Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2023-2024

Colloscope

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

31 aout 2023 (partie 1) : Chap.1 - Intégrales généralisées : intégrales convergentes/divergentes, cas où une seule des deux bornes est impropre, intégrales de Riemann (preuves sur [a;+infini[ et ]0;a] à connaître), propriétés des intégrales convergentes (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, changement de variables).
31 aout 2023 (partie 2) : Intégration par parties généralisée (preuve à connaître), fonction intégrable (ex des fonctions continues sur un segment, fonctions de Riemann), lien avec l'intégrabilité sur un intervalle inclus dans I, rappels sur les comparaisons locales de fonctions (domination, négligeabilité, équivalence, lien entre f=o(g)(ou f~g) et f=O(g) à savoir redémontrer), théorèmes de comparaison pour l'intégrabilité (pour des fonctions positives dans le cas de majoration)
4 septembre 2023 : théorèmes de comparaison concernant l'intégrabilité (pour des fonctions complexes avec o, O et ~), exemples d'études explicites, combinaison linéaire de fonctions intégrables, inégalité de Cauchy-Schwarz,l'intégrabilité de f sur I entraîne la convergence de l'intégrale de f sur I, définition d'une intégrale absolument convergente/semi-convergente.
11 septembre (partie 1) : Exemple d'intégrale semi-convergente, règle de Bertrand au voisinage de l'infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite), au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changement de variable, preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Chap.2 - Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle).
11 septembre (partie 2) : convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), convergence de la série de terme général 1/n^2 parmi les exemples.
20 septembre : Exemples d'utilisation des théorèmes de comparaison sur les séries à termes positifs. Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert (preuve à savoir refaire, demander uniquement un seul des cas l<1 ou l>1) et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire, la question peut être posée en colle), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître).
25 septembre (partie 1) : Série définissant l'exponentielle (preuve à connaître), (attention : les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, la convergence absolue entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique.
25 septembre (partie 2) : Théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Chap.3 - Suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, convergence simple, domaine de convergence simple (exemples non terminés).
04 octobre : Exemples d'études de convergence simple de suites de fonctions, unicité de la limite simple, propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité (la preuve est à savoir refaire). Exemples de propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque). Techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration).
9 octobre (partie 1) : Exemples d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) , propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve peut être donnée en question de cours). Énoncé du théorème de la double limite et exemple d'utilisation, théorèmes d'échange limite et intégrale : théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée en question de cours).
9 octobre (partie 2) : Rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m., généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m. Théorème de convergence dominée, exemples d'utilisation. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p (pas encore démontré).
18 octobre : retour sur le théorème de dérivation pour des suites de fonctions de classe C^p. Chap.4 - Séries de fonctions : vocabulaire de base (définition, somme partielle), convergence simple (définie par la convergence simple de la suite de fonctions des sommes partielles, puis caractérisation par la convergence de la série numérique associée en tout point), exemples d'étude de domaines de convergence simple, la convergence simple de la série de fonctions entraîne la convergence simple de la suite de fonctions de son terme général vers la fonction nulle, en cas de convergence simple définition du reste d'ordre n et propriétés de celui-ci, convergence absolue simple (lien avec la convergence simple), uniforme. Condition nécessaire de convergence uniforme sur la suite de fonctions du terme général.
23 octobre (partie 1) : Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples (utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Convergence normale, liens avec les autres modes de convergence (différents contre-exemple sur les implications qui ne fonctionnent pas, la démo de la convergence normale entraîne la convergence absolue simple et la convergence uniforme est à connaître).
23 octobre (partie 2) : Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples (méthodes d'étude de non convergence uniforme dans le cas de fonctions positives : par minoration de R_n, par encadrement série/intégrale). Théorème de continuité pour les séries de fonctions et exemples d'utilisation, théorème de la double limite (interversion limite/série).
08 novembre : théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), exemples, énoncé du théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque), application. Brève explication concernant l'utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale dans les cas où les théorèmes d'interversion série/intégrale ne fonctionneraient pas, théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) (exemples non terminés).
13 novembre (partie 1) : application du théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Chap.5 - Séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel (la preuve peut être demandée en question de cours), deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons), lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence.
13 novembre (partie 2) : exemples explicites de détermination du domaine de convergence d'une série entière, détermination pratique du rayon : règle de D'Alembert (la preuve est à savoir refaire, dans le cas où l appartient à ]0,+infini[), règle de Cauchy (la preuve peut être demandée en question de cours, dans le cas où l appartient à ]0;+infini[), exemples de détermination du rayon de séries lacunaires (de la forme sum a_n z^{3n} par exemple).
22 novembre : Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence). Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence (la preuve est à savoir refaire). Séries entières d'une variable réelle : continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans ]-R;R[, série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme) (exemple fait mais non démontré encore).
25 novembre (partie 1) : Série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur ]-R;R[ et dérivable terme à terme, expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement). Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés : exponentielle d'une somme, inverse, conjugué, module). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes (définition et écriture comme sommes de séries entières).
25 novembre (partie 2) : Fonctions d'une variable réelle développables en séries entières : définition (en 0 et en un point quelconque), série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DSE usuels à connaître (exp, ch, sh, sin, cos, x→1/(1+-x), celui de arctan n'est pas à connaître par cœur mais à savoir retrouver (la preuve peut être demandée en question de cours, ainsi que pour ceux de x→-ln(1-x) et de x→ln(1+x), idem avec argth).
27 novembre : DSE de x→(1+x)^alpha, rayon de convergence de la série entière associée. Application au DSE de arcsin (pas à connaître par cœur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Chap. 6 - Equations différentielles linéaires : rappels de L1 sur les EDL d'ordre 1, et les EDL d'ordre 2 à coefficients constants. Structure des solutions d'une EDL d'ordre 2 (homogène ou non), définition d'un système fondamental de solutions, wronskien (définition et propriétés, utilité pour caractériser un système fondamental de solutions), méthode de variations des constantes pour une EDL d'ordre 2.

Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'analyse ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

Rouchdi Bahloul puis Julien Allasia(groupe P6)
Lorenzo Scaglione (groupe P7)
Louis Dupaigne (groupe P9)
Gaelle Dejou (groupe P10)

Fiches de TD

Avancement :

Groupe P6 :

06/09 : Fiche : ex. 1 à 5.
08/09 : Fiche 1 : ex. 6, 7. Fiche 2 : ex. 1, 2 (questions 1, 2, 3).
15/09 : Fiche 2 : ex. 2 (questions 4, 5, 6), ex. 3 (questions 1, 2, 3, 4).
22/09 : Fiche 2 : ex. 4, 5, 6, 7, 8, 9 (question 1 seulement).
27/09 : Fiche 3 : ex. 1, 2 et 3.
04/10 : Fiche 3 : ex. 4, 5, 6, 8, une partie du 9.
11/10 : Fiche 3 : Fin du 9; ex. 10, 11, 12 (questions 1 et 2), 13 et 14. Fiche 4 : ex. 1 (question 1 et début de la question 2).
18/10 : Fiche 4 : Fin du 1; ex. 2, 3, 4 et 5.
25/10 : Fiche 4 : Fin du 5; ex. 6, 7, 8 et 9.
8/11 : Fiche 4 : 10, 11, 12, 13, 14, 15. Fiche 5 : 1 (question 1).
15/11 : Fiche 5 : 1 (fin), 2, 3, 4.
22/11 : Fiche 5 : 5, 6, 7, 8 (questions 1 et 2).
29/11 : Fiche 5 : 8 (questions 3 et 4), 9. Fiche 6 : 1, 2, 4 (questions 1 à 4).

Groupe P7 :

01/09 : Fiche 1, Ex 1-5
06/09 : Fiche 2, Ex 1,2(1-5)
13/09 : Fiche 2, Ex 2(6), 3(1,2,3,5), 4, 5(1), 6, 7(1)
20/09 : Fiche 2, Ex 7(2), 8 Fiche 3, Ex 1, 2, 3(a,b à finir)
27/09 : Fiche 2, Ex 9 Fiche 3 (fin), 5
04/10 : Fiche 3, Ex 6, 7, 9 (1, 2 début), 10, 11 (1, 2), 13
11/10 : Fiche 3, Ex 9 (2), 11 (3), 12, 14 Fiche 4 ex 1 (1,2)
18/10 : Fiche 4 ex 1 (3), 2, 3, 5
25/10 : Fiche 4 ex 6, 8, 9, 10
08/11 : Fiche 4 ex 14. Fiche 5 ex 1 (1,2), 2 (1)
15/11 : Fiche 4 ex 11. Fiche 5 ex 1 (3), 2, 3, 4
22/11 : Fiche 5 ex 5, 6, 7, 8 (1-3)
29/11 : Fiche 5 : 8 (4). Fiche 6 : 1, 2, 3 (1), 6 (1).

Groupe P9 :

01/09 : Fiche 1, Ex 1-5
06/09 : Fiche 2, Ex 1,2(1-5)
13/09 : Fiche 2, Ex 2(6-7), 3, 4(à finir)
20/09 : Fiche 2, Ex 4, 6(1), 7, 8, 9, 11
27/09 : Fiche 3, Ex 1-5
04/10 : Fiche 3, Ex 6-8, 9(1-2b)
11/10 : Fiche 3, Ex 9©, 10-14. Fiche 4, Ex 1
18/10 : Fiche 4, Ex 2,3,4,5,6,8
25/10 : Fiche 4, Ex 9,10,14,15 fiche 5, Ex 1.1(cas \R_+)
08/11 : Fiche 5, Ex 1,2,3
15/11 : Fiche 5, Ex 4-8(1-3)
24/11 : Fiche 6, Ex 1-4(1)
29/11 et 1/12 : Fiche 6, Ex 4-7, 9, 10(1-2)

Groupe P10 :

01/09 : Fiche 1 : exercices 1 à 5.
06/09 : Fiche 2 : exercices 1, 2 et question 1 de l'exo 3.
13/09 : Fiche 2 : fin de l'exercice 3, exos 4, exo 5 (Q1 uniquement), exo 7 (Q1 uniquement).
20/09 : Fiche 2 : fin des exos 5 et 7, exercices 6, 8 et 9.
27/09 : Fiche 3 : exercices 1 à 3, Q1 de l'exo 4.
04/10 : Fiche 3 : fin de l'exo 4, exercices 5 à 7, 9 (sauf Q2c), 10 (sauf question 4).
11/10 : Fiche 3 : fin de l'exo 9, fin de l'exo 10, 11, 12 (sauf Q3), 13, 8. Fiche 4 : exercice 1 Q1 et 2 (uniquement pour la suite de fonctions (f_n))
18/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 1, exos 2, 4, 5, 7 et Q1 du 9.
25/10 : Fiche 4 : fin de l'exo 9, exos 6, 10, 11, Q1 du 15.
8/11 : Fiche 4 : fin de l'exo 15 et exo 14. Fiche 5 : exo 1 (Q1 et 2).
15/11 : Fiche 5 : exo1 Q3, exo 2 Q1 et q2 (reste du TD annulé)
Rattrapage du 15/11 : fiche 5 : fin de l'exo 2, exos 3, 4, 5 et 7.
22/11 : Fiche 5 : Q1 et Q2 de l'exo 9. Fiche 6 : exos 1, 2, 3 (Q1 et 2 seulement).
29/11 : Fiche 6 : exos 4 (sauf Q3 et Q6), 5, 6 (sauf Q6).

Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

30 aout 2023 (partie 1) :Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Chap.1 Groupe symétrique : définition d'un groupe, du groupe symétrique, cardinal, pour n supérieur à 3, le groupe symétrique n'est pas commutatif (preuve à connaître), cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions.
30 aout 2023 (partie 2) : Nombre d'inversions d'une signature, signature d'une permutation, signature d'une transposition (preuve à connaître), signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p. Chap.2 Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître).
4 septembre 2023 : Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes, effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées, déterminant d'un produit de matrices.
6 septembre 2023 : Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes), exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure par blocs.
13 septembre 2023 : Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice donne det(A) I_n, application au calcul d'inverse d'une matrice. Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation. Formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme : les matrices d'un endomorphisme ont toutes le même déterminant (preuve à connaître, la définition du déterminant d'un endomorphisme n'a pas encore été donnée).
18 septembre 2023 (partie 1) : Déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée). Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition, caractérisation d'une base, déterminant d'une famille d'images de vecteurs par un endomorphisme u en fonction du déterminant de u et de celui de la famille). Chap.3 - Réduction géométrique : Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels, lien avec l'intersection des sev, caractérisation à l'aide de la dimension (preuve à connaître), caractérisation à l'aide de la concaténation des bases respectives des sous-espaces, définition d'une base adaptée à la décomposition de l'espace en somme directe de sev.
18 septembre 2023 (partie 2) : Sous-espaces stables : définition, exemples, somme et intersection de sous-espaces stables (preuve à connaître). Si deux endomorphismes u et v commutent, leurs noyaux et images respectifs sont stables par u et v (preuve à connaître). Endomorphisme induit : définition, endomorphisme induit par une somme, une composée, noyau et image d'un endomorphisme induit. Caractérisation matricielle en dimension finie de la stabilité d'un sev, de plusieurs sev.
27 septembre 2023 : Éléments propres d'un endomorphisme : définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre. Les sous-espaces propres de u sont stables par tous les endomorphismes commutant avec u. Somme directe des sous-espaces propres, liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En dimension n, un endomorphisme admet au plus n valeurs propres distinctes. Exemples d'étude des éléments propres d'un endomorphisme en dimension infinie. Éléments propres d'une matrice carrée : définition de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. Lien entre le spectre d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base, idem avec les sous-espaces propres respectifs (en particulier, spectre et espaces propres de l'endomorphisme de M_{n,1}(K) canoniquement associé à une matrice A).
2 octobre 2023 (partie 1) : Deux matrices semblables ont même spectre. Polynôme caractéristique d'une matrice carrée (défini comme unitaire), coefficients remarquables du polynôme caractéristique (preuve à connaître), les valeurs propres d'une matrice sont exactement les racines dans K de son polynôme caractéristique (preuve à connaître), nombre maximal de valeurs propres d'une matrice de taille n, une matrice complexe possède au moins une valeur propre complexe. Matrice compagnon d'un polynôme unitaire P, son polynôme caractéristique est égal à P. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique (preuve à connaître), définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Traduction des résultats précédemment vus sur les matrices en terme d'endomorphismes.
2 octobre 2023 (partie 2) : Retour sur la définition de polynôme scindé/scindé à racines simples sur K. Définition des multiplicités algébriques et géométriques d'une valeur propre. La somme des multiplicités algébriques des valeurs propres est inférieure ou égale à la dimension de l'espace vectoriel, tout endomorphisme d'un C-ev possède exactement dim(E) valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise le polynôme caractéristique de u (démonstration à connaître), la multiplicité géométrique est supérieure à 1 et inférieure à la multiplicité algébrique. Diagonalisabilité : définition d'un endomorphisme diagonalisable (il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale), caractérisation équivalente avec l'existence d'une base formée de vecteurs propres, caractérisations équivalentes à l'aide des sous-espaces propres (E est la somme directe de ceux-ci/la somme de leurs dimensions vaut dim(E)/le polynôme caractéristique est scindé sur K et les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre sont égales).
11 octobre 2023 : Retour sur les caractérisations équivalentes de diagonalisabilité d'un endomorphisme. Condition suffisante de diagonalisabilité : \chi_u est scindé à racines simples sur K. Matrice diagonalisable : définition, lien avec la diagonalisabilité d'un endomorphisme associé, traduction matricielle des caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité vues sur les endomorphismes, explication de la méthode de diagonalisation et exemples rédigés de diagonalisation d'endomorphismes, de matrices. Trigonalisation : définition d'un endomorphisme trigonalisable (donnée avec une matrice triangulaire supérieure, puis explication du passage à une matrice triangulaire inférieure).
16 octobre 2023 (partie 1) : Une base (e_1,..,e_n) de E est une base de trigonalisation de u ssi les espaces vectoriels Vect(e_1,…,e_k) sont stables par u. Définition d'une matrice trigonalisable, lien entre matrice trigonalisable et endomorphisme trigonalisable. Un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur K, cas des endomorphismes d'un C-ev (resp. matrices complexes). Dans le cas trigonalisable, la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité est la trace,et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité le déterminant, exemple d'utilisation pour obtenir toutes les valeurs propres d'un endomorphisme de rang 1. Exemples de méthodes de trigonalisation sur des matrices de taille 3
16 octobre 2023 (partie 2) : Fin des exemples de méthodes de trigonalisation sur des matrices de taille 3. Endomorphismes nilpotents, caractérisations équivalentes d'un endomorphisme nilpotent : par l'existence d'une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure stricte, par le polynôme caractéristique. Version matricielle.
25 octobre 2023 : Chap. 4 : Réduction algébrique : définition de l'évaluation d'un polynôme en un endomorphisme, propriétés, polynômes d'endomorphismes. Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme et exemples, les valeurs propres d'un endomorphisme figurent parmi les racines des polynômes annulateurs (la démo est à savoir refaire), inclusion réciproque fausse, exemples, théorème de Cayley-Hamilton. Évaluation d'un polynôme en une matrice, exemples sur des matrices diagonales/triangulaires, propriétés des polynômes en une matrice, polynôme annulateur d'une matrice, lien avec les polynômes annulateurs d'un endomorphisme associé. Deux matrices semblables ont même polynômes annulateurs (preuve à connaître).
6 novembre 2023 (partie 1) : Version matricielle du théorème de Cayley-Hamilton. Polynôme minimal (défini comme l'unique polynôme annulateur unitaire de u de degré inférieur à celui de tout polynôme non nul annulateur de u), son degré est supérieur ou égal à 1, les polynômes minimaux d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base quelconque sont égaux, le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur (la preuve est à connaître), les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal. Lemme des noyaux et corollaire avec m polynômes 2 à 2 premiers entre eux.
6 novembre 2023 (partie 2) : Caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur, exemples, réduction d'un endomorphisme induit sur un sous-espace stable, application à la codiagonalisation de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent, version matricielle. Caractérisations équivalentes de la trigonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur.
15 novembre : CM annulé
Rattrapage du CM du 15 novembre : Toute matrice trigonalisable est semblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme lambda I + N où N est nilpotente, trigonalisabilité d'un endomorphisme induit. Chap. 5 - Applications de la réduction : puissances de matrices et d'endomorphismes dans le cas diagonalisable à l'aide de la diagonalisation, dans le cas trigonalisable, formule du binôme de Newton (pour des endomorphismes/matrices qui commutent), exemples explicites.
20 novembre (partie 1) : Retour sur la trigonalisation sous la forme d'une matrice diagonale par blocs précédemment vue et intérêt pour le calcul des puissances. Calculs de puissances à l'aide de la division euclidienne de X^k par un polynôme annulateur. Systèmes récurrents linéaires, exemple de résolution d'un système récurrent. Exponentielle de matrices : définition de la convergence d'une suite de matrices (par la convergence de chacun des coefficients), d'une série de matrice, la convergence absolue entraîne la convergence (j'ai utilisé la norme infinie pour la définition de la convergence absolue), convergence de la série de terme général A^k/k!, définition de exp(A). Exponentielle d'une somme de matrices lorsque celles-ci commutent, exp(P^{-1}AP) =P^{-1} exp(A)P, exemple de calculs (par diagonalisation, cas d'une matrice nilpotente, par utilisation d'un polynôme annulateur).
20 novembre (partie 2) : Définition de la dérivation d'une fonction à valeurs dans M_n(K), dérivation d'une somme, d'un produit, dérivabilité de l'application t→ exp(tA). Définition de l'exponentielle d'un endomorphisme u comme l'unique endomorphisme dont la matrice dans une base B est l'exponentielle de Mat_B(u). Systèmes différentiels homogènes X'(t)=AX(t) : la solution générale est t→ exp(tA) X_0, unicité d'un problème de Cauchy associé. Systèmes différentiels avec second membre X'(t)=AX(t)+V(t), la solution générale est la solution du système homogène à laquelle on ajoute une solution particulière.
25 novembre : Retour sur les systèmes différentiels avec second membre X'(t)=AX(t)+V(t), la solution générale est la solution du système homogène à laquelle on ajoute une solution particulière, méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière.