[3h] 7 septembre : Chapitre I. Section 1: Définition, exemples, notation additive et multiplicative, puissance d'un élément, ordre d'un élément. Section 2: le groupe symétrique, cycles, le support d'une permutation, le produit d'une famille finie de permutations à supports disjoints.
[3h] 14 septembre : Fin du chapitre I. Existence et unicité de la décomposition en produit de cycles disjoints. Chapitre II: sous-groupes. Définition, critères, propriétés de la relation “sous-groupe”. Intersection de sous-groupes. Exemples, dont le centralisateur C_G(x) .
[3h] 21 septembre : Le centralisateur d'une partie C_G(A) , le centre Z(G) = C_G(G) . Le normalisateur d'une partie N_G(A) . Exo : relation entre C_G(A), N_G(A) et entre un sous groupe H et N_G(H) . Sous-groupe engendré <S> . Existence et unicité. Exemples. Sous-groupes monogènes, cycliques. Classes à gauche modulo un sous-groupes xH . L'ensemble G/H = {xH : x dans G} est une partition. Indice, théorème de Lagrange. Bijection avec H\G = {Hx : x dans G}.
[3h] 28 septembre : Chapitre III. Section 1: définition d'un morphisme. Premières propriétés, exemples. Image, noyau. Caractérisation d'un morphisme injectif par le noyau. L'image et le noyau sont des sous-groupes. Tout sous-groupe est une image. Exemple d'un sous-groupe de S_3 qui ne peut être un noyau. Section 2: Sous-groupe distingué. Tout noyau est un sous-groupe distingué.
[1h30] 5 octobre : Le groupe quotient et le morphisme quotient. Exemples : G/G est trivial ; G/{e} est isomorphe à G ; Z/nZ , revisité. Section 3. Le premier théorème d'isomorphie : G/ker(phi) est canoniquement isomorphe à img(phi). Calcul de GL(17,R) / SL(17,R) .
[1h30] 12 octobre : Le 2e et le 3e théorèmes d'isomorphie.
[1h30] 19 octobre : Chapitre IV. Actions de groupes. Définitions, lien avec morphismes dans S_X. Exemples. Orbite, conditions d'égalité d'orbites.
[1h30] 9 novembre : Stabilisateur d'un membre de X , les points fixes d'un membre de G . Lien entre G_x et G_{gx} . Action transitive, l'action de G sur G/H . Action fidèle, action libre. |O_x| = [G:G_x]
[1h30] 16 novembre : Questions de comptage : |O_x| = [G:G_x] et ses conséquences, le cardinal d'une classe de conjugaison. La formule aux classes et la formule de Burnside. Chapitre V: le produit direct et semi-direct. Rappel du produit direct de deux sous groupe. Le produit direct interne est isomorphe au produit direct externe. Caractérisations équivalentes d'un produit direct interne. Le produit semi-direct interne comme affaiblissement de l'une de ces caractérisations.
[1h30] 23 novembre : Le produit semi-direct interne, comme affaiblissement du produit direct interne. Exemple : D_n . Description des membres de G et de sa loi en termes de H , K et la conjugaison de H par K. Le produit semi direct externe. Thm : G est un produit semi-direct interne ssi c'est canoniquement isomorphe au produit semi-direct externe.
