP Sujet Corrigé

DS2 Sujet Corrigé

DS2CCP Sujet Corrigé

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