Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2017-2018

Fondements des Mathématiques I

Contrôle des connaissances

Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes)

DS : 30% (la moyenne des trois meilleurs notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)

Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30%

Colles

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Début des colles : la semaine du 25 septembre.

Colloscope Risque majeur de modification jusqu'au jeudi 21 septembre au soir.

Cours

Enseignant : Frank Wagner (mél, web)

Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Algèbre (normalement le mercredi matin) et analyse (normalement le mercredi aprrès-midi).

Algèbre

Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation, raisonnement par récurrence, par l’absurde. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien.

Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes géométriques, inégalités dans R, coefficients binomiaux.

Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).

Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.

Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert- Gauss (admis).

Analyse

Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.

Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.

Suites réelles : Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).

Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.

Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Avancement du cours

5 septembre : [Chapitre 4] Applications, ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe. Application bijective, application réciproque, obtention du graphe de l'application réciproque par symétrie avec la diagonale y=x. Composition d'applications ; composée d'une application bijective avec sa réciproque. Exemples. Opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale, symétrie horizontale. Dérivation : définition de la dérivée à un point, sur un intervalle. Règles de dérivation : somme, produit, composée (sans démonstration). Application : calcul de la dérivée de 1/f, de g/f et de f-1 (pour f bijective).

6 septembre : [Annexe A1, A3] Bases de logique. Propositions, énoncés, connecteurs booléens (non, et, ou, implication, ssi). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Lois de de Morgan. Exemples. Quantificateurs. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur.

13 septembre : [Annexe A4, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe, démonstration par cas. Démonstration par l'absurde, démonstration par contraposée. Récurrence, récurrence avec initialisation à un entier relatif quelconque, récurrence emboîtée. Exemples. Récurrence forte.

[Chapitre 4] Fonctions usuelles: Logaritme néperien, exponentielle néperienne, puissances réeeles. Propriétés, dérivées, limites, croissances comparées.

20 septembre : [Chapitre 8.1, Annexe A.2] Preuve en supposant l'existence d'un contre-exemple minimal. Récurrence double, exemples. Suites définies par récurrence (double). Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Complément d'un ensemble (par rapport à un ensemble ambiant). Ensemble de parties.

[Chapitre 4] Fonctions trigonométriques, fonction trigonométriques réciproques, fonctions hyperboliques, fonctions hyperboliques réciproques. Parité, périodicité. Tableau des variations, limites, asymptotes, points d'inflexion.

27 septembre : [Annexe A.2, A.4] Produit cartésien (multiple). Applications : Rappels, domaine, image. Restriction, composition, associativité de la composition. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Critère d'injectivité: f(x)=f(x') implique x=x'. Caractérisation par inverse à gauche (injectivité), inverse à droite (surjectivité), inverse bilatéral = fonction réciproque (bijectivité).

Formules explictes pour les fonctions hyperboliques réciproques. Injectivité/surjectivité/bijectivité et composition de fonctions. Calculs algébriques : notation pour une somme, pour un produit ; somme et produit télescopiques ; somme géométrique ; somme sur un rectangle, un triangle. Ensembles finis, principe du tiroir.

4 octobre : [Chapitre 8.3 et 8.4, Chapitre 1] Ensemble YX de fonctions de X dans Y. Cardinal d'un ensemble fini ; calcul du cardinal d'un produit, d'un ensemble de fonctions, d'un ensemble de parties. Arrangements, combinaisons, fonction factoriel, coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Les nombres complexes : motivation par la formule de Cardano d'une racine d'une équation de troisième degré. Définition d'un corps, exemples. Construction de C en munissant R2 d'une loi additive et d'une loi multiplicative. Représentation d'Argand, affixe d'un point de R2, image d'un nombre complexe.

[Chapitre 9, Chapitre 10] Le corps R des nombres réels. Définition d'un ordre partiel, d'un ordre total. Majorant/minorant, borne supérieure/inférieure d'une partie. Eléments maximaux/minimaux d'une partie, maximum et minimum. Pour un ordre total, égalité maximum = élément maximal ; minimum = élément minimal. Caractérisation de la borné supérieure. Axiome de la borne supérieure. Archimédianité de R, et densité de Q dans R. La droite numérique achevée. Intervalles. Les suites : définition, exemples.

11 octobre : [Chapitre 1] Forme algébrique d'un nombre complexe, partie réelle, partie imaginaire. Formules binomiaux. Conjugaison complexe, module, inégalité triangulaire. Argument, forme trigonométrique, interprétation géométrique de la multiplication et de la conjugaison. Exponentielle imaginaire, forme exponentielle d'un nombre complexe. Relation d'Euler, Formule d'Euler, formule de Moivre. Factorisation par angles moitiés. Définition d'un groupe. Le groupe U des complexes de module 1. Racines de l'unité (définition).

[Chapitre 10] Suites : (strictement) croissantes/décroissantes/monotones, majorées, minorées, bornées. Opérations sur les suites (somme, produit, produit scalaire) et leurs limites. Inégalités sur les suites. Théorème du gendarme. Suites divergentes vers ∞ ou -∞.

18 octobre : [Chapitre 1] Groupe des racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes primitives de l'unité. Expression comme exp(i2πk/n) avec k=0,…,n-1 ; primitive ssi pgcd(n,k)=1 (admis). Représentation sur le cercle U. La relation 1+ω+ω²+…+ωn-1=1. Racines n-ièmes d'un nombre complexe sous forme exponentielle. Calcul d'une racine carrée d'un nombre complexe sous forme algébrique, résolution d'une équation de second degré (à coefficients complexes ou réels). Nombres complexes et géométrie plane : distance, barycentre. Associativité du barycentre.

[Chapitre 10] Résolution des suites un+2=aun+1+bun. Suites extraites (sous-suites) ; critères de convergence et de divergence. Suites monotones, convergence dans la droite réelle achevée. Suite adjacentes. Théorème de Ramsey (énoncé). Extraction d'une sous-suite monotone ; Théorème de Bolzano-Weierstrass.

25 octobre : [Chapitre 1, Chapitre 20] Angles et argument. Similitudes directes : translations, homothéties, rotations. Composition de similitudes directes. Points fixes ; détermination d'une similitude directe. Arithmétique : Relation de divisibilité, congruences.

8 novembre : [Chapitre 20] Divisibilité comme ordre partiel sur N. Congruences, système complèt de restes modulo n. Division euclidiennne, pgcd, ppcm. Théorèmes d'Euclide et de Bézout. Algorithme d'Euclide et calcul des coefficients de Bézout. pgcd(a,b) comme élément maximal de l'ensemble des diviseurs communs de a et de b.

[Chapitre 10, Chapitre 11] Rappel Théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass, démonstration du dernier avec le théorème de Ramsey, et démonstration alternative avec bisection des intervalles. Fonctions réelles : opérations sur les fonctions (somme, produit, multiple scalaire, valeur absolue, sup, inf), comparaison. Fonctions bornées, extrema, extrema locaux. Monotonie (stricte). Parité, périodicité. Voisinages, adhérence; propriété vraie en un voisinage. Limite d'une fonction en un point de l'adhérence de son domaine.

15 novembre : [Chapitre 20] Théorème de Gauss. Propriétés et caractérisation du ppcm et du pgcd. Résolution de la congruence ax≡b mod n. Résolution du système de congruences x≡a mod n et x≡b mod k. Nombres premiers : définition. Infinitude de l'ensemble des nombres premiers. Décomposition en nombres premiers (existence).

[Chapitre 11] Définition séquentielle d'une limite; équivalence avec la définition par voisinages. Existence d'une limite finie implique localement borné. Limites et inégalités. Théorème de majoration. Opérations algébriques sur les limites (somme, produit, valeur absolue, quotient). Continuité en un point, définition. Préservation par opérations algébriques. Limites unilatérales, continuité unilatérale. Prolongement par continuité. Théorème des restes chinois.

Travaux dirigés

Feuilles d'exercices :

Avancement des TD

Groupe P1 (Pascal Lainé):
  • vendredi 07/09 : feuille “révisions” toute la feuille sauf exercice 8 (F) et exercice 11.
  • Lundi 11/09 : feuille 2 “logique” : exercices 1 à 8.
  • Mardi 12/09 : feuille 2 “logique” : exercices 9 à 19.
  • Vendredi 15/09 : feuille 2 “logique” exercices 20 et 21. feuille 3 “étude de fonctions” exercices 1 à 6.
  • Lundi 18/09 : feuille 3 “étude de fonctions” exercices 7 à 12.2.
  • Vendredi 22/09 : feuille 3 “étude de fonctions” fin de l'exercice 12, puis exercice 13, 14, 15, 16 (avec de grosses difficultés pour les étudiants), 17 et 18.1,18.2 et 18.3.
  • Lundi 25/09 : feuille 3 “études de fonctions” exercices 18.4 à 23, puis feuille 4 “fonctions hyperboliques” exercices 1 et 2
  • Vendredi 29/09 : feuille 4 “fonctions hyperboliques” exercices 2, 3, 4 et 5.
  • Lundi 02/10 : feuille 4 “fonctions hyperboliques” exercices 6 à 9 et 11.
  • vendredi 06/10 : feuille 4 “fonctions hyperboliques” exercice 10.
  • Lundi 09/10 : feuille 5 : “calculs” exercices 1 à 7.
  • Vendredi 13/10 : feuille 5 : “calculs” exercices 10 à 15 (S1, S2)
  • Lundi 16/10 : feuille 5 : “calculs” exercices 8, 9, 15 et 16. feuille 6 : “applications” exercices 1 et 2.
  • Vendredi 20/10 : feuille 6 “applications” exercices 3, 5, 6, 10, 12 et 19. feuille 8 “complexes deuxième partie” exercice 10.
  • Lundi 23/10 : feuille 8 “complexes première partie” exercices 1 à 11 (sauf le 4).
  • Vendredi 27/10 : feuille 7 “suites” exercices 1 à 7.
  • Lundi 6/11 : feuille 8 “complexes première partie” exercices 8 à 15 et “complexes deuxième partie” exercices 1 à 4.
  • Vendredi 10/11 : feuille 7 “suites” exercice 9 à 13.
  • Lundi 13/11 : feuille 8 “complexes deuxième partie” exercice 9; feuille 8 “complexes troisième partie” exercices 1,2,3,5,6,7,12,13.1 et 13.5.
  • Vendredi 20/11 : feuille 7 “suites” exercices 14, 15, 17, 20 et 21.
Groupe P2 (Francesco Fanelli) :
  • Jeudi 07/09: feuille “Révisions”, exercices 1 à 8-D.
  • Vendredi 08/09: feuille “Révisions”, exercices 8-E à 18. Feuille “Logique”, exercice 1(1).
  • Lundi 11/09: feuille “Logique”, exercices 1(2) à 5(1).
  • Vendredi 15/09: feuille “Études de fonctions”, exercices 1 à 7(3).
  • Lundi 18/09: feuille “Logique”, exercices 5(2-3), 6, 7(2-3), 8(1 à 5), 9, 10, 12, 13, 14, 15(1).
  • Vendredi 22/09: feuille “Étude de fonctions”, exercices 7(6-7), 8, 9, 10, 14.
  • Lundi 25/09: feuille “Logique”, exercices 15(2) à 18, 19(3), 20, 21. Feuille “Calculs”, exercices 1(3), 2(1), 3(1).
  • Vendredi 29/09: feuille “Étude de fonctions”, exercices 11, 15, 16, 19.
  • Lundi 02/10: feuille “Calculs”, exercices 3(2-3), 4, 5, 8(1-4), 9(1-2).
  • Vendredi 06/10 (4h30): feuille “Calculs”, exercices 9(3), 10, 7(1-2). Feuille “Fonctions hyperboliques”, exercices 1 à 4.
  • Lundi 09/10: feuille “Calculs”, exerices 7(3-4-5), 11(1-2-4), 12, 13, 15(1-3).
  • Vendredi 13/10 (4h30): feuille “Fonctions hyperboliques”, exercices 6, 9(1), 10. Feuille “Applications”, exercices 3, 4, 7, 8(1-2).
  • Lundi 16/10: pas de TD. Voir les vendredis 06/10 et 13/10.
  • Vendredi 20/10: feuille “Applications”, exercices 8(3), 10(sauf question 5), 13, 14, 19(a), 20, 23(1).
  • Lundi 23/10: feuille “Complexes”, exercices 1 à 5, 7 à 10, 11(1).
  • Vendredi 27/10: feuille “Suites”, exercices 1, 2, 3, 5.
  • Lundi 06/11: feuille “Complexes”, exercices 11(2-3), 12, 13, 14, 15. Feuille “Complexes-II partie”, exercice 1.
  • Vendredi 10/11: feuille “Suites”, exercices 6(b, d, e), 7, 8, 9, 10, 15.
  • Lundi 13/11: feuille “Complexes-II partie”, exercices 2, 3, 4, 5, 7.
  • Vendredi 17/11: feuille “Suites”, exercices 12, 13, 18, 20.
  • Lundi 20/11 (4h30):
  • Vendredi 24/11:
  • Lundi 27/11 (4h30):
  • Vendredi 01/12: pas de TD. Voir les lundis 20/11 et 27/11.
  • Lundi 04/12:
  • Vendredi 08/12:
  • Lundi 11/12:
  • Vendredi 15/12:
Groupe P3 (Khaled Saleh) :
  • Jeudi 7 septembre: feuille “révisions”: exos 1 à 6.
  • Vendredi 8 septembre: feuille “révisions”: exos 7 à 18. Feuille “logique”: exo 1.
  • Lundi 11 septembre: feuille “logique”: exos 2 à 4.
  • Vendredi 15 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 1 à 7-3).
  • Lundi 18 septembre: feuille “logique”: exos 5, 8, 9, 10, 15, 17.
  • Vendredi 22 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 7, 8, 10, 11, 14, 15.
  • Lundi 25 septembre: feuille “logique”: exos 17, 18, 19, 20, 21. Feuille “calculs algébriques”: exos 3 et 4.
  • Vendredi 29 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 13, 18, 19. Feuille “fonctions hyperboliques”: exo 1.
  • Lundi 2 octobre: Feuille “calculs algébriques”: exos 5, 7 et 8.
  • Vendredi 6 octobre: feuille “fonctions hyperboliques”: exos 3, 4, 6, 9, 10-1.
  • Lundi 9 octobre: feuille “calculs algébriques”: exos 9, 10, 12, 13, 14.
  • Vendredi 13 octobre: feuille “applications”: exos 1 à 5.
  • Lundi 16 octobre: feuille “calculs algébriques”: exos 15, 16. feuille “complexes” exos 1, 2, 3, 4.
  • Vendredi 20 octobre: feuille “applications”: exos 6, 7, 13, 14, 18, 19 (jusqu'a d).
  • Lundi 23 octobre: feuille applications: exoss 19, 21 25. feuille complexes: Partie I exos 1 à 4.
  • Vendredi 27 octobre: feuille complexes : Partie I exos 5 à 12.
  • Lundi 6 novembre: feuille complexes: Partie I exos 12 à 15. Partie II exos 1 à 4.
  • Vendredi 10 novembre: feuille complexes: Partie II exos 5 à 10. feuille suites exos 4, 5, 7, 9, 12.
Groupe P4 (Arnaud Duran):
  • Jeudi 7 septembre: feuille “révisions”: exos 1 à 5.
  • Vendredi 8 septembre: feuille “révisions”: exos 6 à 18.
  • Lundi 11 septembre: feuille “logique”: exos 1 à 4.
  • Vendredi 15 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 1 à 6.
  • Lundi 18 septembre: feuille “logique”: exos 5 à 10.
  • Vendredi 22 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 6, 7, 8, 10, 14.
  • Lundi 25 septembre: feuille “logique”: exos 11 à 16, 18 et 19.
  • Vendredi 29 septembre: feuille “études de fonctions”: exos 13 et 16.
  • Lundi 2 octobre: feuille “calculs algébriques”: exos 3, 4, 5 et 7.
  • Vendredi 6 octobre: feuille “études de fonctions”: exos 16 et 19. Feuille “fonctions hyperboliques”: exos 1 à 3.
  • Lundi 9 octobre: feuille “calculs algébriques”: exos 8 à 11.
  • Vendredi 13 octobre: feuille “applications”: exos 1 à 9.
  • Lundi 16 octobre: feuille “applications”: exos 10 à 14, 18.
  • Vendredi 20 octobre: feuille “complexes”: exos 1 à 11.
  • Lundi 23 octobre: feuille “applications”: exos 19 à 23, 25.
  • Vendredi 27 octobre: feuille “complexes-I”: exos 12 à 15. Feuille “complexes-II”: exos 1 et 2(1,2,3).
  • Lundi 6 novembre: feuille “complexes-II”: exos 3 à 7, 10.
  • Vendredi 10 novembre: feuille “suites réelles”: exos 1 à 3 et 6 à 9.

Devoirs surveillés

Archive

 
 
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