Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2018-2019

Fondements des Mathématiques II

Contrôle des connaissances

Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes)

DS : 30% (la moyenne des trois meilleures notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)

Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30%

Colles

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Début des colles : la semaine du 28 janvier.

Colloscope

Cours

Enseignant : Christian Mercat (mél, web)

Le contenu : Le cours de Stéphane Attal

Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Interactivité : Livret geogebra Classe WIMS (identifiant UCBL puis, pour l'inscription à la classe: wims)

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Algèbre (normalement le lundi après-midi) et analyse (normalement le jeudi après-midi).

Algèbre

Le gros point du cours est l'algèbre linéaire, en particulier les matrices, intervenant par exemple en théorie des graphes, comme matrice de transition d'un processus de Markov, dans l'analyse de sondages par analyse en composantes principales, dans le calcul de la renommée d'un site internet (GoogleRank), ou bien, en lien avec l'analyse, les solutions d'équations différentielles ou leur analogue discret, les suites récurrentes.

Analyse

Si toute fonction dérivable peut être vue comme une droite en première approximation, en allant plus loin on peut, sous certaines conditions, la remplacer par des polynômes de degrés de plus en plus élevés. L'intégration sera un outil très utile dans ce cadre.

Avancement du cours

Jeudi 16/1: Algèbre système, matrice, application linéaire définie par l'image des vecteurs de la base canonique, rangés en colonne dans une matrice, multiplication par un scalaire, combinaison linéaire, matrice nulle, produit scalaire entre deux vecteurs, image d'un vecteur par une application linéaire comme produit d'une matrice colonne par la matrice, produit de matrices, matrices carrées, matrice identité, puissances, exemples.
Vendredi 17/1: Analyse comparaisons, o, O, ~, ∀ε ∃δ vs ε(x) dans la démonstration des propriétés (linéarité, transitivité, multiplicativité), théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, théorème de Taylor-Young (démonstration par récurrence sur le degré exigible en colle).
Lundi 21/1: Algèbre opérations élémentaires sur un système, représentation matricielle par multiplication à gauche et opérations sur les lignes; transposée, opérations sur les colonnes et multiplication à droite; noyau et image d'une matrice, opérations sur les lignes préservent le noyau, opérations sur les colonnes l'image; matrice échelonnée, échelonnée réduite; équivalence en ligne, en colonne; méthode du pivot de Gauß, démonstration, exemple.
Jeudi 24/1: Analyse Démonstration des théorèmes de Taylor-Lagrange et Taylor avec reste intégral, définition des développements limités, unicité de la partie régulière en un point et à un ordre donné, propriétés de linéarité et de produit (pas encore la composée).
Lundi 28/1: Algèbre Inversion d'une matrice par la méthode de Gauß. Méthode du pivot de Gauß pour un unique vecteur. Chapitre 2: Espaces vectoriels. Corps commutatifs, combinaisons linéaires, espaces vectoriels, “abstract non-sense” du genre (-1).u=-u.
Jeudi 31/1: Analyse Retour sur le produit, nécessité de tronquer à l'ordre n+1, DL d'une composée, intégration d'un DL, division euclidienne des polynômes par puissances croissantes et DL d'un quotient, DL des fonctions usuelles, exp, cos, sin, 1/(1±x), arctan, ln(1±x), (1+x)^\alpha
Lundi 4/2: Algèbre Colinéarité, combinaison linéaire, famille libre, famille génératrice, sous-espace vectoriel, exemples (droites, plans dans R^3, compréhension géométrique de ax+by+cz=d dans une base orthonormée et de la condition linéaire d=0, matrices, noyau et image d'une matrice, suites récurrentes, convergentes, contrexemple divergentes et cv vers l≠0), intersections de sous-ev, ev engendré Vect(). (xi) libre ⇒ (y∊Vect(xi) ⇔ (y, x1,…,xn) liée). Base=libre + génératrice, coordonnées dans une base, Lemme de Steinitz.
Jeudi 7/2: Analyse Équations différentielles linéaires. Réelles d'ordre 1. Interprétation graphique de y'=f(x,y) Exemples en Geogebra, importance de l'exemple y'=y, équation homogène, structure d'ev des solutions, variation de la constante et solution générale. Exemples. Ordre 2: interprétation matricielle d'une réduction à l'ordre 1 (sans entrer dans aucun détail technique).
Lundi 11/2: Algèbre Dimension d'un ev, d'un sous-ev. familles libre ⊆ génératrice ⇒ ∃ base, libre ⊆ base ⊆ génératrice. Théorème de la base incomplète. Deux bases de l'ev des suites $u_{n+1}=a u_n+b u_{n-1}$ (on retrouvera $X^2-aX-b$ et ses racines jeudi avec les équa-diff du 2nd ordre).
Jeudi 14/2: Analyse Implémentation de la méthode d'Euler pour une équa-diff d'ordre 2, le pendule pesant et sa linéarisation: linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, trois types de solutions suivant les racines réelles, double ou complexes conjuguées de l'équation caractéristique. Cas particulier du terme général avec second membre de la forme Q(t)exp(λt) où Q est un polynôme.
Lundi 25/2: Algèbre Sommes de sous-espaces, somme directe, supplémentaire, existence de supplémentaire, formule de Grassmann.
Jeudi 28/2: Analyse Le wronskien de 2 fonctions comme fonction aire du parallélogramme dans l'espace des phases, propriétés, théorème de Cauchy-Lipschitz pour le cas linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants.
Lundi 4/3: Algèbre Applications linéaires. Théorème du rang. Matrice d'une application étant données une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée.
Jeudi 7/3: Analyse Méthode de Laplace de la variation des deux constantes, théorème de Cauchy-Lipschitz pour le cas linéaire non homogène d'ordre 2 à coefficients constants, équations différentielles vectorielles, équivalence d'une équation réelle linéaire d'ordre n avec une équation vectorielle linéaire d'ordre 1 à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ . Chapitre Intégration: subdivisions d'un intervalle, raffinement, fonctions en escalier constantes par morceaux, définition de l'intégrale pour ces fonctions.
Lundi 11/3: Algèbre Matrice de passage $\text{Mat}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(id_{E})\in M_{n}(\mathbb K)$ . Matrices équivalentes, matrices semblables. Rang comme invariant caractéristique de classe d'équivalence. Trace d'une matrice. Mémo de Nicolas Ressayre.
Jeudi π day: Analyse Subdivisions pointées, à gauche, à droite, au milieu. Somme de Riemann, fonctions continues par morceaux, fonctions intégrables. Propriétés: linéarité, positivité, inégalité triangulaire, relation de Chasles, intégrale nulle d'une fonction positive $\Righarrow$ nulle partout sauf en un nombre fini de points. Th: les fonctions continues sont intégrables. Continuité de l'intégrale en sa borne. Formule de la moyenne. Théorème fondamental de l'analyse. Intégration par partie.
Lundi 18/3: Algèbre Circularité de la trace. Trace comme invariant de matrices semblables, trace d'un endomorphisme. Sous-espaces vectoriels et endomorphismes. Tout sous-espace vectoriel est le noyau d'une application linéaire (bis repetita). Équation cartésienne d'un hyperplan. Projection sur E parallèlement à F, symétrie de E parallèlement à F. Un endomorphisme $p$ tel que $p^2=p$ est la projection sur $\text{im}(p)$ parallèlement à $\text{ker}(p)$ , un endomorphisme tel que $s^2=\text{id}$ est la symétrie de $\text{ker}(\text{id}-s)$ parallèlement à $\text{ker}(\text{id}+s)$ .
Jeudi 21/3: Analyse Changement de variable. Intégration de fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ . Quelques familles d'exemples: $x\mapsto P(x)e^{\lambda x}$ avec $P\in\mathbb K[X], \lambda\in\mathbb K$ par intégration par parties successives. Corollaire $x\mapsto P(x)\sin(\omega x)$ , $x\mapsto \cos(x)e^{\lambda x}$ . Polynômes trigonométriques $x\mapsto \cos^k(x)\sin^\ell(x)$ , linéarisation de $\cos^{2k}(x)$ .
Lundi 25/3: Algèbre: Fractions rationnelles, éléments simples dans $\mathbb C(X)$ et $\mathbb R(X)$ . Décomposition en éléments simples. Quelques exemples de méthodes pour résoudre le système.

Le polycopié en cours d'écriture

Travaux dirigés

Les exercices avec des (*) doivent être tentés à la maison et traités en TD.

Feuilles d'exercices :

Feuille 1 : Révisions sur les réels, bornes inf, sup, max, min, limites de suites, continuité, dérivabilité.
Feuille 2 : Matrices.
Feuille 3 : Développements limités, équivalents, formules de Taylor.
Feuille 4 : Espaces vectoriels.
Feuille 5 : Équations différentielles.
Feuille 6 : Espaces engendrés, bases, dimension, supplémentaires.
Feuille 7 : Intégration.
Feuille 8 : Applications linéaires.
Feuille 9 : Fractions rationnelles.
Feuille 10 : Applications linéaires et matrices, changement de base.

Avancement des TD

Groupe P1 - Xinxin CHEN lundi 9h45-13h + mercredi 9h45-13h

17/01 : feuille 1, exercices 1,3-7, 9-11, 13.
18/01 : feuille 1, exercices 14-15, 17-19, 23
21/01 : feuille 1, exercices 20-22, 24-25 ; feuille 2, exercices 1-5, 7(1).
23/01 : feuille 2, exercices 7(2), 8,9,14,15,17,19
28/01 : feuille 2, exercices 10-13, 16.
30/01 : feuille 2, exercices 18 et 19(image: pivot de Gauss par colonne); feuille 3, exercice 1 (1-4).
04/02 : feuille 3, exercices 2(3,5), 3(c-e),4,5,7,8.
06/02 : feuille 3, exercices 9-10 + exercice sur le DL en 0 de e^{-1/x}
11/02 : feuille 3, exercices 11(a-d, g, h), 13(1-4), 14,15
13/02 : feuille 4, exercices 1-2.
25/02 : feuille 4, exercices 3-9(1)
27/02 : feuille 4, exercices 9(2)-12,14
04/03 : feuille 4, exercices 13, 15-16; feuille 5, exercice 1
06/03 : feuille 5, exercice 2; feuille 6, exercices 1-4, 6
11/03 : feuille 6, exercices 5, 7-11
13/03 : feuille 6, exercices 12, 14-15; feuille 5, exercice 3(a-b)
18/03 : feuille 5, exercices 3 (fin) à 6(2).
21/03 : feuille 5, exercices 6(3-4),7,8; feuille 8, exercices 1-5.
25/03 : DSCCP et feuille 8, exercices 6-7.
27/03 : feuille 8, exercices 8-12, 16.
01/04 : feuille 8, exercices 13,15; feuille 7, exercices 1 (1-4), 7(a-e, i)
03/04 : feuille 7, exercices 1 (5,6), 3, 7 (f,g), 8,9,10(1)
08/04 : feuille 7, exercices 10(2,3(a-e)), 12, 14-16
10/04 : feuille 7, exercices 13,6,2(1-2).
24/04 : feuille 9, exercices 1, 2(A,D),4
29/04 : feuille 9, exercices 3,5-9; feuille 10, exercice 1(1-3)
06/05 : feuille 10, exercices 1(4-5), 2-6,9

Groupe P2 - François LÊ lundi 9h45-13h + mercredi 9h45-13h

17/01 : feuille 1, exercices 1, 3 à 6, 10 et 11.
18/01 : feuille 1, exercices 13, 14, 17 à 19.
21/01 : feuille 1, exercices 23 à 25 ; feuille 2, exercices 1 à 4 et 9.
23/01 : feuille 2, exercices 5 à 7, 14 et 15 (avec systèmes, noyaux et image en plus).
28/01 : feuille 2, exercices 10 à 12, 16 (a, b et d) et 17.
30/01 : feuille 2, exercices 13, 16 (e et f), 18 (a et b), 19 et 20 (rapidement) ; feuille 3, exercice 1 (a et b).
04/02 : feuille 3, exercices 1 (fin), 2, 3, 4 et 10 (a-e).
06/02 : feuille 3, exercices 7 à 9, 10(f), 11(a-b) + exercice sur le DL en 0 de e^{-1/x} + exercice sur 1+x+x^2+x^3sin(1/x).
11/02 : feuille 3, exercices 11(c-h), 12, 13(1-3,7), 14 et 15.
13/02 : feuille 4, exercices 1 et 3.
25/02 : feuille 4, exercices 2, 4, 5 et 7 + un exo avec “montrer que F est un sev” dans deux cas matriciels.
Le DM1 avec son corrigé.
27/02 : feuille 4, exercices 8 à 11, 14(1) et 17(1-2).
04/03 : feuille 4, exercices 6, 14 (fin), 15 et 16 ; feuille 5, exercice 1(1-2).
06/03 : feuille 5, exercices 1(3-4) et 2(1, 3) ; feuille 6, exercices 2 à 4.
11/03 : feuille 5, exercices 2(3), 3(a-e) et 6.
13/03 : feuille 6, exercices 1, 5 à 9 et 14.
18/03 : feuille 5, exercices 3(fin), 4, 5 ; feuille 6, exercice 12.
20/03 : feuille 6, le reste sauf 11 ; feuille 8, exercice 1(1-3).
25/03 : feuille 8, exercices 1(fin), 2-3, 5-6.
27/03 : feuille 7, exercices 1(a-c) et 8(a-e) ; feuille 8, exercices 7, 10.
01/04 : feuille 7, exercices 1(d-e), 3(a, le reste à finir), 8(f), 9 ; feuille 8, exercices 4, 5, 11.
03/04 : feuille 7, exercices 3, 10(1-3b) ; feuille 8, exercices 8, 15.
08/04 : feuille 8, exercice 13 ; feuille 9, exercice 1(a-e).
10/04 : feuille 7, exercices 7(a-e), 11, 12, 14.
24/04 : feuille 7, exercice 6, 10(c-d) ; feuille 9, exercices 1(fin), 2(fin), 6.
29/04 : feuille 7, exercices 7(f-g), 13(a-d), 15 ; feuille 9, exercices 3, 4, 7 ; feuille 10, exercices 1, 2.

Groupe P3 - Caterina VÂLCU ( lundi 9h45-13h) + Simon ANDRÉYS ( mercredi 9h45-13h)

18/01 : feuille 1, exercices 1-5, 9(1 et 2), 10(1), 19, 23(1).
21/01 : feuille 1, exercices 11,13,17(1) ; feuille 2, exercices 1, 7, 14, 15.
23/01 : feuille 1, exercices 17(2)(3), 25; feuille 2, exercices 16, 17(1).
25/01 et 30/01 : feuille 2, exercices 1-6, 10-12, 17(2), 19, 20 ; feuille 2, exercice 1(1,2)
4/01 et 6/01 : feuille 2, exercice 18(1 et 2), feuille 3: exercices 1, 2, 3, 4(1), 10(a, b, c, d)
11/01 : feuille 2, exercices 7, 8(1-2-3), 9, 10 (d-e), 11 (a-b).
13/02 : feuille 4, exercices 1,2,5,7,10.
25/02 : feuille 3, exercices 11, 12, 13: 1,2,3. Feuille 4: exercices 3, 4.
27/02 : feuille 3, exercices 4, 5, 6, 7. Feuille 4: ex 6, 11.
04/03 : feuille 3, exercices 14. Feuille 4: exercice 14. Feuille 5: exercice 1 (1, 2) et 3 (1).
06/03 : feuille 3, exercice 15, (2). feuille 4, exercice 16. Feuille 5: exercice 1 (en trouvant les solutions sous la forme de polynômes, pas d'intégration par parties), exercice 2 (b, c, d). Feuille 6: Exercice 2 (1).
11/03 : feuille 6: exercices 2-7
13/03 : Feuille 3, fin de l'exo 10. Feuille 6: Ex 8, 9, 13, 14, 15.
18/03 : Feuille 6, exercices 10 et 12. Feuille 5: Exercice 2 (1).
20/03 : corrigé DS2. Feuille 7, exo 1 (1-2).
25/03 : feuille 7, exercices 1(3-6), 3,6,7(a,b)
27/03 : feuille 5, exercices 2(2,3), exercices 3(fin), 4. Feuille 6, exercices 1,2(1,2,3).
01/04 : feuille 5, exercice 6, feuille 7, exercice 7 (c, d, e).
03/04 : feuille 8, exercices 3, 5, 6, 10, 11 (1)
08/04 : feuille 8, exercices 4, 7, 9, 13(1,2)
10/04 : feuille 7, exercices 7(e,f,g,i), 10(3 a,b,d), 12, 14
22/04 : feuille 7, exercices 8,9; feuille 9, exercice 1.

Groupe P4 - Pierre-Damien THIZY mercredi 9h45-13h + vendredi 14h-17h15

17 et 18/01 : feuille 1, exercices 1-6, 10, 11, 13, 17-19.
23/01 : feuille 1, exercices 22, 23 et 25 ; feuille 2, exercices 1-4(1).
25/01 : feuille 2, exercices 4(2)-7, 14, 15 (noyaux), 16(2).
30/01 : feuille 2, exercices 10-12, 16 (d,e,f), 17, 18 (a), 19.
01/02 : feuille 2, exercices 8, 13, 18 (b), 20 (1,2) ; feuille 3, exercices 1 et 2.
06/02 : feuille 3, exercices 3, 4 et 10.
08/02 : feuille 3, exercices 6, 7, 8 (1-3), 9, 11, 13 et 14.
13/02 : retour sur DS1 et feuille 3 terminée.
15/02 : feuille 4, exercices 1, 2, 3 et 5.
27/02 : feuille 4, exercices 4, 6-11.
01/03 : feuille 4, suite et fin.
06/03 : feuille 5, exercices 1 et 2 ; feuille 6, exercices 1 et 2.
08/03 : feuille 6, exercices 3-4 et 6-9, 5 à chercher.
13/03 : feuille 6 suite et fin.
15/03 : feuille 5, exercices 3 à 6(2).
20/03 : feuille 8, exercices 1 à 5(1).
22/03 : feuille 8, exercices 5(2)-9(1).
27/03 : feuille 8, exercices 9(2)-13.
29/03 : feuille 7, exercice 1(1-4), 3, 5, 6, 8(a-c).
03/04 : feuille 8, exercice 13(3-4), 14, 15. Exemple matrice d'une a.l. dans deux bases différentes.
05/04 : feuille 7, exercices 1(5), 2, 8(d-e), 9, 12, 14.
10/04 : feuille 9, exercices 1 et 2(A). Feuille 7, exercice 7(a-e).
12/04 : feuille 7, exercices 7(f-g) et 10(a-c). Feuille 9, exercice 2(B).
24/04 : feuille 9, exercices 2(C-D), 3, 4, 6.
26/04 : feuille 9, exercice 7. Feuille 10, exercices 1 et 2. Révisions sommes de Riemann.

Devoirs surveillés

Mercredi 6/2, mercredi 13/3, mercredi 10/4 et jeudi 02/5 de 16h15 à 17h45 puis 17h45-19h15 pour le groupe P1.

Mercredi 6/2 Le devoir n° 1 et son corrigé; Devoir n°1 bis et correction.
Mercredi 13/3 Le devoir n° 2 et son corrigé; Devoir n°2 bis et correction.
Mercredi 10/4 devoir n° 3 et son corrigé; Devoir n°3 bis et correction.
Jeudi 02/5 devoir n° 4, corrigé; Devoir n°4 bis et sa correction.

La note finale sera la moyenne des 3 meilleures notes et compte pour 30% de la note finale.

QCM:

Corrigés du Jeudi 4/4 Corrigés du Jeudi 11/4
Équations différentielles corrigés du Jeudi 11/4.
Révisions Corrigés du jeudi 25/4.