Lorenzo Brandolese (CM et TD)
Programme pour le partiel du 26 mars : Continuité uniforme. Intégrale de Riemann. Intégrales dépendant d'un paramètre et intégrales impropres. Suites et séries de fonctions.
Démonstrations à connaître pour le partiel : Théorème de Heine. Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable. Si f est intégrable alors la fonction intégrale F est lipschitzienne (et dérivable si f est continue). Théorème fondamental du calcul différentiel. Intégrales à paramètres : théorème de continuité et de dérivabilité sous l'intégrale, pour les intégrales sur [a,b]. Suites uniformément convergentes : la limite uniforme d'une suite de fonctions bornées/continues et bornée/continue. Dans un espace de Banach toute série normalement convergente est convergente. Convergence normale d'une série entière dans tout disque fermé contenu dans le disque de convergence.
Démonstrations à connaître pour l'examen : Les démonstrations exigées pour le partiel et en plus : Formule d'Hadamard pour le calcul du rayon de convergence. Formule de dérivation d'une série entière. Critère de développement en série entière. Développement en série entière des fonctions classiques. Méthode de variation de la constante pour une équation différentielle scalaire d'ordre 1. La solution générale d'une équation différentielle linéaire homogène, scalaire, d'ordre k (ou d'un système différentiel linéaire homogène avec k équations), est un espace vectoriel de dimension k. Méthode de construction de la solution générale d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre k à coefficients constants à partir des racines du polynôme caractéristique.