Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2017-2018

Fondements des Mathématiques I

Colles

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Début des colles : la semaine du 25 septembre.

Colloscope Risque majeur de modification jusqu'au jeudi 21 septembre au soir.

Cours

Enseignant : Frank Wagner (mél, web)

Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Algèbre (normalement le mercredi matin) et analyse (normalement le mercredi aprrès-midi).

Algèbre

Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation, raisonnement par récurrence, par l’absurde. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien.

Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes géométriques, inégalités dans R, coefficients binomiaux.

Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).

Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.

Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert- Gauss (admis).

Analyse

Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.

Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.

Suites réelles : Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).

Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.

Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Avancement du cours

5 septembre : [Chapitre 4] Applications, ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe. Application bijective, application réciproque, obtention du graphe de l'application réciproque par symétrie avec la diagonale y=x. Composition d'applications ; composée d'une application bijective avec sa réciproque. Exemples. Opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale, symétrie horizontale. Dérivation : définition de la dérivée à un point, sur un intervalle. Règles de dérivation : somme, produit, composée. Application : calcul de la dérivée de 1/f, de g/f et de f-1 (pour f bijective).

6 septembre : [Annexe A1, A3] Bases de logique. Propositions, énoncés, connecteurs booléens (non, et, ou, implication, ssi). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Lois de de Morgan. Exemples. Quantificateurs. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur.

13 septembre : [Annexe A4, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe, démonstration par cas. Démonstration par l'absurde, démonstration par contraposée. Récurrence, récurrence avec initialisation à un entier relatif quelconque, récurrence emboîtée. Exemples. Récurrence forte.

[Chapitre 4] Fonctions usuelles: Logaritme néperien, exponentielle néperienne, puissances réeeles. Propriétés, dérivées, limites, croissances comparées.

20 septembre : [Chapitre 8.1, Annexe A.2] Preuve en supposant l'existence d'un contre-exemple minimal. Récurrence double, exemples. Suites définies par récurrence (double). Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Complément d'un ensemble (par rapport à un ensemble ambiant). Ensemble de parties.

[Chapitre 4] Fonctions trigonométriques, fonction trigonométriques réciproques, fonctions hyperboliques, fonctions hyperboliques réciproques. Parité, périodicité. Tableau des variations, limites, asymptotes, points d'inflexion.

Travaux dirigés

Feuilles d'exercices :

Avancement des TD

Groupe P1 (Pascal Lainé):
  • vendredi 07/09 : feuille “révisions” toute la feuille sauf exercice 8 (F) et exercice 11.
  • Lundi 11/09 : feuille 2 “logique” : exercices 1 à 8.
  • Mardi 12/09 : feuille 2 “logique” : exercices 9 à 19.
  • Vendredi 15/09 : feuille 2 “logique” exercices 20 et 21. feuille 3 “étude de fonctions” exercices 1 à 6.
  • Lundi 18/09 : feuille 3 “étude de fonctions” exercices 7 à 12.2.
Groupe P2 (Francesco Fanelli) :
  • Jeudi 07/09: feuille “Révisions”, exercices 1 à 8-D.
  • Vendredi 08/09: feuille “Révisions”, exercices 8-E à 18. Feuille “Logique”, exercice 1(1).
  • Lundi 11/09: feuille “Logique”, exercices 1(2) à 5(1).
  • Vendredi 15/09: feuille “Études de fonctions”, exercices 1 à 7(3).
  • Lundi 18/09: feuille “Logique”, exercices 5(2-3), 6, 7(2-3), 8(1 à 5), 9, 10, 12, 13, 14, 15(1).+
  • Vendredi 22/09: feuille “Étude de fonctions”, exercices 7(6-7), 8, 9, 10, 14.
Groupe P3 (Khaled Saleh) :
  • Jeudi 7 septembre: feuille “révisions”: exos 1 à 6.
  • Vendredi 8 septembre: feuille “révisions”: exos 7 à 18. Feuille “logique”: exo 1.
  • Lundi 11 septembre: feuille “logique”: exos 2 à 4.
  • Vendredi 15 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 1 à 7-3).
  • Lundi 18 septembre: feuille “logique”: exos 5, 8, 9, 10, 15, 17.
  • Vendredi 22 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 7, 8, 10, 11, 14, 15.
Groupe P4 (Arnaud Duran):
  • Jeudi 7 septembre: feuille “révisions”: exos 1 à 5.
  • Vendredi 8 septembre: feuille “révisions”: exos 6 à 18.
  • Lundi 11 septembre: feuille “logique”: exos 1 à 4.
  • Vendredi 15 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 1 à 6.
  • Lundi 18 septembre: feuille “logique”: exos 5 à 10.

Devoirs surveillés

Les mercredis 25 septembre, 18 octobre, 15 novembre et 6 décembre.

Archive

 
 
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