Licence de mathématiques
 

Table des matières

Probabilités MAT3147L

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 9 séances de CM, le mercredi matin de 9h45 à 13h (la première semaine aura lieu le mercredi 17/01). Attention aux interruptions (vacances, absences…)

TDs: trois groupes de TD. Les chargés de TD sont Ivan Gentil (groupe A), Frédérique Bienvenue (B) et Alexandre Lanar (groupe C). En règle générale il y a une séance de TD par semaine, le mercredi de 14h à 17h15. Les TD commencent le mercredi 24/01.

Références:

Modalités d'évaluation: Un partiel (CP, 2h) le mercredi 6 mars 2024 + un examen terminal (CT, 2h).

Note finale:= max(CT,(CT+CP)/2).

  • Control Partiel (CP) : mercredi 6 mars 2024, 9h45-11h45, partiel raté dont voici le sujet et sa belle correction. Le véritable partiel sera le mercredi 13 mars 2024, 9h45-11h45 : sujet et ses deux belles corrections de la partie 1 et de la partie 2

Annales : Partiel no1, 1 mars 2023, Partiel no2, 5 avril 2023 partiel d'avril 2022 partiel d'avril 2021 Examen mai 24 mai 2023 corrigé Examen mai 2023 examen mai 2022 correction de l'examen de mai 2022

Programme de l'UE

  • Espaces de probabilité et variables aléatoires. Événements. Probabilité conditionnelle. Indépendance. Variables aléatoires (v.a.) discrètes et continues. Lois usuelles et leurs applications en modélisation. Espérance, variance. Vecteurs de variables aléatoires. Convergence en loi d'une suite de v.a. Convergence en probabilité. Convergence presque sûre.
  • Théorèmes limites. Loi forte des grands nombres. Théorème central limite. Convergence vers la loi de Poisson. Fonctions de répartition empirique et théorème de Glivenko-Cantelli.
  • Vecteurs gaussiens. Définition, théorème central limite multidimensionnel. Indépendance.
  • Exemples possibles : Application du TCL aux intervalles de confiance pour des Bernoulli. Marches aléatoires dans Z^d : cas simples de Galton-Watson. 

Cours

Enseignant : Christophe Garban

  • Mercredi 17 janvier : 9h45-13h. Introduction (bref historique de l'approche mathématique des probabilités). Une expérience. Espace de probabilités. Notion de variable aléatoire, loi d'une v.a.
  • Mercredi 24 janvier : 9h45-13h. Lois classiques. Notion d'espérance. Formule de transfert. Les deux utilisations de la formule de transfert = 1) cacluler un espérance et surtout 2) reconnaître la loi d'une variable aléatoire Z=f(X), Z=X+Y, Z=XY etc. Moments d'une variable aléatoire (E[X^n]), variance, inégalité de Markov. Exemples.
  • Mercredi 31 Janvier : 9h45-13h. Conditionnement, événements indépendants, variables aléatoires indépendantes, lien avec la loi, variance d'une somme de variables indépendantes, représentation de la loi binomiale comme somme de Bernoulli, Loi faible des grands nombre (cas L^2).
  • Mercredi 7 Février : 9h45-13h. Polynomes de Bernstein (pour le Th de Weierstrass), variables à densité, fonctions de répartition t → F_X(t), propriétés de F_X(t).
  • Mercredi 14 Février : 9h45-13h. Loi de la somme de 2 variable aléatoire (et lien avec la convolution). Convergence P.S, convergence en proba, critère de convergence P.S. Lien entre ces 3 notions de convergence.
  • Mercredi 21 Février : 9h45-12h. (Ivan Gentil). Lemme de Borel-Cantelli (et applications). Notion centrale de convergence en Loi.
  • Mercredi 28 Février : Vacances
  • Mercredi 6 Mars : 9h45-11h45 PARTIEL (amphi Deperet) !!!!! CE PARTIEL n'a pas eu lieu dans des conditions raisonnables (coupure electrique) il est remplacé par la tenue d'un nouveau PARTIEL ci-dessous !!!!
  • Mercredi 13 mars: 9h45-11h45 9h45-11h45 NOUVEAU PARTIEL (amphi Deperet)
  • Mercredi 20 mars: 9h45-13h Convergence en loi (fin). Loi faible et Loi forte des grands nombres (preuve seulement dans les cas L^4 et L^2). Notion de fonction caractéristique.
  • Mercredi 27 mars: 9h45-13h Fonction caractéristique (suite). Théorème central limite, cas particulier des Bernoullis (via du dénombrement à la “de Moivre” 1733). Theoreme du TCL, cas général dans R (L^2).
  • Mercredi 3 Avril: 9h45-13h Vecteurs Gaussiens. TCL dans R^d.
  • Mercredi 10 Avril: 9h45-11h45 Dernier cours : Processus de Galton-Watson. Marches aléatoires transientes dans Z^3.
  • Lundi 6 Mai: 14h-16h EXAMEN Final (amphis déambu 4 et 5, à vérifier la veille sur ADE).

Travaux dirigés

Feuilles de TD

Avancement

Groupe A -- Ivan Gentil
  • Mercredi 24 janvier : (remplacé par C. Garban) Sur la Fiche 1. Exos 1,2,3,4 (5 à la maison), 6.1 et 6.2 (sauf le dernier calcul 6.3, à faire à la maison. “Sanity check” vérifier que la limite quand p→0 est égale à 1/4). Exercice 7 non traité.
  • Mercredi 31 janvier : Exo 6 de la feuille 1. Exos 1, 2, 3, 4 de la feuille 2. Faire le 5 pour le 7 février.
  • Mercredi 7 février : Feuille 2 exo 5 et 6, feuille 3 exo 1 et 3. Faire le 2 pour le 14 février.
  • Mercredi 14 février :
  • Mercredi 21 février : feuille 4 : exos 1, 2, 3, 8, faire le 9 pour le 6 mars.
  • Mercredi 6 mars :
  • Mercredi 13 mars : Feuille 5, exo 6 et 9. Feuille 6, exos 1, 2 et 3.
  • Mercredi 27 mars :
  • Mercredi 3 avril :
  • Mercredi 17 avril :
Groupe B -- Frédérique Bienvenue
  • Mercredi 24 janvier : Sur la fiche 1 : exercices 1 à 4 et 6.1. Chercher la fin de l'exercice 6, l'exercice 5 et la 1ère question de l'exercice 7 pour le 31/01
  • Mercredi 31 janvier : Sur la fiche 1 : fin de l'exercice 6; exercice 5; exercice 7.1. Sur la fiche 2 : exercices 1 à 4; 5.1, 6.1. Cherchez des exemples pour 5.2 (ou répondre complètement à la question), terminer l'exercice 6
  • Mercredi 7 février : Fin de la fiche 2 (mais pas la question 7.3). Fiche 3 : ex 1 et 3.1, 3.1. Chercher 3.3
  • Mercredi 14 février : Fin de la fiche 3 (sauf exercice 4.8). Chercher l'exercice 2 de la fiche 4 pour le 21/02
  • Mercredi 21 février :Fiche 4 : Exercices 1, 2, 3, 4, 8, 9
  • Mercredi 6 mars : Fiche 5 : Exercices 1, 2, 3, 4, 5.1, 9
  • Mercredi 13 mars : Fiche 5 : Exercice 5.2, 6, 7; Fiche 6 : exercices 1, 2.1, 4. Chercher les 2.2 et 6 de la fiche 6.
  • Mercredi 27 mars : Fiche 6 : tout sauf 3.9. Fiche 7 : Exercice 1. Chercher le 2 et le 3.
  • Mercredi 3 avril : Fiche 7 : Tout ce qui reste
  • Mercredi 17 avril : Fiche 8. Travail sur les exercices 2 et 4 du contrôle de juin 2015 (ajouter l'hypothèse d'indépendance des X_i dans l'exercice 2)
Groupe C -- Alexandre Lanar
  • Mercredi 24 janvier : Fiche 1 exos 1-4 faits. Exo 5 à chercher à la maison
  • Mercredi 31 janvier : Fiche 1 finie sauf exo 7.2. Fiche 2 exos 1,2, 3.1, 4, 5.
  • Mercredi 7 février : Fiche 2 exo 6. Fiche 3 exos 1, 2, 3.3.
  • Mercredi 14 février: Fiche 3 exo 3 fini, exo 4 sauf 4.8. Fiche 4 exo 1, début exo 2.
  • Mercredi 21 février : Fiche 4 fin exo 2, exos 3-4, 8-9.
  • Mercredi 6 mars : Fiche 5 exos 1-3; 4 sauf fin; 5 1/ et 2/; début du 7.
  • Mercredi 13 mars : Fiche 5 exos fin du 7 et 9; Fiche 6 exos 1-2 et 3 sauf le 3/6 et le 3/9
  • Mercredi 27 mars : Fiche 6 exos 3/6 et 4-6 Fiche 7 exos 1-2.
  • Mercredi 3 avril : Fiche 7 finie.
  • Mercredi 17 avril : Fiche 8 finie. Travail sur les exercices 2 et (un peu) 4 du contrôle de juin 2015.

Travaux pratiques

Fiches de TP :

Enseignants :

  • Mercredi 20 mars : 14h-17h15
  • Mercredi 10 avril : 14h-17h15
 
 
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