Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes)
DS : 30% (la moyenne des trois meilleurs notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)
Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30%
Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.
Début des colles : la semaine du 16 septembre.
Colloscope A consulter dès vendredi 13 septembre au soir, et chaque week-end. Les khôlles peuvent être modifiées à tout instant.
Enseignant : Frank Wagner (mél, web)
Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)
Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.
Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Analyse (normalement le mercredi matin) et algèbre (normalement le mercredi après-midi).
Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes arithmétiques, sommes géométriques. Raisonnement par l’absurde, par contradiction par récurrence (simple, double ou forte).
Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien, coefficients binomiaux.
Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).
Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.
Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert-Gauss (admis).
Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.
Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.
Suites réelles : Propriétés de R, inégalités réelles. Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).
Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.
Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.
2 septembre : [Chapitre 4] Applications réelles, ensemble de départ (domaine), ensemble d'arrivée, graphe, opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale, parité. Application injective, surjective, bijective (uniquement définition et exemples), application réciproque, graphe de l'application réciproque comme symétrique par rapport à la diagonale y=x. Composition d'applications. Exemples. Dérivation : définition de la dérivée à un point, à droite/gauche. Règles de dérivation : somme, produit, composée (sans démonstration). Application : calcul de la dérivée de 1/f, de g/f et de f-1 (pour f bijective).
3 septembre : [Chapitre 4] Fonctions usuelles: Logaritme néperien, exponentielle néperienne, logarithme et exponentielle de base a>1, puissances réelles. Propriétés, dérivées, limites.
5 septembre : [Annexe A4, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe, démonstration par cas. Démonstration par contraposée, démonstration par l'absurde. Récurrence (simple), récurrence avec initialisation à un entier relatif, récurrence double. Récurrence forte. Principe du contre-exemple minimal et descente infinie. Exemples. Notations pour la somme et pour le produit. Somme sur un rectangle, sur un triangle.
[Chapitre 8.1, Annexe A1] Somme des n premiers entiers naturels, somme arithmétique. n!, somme géométrique. Bases de logique. Propositions, connecteurs booléens (négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Lois de de Morgan. Exemples. Quantificateurs. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur.
11 septembre : [Chapitre 4] Fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques réciproques, propriétés, périodicité. Fonctions hyperboliques, propriétés. Fonctions hyperboliques réciproques : dérivées, formules explicites.
[Annexe A2] Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Non-existence de l'ensemble de tous les ensembles (hors programme). Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Complément d'un ensemble (par rapport à un ensemble ambiant). Propriétés. Produit cartésien, ensemble de parties, ensemble des fonctions de X vers Y.
18 septembre : [Chapitre 4, Chapitre 9] Fonction asymptote en ±∞ à une autre fonction. Asymptotes affines, paraboliques. Etude d'une fonction, table de variations. Exemple. Définition d'une relation sur un ensemble. Réflexivité, antiréflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Définition d'une relation d'équivalence, d'un ordre partiel, d'un ordre total. Majorant/minorant, éléments maximaux/minimaux d'une partie, maximum et minimum. Exemples. Non-comparabilité des éléments extrêmes, unicité du maximum/minimum.
[Annexe A4.2] Applications : Rappels, domaine, image. Restriction, composition, associativité de la composition. Image directe, image réciproque. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Critère d'injectivité: f(x)=f(x') implique x=x'. Caractérisation par inverse à gauche (injectivité), inverse à droite (surjectivité), inverse bilatéral = fonction réciproque (bijectivité). Propriétés: f et g injectifs/surjectifs implique g•f injectif/surjectif ; g•f injectif/surjectif implique f injectif/g surjectif.
25 septembre : [Chapitre 9] Ordres totaux. Équivalence maximum = élément maximal et minimum = élément minimal. Borné supérieure/inférieure. Le corps ordonné des réels : axiomes d'un corps, d'un corps ordonné, exemples. Caractérisation de la borné supérieure. Axiome de la borne supérieure. La droite numérique achevée. Intervalles. Archimédianité de R, et densité de Q dans R.
[Chapitre 8.2] Cardinal d'un ensemble fini. Calcul du cardinal d'une réunion, d'un produit. Principe des tiroirs.
2 octobre : [Chapitre 10] Suites réelles : définition, exemples. Suites (strictement) croissantes/décroissantes, constantes, suites majorées, minorées, bornées. Opérations sur les suites : somme, produit scalaire, produit. Convergence d'une suite, limite. Opérations sur les limites (somme, produit, réciproque, produit scalaire). Inégalités sur les suites, théorème des gendarmes. Suites divergentes vers ∞ ou -∞ ; opérations sur les limites dans la droite réelle achevée.
[Chapitre 8.2 et Chapitre 2] Calcul du cardinal d'un ensemble de fonctions, d'un ensemble de parties. p-listes, p-arrangements, p-parties. Coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Les nombres complexes : motivation par la formule de Cardano d'une racine d'une équation de troisième degré. Construction de C en munissant R2 d'une loi additive et d'une loi multiplicative. Forme algébrique d'un nombre complexe, partie réelle, partie imaginaire. Représentation d'Argand. Conjugaison complexe, module.
9 octobre : [Chapitre 10] Suites extraites (sous-suites) ; critère de divergence. Suites monotones, convergence dans la droite réelle achevée. Suite adjacentes, théorème de convergence. Théorème de la suite extraite monotone, Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème de Ramsey (démonstration hors programme), avec comme application le théorème de la suite extraite monotone. Comparaison de suites : suite dominée par une autre, négligeable devant une autre.
[Chapitre 2] Représentation d'Argand, affixe d'un point de R2, image d'un nombre complexe. Conjugaison complexe, module, inégalité triangulaire. Argument, interprétation géométrique de la multiplication et de la conjugaison. Exponentielle imaginaire, forme exponentielle d'un nombre complexe, forme trigonométrique. Relation d'Euler, Formule d'Euler, formule de Moivre. Factorisation par angles moitiés. Exponentielle complexe. Le groupe U des complexes de module 1. Le Groupe des racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes primitives de l'unité. Expression comme exp(i2πk/n) avec k=0,…,n-1. Représentation sur le cercle U. La relation 1+ω+ω²+…+ωn-1=1. Racines n-ièmes d'un nombre complexe sous forme exponentielle. Calcul d'une racine carrée d'un nombre complexe sous forme algébrique, résolution d'une équation de second degré (à coefficients complexes ou réels).
16 octobre : [Chapitre 10, 11] Transitivité de la dominance et la négligeabilité. Equivalence de deux suites. Propriétés. Comparaison avec des suites de référence, équivalents usuels. Fonctions réelles : opérations sur les fonctions (somme, produit, multiple scalaire, valeur absolue, sup, inf), l'ordre partiel. Fonctions majorées, minorées, bornées ; extrema, extrema locaux. Monotonie (stricte). Parité, périodicité. Fonctions Lipschitziennes, propriétés.
[Chapitre 1] Nombres complexes et géométrie plane : distance, barycentre. Associativité du barycentre. Angles et argument. Similitudes directes : translations, homothéties, rotations. Composition de similitudes directes. Points fixes ; détermination d'une similitude directe. Similitudes indirectes. La conjugaison complexe comme symétrie axiale. Composition de similitudes. Points fixes ; détermination d'une similitude indirecte. L'inversion u→1/ū (hors programme). Résolution de récurrences linéaires d'ordre 1 et 2 (cas homogène).
6 novembre : [Chapitre 11] Voisinages, adhérence; propriété vraie en un voisinage. Limite d'une fonction en un point de l'adhérence de son domaine. Equivalence entre la définition par voisinages, par ε-δ, et la définition séquentielle. Unicité de la limite. Existence d'une limite finie implique localement borné. Théorème de majoration. Opérations algébriques sur les limites (somme, produit, valeur absolue, quotient, composition). Continuité en un point, définition. Préservation par opérations algébriques. Limites unilatérales, continuité unilatérale.
[Chapitre 20] Arithmétique : Relation de divisibilité; la divisibilité comme ordre partiel sur N. Congruences, système complet de restes modulo n. Division euclidienne, pgcd, ppcm. Théorèmes d'Euclide et de Bézout. Algorithme d'Euclide et calcul des coefficients de Bézout. Théorème de Gauss. Propriétés et caractérisation du ppcm et du pgcd.
13 novembre : [Chapitre 11] Résolution de l'équation diophantienne ax + by = n. Résolution de la congruence ax≡b mod n. Résolution du système de congruences x≡a mod n et x≡b mod k. Nombres premiers : Définition. Infinitude de l'ensemble des nombres premiers. Petit Théorème de Fermat. La fonction φ(n) d'Euler et la congruence mφ(n) ≡ 1 mod n si pgcd(m,n)=1 (hors programme, sans démonstration). Décomposition en nombres premiers. Caractérisation de la divisibilité, du pgcd et du ppcm par décomposition en facteurs premiers.
[Chapitre 11] Existence d'une limite ssi limite à gauche = valeur = limite à droite.Prolongement par continuité. Passage au limité dans les inégalités, théorème des gendarmes. Théorème de la limite monotone. Domination et prépondérance (négligeabilité) en un point, définition avec voisinages, équivalence avec la définition séquentielle. Caractérisations, préservation par combinaison linéaire et produit. Equivalence de fonctions en un point, préservation par produit et par quotient.
20 novembre : [Chapitres 11] Précisions sur la domination, la prépondérance (négligeabilité) et l'équivalence. Equivalents usuels. Continuité globale, préservation par combinaison linéaire, valeur absolue, produit et composition. Continuité uniforme. Exemples. Préservation par combinaison linéaire, valeur absolue et composition. Théorème de Heine: Une fonction continue sur un segment est uniformément continue. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème du maximum: une fonction continue sur un segment atteint un maximum. L'image d'un intervalle/ségment par une fonction continue est un intervalle/ségment. Théorème de la bijection pour les fonctions continues strictement monotones.
[Chapitre 21] Polynômes: définition, degré, terme dominant, coefficient dominant, valuation. Propriétés deg(P+Q)≤max{deg P, deg Q}, deg(PQ) = deg P + deg Q, val(P+Q)≥min{val P, val Q}, val(PQ)=val P + val Q. Intégrité: PQ=0 implique P=0 ou Q=0. Composition de polynômes. Polynômes associés, division euclidienne. Diviseurs communs, algorithme d'Euclide pour les polynômes, pgcd. Identité de Bézout pour les polynômes, coefficients de Bézout.
27 novembre : [Chapitre 12] Dérivation : taux d'accroissement, dérivée en un point (à gauche, a droite), sur un intervalle, fonction dérivée. Interprétation géométrique. Développement limite à l'ordre 1 d'une fonction dérivable. Dérivable implique continue. Opérations sur les dérivées : dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, de la réciproque multiplicative, d'un quotient. Dérivation de fonctions composées et de la fonction réciproque. Théorème de la bijection dérivable. Extremum d'une fonction dérivable, théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis (TAF). Dérivée bornée implique Lipschitzienne.
[Chapitre 21] Exemple d'un calcul de l'algorithme d'Euclide et des coefficients de Bézout. Schéma de Horner. Fonction polynomiale P* associé à un polynôme P; injectivité de la fonction P→P* pour un corps infini, contre-exemple pour le corps à deux éléments. Racines (zéros) d'un polynôme, caractérisation par la divisibilité de P par X-α. Un polynôme non-nul de degré d a au plus d racines. Racines multiples, caractérisation. Polynôme dérivé, dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'une composée de polynômes. Dérivés successives, formule de Leibniz.
4 décembre : [Chapitres 12] Variations d'une fonction. Théorème du prolongement dérivable. Théorème des accroissements finis généralisé (Théorème de la moyenne de Cauchy). Règle de l'Hôpital. Dérivées successives, formule de Leibniz. Fonctions de classe Cn et Dn. Opérations sur les classes Cn et Dn : clôture par combinaison linéaire, produit, réciproque multiplicatif (si ≠0) et composition. Théorème de la bijection Cn.
[Chapitre 21] Caractérisation d'une racine n-ème a de P par P(a)=P'(a)=…=P(n-1)(a)=0 et Pn(a)≠0. Polynômes irréductibles, décomposition en polynômes irréductibles (existence et unicité). Polynômes scindés ; fonctions symétriques élémentaires ; relation entre les racines et les coefficients d'un polynômes scindé. Théorème fondamental de l'algèbre (démonstration faite mais hors programme), polynômes irréductibles sur C. Polynômes conjugués. Polynômes irréductibles sur R. Factorisation des polynômes complexes et réels.
11 décembre : [Chapitre 21] La formule de Taylor pour les polynômes. [Chapitre 12] La formule de Taylor-Lagrange et l'inégalité de Taylor-Lagrange. La formule de Taylor-Young. Critère pour la convergence de la série de Taylor. Fonctions analytiques (uniquement définition, hors programme). Exemples. Série de Taylor de la fonction exponentielle, du sinus et du cosinus, et d'une puissance non-entière. Fonctions convexes et concaves, lemme des trois pentes, caractérisation de la convexité par dérivée croissante, ou deuxième dérivée positive. Exemples: Les fonctions puissance a>1, et le logarithme. Applications.
Groupe P1 (Arnaud Duran):
Groupe P2 (Simon Zugmeyer):
Groupe P3 (Thomas Gerard):
Groupe P4 (Samuel Guérin/Romain Ducasse):
Les mercredis 25 septembre, 16 octobre, 13 novembre et 4 décembre pour tous, plus le 2 octobre, 23 octobre, 20 novembre et 11 décembre pour le CUPGE, de 16h15 à 17h45.
Programme du DS1 (25 septembre) : fonctions usuelles, étude de fonctions, calcul algébrique, bases de logique, techniques de preuve.
Programme du DS1CCP (2 octobre) : le même que pour le DS1.
Programme du DS2 (16 octobre) : calcul algébrique, logique et techniques de preuve, fonctions usuelles (exponentielle, puissance, logarithmes, trigonométriques, trigonométriques hyperboliques et leurs réciproques), étude de fonctions, ensembles, applications, ensembles finis et cardinaux.
Programme du DS2CCP (23 octobre, 10h-11h30, amphi 3) : le même que pour le DS2.
Programme du DS3 (13 novembre) : Étude de fonctions, applications, ensembles finis et cardinaux. Nombres réels et suites réelles (monotonie, convergence, opérations sur les limites). Nombres complexes (Calculs, partie réelle, partie imaginaire, conjugué, module).
Programme du DS3CCP (20 novembre) : Étude de fonctions, applications, ensembles finis et cardinaux, nombres réels et suites réelles, nombres complexes.
Programme du DS4 (4 décembre) : suites réelles et analyse asymptotique, nombres complexes sous tous leurs aspects, arithmétique (cours)