Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2018-2019

Fondements des Mathématiques I

Contrôle des connaissances

Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes)

DS : 30% (la moyenne des trois meilleurs notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)

Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30% consulter dès

Colles

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Début des colles : la semaine du 17 septembre.

Colloscope A consulter dès vendredi 14 septembre au soir, et chaque week-end. Les khôlles peuvent être modifiées à tout instant.

Cours

Enseignant : Frank Wagner (mél, web)

Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Analyse (normalement le mercredi matin) et algèbre (normalement le mercredi aprrès-midi).

Algèbre

Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes arithmétiques, sommes géométriques. Raisonnement par l’absurde, par contradiction par récurrence (simple, double ou forte).

Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien, coefficients binomiaux.

Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).

Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.

Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert- Gauss (admis).

Analyse

Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.

Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.

Suites réelles : Propriétés de R, inégalités réelles. Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).

Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.

Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Avancement du cours

4 septembre : [Chapitre 4] Applications réelles, ensemble de départ (domaine), ensemble d'arrivée, graphe, opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale, parité. Application injective, surjective, bijective (uniquement définition et exemples), application réciproque, graphe de l'application réciproque comme symétrique par rapport à la diagonale y=x. Composition d'applications. Exemples. Dérivation : définition de la dérivée à un point, à droite/gauche. Règles de dérivation : somme, produit, composée (sans démonstration). Application : calcul de la dérivée de 1/f, de g/f et de f-1 (pour f bijective).

5 septembre : [Annexe A4, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe, démonstration par cas. Démonstration par contraposée, démonstration par l'absurde. Récurrence (simple), récurrence avec initialisation à un entier naturel, récurrence double. Récurrence forte. Principe du contre-exemple minimal et descente infinie. Exemples. Notations pour la somme et pour le produit. Somme des n premiers entiers naturels, somme géométrique, n!.

7 septembre : [Chapitre 4] Fonctions usuelles: Logaritme néperien, exponentielle néperienne, logarithme et exponentielle de base a>1, puissances réelles. Propriétés, dérivées, limites.

12 septembre : [Chapitre 8.1, Annexe A1] Suite arithmétique, somme arithmétique. Somme sur un rectangle, sur un carré, sur un triangle. Bases de logique. Propositions, connecteurs booléens (négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Lois de de Morgan. Exemples. Quantificateurs. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur.

[Chapitre 4] Croissances comparées entre l'exponentielle, le logarithme et les puissances. Fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques réciproques, propriétés, périodicité. Fonctions hyperboliques, propriétés. Parité, tables de variation.

14 septembre : [Annexe A2] Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Non-existence de l'ensemble de tous les ensembles (hors programme). Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Complément d'un ensemble (par rapport à un ensemble ambiant). Propriétés. Produit cartésien, ensemble de parties, ensemble des fonctions de X vers Y.

19 septembre : [Chapitre 4, Chapitre 9] Fonctions hyperboliques réciproques : dérivées, formules explicites. Asymptotes. Définition d'une relation sur un ensemble. Réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Définition d'une relatin d'équivalence, d'un ordre partiel, d'un ordre total. Majorant/minorant, borne supérieure/inférieure d'une partie. Eléments maximaux/minimaux d'une partie, maximum et minimum.

[Annexe A2, Chapitre 8.2] Applications : Rappels, domaine, image. Restriction, composition, associativité de la composition. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Critère d'injectivité: f(x)=f(x') implique x=x'. Caractérisation par inverse à gauche (injectivité), inverse à droite (surjectivité), inverse bilatéral = fonction réciproque (bijectivité). Cardinal d'un ensemble fini.

Travaux dirigés

Feuilles d'exercices :

Feuille 1: Révisions d'analyse, fonctions réelles.

Feuille 2: Récurrence, sommes et produits.

Feuille 3: Logique et raisonnements.

Feuille 4: Fonctions usuelles.

Avancement des TD

Groupe P1 (Amaury Thuillier):
  • Jeudi 6 septembre : feuille “Révisions d'analyse”, exercices 1 à 9 (sauf 6).
  • Vendredi 7 septembre : feuille “Révisions d'analyse”, exercice 10 et feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercices 1 à 5.
  • Lundi 10 septembre : feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercices 6 à 10.
  • Vendredi 14 septembre : feuille “Révisions d'analyse”, exercices 12 et 15 ; feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercice 11.
  • Lundi 17 septembre : feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercice 12. Feuille “Logique et raisonnement”, exercices 1 à 4 et exercice 7.
Groupe P2 (Miguel Bermudez):
  • Mercredi 5 septembre: feuille “Révisions d'analyse”: exos 1 à 8.
  • Vendredi 7 septembre: feuille “Récurrence, sommes et produits”, exos 1 à 6.
  • Lundi 10 septembre : Feuille 1 “Révisions d'analyse”: Exos 9 et 10. Feuille 2 “Récurrences, sommes et produits”: Exos 9 et 10. Feuille 3 “Logique et raisonnement”: Exos 1 à 3.
  • Vendredi 14 septembre : Feuille 3 “Logique et raisonnement”: Exos 4, 5 et 8.
  • Lundi 17 septembre : Feuille 2 “Récurrence, sommes et produits”: Exos 8, 10 et 11. Feuille 1 “Révisions d'analyse”: Exos 13, 14 et 15.
Groupe P3 (Khaled Saleh):
  • Mercredi 5 septembre: Feuille “Révisions d'analyse”: exos 1 à 9-1.
  • Jeudi 6 septembre: Feuille “Révisions d'analyse”: exos 9 et 10. Feuille “Récurrence, sommes et produits”, exos 1 à 5.
  • Vendredi 7 septembre: Feuille “Récurrence, sommes et produits”, exos 6 à 9-4.
  • Lundi 10 septembre : Feuille “Récurrences, sommes et produits”, exercices 9 à 12. Feuille “Logique et raisonnement”, exo 1.
  • Vendredi 14 septembre: Feuille “Logique et raisonnement”: Exos 3 à 7.
  • Lundi 17 septembre: Feuille “Fonctions usuelles”, exos 1 à 10-c.
Groupe P4 (Arnaud Duran):
  • Mercredi 5 septembre: feuille “Révisions d'analyse”: exercices 1 à 8.
  • Vendredi 7 septembre: feuille “Révisions d'analyse”: exercices 9 et 10. Feuille “Récurrence, sommes et produits”, exercices 1 à 5.
  • Lundi 10 septembre: feuille “Récurrence, sommes et produits”, exercices 6 à 10.
  • Vendredi 14 septembre: feuille “Récurrence, sommes et produits”, exercices 11 et 12. Feuille “Logique et raisonnement”, exercices 1 et 2.
  • Lundi 17 septembre : feuille “Logique et raisonnement”, exercices 3 à 5.

Devoirs surveillés

Les mercredis 26 septembre, 17 octobre, 14 novembre et 5 décembre pour tous, plus le 3 octobre, 24 octobre, 21 novembre et 12 décembre pour le CUPGE.

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