Colloscope

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 31 aout 2023 (partie 1) : Chap.1 - Intégrales généralisées : intégrales convergentes/divergentes, cas où une seule des deux bornes est impropre, intégrales de Riemann (preuves sur [a;+infini[ et ]0;a] à connaître), propriétés des intégrales convergentes (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, changement de variables).
• 31 aout 2023 (partie 2) : Intégration par parties généralisée (preuve à connaître), fonction intégrable (ex des fonctions continues sur un segment, fonctions de Riemann), lien avec l'intégrabilité sur un intervalle inclus dans I, rappels sur les comparaisons locales de fonctions (domination, négligeabilité, équivalence, lien entre f=o(g)(ou f~g) et f=O(g) à savoir redémontrer), théorèmes de comparaison pour l'intégrabilité (pour des fonctions positives dans le cas de majoration)
• 4 septembre 2023 : théorèmes de comparaison concernant l'intégrabilité (pour des fonctions complexes avec o, O et ~), exemples d'études explicites, combinaison linéaire de fonctions intégrables, inégalité de Cauchy-Schwarz,l'intégrabilité de f sur I entraîne la convergence de l'intégrale de f sur I, définition d'une intégrale absolument convergente/semi-convergente.
• 11 septembre (partie 1) : Exemple d'intégrale semi-convergente, règle de Bertrand au voisinage de l'infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite), au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changement de variable, preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Chap.2 - Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle).
• 11 septembre (partie 2) : convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), convergence de la série de terme général 1/n^2 parmi les exemples.
• 20 septembre : Exemples d'utilisation des théorèmes de comparaison sur les séries à termes positifs. Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert (preuve à savoir refaire, demander uniquement un seul des cas l<1 ou l>1) et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire, la question peut être posée en colle), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître).
• 25 septembre (partie 1) : Série définissant l'exponentielle (preuve à connaître), (attention : les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, la convergence absolue entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique.
• 25 septembre (partie 2) : Théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Chap.3 - Suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, convergence simple, domaine de convergence simple (exemples non terminés).
• 04 octobre : Exemples d'études de convergence simple de suites de fonctions, unicité de la limite simple, propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité (la preuve est à savoir refaire). Exemples de propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque). Techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration).
• 9 octobre (partie 1) : Exemples d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) , propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve peut être donnée en question de cours). Énoncé du théorème de la double limite et exemple d'utilisation, théorèmes d'échange limite et intégrale : théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée en question de cours).
• 9 octobre (partie 2) : Rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m., généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m. Théorème de convergence dominée, exemples d'utilisation. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p (pas encore démontré).
• 18 octobre : retour sur le théorème de dérivation pour des suites de fonctions de classe C^p. Chap.4 - Séries de fonctions : vocabulaire de base (définition, somme partielle), convergence simple (définie par la convergence simple de la suite de fonctions des sommes partielles, puis caractérisation par la convergence de la série numérique associée en tout point), exemples d'étude de domaines de convergence simple, la convergence simple de la série de fonctions entraîne la convergence simple de la suite de fonctions de son terme général vers la fonction nulle, en cas de convergence simple définition du reste d'ordre n et propriétés de celui-ci, convergence absolue simple (lien avec la convergence simple), uniforme. Condition nécessaire de convergence uniforme sur la suite de fonctions du terme général.
• 23 octobre (partie 1) : Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples (utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Convergence normale, liens avec les autres modes de convergence (différents contre-exemple sur les implications qui ne fonctionnent pas, la démo de la convergence normale entraîne la convergence absolue simple et la convergence uniforme est à connaître).
• 23 octobre (partie 2) : Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples (méthodes d'étude de non convergence uniforme dans le cas de fonctions positives : par minoration de R_n, par encadrement série/intégrale). Théorème de continuité pour les séries de fonctions et exemples d'utilisation, théorème de la double limite (interversion limite/série).
• 08 novembre : théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), exemples, énoncé du théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque), application. Brève explication concernant l'utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale dans les cas où les théorèmes d'interversion série/intégrale ne fonctionneraient pas, théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) (exemples non terminés).
• 13 novembre (partie 1) : application du théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Chap.5 - Séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel (la preuve peut être demandée en question de cours), deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons), lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence.
• 13 novembre (partie 2) : exemples explicites de détermination du domaine de convergence d'une série entière, détermination pratique du rayon : règle de D'Alembert (la preuve est à savoir refaire, dans le cas où l appartient à ]0,+infini[), règle de Cauchy (la preuve peut être demandée en question de cours, dans le cas où l appartient à ]0;+infini[), exemples de détermination du rayon de séries lacunaires (de la forme sum a_n z^{3n} par exemple).
• 22 novembre : Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence). Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence (la preuve est à savoir refaire). Séries entières d'une variable réelle : continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans ]-R;R[, série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme) (exemple fait mais non démontré encore).
• 25 novembre (partie 1) : Série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur ]-R;R[ et dérivable terme à terme, expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement). Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés : exponentielle d'une somme, inverse, conjugué, module). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes (définition et écriture comme sommes de séries entières).
• 25 novembre (partie 2) : Fonctions d'une variable réelle développables en séries entières : définition (en 0 et en un point quelconque), série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DSE usuels à connaître (exp, ch, sh, sin, cos, x→1/(1+-x), celui de arctan n'est pas à connaître par cœur mais à savoir retrouver (la preuve peut être demandée en question de cours, ainsi que pour ceux de x→-ln(1-x) et de x→ln(1+x), idem avec argth).
• 27 novembre : DSE de x→(1+x)^alpha, rayon de convergence de la série entière associée. Application au DSE de arcsin (pas à connaître par cœur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Chap. 6 - Equations différentielles linéaires : rappels de L1 sur les EDL d'ordre 1, et les EDL d'ordre 2 à coefficients constants. Structure des solutions d'une EDL d'ordre 2 (homogène ou non), définition d'un système fondamental de solutions, wronskien (définition et propriétés, utilité pour caractériser un système fondamental de solutions), méthode de variations des constantes pour une EDL d'ordre 2.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Intégrales généralisées
• Chap.2 - Séries numériques
• Chap.3 - Suites de fonctions
• Chap.4 - Séries de fonctions
• Chap.5 - Séries entières
• Chap.6 - Equations différentielles

Les TD d'analyse ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul puis Julien Allasia(groupe P6)
• Lorenzo Scaglione (groupe P7)
• Louis Dupaigne (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions
• TD2 - Intégrales généralisées
• TD3 - Séries numériques
• TD4 - Suites de fonctions
• TD5 - Séries de fonctions
• TD6 - Séries entières

Avancement :

Groupe P6 :

• 06/09 : Fiche : ex. 1 à 5.
• 08/09 : Fiche 1 : ex. 6, 7. Fiche 2 : ex. 1, 2 (questions 1, 2, 3).
• 15/09 : Fiche 2 : ex. 2 (questions 4, 5, 6), ex. 3 (questions 1, 2, 3, 4).
• 22/09 : Fiche 2 : ex. 4, 5, 6, 7, 8, 9 (question 1 seulement).
• 27/09 : Fiche 3 : ex. 1, 2 et 3.
• 04/10 : Fiche 3 : ex. 4, 5, 6, 8, une partie du 9.
• 11/10 : Fiche 3 : Fin du 9; ex. 10, 11, 12 (questions 1 et 2), 13 et 14. Fiche 4 : ex. 1 (question 1 et début de la question 2).
• 18/10 : Fiche 4 : Fin du 1; ex. 2, 3, 4 et 5.
• 25/10 : Fiche 4 : Fin du 5; ex. 6, 7, 8 et 9.
• 8/11 : Fiche 4 : 10, 11, 12, 13, 14, 15. Fiche 5 : 1 (question 1).
• 15/11 : Fiche 5 : 1 (fin), 2, 3, 4.
• 22/11 : Fiche 5 : 5, 6, 7, 8 (questions 1 et 2).
• 29/11 : Fiche 5 : 8 (questions 3 et 4), 9. Fiche 6 : 1, 2, 4 (questions 1 à 4).
• 04/12 : Fiche 6 : 3, 4 (question 5 et 6), 5, 6, 10 (question 1).
• 06/12 : Fiche 6 : 7, 8, 10, 13, 14 (idées).

Groupe P7 :

• 01/09 : Fiche 1, Ex 1-5
• 06/09 : Fiche 2, Ex 1,2(1-5)
• 13/09 : Fiche 2, Ex 2(6), 3(1,2,3,5), 4, 5(1), 6, 7(1)
• 20/09 : Fiche 2, Ex 7(2), 8 Fiche 3, Ex 1, 2, 3(a,b à finir)
• 27/09 : Fiche 2, Ex 9 Fiche 3 (fin), 5
• 04/10 : Fiche 3, Ex 6, 7, 9 (1, 2 début), 10, 11 (1, 2), 13
• 11/10 : Fiche 3, Ex 9 (2), 11 (3), 12, 14 Fiche 4 ex 1 (1,2)
• 18/10 : Fiche 4 ex 1 (3), 2, 3, 5
• 25/10 : Fiche 4 ex 6, 8, 9, 10
• 08/11 : Fiche 4 ex 14. Fiche 5 ex 1 (1,2), 2 (1)
• 15/11 : Fiche 4 ex 11. Fiche 5 ex 1 (3), 2, 3, 4
• 22/11 : Fiche 5 ex 5, 6, 7, 8 (1-3)
• 29/11 : Fiche 5 : 8 (4). Fiche 6 : 1, 2, 3 (1), 4 (1-3), 6 (1).
• 04/12 : Fiche 6 : 3, 4 (4-6), 5, 6 (2-4), 7 (début)
• 06/12 : Fiche 6 : 7, 10 (1-6), 11, 12 (1)

Groupe P9 :

• 01/09 : Fiche 1, Ex 1-5
• 06/09 : Fiche 2, Ex 1,2(1-5)
• 13/09 : Fiche 2, Ex 2(6-7), 3, 4(à finir)
• 20/09 : Fiche 2, Ex 4, 6(1), 7, 8, 9, 11
• 27/09 : Fiche 3, Ex 1-5
• 04/10 : Fiche 3, Ex 6-8, 9(1-2b)
• 11/10 : Fiche 3, Ex 9©, 10-14. Fiche 4, Ex 1
• 18/10 : Fiche 4, Ex 2,3,4,5,6,8
• 25/10 : Fiche 4, Ex 9,10,14,15 fiche 5, Ex 1.1(cas \R_+)
• 08/11 : Fiche 5, Ex 1,2,3
• 15/11 : Fiche 5, Ex 4-8(1-3)
• 24/11 : Fiche 6, Ex 1-4(1)
• 29/11 et 1/12 : Fiche 6, Ex 4-7, 9, 10(1-2)
• 4/12 : Fiche 6, Ex 10(3-7), 11(1-2), 12

Groupe P10 :

• 01/09 : Fiche 1 : exercices 1 à 5.
• 06/09 : Fiche 2 : exercices 1, 2 et question 1 de l'exo 3.
• 13/09 : Fiche 2 : fin de l'exercice 3, exos 4, exo 5 (Q1 uniquement), exo 7 (Q1 uniquement).
• 20/09 : Fiche 2 : fin des exos 5 et 7, exercices 6, 8 et 9.
• 27/09 : Fiche 3 : exercices 1 à 3, Q1 de l'exo 4.
• 04/10 : Fiche 3 : fin de l'exo 4, exercices 5 à 7, 9 (sauf Q2c), 10 (sauf question 4).
• 11/10 : Fiche 3 : fin de l'exo 9, fin de l'exo 10, 11, 12 (sauf Q3), 13, 8. Fiche 4 : exercice 1 Q1 et 2 (uniquement pour la suite de fonctions (f_n))
• 18/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 1, exos 2, 4, 5, 7 et Q1 du 9.
• 25/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 9, exos 6, 10, 11, Q1 du 15.
• 8/11 : Fiche 4 : fin de l'exo 15 et exo 14. Fiche 5 : exo 1 (Q1 et 2).
• 15/11 : Fiche 5 : exo1 Q3, exo 2 Q1 et q2 (reste du TD annulé)
• Rattrapage du 15/11 : fiche 5 : fin de l'exo 2, exos 3, 4, 5 et 7.
• 22/11 : Fiche 5 : Q1 et Q2 de l'exo 9. Fiche 6 : exos 1, 2, 3 (Q1 et 2 seulement).
• 29/11 : Fiche 6 : exos 4 (sauf Q3 et Q6), 5, 6 (sauf Q6).

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

• 30 aout 2023 (partie 1) :Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Chap.1 Groupe symétrique : définition d'un groupe, du groupe symétrique, cardinal, pour n supérieur à 3, le groupe symétrique n'est pas commutatif (preuve à connaître), cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions.
• 30 aout 2023 (partie 2) : Nombre d'inversions d'une signature, signature d'une permutation, signature d'une transposition (preuve à connaître), signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p. Chap.2 Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître).
• 4 septembre 2023 : Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes, effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées, déterminant d'un produit de matrices.
• 6 septembre 2023 : Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes), exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure par blocs.
• 13 septembre 2023 : Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice donne det(A) I_n, application au calcul d'inverse d'une matrice. Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation. Formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme : les matrices d'un endomorphisme ont toutes le même déterminant (preuve à connaître, la définition du déterminant d'un endomorphisme n'a pas encore été donnée).
• 18 septembre 2023 (partie 1) : Déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée). Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition, caractérisation d'une base, déterminant d'une famille d'images de vecteurs par un endomorphisme u en fonction du déterminant de u et de celui de la famille). Chap.3 - Réduction géométrique : Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels, lien avec l'intersection des sev, caractérisation à l'aide de la dimension (preuve à connaître), caractérisation à l'aide de la concaténation des bases respectives des sous-espaces, définition d'une base adaptée à la décomposition de l'espace en somme directe de sev.
• 18 septembre 2023 (partie 2) : Sous-espaces stables : définition, exemples, somme et intersection de sous-espaces stables (preuve à connaître). Si deux endomorphismes u et v commutent, leurs noyaux et images respectifs sont stables par u et v (preuve à connaître). Endomorphisme induit : définition, endomorphisme induit par une somme, une composée, noyau et image d'un endomorphisme induit. Caractérisation matricielle en dimension finie de la stabilité d'un sev, de plusieurs sev.
• 27 septembre 2023 : Éléments propres d'un endomorphisme : définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre. Les sous-espaces propres de u sont stables par tous les endomorphismes commutant avec u. Somme directe des sous-espaces propres, liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En dimension n, un endomorphisme admet au plus n valeurs propres distinctes. Exemples d'étude des éléments propres d'un endomorphisme en dimension infinie. Éléments propres d'une matrice carrée : définition de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. Lien entre le spectre d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base, idem avec les sous-espaces propres respectifs (en particulier, spectre et espaces propres de l'endomorphisme de M_{n,1}(K) canoniquement associé à une matrice A).
• 2 octobre 2023 (partie 1) : Deux matrices semblables ont même spectre. Polynôme caractéristique d'une matrice carrée (défini comme unitaire), coefficients remarquables du polynôme caractéristique (preuve à connaître), les valeurs propres d'une matrice sont exactement les racines dans K de son polynôme caractéristique (preuve à connaître), nombre maximal de valeurs propres d'une matrice de taille n, une matrice complexe possède au moins une valeur propre complexe. Matrice compagnon d'un polynôme unitaire P, son polynôme caractéristique est égal à P. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique (preuve à connaître), définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Traduction des résultats précédemment vus sur les matrices en terme d'endomorphismes.
• 2 octobre 2023 (partie 2) : Retour sur la définition de polynôme scindé/scindé à racines simples sur K. Définition des multiplicités algébriques et géométriques d'une valeur propre. La somme des multiplicités algébriques des valeurs propres est inférieure ou égale à la dimension de l'espace vectoriel, tout endomorphisme d'un C-ev possède exactement dim(E) valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise le polynôme caractéristique de u (démonstration à connaître), la multiplicité géométrique est supérieure à 1 et inférieure à la multiplicité algébrique. Diagonalisabilité : définition d'un endomorphisme diagonalisable (il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale), caractérisation équivalente avec l'existence d'une base formée de vecteurs propres, caractérisations équivalentes à l'aide des sous-espaces propres (E est la somme directe de ceux-ci/la somme de leurs dimensions vaut dim(E)/le polynôme caractéristique est scindé sur K et les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre sont égales).
• 11 octobre 2023 : Retour sur les caractérisations équivalentes de diagonalisabilité d'un endomorphisme. Condition suffisante de diagonalisabilité : \chi_u est scindé à racines simples sur K. Matrice diagonalisable : définition, lien avec la diagonalisabilité d'un endomorphisme associé, traduction matricielle des caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité vues sur les endomorphismes, explication de la méthode de diagonalisation et exemples rédigés de diagonalisation d'endomorphismes, de matrices. Trigonalisation : définition d'un endomorphisme trigonalisable (donnée avec une matrice triangulaire supérieure, puis explication du passage à une matrice triangulaire inférieure).
• 16 octobre 2023 (partie 1) : Une base (e_1,..,e_n) de E est une base de trigonalisation de u ssi les espaces vectoriels Vect(e_1,…,e_k) sont stables par u. Définition d'une matrice trigonalisable, lien entre matrice trigonalisable et endomorphisme trigonalisable. Un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur K, cas des endomorphismes d'un C-ev (resp. matrices complexes). Dans le cas trigonalisable, la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité est la trace,et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité le déterminant, exemple d'utilisation pour obtenir toutes les valeurs propres d'un endomorphisme de rang 1. Exemples de méthodes de trigonalisation sur des matrices de taille 3
• 16 octobre 2023 (partie 2) : Fin des exemples de méthodes de trigonalisation sur des matrices de taille 3. Endomorphismes nilpotents, caractérisations équivalentes d'un endomorphisme nilpotent : par l'existence d'une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure stricte, par le polynôme caractéristique. Version matricielle.
• 25 octobre 2023 : Chap. 4 : Réduction algébrique : définition de l'évaluation d'un polynôme en un endomorphisme, propriétés, polynômes d'endomorphismes. Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme et exemples, les valeurs propres d'un endomorphisme figurent parmi les racines des polynômes annulateurs (la démo est à savoir refaire), inclusion réciproque fausse, exemples, théorème de Cayley-Hamilton. Évaluation d'un polynôme en une matrice, exemples sur des matrices diagonales/triangulaires, propriétés des polynômes en une matrice, polynôme annulateur d'une matrice, lien avec les polynômes annulateurs d'un endomorphisme associé. Deux matrices semblables ont même polynômes annulateurs (preuve à connaître).
• 6 novembre 2023 (partie 1) : Version matricielle du théorème de Cayley-Hamilton. Polynôme minimal (défini comme l'unique polynôme annulateur unitaire de u de degré inférieur à celui de tout polynôme non nul annulateur de u), son degré est supérieur ou égal à 1, les polynômes minimaux d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base quelconque sont égaux, le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur (la preuve est à connaître), les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal. Lemme des noyaux et corollaire avec m polynômes 2 à 2 premiers entre eux.
• 6 novembre 2023 (partie 2) : Caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur, exemples, réduction d'un endomorphisme induit sur un sous-espace stable, application à la codiagonalisation de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent, version matricielle. Caractérisations équivalentes de la trigonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur.
• 15 novembre : CM annulé
• Rattrapage du CM du 15 novembre : Toute matrice trigonalisable est semblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme lambda I + N où N est nilpotente, trigonalisabilité d'un endomorphisme induit. Chap. 5 - Applications de la réduction : puissances de matrices et d'endomorphismes dans le cas diagonalisable à l'aide de la diagonalisation, dans le cas trigonalisable, formule du binôme de Newton (pour des endomorphismes/matrices qui commutent), exemples explicites.
• 20 novembre (partie 1) : Retour sur la trigonalisation sous la forme d'une matrice diagonale par blocs précédemment vue et intérêt pour le calcul des puissances. Calculs de puissances à l'aide de la division euclidienne de X^k par un polynôme annulateur. Systèmes récurrents linéaires, exemple de résolution d'un système récurrent. Exponentielle de matrices : définition de la convergence d'une suite de matrices (par la convergence de chacun des coefficients), d'une série de matrice, la convergence absolue entraîne la convergence (j'ai utilisé la norme infinie pour la définition de la convergence absolue), convergence de la série de terme général A^k/k!, définition de exp(A). Exponentielle d'une somme de matrices lorsque celles-ci commutent, exp(P^{-1}AP) =P^{-1} exp(A)P, exemple de calculs (par diagonalisation, cas d'une matrice nilpotente, par utilisation d'un polynôme annulateur).
• 20 novembre (partie 2) : Définition de la dérivation d'une fonction à valeurs dans M_n(K), dérivation d'une somme, d'un produit, dérivabilité de l'application t→ exp(tA). Définition de l'exponentielle d'un endomorphisme u comme l'unique endomorphisme dont la matrice dans une base B est l'exponentielle de Mat_B(u). Systèmes différentiels homogènes X'(t)=AX(t) : la solution générale est t→ exp(tA) X_0, unicité d'un problème de Cauchy associé. Systèmes différentiels avec second membre X'(t)=AX(t)+V(t), la solution générale est la solution du système homogène à laquelle on ajoute une solution particulière.
• 25 novembre : Retour sur les systèmes différentiels avec second membre X'(t)=AX(t)+V(t), la solution générale est la solution du système homogène à laquelle on ajoute une solution particulière, méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Groupe symétrique
• Chap.2 - Déterminants
• Chap.3 - Réduction géométrique
• Chap.4 - Réduction algébrique

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul puis Julien Allasia(groupe P6)
• Luca Francone (groupe P7)
• Louis Dupaigne (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions d'algèbre linéaire
• TD2 - Groupe symétrique et déterminants
• TD3 - Sommes directes et sous-espaces stables
• TD4 - Valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique
• TD5 - Diagonalisation
• TD6 - Polynômes annulateurs et minimaux
• TD7 - Trigonalisation
• TD8 - Applications de la réduction

Avancement :

Groupe P6 :

• 01/09 : Fiche 1 : ex. 1, 2, 3.
• 06/09 : Fiche 1 : ex. 4, 5, 6, 7 (questions 1, 2, 3).
• 13/09 : Fiche 1 : Fin du 7; ex. 8, 10, 12.
• 20/09 : Fiche 1 : ex. 15 et 16 (question 1). Fiche 2 : ex. 1, 2, 3, 4, 5 (en partie), 6, 7 (en partie).
• 29/09 : Fiche 2 : Fin du 7; ex. 8, 9, 10, 11 (matrice A), 12, 13, 16, 17.
• 06/10 : Fiche 2 : Ex. 20. Fiche 3 : ex. 1, 2 et la moitié du 3.
• 13/10 : Fiche 3 : Fin de l'ex. 3; ex. 4, 5, 6, 7 (question 3 : indications seulement).
• 20/20 : Fiche 4 : ex. 1, 2, 3, 4.
• 27/10 : Fiche 4 : ex. 5, 6, 8. Fiche 5 : ex. 1 A).
• 10/11 : Fiche 5 : 1 B), 2, 3, 4, 5, 6.
• 17/11 : Fiche 5 : 7, 8, 9, 10, 12.
• 24/11 : Fiche 5 : 11, 13. Fiche 6 : 1, 3.
• 01/12 : Fiche 6 : 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11.
• 08/12 : Fiche 6 : 10, 12, 13. Fiche 7 : 1, 2, 4, 5.
• 12/12 : Fiche 8 : 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9.

Groupe P7 :

• 01/09 : Fiche 1, Ex. 1,2,4,5, 6 question 1.
• 08/09 : Fiche 1, Ex. 3, 6 question 2, 8.
• 15/09 : Fiche 1 Ex 7,9,12,13
• 22/09 : Fiche 2 Ex 1-6, 7 sauf C, 17,18.
• 29/09 : Fiche 2 Ex 8,9,10, 11 (A),13,14,15,20.
• 06/10 : Fiche 3 Ex 1,3,4,5 question 2, Ex 6. A faire Ex 2 et à corriger la prochaine fois.
• 13/10 : Fiche 3 Ex 2,7 Fiche 4 Ex 1.
• 20/10 : Fiche 4 Ex 2 (question 1 que A,D,F) Ex 4,5,6, Ex 8 question 1.
• 27/10 : Fiche 4 Fin Ex 8, Ex 7. Fiche 5: Ex 1(A)
• 10/11 : Fiche 5 Fin Ex 1, Ex 2,3,5,6.
• 17/11 : Fiche 5 Ex 7,8,9,11,12.
• 24/11 : Fiche 6 Ex 1,2,3.
• 01/12 : Fiche 6 Ex 4,5,6,7,11,12
• 07/12 : Fiche 6 Ex 8,10, Fiche 7: Ex 1,2,3,4.
• 08/12 : Fiche 8 Ex 1,4,5,8,9 Ex 11 (pour la solution de la non-homogene: indications seulement). Comment se ramener au cas d'une equation lineaire dans l'Ex 12.

>Groupe P9 :

• 01/09 : Fiche 1, Ex. 1,3,4. A faire: Ex. 2
• 08/09 : Fiche 1, Ex. 2, 5, 6, 8, 9(1). A faire: Ex. 7
• 15/09 : Fiche 1, Ex. 9, 12, 14(A), 17
• 22/09 : Fiche 2, Ex. 1-10
• 29/09 : Fiche 2, Ex. 11-20
• 06/10 : Fiche 3, Ex. 1-4
• 13/10 : Fiche 3, ex. 5-7. Fiche 4, Ex. 1, 2(1A-D)
• 20/10 : Fiche 4, Ex. 2(fin),3,4,5,6(1)
• 27/10 : Fiche 4, Ex 6,8,9 Fiche 5 Ex 1(A)
• 10/11 : Fiche 5, Ex 1 à 7
• 17/11 : Fiche 5, Ex 8 à 13 Fiche 6, Ex 1,2, 3(1-2)
• 24/11 : Fiche 6, Ex 1-5
• 1/12 : Fiche 6, Ex 6-12
• 6/12 et 8/12 : Fiche 7, Ex 1-5 Fiche 8, Ex 1,2,4,8,12

Groupe P10 :

• 01/09 : Fiche 1 : exercices 1 à 3, Q1 de l'exo 4.
• 08/09 : Fiche 1 : fin de l'exo 4, exercices 5 à 8, et question 1 de l'exo 9.
• 15/09 : Fiche 1 : Fin de l'exo 9, exos 11, 12, 13, 14 (uniquement la matrice A).
• 22/09 : Fiche 2 : exercices 1 à 7.
• 29/09 : Fiche 2 : exercices 8 à 13 et 16 à 19.
• 06/10 : Fiche 2 : exercices 15 et 20. Fiche 3 : exercices 1 à 3.
• 13/10 : Fiche 3 : exercices 4 à 7. Fiche 4 : exercice 1 (sauf Q5).
• 20/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 1, exos 2 à 4, Q1 de l'exo 6.
• 27/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 6, exos 5, 7 et 8. Fiche 5 : exo 1 (uniquement la matrice A).
• 10/11 : Fiche 5 : exo 1 à 5, exo 6 (Q1 et 2).
• 17/11 : Fiche 5 : fin de l'exo 6, exos 7, 8,9,11, moitié du 12.
• 24/11 : Fiche 5 : corrections des exos 12, 10 et 13 données. Fiche 6 : exercices 1, 2, moitié du 3, 4, Q1 du 5.
• 01/12 : Fiche 6 : fin de l'exo 5, exos 8 à 11. Fiche 7 : exo 1.
• 06/12 et 08/12 : Fiche 7 : exos 2, 3 et 5. Fiche 8 : exos 1 à 5, 8 et 9. Corrigés des 6, 7 et 10 donnés.

Dates prévisionnelles (horaires : lundi de 17h30 à 19h)

• Lundi 18 septembre : DS1 commun sujet corrigé légende
• Lundi 25 septembre : DS1 CUPGE
• Lundi 9 octobre : DS2 commun le sujet et sa correction
• Lundi 23 octobre : DS2 CUPGE
• Lundi 6 novembre : DS3 commun sujet, correction de la partie analyse, Correction de la partie algèbre
• Lundi 13 novembre : DS3 CUPGE
• Lundi 27 novembre : DS4 commun sujet et correction
• Lundi 4 décembre : DS4 CUPGE (DS5 CUPGE le mardi 12 décembre à 11h30)

• Le sujet avec sa correction de la session 1 d'analyse de 2022-2023
• Le sujet de la session 2 d'analyse de 2022-2023
• Le sujet avec sa correction de la session 1 d'algèbre de 2022-2023
• Le sujet de la session 2 d'algèbre de 2022-2023

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 11 décembre (parties 1 et 2) : Fin du chapitre 6 sur les équations différentielles linéaires : exemple de méthode de variations des constantes, méthode de Lagrange (= abaissement de l'ordre) à partir d'une solution de l'équation homogène ne s'annulant pas sur l'intervalle, problème des raccords. Chap. 1 : Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C) (démo à connaître, rédigé seulement pour la norme euclidienne en CM), distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères, convexité des boules ouvertes/fermées et non convexité des sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes 1, 2 et infinie (ces trois tracés sont à savoir refaire et peuvent être demandés en question de cours). Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître et savoir redémontrer),
• 17 janvier (partie 1) : Norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E) (la preuve est à connaître), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie). Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes, notion invariante par passage à une norme équivalente.
• 17 janvier (partie 2) : Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite (la preuve est à connaître). Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Chap.2 - Topologie des evn : voisinage, ouverts (définition, exemples dans R avec des intervalles (à savoir redémontrer)).
• 24 janvier : Une boule ouverte est un ouvert, mais ce n'est pas le cas des boules fermées ou des sphères (l'explication pour les boules ouvertes/fermées/sphères est à savoir réexpliquer, au minimum à l'aide d'un dessin). Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : propriétés (intersection, union finie). Exemples sur des intervalles dans R, un singleton est fermé (les deux sont à savoir redémontrer). Caractérisation séquentielle des fermés (non encore démontrée, mais appliquée sur un exemple).
• 31 janvier (partie 1) : Caractérisation séquentielle des fermés. Exemples, les boules fermées et les sphères sont fermées (la preuve peut être demandée en question de cours). Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble, exemples.
• 31 janvier (partie 2) : Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, caractérisation séquentielle, exemples (adhérence d'une boule ouverte, la preuve peut être demandée). Frontière, densité d'une partie. Exemples : densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées (réelles ou complexes).
• 7 février : Suites extraites (définition, propriétés : suite extraite d'une sous-suite, convergence des sous-suites dans le cas d'une suite convergente), compacts (définition), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Chap.3 - Fonctions vectorielles d'une variable vectorielle : limite (unicité de la limite), exemples des fonctions constantes et des projections coordonnées p_i : x=(x_1,…,x_n) → x_i (les 2 à savoir refaire).
• 14 février (partie 1) : caractérisation séquentielle de la limite, opérations sur les limites (combinaisons linéaires, multiplication par une fonction scalaire, composition, lien avec les limites des suites coordonnées dans un ev de dimension finie), très brève explication pour les fonctions à valeurs dans un ev produit (ne pas insister en colles sur cette partie du cours). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Extension à l'infini de la notion de limite. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre la continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions (exemple détaillé d'étude de la continuité d'une fonction définie sur R^2 par deux expressions sur [-1;1]^2 et son complémentaire).
• 14 février (partie 2) : Fonctions lipschitziennes (la preuve de lipschitzienne implique continue peut être demandée en question de cours). Opérations sur les fonctions continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), continuité des projections coordonnées p_i : (x_1, …,x_n)→ x_i (à savoir redémontrer), continuité d'une fonction polynomiale. Caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit (ne pas trop insister en question de cours sur cette dernière partie). Continuité et topologie : caractérisations équivalentes de la continuité à l'aide de l'image réciproque des fermés/ouverts.
• 21 février : Fin du cours sur la continuité : image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes. Applications linéaires continues : caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire (continuité en 0_E, existence de k dans R^+ vérifiant ||u(x) || \leq k ||x|| pour tout x dans E, lipschitziannité, caractère borné sur la boule unité fermée/la sphère unité), toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue, contre-exemples en dimension infinie.
• 6 février (partie 1) : Chap. 4 - Calcul différentiel : Dérivée d'une fonction d'une seule variable réelle à valeur dans un evn F de dimension finie, caractérisation équivalentes à l'aide des fonctions coordonnées dans une base de F, combinaison linéaire de fonctions dérivables. Définition d'un développement limité à l'ordre 1 en un point avec unicité de l'application linéaire intervenant dans le DL (pour une fonction de E dans F deux R-evn de dimensions finies), fonction différentiable en un point, équivalence avec l'existence d'un Dl à l'ordre 1, les fonctions constantes et les applications linéaires sont différentiables (ces 2 preuves peuvent être demandées en questions de cours). Différentiable implique continue, lien entre différentiabilité et dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle.
• 6 mars (partie 2) : cours déplacé suite à la coupure de courant.
• 13 mars : Différentielle d'une application bilinéaire (dèm en TD). Opérations sur les fonctions différentiables (combinaisons linéaires, équivalence avec la différentiabilité des applications coordonnées (dans une base de l'espace d'arrivée ou dans un espace produit) ne pas trop insister en question de cours sur ces deux résultats), différentiation d'une composée, exemples d'applications. Application du théorème de différentiation d'une composée au produit de deux fonctions différentiables (dont l'une est scalaire), exemple des fonctions polynomiales. Dérivées directionnelles : dérivation selon un vecteur; si f est différentiable en un point, existence des dérivées directionnelles selon tout vecteur en ce point.
• 20 mars (partie 1) : Différents exemples de calcul de dérivées directionnelles, celles-ci donnant le candidat potentiel pour df(a) (utilisation de la non linéarité de celui-ci pour montrer qu'une fonction n'est pas différentiable). Dérivées partielles dans une base donnée de E : définition comme dérivée directionnelle selon les vecteurs de la base, existence pour une fonction différentiable et expression de la différentielle en un point à l'aide des dérivées partielles (démo à connaître). Méthode de calcul pour une fonction au départ de R^n : définition des applications partielles en a=(a_1,…,a_n), lien avec la dérivabilité de l'application partielle en a_i.
• 20 mars (partie 2) : Exemples de calculs de dérivées partielles pour des fonctions définies sur une partie de R^n. Calcul pratique des dérivées partielles d'une fonction d'une variable vectorielle (en identifiant avec une fonction au départ de R^n par les coordonnées d'un vecteur dans la base choisie), exemples. Matrice jacobienne, version matricielle du théorème de différentiation d'une composée, formule de dérivation en chaîne, différents exemples d'application.
• 27 mars : Fonctions de classe C^1 (équivalence entre f est différentiable de différentielle continue avec l'existence et la continuité de ses dérivées partielles dans une base), exemple des applications constantes et linéaires, opérations sur les fonctions de classe C^1 (lien avec le caractère C^1 des applications coordonnées, combinaison linéaire, produit par une application scalaire, composée), exemple des fonctions polynomiales. Chap. 5 - Intégrales à paramètres : théorème de continuité dans le cas où le domaine d'intégration est un segment.
• 28 mars : Intégrales à paramètres : théorème de dérivation (dans le cas où le domaine d'intégration est un segment), cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions continues/resp. de classe C^1). Intégrale à paramètres dans le cas où le domaine d'intégration est un intervalle quelconque : théorème de continuité par domination (l'idée de la preuve (passage par la caractérisation séquentielle et utilisation du thm de convergence dominée) peut être demandée), corollaire avec hypothèse de domination obtenue seulement sur tout segment pour x.
• 3 avril (partie 1) : Rapidement : lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)). Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), corollaire où les hypothèses de domination sont demandées seulement sur tout segment pour x, exemples d'utilisation. Chp. 6 - Extrema : dérivées partielles d'ordre k relatives à une base, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), exemples des fonctions constantes et polynomiales, opérations sur les fonctions de classe C^k.
• 3 avril (partie 2) : théorème de Schwarz dans le cas d'une fonction de classe C^2, puis de classe C^k, exemple d'utilisation pour la recherche de la classe exacte d'une fonction de R^2 dans R. Extrema : définitions (minimum/maximum/extremum local/global (strict ou non)), points critiques, condition nécessaire d'extremum sur un ouvert.
• 10 avril : Extrema : à partir d'ici, tous les résultats ont été énoncé pour des fonctions de R^n dans R. Matrice hessienne, formule de Taylor-Young à l'ordre 2, condition suffisante d'extremum en un point critique à l'aide des valeurs propres de la matrice hessienne, corollaire utilisant le déterminant et la trace de la matrice hessienne dans le cas n=2, exemples d'utilisation. Principe de recherche d'un extremum d'une fonction continue sur un compact et exemple d'utilisation.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Espaces vectoriels normés
• Chap.2 - Topologie des evn
• Chap.3 - Continuité des fonctions vectorielles
• Chap.6 - Extrema (attention, la partie sur les plans tangents laissée dans la fiche pour les TD n'a pas été traitée en cours!)

Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi et sont assurés par:

• Abdelmouksit Sagueni(groupe P6)
• Stéphane Attal (groupe P7)
• Rouchdi Bahloul (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Equations différentielles linéaires d'ordre 2
• TD2 - Espaces vectoriels normés
• TD3 - Topologie des espaces vectoriels normés
• TD4 - Limites et continuité de fonctions vectorielles
• TD5 - Calcul différentiel
• TD6 - Intégrales à paramètres
• TD7 - Dérivées partielles d'ordre supérieur et extrema

Avancement :

Groupe P6 :

• 18/01 : Fiche 1 : exos 1 à 3, exo 5.
• 19/01 : Fiche 1 : exo 4, exo 6. Fiche 2 : exo 1, exo 2 (j'ai traité le cas N_1 ), exo 3, exo 4 (questions:1 et 2).
• 26/01 : Fiche 2 : exo 4 (question: 3), exo 6, exo 8, exo 9, exo 10.
• 02/02 : Fiche 3 : exo 1 (1-6) exo 2 exo 3 exo 4 (1,2).
• 09/02 : Fiche 3 : exo 4 (3) exo 5, exo 6, exo 7(A,B,C).
• 16/02 : Fiche 3 : exo7(D,E), exo8, exo9(1,2).
• 23/02 : Fiche 3 : exo9 (3), exo 10. Fiche 4: ex 1,2,3, exo4(1,2,3).
• 08/03 : Fiche 4 : ex: 4 (4,5,6), ex5, ex6, ex7 (J'ai donné toutes les définitions, applications: uniquement dans un cas particulier), ex8.
• 15/03 : Fiche 4 : ex: 9,10,15,16,17,18,19,20.
• 22/03 : Fiche 4 : ex: 11,12,13,14,21. Fiche 5: exo1.
• 29/03 : Fiche 5 : ex: 2,3,4,5,6,7,8.
• 05/04 : Fiche 5 : ex: 9-14.
• 12/04 : Fiche 6 : ex: 1-7.
• 17/04 : Fiche 7 : ex: 1-3.
• 18/04 : Fiche 7 : ex: 3-6.
• 19/04 : Fiche 7 : ex: 7,8,9,11,12. Fiche 6: ex:8(sur la fonction Gamma d'Euler).

Groupe P7 :

• 18/01 : Fiche 1 : exos 1, 3, 4.
• 19/01 : Fiche 1 : exo 5. Fiche 2 : exo 2, exo 3
• 26/01 : Fiche 2 : exo 1, 4, 5.
• 02/02 : Fiche 2 : exo 6, 7, 8, 9.
• 09/02 : Fiche 3 : exo 1, 2, 3, 4 début.
• 16/02 : Fiche 3 : exo 4 fin, 5 à faire, 6,7,9.
• 23/02 : Fiche 4 : exos 1,2,3,4
• 08/03 : Fiche 4 : 5,6,8,17,18
• 15/03 : Fiche 4 : 11,12,15,18,19
• 22/03 : Fiche 4 : 7, 13, 20, 21
• 29/03 : Fiche 5 : 1,2,3,5,6
• 05/04 : Fiche 5 : 4,7,8, 10, 11
• 12/04 : Fiche 6 : Rappels + Exos 1,2,4
• 16/04 : révisions sur différentielle de composée à partir d'un exo d'annales, retours sur limite et continuité de plusieurs variables à partir d'anciens exos et d'une kholle (1/2 séance)
• 17/04 : fiche 6 : Exos 3,5 (séance partagée avec de l'algèbre)
• 19/04 : Fiche 7 : 1, 4, 5, 7
• 30/04 : (séance partagée avec algèbre) Fiche 7 : ex 6, le cas det(Hess)=0 du CM, plus un cas det(Hess)=0 pris sur internet

Groupe P9 :

• 18/01 : Fiche 1 : exos 1, 2, 3 et début du 4.
• 19/01 : Fiche 1 : Fin du 4; puis exo 6. Fiche 2 : ex. 1 et 2 (dans le 2 : question 1 et la moitié du 2).
• 26/01 : Fiche 2 : fin du 2; ex. 3, 4, 5, 6, début du 7.
• 02/02 : Fiche 2 : fin du 7; ex. 8, 9, 10. Fiche 3 : ex. 1 (questions 1, 2, 3).
• 09/02 : Fiche 3 : fin du 1; ex. 2, 3, 4 et tout début du 5.
• 16/02 : Fiche 3 : fin du 5. Ex 6 et 7 (parties A et B).
• 23/02 : Fiche 3 : fin du 7 puis ex. 8, 9, 10.
• 08/03 : Fiche 4 : ex. 1, 2, 3, 4 (tout sauf le 5), 5, 6, 7.
• 15/03 : Fiche 4 : ex. 8 à 14.
• 22/03 : Fiche 4 : ex. 15 à 20.
• 29/03 : Fiche 4 : ex. 21. Fiche 5 : ex. 1 à 6.
• 05/04 : Fiche 5 : ex. 7, 8, 9 et tout début du 11.
• 12/04 : Fiche 5 : ex. 11, 12, 13. Fiche 6 : ex. 1, 2, 3.
• 17/04 : Fiche 6 : ex. 4, 5, 6, début du 7.
• 18/04 : Fiche 6 : Fin du 7 et ex. 8.

Groupe P10 :

• 18/01 : Fiche 1 : exercices 1 à 3.
• 19/01 : Fiche 1 : exo 4. Fiche 2 : exos 1, 2 (manque le tracé de la boule pour N2) et 3 (Q1 à Q3 seulement).
• 26/01 : Fiche 1 : retour sur l'exercice 5. Fiche 2 : fin des exos 2 et 3, exos 4, 5 et 6.
• 02/02 : Fiche 2 : exos 7 à 10.
• 09/02 : Fiche 3 : exos 1 et 3 seulement.
• 16/02 : Fiche 3 : exos 2, 4, 5 (A et G seulement), 6, 7 (uniquement Q1).
• 23/02 : Fiche 3 : fin de l'exercice 7, exo 8. Fiche 4 : exos 1 à 3.
• 08/03 : Fiche 4 : exos 4, 5, 6,et question 1 de l'exo 8.
• 15/03 : Fiche 4 : exos 8 (Q2, Q3, corrigé de la Q4 donné), exo 9 (Q1 et Q2, corrigé des Q3 et Q4 donné), 10, 11, 12, 15 (Q1 uniquement), 16, 17 (seulement l'ensemble A pour l'instant).
• 22/03 : Fiche 4 : fin de l'exo 17, exo 18, 19, 13, 20. Fiche 5 : exo 1.
• 29/03 : Fiche 4 : exo 21. Fiche 5 : exos 2 à 6.
• 05/04 : Fiche 5 : exos 7, 8, 10, 11, 9 (Q1 et 2 seulement).
• 11/04 : Fiche 5 : fin de l'exo 9, exos 12 et 13. Fiche 6 : exos 1 et 2.
• 12/04 : Fiche 6 : exos 4, 5, 6, Q1 à 3 de l'exo 7.
• 18/04 : Fiche 6 : fin de l'exo 7, exo 8. Fiche 7 : exo 1 et 3.

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

• 13 décembre (partie 1) : Chap.1 : Espaces préhilbertiens : produit scalaire sur un R-ev, caractérisation équivalente (la linéarité à droite et la symétrie entraînent la bilinéarité), définition d'un espace préhilbertien réel, d'un espace euclidien. Produits scalaires sur R^n, M_{n,p}(R) et C([a;b];R) (les 3 sont à connaître et à savoir redémontrer), calculs de développements de <ax,ax>, <x +/- y, x+/- y> (etc… à savoir manipuler), inégalité de Cauchy-Schwarz avec cas d'égalité (la preuve est à connaître), exemples d'utilisation.
• 13 décembre (partie 2) : Norme euclidienne associée à un produit scalaire, identités de polarisation et identité du parallélogramme (à savoir retrouver). Produit scalaire hermitien sur un C-ev, caractérisation équivalente (la linéarité à droite et la symétrie hermitienne entraînent la sesquilinéarité), définition d'un espace préhilbertien complexe, d'un espace hermitien. Produits scalaires usuels sur C^n, M_{n,p}(C), C([a;b]; \C) (les preuves peuvent être demandées en question de cours mais n'ont pas été rédigées entièrement).
• 17 janvier : Espaces préhilbertiens complexes : manipulation de la sesquilinéarité du produit scalaire hermitien pour des calculs (< ax, ax>, <x +- y, x+-y>, …), inégalité de Cauchy-Schwarz avec cas d'égalité, norme hermitienne associée, identité de polarisation et identité du parallélogramme (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver rapidement, les preuves de ces identités peuvent êtres demandées). Matrice d'un produit scalaire (réel ou hermitien), écriture du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de la matrice, effet d'un changement de base. Chap.2 - Orthogonalité : définition de deux vecteurs orthogonaux.
• 24 janvier (partie 1) : exemples et propriétés de base de deux vecteurs orthogonaux (seul le vecteur nul est orthogonal à tous les autres, si deux vecteurs sont orthogonaux, alors deux vecteurs respectifs des droites vectorielles qu'ils engendrent sont aussi orthogonaux, l'orthogonalité dépend du produit scalaire utilisé), identité de Pythagore (démo à connaître : équivalence dans le cas réel et implication dans le cas complexe). Définition d'une famille orthogonale, orthonormée. Toute famille orthogonale ne comportant pas le vecteur nul est libre (preuve à connaître). Base orthonormée : définition, expression des coordonnées d'un vecteur dans une telle base, du produit scalaire de deux vecteurs, de la norme (calculs à savoir refaire). Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur une famille libre (la preuve n'est pas à connaître mais les étudiants doivent savoir construire la base orthogonale/orthonormée), exemple.
• 24 janvier (partie 2) : Tout espace euclidien admet une base orthonormée, toute famille orthonormée peut être complétée en une base orthonormée. Orthogonal d'une partie (exemple de l'orthogonal de {0_E} et E à savoir refaire), propriétés de l'orthogonal (c'est un sev, inclusion pour l'orthogonal de l'orthogonal, inversion de l'inclusion), l'orthogonal d'un sev engendré par une famille est l'ensemble des éléments orthogonaux aux éléments de cette famille (preuve à connaître). Définition de deux sev orthogonaux, lien avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sev de dimension finie (cas d'un espace euclidien/hermitien).
• 31 janvier : Retour sur le supplémentaire orthogonal d'un sev de dimension finie (cas d'un espace euclidien/hermitien), contre-exemple en dimension infinie, dimension de l'orthogonal dans un espace euclidien/hermitien. Rappels sur les projections/symétries vectorielles : dans le cas où F et G sont supplémentaires dans E, définition de la projection sur F (resp. symétrie par rapport à F) parallèlement à G, caractérisations équivalentes (p^2=p et s^2=Id), lien entre les deux, matrice d'une projection/symétrie dans une base adaptée. Projection orthogonale et symétrie orthogonale, relations entre la projection orthogonale sur F et celle sur son orthogonal.
• 7 février (partie 1) : Formule du projeté orthogonal sur un sev de dimension finie F dans une base orthonormée (démonstration à connaître). Retour sur le procédé de Gram-Schmidt avec écriture à l'aide d'une projection orthogonale. Exemple de détermination d'un projeté orthogonal sur F en calculant d'abord le projeté sur l'orthogonal de F. Distance d'un vecteur à une partie non vide de E. Distance à un sous espace (admettant un supplémentaire orthogonal) : calcul à l'aide de la projection orthogonale sur le sev (ou son orthogonal) (preuve à connaître).
• 7 février (partie 2) : Chap. 3 - Endomorphismes autoadjoints : Matrices orthogonales (pour l'instant, uniquement introduites dans le but du théorème spectral, leur étude spécifique sera faite dans le chapitre suivant), groupe orthogonal, une matrice est orthogonale ssi ses colonnes (resp.lignes) forment une famille orthonormée, lien avec les matrices de passage entre deux bases orthonormées, matrices orthogonalement semblables (définition, elles représentent le même endomorphisme dans deux base orthonormées). Théorème de représentation de Riesz (isomorphisme explicite entre E et L(E,R)), définition de l'adjoint d'un endomorphisme, matrice de l'adjoint dans une base orthonormée (preuve à connaître), propriétés de l'adjoint (d'une combinaison linéaire, d'une composée, involutivité de l'adjoint, adjoint d'une bijection réciproque).
• 14 février : Image et noyau de l'adjoint (preuve à connaître), si F est stable par u, l'orthogonal de F est stable par u* (preuve à connaître). Endomorphisme autoadjoint (ou symétrique), équivalence avec la symétrie de sa matrice dans une base orthonormée, dimension de l'ev des endomorphismes autoadjoint. Un projecteur est orthogonal ssi il est symétrique (preuve en TD plus tard), le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réel est scindé sur R, existence d'une valeur propre (réelle) d'un endomorphisme autoadjoint sur un ev euclidien non nul, orthogonalité des sev propres d'un endomorphisme autoadjoint (la preuve est à connaître), stabilité par un endomorphisme autoadjoint u de l'orthogonal d'un sev stable et caractère autoadjoint des endomorphismes induits respectifs, théorème spectral (équivalence du caractère autoadjoint avec E est la somme directe orthogonale des sev propres, et avec la diagonalisabilité dans une base orthonormée).
• 21 février (partie 1) : Version matricielle du théorème spectral. Définition d'un endomorphisme positif/resp. défini positif, caractérisation équivalente à l'aide du spectre (démo à connaître, faite seulement dans le cas défini positif). Pour un endomorphisme autoadjoint, lien entre le caractère positif (resp. défini positif) et celui de sa matrice dans une base orthonormée. Caractérisation des matrices symétriques positives (resp. définies positives) à l'aide de leur spectre. Existence et unicité d'une “racine carrée” d'un endomorphisme autoadjoint positif, version matricielle.
• 21 février (partie 2) : Chap. 4 - Endomorphismes orthogonaux : définitions d'un endomorphisme orthogonal (par u o u*=Id, ou u* o u=Id ou u bijectif d'inverse u*), équivalence avec l'orthogonalité de sa matrice dans une base orthonormée, exemple des symétries orthogonales, les projecteurs orthogonaux différents de l'identité ne sont pas orthogonaux. L'ensemble des endomorphismes orthogonaux de E est un sous-groupe de GL(E), caractérisations équivalentes des endomorphismes orthogonaux : par conservation de la norme, du produit scalaire, par l'image de toute/d'une base orthonormée, vocabulaire : endomorphisme orthogonal = isométrie, déterminant d'un endomorphisme orthogonal.
• 6 mars : Retour sur le cours précédent sur les endomorphismes orthogonaux. Déterminant d'un endomorphisme orthogonal, définition d'une isométrie directe/indirecte. Groupe spécial orthogonal (et version matricielle). Définition d'un hyperplan et caractérisation comme l'orthogonal d'une droite vectorielle, définition d'une réflexion, écriture explicite de l'image d'un vecteur par une réflexion à l'aide d'un produit scalaire (à savoir retrouver rapidement). Tout endomorphisme orthogonal s'écrit comme une composée d'au plus n=dim(E) réflexions. Le spectre d'un endomorphisme orthogonal est inclus dans {-1;1} (démo à connaître), spectre réel puis complexe d'une matrice orthogonale de taille n.
• 13 mars (partie 1) : stabilité de l'orthogonal d'un sev stable par un endomorphisme orthogonal (démo à connaître). Existence d'une droite ou d'un plan stable par un endomorphisme u de E, classification des matrices orthogonales de taille 2 : matrices de rotation ou de réflexion, réduction des endomorphismes associés (détail des cas diagonalisables ou non).
• 13 mars (partie 2) : Théorème de réduction d'un endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien (de dimension n non nulle) (existence d'une base orthonormée dans laquelle la matrice est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux (1), (-1) et des rotations). Chap.5 - Isométries vectorielles en dimension 2 et 3 : définition de l'orientation d'un espace euclidien (bases directes/indirectes, effet d'un échange entre deux vecteurs d'une base, etc…) Produit mixte. Classification des isométries en dimension 2 : rotation du plan, unicité de la matrice dans une base orthonormée directe.
• 20 mars : Angle orienté de deux vecteurs non nuls dans le plan (défini à 2pi près comme l'angle de l'unique rotation qui envoie le premier vecteur normé sur le second normé), propriétés des angles orientés (conservation de l'angle par multiplication des vecteurs par un réel strictement positif, angle opposé, somme d'angles), lien avec le produit scalaire et le produit mixte (démo à connaître). Isométries négatives du plan : ce sont les réflexions, expression de la droite par rapport à laquelle la réflexion est effectuée en fonction de la matrice de la réflexion dans une base orthonormée (e_1,e_2) (angle entre Vect(e_1) et cette droite).
• 27 mars (partie 1) : Récapitulatif de classification des endomorphismes orthogonaux en dimension 2, corollaire sur la composée de 2 rotations/2 réflexions etc… Classification des isométries en dimension 3 (isométries directes seulement pour l'instant) : unicité de l'écriture de la matrice dans une base orthonormée directe de premier vecteur un vecteur unitaire dans E_1(u), définition d'une rotation autour d'un axe orienté, recherche des éléments caractéristiques de la rotation (axe à l'aide de l'étude de E_1(u), cosinus de l'angle à l'aide de la trace, sinus de l'angle à l'aide d'un produit mixte).
• 27 mars (partie 2) : Fin des exemples d'isométries directes en dimension 3, isométries indirectes en dimension 3 : unicité de l'écriture de la matrice dans une base orthonormée directe de premier vecteur un vecteur unitaire dans E_{-1}(u), les isométries indirectes sont les composées commutatives d'une rotation et d'une réflexion par rapport à l'orthogonal de l'axe, recherche des éléments caractéristiques (axe à l'aide de l'étude de E_{-1}(u), cosinus de l'angle à l'aide de la trace, sinus de l'angle à l'aide d'un produit mixte). (le produit vectoriel n'a pas encore été vu)
• 3 avril : Produit vectoriel : définition, caractère bilinéaire antisymétrique, le produit vectoriel de x par y est orthogonal à x et à y, la famille (x,y) est libre si et seulement le produit vectoriel de x par y est non nul. Expression du produit vectoriel dans une base orthonormée directe de E, construction d'une base orthonormée directe de E à l'aide de deux vecteurs orthonormés et leur produit vectoriel (la formule donnant la norme de u ^ v n'a pas été vue). Application pour l'étude d'une isométrie en dimension 3 par création d'une base orthonormée directe dans laquelle la nature et les caractéristiques se lisent directement sur la matrice réduite.
• 10 avril : Chap.6 - Séries de Fourier : (tous les résultats sur les séries de Fourier ont été énoncés pour des fonctions 2pi périodiques) rappels sur les fonctions périodiques, pseudo-produit scalaire sur l'espace CM_{2pi} des fonctions continues par morceaux 2pi périodiques, polynômes et séries trigonométriques. Coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques, liens entre les deux, coefficients de Fourier d'un polynôme trigonométrique, d'une série trigonométrique convergeant uniformément sur R. Propriétés calculatoires. Série de Fourier, interprétation géométrique des sommes partielles dans le cas d'une fonction continue, inégalité de Bessel. Théorème de Dirichlet, convergence normale en rajoutant l'hypothèse de continuité de la fonction étudiée, théorème de Parseval-Bessel.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Espaces préhilbertiens réels et complexes
• Chap.2 - Orthogonalité
• Chap.3 - Endomorphismes autoadjoints
• Chap.4 - Endomorphismes orthogonaux
• Chap.5 - Isométries
• Chap.6 - Séries de Fourier

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le jeudi matin et sont assurés par:

• Tanguy Massacrier(groupe P6)
• Stéphane Attal (groupe P7)
• Rouchdi Bahloul (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Produits scalaires et inégalité de Cauchy-Schwarz
• TD2 - Sous-espaces orthogonaux et projections
• TD3 - Adjoints et théorème spectral
• TD4 - Endomorphismes orthogonaux et espaces orientés
• TD5 - Séries de Fourier

Avancement :

Groupe P6 :

• (18/01 : pas de TD d'algèbre, TD d'analyse à la place.)
• 25/01 : Fiche 1 - exercices 1 à 5.
• 01/02 : Fiche 1 - exercices 6 à 11.
• 08/02 : Fiche 1 - exercice 12. Fiche 2 - exercices 1 et 2.
• 15/02 : Fiche 2 - exercices 3 à 5.
• 22/02 : Fiche 2 - exercices 6, 7 et 10.
• 07/03 : Fiche 2 - exercices 11 à 15.
• 14/03 : Fiche 3 - exercices 1 à 5.
• 21/03 : Fiche 3 - exercices 6, 7, 8 et 10.
• 28/03 : Fiche 3 - exercices 13 à 16. Fiche 4 - début de l'exercice 1.
• 04/04 : Fiche 4 - fin de l'exercice 1, exercices 2 à 5.
• 08/04 : Fiche 4 - exercice 6, début de l'exercice 8.
• 11/04 : Fiche 4 - fin de l'exercice 8, exercices 9 et 10. Fiche 5 - exercices 1 et 2.
• 29/04 : Fiche 5 - exercices 3, 7, 8 et 9.
• 30/04 : Fiche 5 - exercices 10 et 12. Fiche 6 - exercices 1 et 3.

Groupe P7 :

• (18/01 : pas de Td d'algèbre, TD d'analyse à la place.)
• 25/01 : Fiche 1: exercices 1 à 4.
• 01/02 : Fiche 1 : exercices 5 à 8.
• 08/02 : Fiche 1 : exercices 9 à 11
• 15/02 : Fiche 2 : exercices 1,2,3
• 22/02 : Fiche 2 : exercices 5,7,8
• 07/03 : Retours et corrections sur le DS2, Fiche 3 : exos 1,2
• 14/03 : Fiche 3 : 3,5,6,9,10
• 21/03 : Fiche 3 : 11,12,13,14,15 + un exo du DS3 2023
• 28/03 : Fiche 4 : 1 à 5
• 04/04 : Fiche 4 : 6 à 8
• 11/04 : Fiche 4 : 9,10
• 16/04 : Retours sur thm spectral, positivité etc à partir de petits exos que j'ai posé moi-même (1/2 séance)
• 17/04 : retours sur groupe orthogonal à partir de petits exos personnels (1/2 séance)
• 18/04 : Fiche 5 : 1 et 3
• 29/04 : Exos annales L2 sur matrice orthogonale dans base pas orthonormée. Diag d'une Matrices sym, matrice de passage orthogonale. Matrice de diag d'un projecteur orthogonal. Series de Fourier : fonction 1 sur ]0,Pi[ impaire.
• 30/04 : Retour sur exo 3 du DS4, 3 petits exos sur Cauchy-Schwarz (1/2 séance)

Groupe P9 :

• (18/01 : pas de TD d'algèbre, TD d'analyse à la place.)
• 25/01 : Fiche 1 : Ex 1, 2 (en partie), 3 et 4.
• 01/02 : Fiche 1 : fin du 2; ex. 5, 6, 7, 8, 10.
• 08/02 : Fiche 1 : ex. 9 et 11. Fiche 2 : ex. 1, 2, 3 et début du 4.
• 15/02 : Fiche 2 : fin du 4. Ex. 5, 6 et début du 7.
• 22/02 : Fiche 2 : Fin du 7 puis ex. 8, 9 et 10.
• 07/03 : Fiche 2 : ex. 11, 12, 13, 14. Fiche 3 : ex. 1, 2, 3.
• 14/03 : Fiche 3 : ex. 4–8 et début du 9.
• 21/03 : Fiche 3 : ex. 9 à 14.
• 28/03 : Fiche 3 : ex. 15 et 16. Fiche 4 : ex. 1, 2, 3.
• 04/04 : Fiche 4 : ex. 4, 5, 6, 7 et tout début du 8.
• 11/04 : Fiche 4 : ex. 8 et 9.
• 12/04 : Fiche 4 : ex. 10, 11, 12.
• 19/04 : Fiche 5 : ex. 1, 2, 3, 7 et 8.

Groupe P10 :

• (18/01 : pas de Td d'algèbre, TD d'analyse)
• 25/01 : Fiche 1: exercices 1, 3, 4 et 5 (seulement Q1 et Q2).
• 01/02 : Fiche 1 : fin de l'exo 5, exos 6, 7, 8, 12 (sauf Q4).
• 08/02 : Fiche 1 : fin de l'exo 12, exos 9 et 11. Fiche 2 : exos 1, 2, 3 (seulement Q1 à Q3).
• 15/02 : Fiche 2 : fin de l'exo 3, exo 4, 5, 6 et Q1 du 7.
• 22/02 : Fiche 2 : fin de l'exo 7, exos 9, 10, 12, 14 et question 1 de l'exo 11.
• 07/03 : fiche 2 : fin de l'exo 11, exos 8 et 13. Fiche 3 : exo 1 et 3 (uniquement les questions 1 et 2)
• 14/03 : Fiche 3 : fin de l'exo 3, exos 2, 4, 5, 6, 8.
• 21/03 : Fiche 3 : exos 9 à 13, Q1 du 14.
• 28/03 : Fiche 3 : fin de l'exo 14, 15 à 17. Fiche 4 : exos 1 et 2.
• 04/04 : Fiche 4 : retour sur l'exo 2, exos 3 à 7, Q1 de l'exo 8.
• 11/04 : Fiche 4 : exos 8 et 9.
• 17/04 : Fiche 4 : exos 10 à 12. Fiche 5 : exo 1.
• 19/04 : Fiche 5 : exos 3, 5 et début du 4.

Dates prévisionnelles :

• DS1 CUPGE : jeudi 1er février 8h-9h30
• DS1 commun : mardi 6 février 17h30-19h. Le sujet et une correction.
• DS2 CUPGE : mardi 20 février 17h30-19h
• DS2 commun : mardi 5 mars 17h30-19h
• DS3 CUPGE : jeudi 21 mars 8h-9h30
• DS3 commun : mardi 26 mars 17h30-19h
• DS4 CUPGE : jeudi 11 avril 8h-9h30
• DS4 commun : mercredi 17 avril de 14h à 15h30
• DS5 CUPGE (mardi 16 avril de 11h30 à 13h)

• Le sujet avec correction de la session 1 d'analyse 4 de 2022-2023
• Le sujet de la session 2 d'analyse 4 de 2022-2023
• Le sujet avec correction de la session 1 d'algèbre 4 de 2022-2023
• Le sujet de la session 2 d'algèbre 4 de 2022-2023