Cette page (en évolution) contient les informations relatives au cours d'algèbre 1B dans le parcours progressif de L1.

Le programme est disponible ici.

• Nombres complexes : (la construction de C est hors programme) forme algébrique (parties réelle et imaginaire), opérations, conjugaison, module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d'Euler, formule de Moivre. Rappels et applications à la trigonométrie : linéarisation / polynomialisation. Racines n-ièmes. Extension au cas complexe des sommes géométriques, de la factorisation de aⁿ – bⁿ par a – b et de la formule du binôme de Newton.
• Interprétation géométrique des complexes : droites, cercles, affixe d'un point, d'un vecteur, interprétation du module, de l'argument, de la conjugaison,
• Équations polynomiales de degré deux : équations à coefficients réels, équations à coefficients complexes.
• Polynômes sur R ou C. La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, théorème de d'Alembert-Gauss (admis).
• Fractions rationnelles. Forme irréductible d'une fraction rationnelle. Fonction rationnelle. Degré, partie entière, zéros et pôles, multiplicités. Décomposition en éléments simples.

Cours : M. Jérôme Germoni — mél

Travaux dirigés :

• Groupe A : Mme Véronique Battie – mél
• Groupe B : M. Jérôme Germoni

Tutorat : à préciser

Légende :

• CM = cours magistral (de 14 h à 15 h 30 le jeudi) ;
• TD = travaux dirigés (de 9 h 45 à 13 h) ;
• Tu = tutorat (de 14 h à 15 h 30 s'il n'y a pas CM ; de 15 h 45 à 17 h 15 s'il y a CM).

Ce cours téléchargeable d'Alain Soyeur, François Capaces, Emmanuel Vieillard-Baron est une référence utile couvrant toutes les mathématiques de première année.

Le site Exo7 nous donne beaucoup d'exercices avec les corrigés.

• Nombres complexes
• Polynômes (début)

• Feuille n° 1 : avec un certain nombre de réponses
• Feuille n° 2 : avec quelques solutions

• Trois tests d'une heure : on obtient trois notes CC1, CC2, CC3
• Un examen final : la note sera désignée par CT
• Note de l'UE :
  • UE = CT × 0,4 + max(CC1, CT) × 0,2 + max(CC2, CT) × 0,2 + max(CC3, CT) × 0,2
• En cas d'absence à un test, la note correspondante est remplacée par la note du CT

• Contrôle continu : 13 février (sujets avec solutions), 19 mars (sujets avec solutions), 9 avril (sujets avec solutions)
• Contrôle final : 2 mai à 8 h, amphi Grignard

• 23 et 25 janvier : nombres complexes : définition ; partie réelle, partie imaginaire, conjugaison ; représentation dans un plan ; module (définition et interprétation comme hypoténuse d'un triangle rectangle)
• 1er février : propriétés du module (module du conjugué, du produit, de l'inverse, du quotient…) ; inégalité triangulaire ; racines carrées (définition, exemples, existence de deux racines carrées et démonstration)
• 8 février : équation de degré deux ; arguments (début)
• 15 février (cours supplémentaire) : arguments d'un nombre complexe de module 1, exponentielle complexe, formules de Moivre ; arguments d'un nombre complexe non nul, forme géométrique (ou trigonométrique ou exponentielle) et critère d'égalité ; racines carrées via la forme géométrique
• 7 mars : racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes d'un complexe non nul (et fin des complexes ; formulaire). Introduction des polynômes (définitions)
• 14 mars : fin des complexes : racines n-ièmes. Début des polynômes : une sorte de définition, opérations.
• 21 mars : polynômes : reprise de la définition, opérations ; degré, degré du produit et de la somme, intégrité et inversibles ; deux formules utiles (Newton et factorisation de aⁿ – bⁿ) ; fonction polynomiale associée à un polynôme, racine d'un polynôme (seulement du vocabulaire pour cette partie).
• 28 mars : polynômes : reprise sur l'évaluation d'un polynôme P en un scalaire x₀ (notation P(x₀) et en un polynôme A (notation P(A(X))) ; répétition de la définition de racine, racine réelle et complexe ; exemples [à savoir X(X-1)(X+3) et X(X²+1)] ; évaluation de la somme et du produit de deux polynômes ; dérivation : définition, linéarité, formule de Leibniz, dérivée itérée, formule de Taylor, racine multiple (équivalence entre P(x₀) = P'(x₀) = ⋅⋅⋅ = P^(m)(x₀) = 0 et l'existence de Q tel que P(X) = (X – x₀)^mQ(X)).
• 4 avril : arithmétique des polynômes (début) : divisibilité, division euclidienne (exemple, énoncé, démonstration), pgcd (définition, preuve de l'unicité et preuve de l'existence par l'algorithme d'Euclide)
• 11 avril : arithmétique des polynômes (suite) : énoncé des théorèmes de factorisation sur C et R (just in case) ; relation de Bézout (démonstration seulement esquissée) ; polynômes premiers entre eux : définition, exemples, relation de Bézout (bis), lemme de Gauss ; polynômes irréductibles : définition, exemples, classification dans C[X] et dans R[X] ; factorisation : énoncé (informel) sur un corps quelconque et retour à l'énoncé initial.

• 30 janvier :
  • groupe A → feuille n° 1 : 1 c)e)f), 2, 3 a)g), 4.1, 6.1.
  • groupe B → feuille n° 1 : exercices 1 à 4 (avec quelques dessins d'images de points au passage).
• 6 février :
  • groupe A → feuille n° 1 : 3 f), 4.2, 5, 6.2, 7 a)b)d), 8 a)b)c)d), 9.1.
  • groupe B → feuille n° 1 : 5, 6, 7 a-c, 8 a-e, 10 a.
• 13 février : devoir surveillé n° 1 (sujets et solutions) et…
  • groupe A → feuille n° 1 : 10.2 b), 15 (modules).
  • groupe B → feuille n° 1 : 10 (fin), 11, 12.
• 5 mars :
  • groupe A → feuille n° 1 : 10.2 a), 11.2, 12 a)c), 15 (fin), 17.
  • groupe B → feuille n° 1 : 13, 14, 15, 16.
• 12 mars :
  • groupe A → feuille n° 1 : 16, 18, 19 a), 22 a)b)c).
  • groupe B → feuille n° 1 :
• 19 mars : devoir surveillé n° 2 (sujets et solutions) et…
  • groupe A → feuille n° 1 : 13 ; feuille n° 2 : 1, 2 (phase expérimentation).
  • groupe B → feuille n° 2 : 1, 2, 3.
• 26 mars :
  • groupe A → feuille n° 2 : 3, 4, 5.
  • groupe B → feuille n° 2 : 4, 5, 7.
• 2 avril :
  • groupe A → feuille n° 2 : 7, 10&16 c)f), 14.
  • groupe B → feuille n° 2 : 8 (qui donne les idées de 11 et 12), 13, 14
• 9 avril : devoir surveillé n° 3 et…
  • groupe A → feuille n° 2 : 17, 18 1)2), 21.
  • groupe B → feuille n° 2 : 17, 18-2, 20 ?

La page de l'UE de 2023-2024 par Francesco Fanelli.