Licence de mathématiques
 

Table des matières

Probabilités MAT3147L

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 9 séances de CM, le mercredi matin de 9h45 à 13h. Le premier cours a lieu mercredi 15/01 , de 9h45 à 13h en amphi DEPERET.

Attention aux interruptions (vacances, absences…)

TDs: trois groupes de TD. Les chargés de TD sont Laurent Bétermin (groupe A), Frédérique Bienvenue (groupe B) et Clément Erignoux (groupe C). En règle générale il y a une séance de TD par semaine, le mercredi de 14h à 17h15. Les TD commencent le mercredi 22/01.

Références:

Modalités d'évaluation: Un partiel (CP, 2h) le mercredi 12 mars 2024 + un examen terminal (CT, 2h).

Note finale:= max(CT,(CT+CP)/2).

  • Deuxieme session prévue le mardi 1er juillet, 11h

Annales : Partiel du 13 mars 2024, corrigé partie 1, corrigé partie 2, Sujet examen 6 mai 2024, correction-examen 2024, Partiel no1, 1 mars 2023, Partiel no2, 5 avril 2023 partiel d'avril 2022 partiel d'avril 2021 Examen mai 24 mai 2023 corrigé Examen mai 2023 examen mai 2022 correction de l'examen de mai 2022

Programme de l'UE

  • Espaces de probabilité et variables aléatoires. Événements. Probabilité conditionnelle. Indépendance. Variables aléatoires (v.a.) discrètes et continues. Lois usuelles et leurs applications en modélisation. Espérance, variance. Vecteurs de variables aléatoires. Convergence en loi d'une suite de v.a. Convergence en probabilité. Convergence presque sûre.
  • Théorèmes limites. Loi forte des grands nombres. Théorème central limite. Convergence vers la loi de Poisson. Fonctions de répartition empirique et théorème de Glivenko-Cantelli.
  • Vecteurs gaussiens. Définition, théorème central limite multidimensionnel. Indépendance.
  • Exemples possibles : Application du TCL aux intervalles de confiance pour des Bernoulli. Marches aléatoires dans Z^d : cas simples de Galton-Watson. 

Cours

Enseignant : Christophe Garban

  • Mercredi 15 Janvier : 9h45-13h. Introduction (bref historique de l'approche mathématique des probabilités). Une expérience. Espace de probabilités. Notion de variable aléatoire, loi d'une v.a.
  • Mercredi 22 Janvier : 9h45-13h. Lois classiques. Notion d'espérance. Formule de transfert. Les deux utilisations de la formule de transfert = 1) cacluler un espérance et surtout 2) reconnaître la loi d'une variable aléatoire Z=f(X), Z=X+Y, Z=XY.
  • Mercredi 29 Janvier : 9h45-13h. Conditionnement, événements indépendants, variables aléatoires indépendantes, tribus indépendantes, lien avec la loi, variance d'une somme de variables indépendantes.
  • Mercredi 5 Février : 9h45-13h. Représentation de la loi binomiale comme somme de Bernoullis. Loi faible des grands nombre (cas L^2). Polynomes de Bernstein (pour le Th de Weierstrass), variables à densité, fonctions de répartition t → F_X(t), propriétés de F_X(t).
  • Mercredi 12 Février : 9h45-13h. Loi de la somme de 2 variables aléatoires (et lien avec la convolution).
  • Mercredi 19 Février. 9h45-13h. Convergence P.S. Critère de convergence P.S. convergence en proba, convergence L^p. Lien entre ces 3 notions de convergence. Lemme de Borel-Cantelli.
  • Mercredi 26 Février. TDs (horaire habituel). !! Pas de cours le matin !!
  • Mercredi 5 Mars : Vacances
  • Mercredi 12 Mars : 10h-12h PARTIEL (amphi Deperet) (prévoir de venir avant, le partiel commencera à 10h pile).
  • Mercredi 19 Mars : Notion centrale de convergence en Loi. Loi faible et Loi forte des grands nombres (preuve seulement dans les cas L^4 et L^2). Notion de fonction caractéristique.
  • Mercredi 26 mars: 9h45-13h Fonction caractéristique (suite). Théorème central limite, cas particulier des Bernoullis (via du dénombrement à la “de Moivre” 1733). Theoreme du TCL, cas général dans R (L^2).
  • Mercredi 2 Avril: 9h45-13h Vecteurs Gaussiens. TCL dans R^d.

Travaux dirigés

Feuilles de TD

Avancement

Groupe A -- Laurent Bétermin
  • Mercredi 22 janvier : Feuille 1, ex. 1 à 4
  • Mercredi 27 janvier : Feuille 1, ex. 5 à 7 ; Feuille 2, ex. 1 à 5 (A faire : cherchez un contre-exemple pour le 5.1 + terminer la feuille)
  • Mercredi 5 février : Feuille 2, ex. 6 et 7 ; Feuille 3, ex. 1, 3 (finir le calcul de la question 1) et quelques indications pour le 4. (A faire : ex. 2 (entraînement) + finir la feuille)
  • Mercredi 12 février : Feuille 3, ex. 4 (+ correction du 2. et du 3.1); Feuille 4, ex. 1 et 2. (sauf. question 4). (A faire : continuer la Feuille 4 jusqu'au 7 inclus)
  • Mercredi 19 février : Feuille 4, ex. 2 à 7 + quelques rappels sur les types de convergences.
  • Mercredi 26 février : Fin de la Feuille 4. Feuille 5 ex. 1 et 2.
  • Mercredi 12 mars : Feuille 5, ex. 5, 6, 7 + rappels sur les limsup.
  • Mercredi 19 mars : Feuille 5, ex. 8 (1. et 2.), 3. ; Feuille 6 : ex. 1., 2. et 3. (1 et 2) (A faire : continuer la Feuille 6, ex. 3 et 5 + commencer la Feuille 7 qui a été distribuée).
  • Mercredi 2 avril : Feuille 6, ex. 3 (sauf 8.) et 5 ; Feuille 7, ex. 1, 3, 4 (1.). A faire : finir l'ex. 4, faire l'ex. 7 et travailler la fiche 8 (qui sera distribuée lors du TP2).
  • /!\ Attention : prochain et dernier TD le 16 avril !
  • Mercredi 16 avril : Feuille 7, ex. 4 (fin) et 7 ; Feuille 8, ex. 1, 2 et 3.
  • /!\ Attention : pas de TD le 23 avril !
Groupe B -- Frédérique Bienvenue
  • Mercredi 22 janvier : Feuille 1, ex 1 à 4 (A faire : terminer le 4 et chercher les autres exos de la feuille)
  • Mercredi 27 janvier : Feuille 1 : terminée. Feuille 2 : exos 1 à 4 et 6.1.
  • Mercredi 5 février : Fin de la feuille 2. Feuille 3 : Exercices 1 + 3.1. A faire : Revoir les changements de variables en dimension 2 (et plus), chercher au moins l'exercice 2 + la fin du 3.
  • Mercredi 12 février : Fin de la feuille 3. Feuille 4 distribuée et à travailler pour le 19/02
  • Mercredi 19 février : Fiche 4 : Exercices 1, 2, 3, 4, 6, 9.1 et 9.2. Terminer la fiche pour le 26 + commencer la fiche 5.
  • Mercredi 26 février : Fin de la feuille 4. Feuille 5 : Exercice 1 (sauf dernière question)
  • Mercredi 12 mars : Fiche 5 : exercices 1 (fin), 2, 4, 5, 6, 7, et 8.1. A faire : fin de l'exercice 8 et calculer les fonctions de répartition dans la fiche 6.
  • Mercredi 19 mars : Fiche 5 : ex 8.2, ex 3. Feuille 6 : ex 1, 2, 3.1, 3.2. Chercher les contrexemples de l'ex 3 (cf l'indication au verso de l'énoncé). Feuille 7 distribuée : la fonction caractéristique est la fonction t→ E(e^{itX}). Chercher les exercices 1 et 2.
  • Mercredi 2 avril : Fiche 6 : fin de l'exercice 3 (sauf question 8) et 5.1 et 5.2. Fiche 7 : exercices 1, 3 et 4.1. Terminer l'exercice 4, chercher le 7, et travailler la fiche 8.
  • Mercredi 16 avril : Fiche 7 exercices 4.2, 5, 7. Fiche 8 : ex 1, 2, et 3.
  • /!\ Attention : pas de TD le 23 avril !
Groupe C -- Clément Erignoux
  • Mercredi 22 janvier : Feuille 1, ex. 1 à 4
  • Mercredi 27 janvier : Feuille 1, ex 6 et 7. Feuille 2, ex 1, 2, 3 et 4.1
  • Mercredi 5 février : Feuille 1, ex. 5 et 7 ; Feuille 2, ex. 4, 5, 6, Feuille 3 Ex 1
  • Mercredi 12 février : Faire l'ex 7 de la fiche 2, faire la suite de la fiche 3
  • Mercredi 19 février : Ex4 fiche 3, Ex 1-2-3-4 et 7 Fiche 4
  • Mercredi 26 février : Ex 8-9 Fiche 4, Ex 1-3 Fiche 5
  • Mercredi 12 mars : Fiche 5 : exercices 1 (fin), 2, 4, 5, 6, 7, et 8.1.
  • Mercredi 19 mars : Fiche 6 : ex 1,2,4,5
  • Mercredi 2 avril : Fiche 7, Exercices 1,3,4,7. Fiche 6, Ex3.
  • Mercredi 16 avril : Fiche 7, exercices 5 et 6, Fiche 8, Exercices 1,2,3.

Travaux pratiques

Fiches de TP :

Enseignants :

  • Mercredi 26 mars : 14h-17h15
  • Mercredi 9 avril : 14h-17h15
 
 
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