La présentation de la rentrée.
Note Colle : la moyenne des quatre meilleures notes. Une absence justifiée est automatiquement la note éliminée ; une absence injustifiée compte 0 et n'est pas éliminée.
Note DS : la moyenne des quatre notes (Peip) ou huit notes (CUPGE). Une absence justifiée est neutralisée (dans la limite de 50% des notes) ; une absence injustifiée compte 0.
Note Algèbre 1 : 40% note colle, 60% note DS.
Note Analyse 1 : 40% note colle, 60% note DS.
Seconde chance : Épreuves de 90 minutes séparément en algèbre et en analyse qui portent sur tout le programme. La note de la seconde chance remplace les deux pires notes de DS en PeiP, et les quatre pire notes de DS en CUPGE. Toute absence est automatiquement remplacée (das la limite de deux (PeiP) / quatre (CUPGE) absences). La participation est facultative, sauf en cas d'une absence lors des DS ; dans ce cas elle est obligatore.
Vous aurez une colle de maths environ toutes les deux semaines, le lundi ou mardi soir à 17h30 ou 18h30, d'une durée d'une heure.
Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.
Début des colles : La semaine du 21 septembre.
Colloscope A consulter régulièrement. Les colles peuvent être modifiées à tout moment.
Enseignant : Frank Wagner (mél, web)
Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)
Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.
Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes arithmétiques, sommes géométriques. Raisonnement par l’absurde, par contradiction, par récurrence (simple, double ou forte).
Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien, coefficients binomiaux.
Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).
Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.
Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert-Gauss (admis).
Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.
Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.
Suites réelles : Propriétés de R, inégalités réelles. Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).
Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.
Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.
2 septembre : [Hors livre] Applications réelles, ensemble de départ (domaine), ensemble d'arrivée, graphe, opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale. Application injective, surjective, bijective (définition et exemples, caractérisation de l'injectivité), application réciproque, graphe de l'application réciproque comme symétrique par rapport à la diagonale y=x. Composition d'applications. Associativité de la composition. Exemples.
Quelques liens :Fonctions Graphes Opérations sur les graphes, composition Injectivité, surjectivité
Dérivation : définition de la dérivée à un point, de la fonction dérivée. Règles de dérivation : puissances, somme, produit, quotient, composée (sans démonstration). Calcul de la dérivée de 1/f et de f-1 (pour f bijective), en utilisant la formule de la dérivée d'une composition (g°f)'=(g'°f)f'.
[Annexe A1, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe. Démonstration par contraposée, démonstration par l'absurde. Récurrence (simple), récurrence avec initialisation à un entier relatif.
3 septembre : [Annexe A1, Chapitre 8.1] Récurrence forte. Exemples. Notations pour la somme et pour le produit, exemples. Somme des n premiers entiers naturels. Règles pour la somme et le produit. Sommes et produits doubles ; somme sur un rectangle, sur un triangle.
7 septembre : [Chapitre 4] Fonctions usuelles. Logarithme néperien, exponentielle néperienne et leurs propriétés. Logarithme et exponentielle de base 0<a≠1. Puissances réelles ; leurs propriétés, dérivées, limites. Croissances comparées. Fonctions trigonométriques.
9 septembre : [Chapitre 4] Fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hyperboliques et leurs propriétés.
14 septembre : [Chapitre 4] Fonction hyperboliques réciproques. Formules explicites. Asymptotes affines, calcul d'une asymptote affine. Etude d'une fonction. [Annexe A1, A3] Bases de logique. Propositions, connecteurs booléens (négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Equivalences usuelles (double négation, associativité, commutativité, distributivité, lois de Morgan). Exemples. Quantificateurs, variables liés, variables libres. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur, exemples.
16 septembre : [Annexe A2] Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Non-existence de l'ensemble de tous les ensembles. Complément d'un ensemble par rapport à un ensemble ambiant. Règles de calcul ensemblistes. Produit cartésien, ensemble de parties, ensemble des fonctions de X vers Y.
21 septembre : [Annexe A2] Ensemble des parties, ensemble des fonction de X vers Y. [Annexe A4] Applications abstraites : ensemble de départ (domaine), ensemble d'arrivée, image, graphe. Composition, associativité de la composition. Image directe, image réciproque. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Critère d'injectivité: f(x)=f(x') implique x=x'. Caractérisation par réciproque à gauche (injectivité), réciproque à droite (surjectivité), réciproque (bilatérale) (bijectivité). Propriétés: f et g injectifs/surjectifs implique g•f injectif/surjectif ; g•f injectif/surjectif implique f injectif/g surjectif. [Hors livre] Définition d'une relation sur un ensemble. Réflexivité, antiréflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Exemples. Définition d'une relation d'équivalence, d'un ordre (partiel), d'un ordre total, d'un ordre stricte. Exemples. Eléments maximaux/minimaux, plus grand/plus petit élément, majorant et minorant d'une partie d'un ensemble ordonné.
23 septembre : [Hors livre] Incomparabilité des éléments maximaux/minimaux. Unicité d'un plus grand/petit élément. Relations d'équivalence, classe d'un élément modulo une relation d'équivalence. Exemples. Partitions; relation d'équivalence induite d'une partition, partition induite d'une relation d'équivalence. Cardinalité, équipotence. Non-existence d'une surjection X → P(X). Théorème de Schröder-Bernstein. [Chapitre 8.2-8.4] Ensembles finis.
28 septembre : [Chapitre 8.2-8.4] Principe des tiroirs. Cardinal d'une réunion, d'un produit cartésien, d'un ensemble de fonctions. p-listes, p-arrangements, p-combinaisons. Nombre de p-listes, de p-arrangements et de p-combinaisons d'un ensemble de cardinal n. Coefficients binomiaux, formule du binome de Newton. [Chapitre 9] Le corps ordonné des réels. Axiomes d'un groupe abélien, d'un corps, exemples.
30 septembre : [Chapitre 9] Axiome d'un corps ordonné. Valeur absolue, inégalités triangulaires. Axiome de la borne supérieure, caractérisation de la borne supérieure. Archimédianité de R, partie entière, densité de Q dans R.
5 octobre : Densité de Q dans R (démonstration). La droite numérique achevée. [Chapitre 10] Suites réelles : définition, exemples. Opérations sur les suites : somme, produit scalaire, produit. Suites majorées, minorées, bornées, (strictement) croissantes/décroissantes, monotones, constantes. Convergence d'une suite, divergence vers ∞ ou -∞, limite réelle, limite dans la droite réelle achevée. Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, réciproque, quotient. Inégalités sur les suites, théorème des gendarmes. Caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Suites monotones, convergence dans la droite réelle achevée.
7 octobre : Suites extraites ; critère de divergence, critère de convergence. Suites adjacentes, théorème de convergence, théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème de Ramsey (démonstration hors programme). Suites géométriques ; comparaison de deux suites strictement positives. Comparaison d'une suites avec une suite géométrique, critère de convergence vers 0 ou divergence vers ∞.
12 octobre : [Chapitre 10] Théorème de Ramsey (démonstration hors programme). Suites géométriques ; comparaison de deux suites strictement positives. Comparaison d'une suites avec une suite géométrique, critère de convergence vers 0 ou divergence vers ∞. [Chapitre 1] Les nombres complexes : motivation par la formule de Cardano d'une racine d'une équation de troisième degré.
Construction de C. Forme algébrique d'un nombre complexe, partie réelle, partie imaginaire. Représentation d'Argand, affixe d'un point de R2, image d'un nombre complexe. Conjugaison complexe. Module, argument, inégalités triangulaires. Forme trigonométrique d'un nombre complexe. Interprétation géométrique de l'addition et de la multiplication. Le groupe U des complexes de module 1. Exponentielle imaginaire, forme exponentielle d'un nombre complexe. Relation d'Euler, formules d'Euler, formule de Moivre. Factorisation par angles moitiés.
14 octobre: [Chapitre 1] Exponentielle complexe. Le Groupe des racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes primitives de l'unité. Expression comme exp(i2πk/n) avec k=0,…,n-1. Représentation sur le cercle U. Racines n-ièmes d'un nombre complexe sous forme exponentielle. Calcul d'une racine carrée d'un nombre complexe sous forme algébrique, résolution d'une équation de second degré à coefficients complexes. Nombres complexes et géométrie plane : distance, angles et argument. Transformations du plan complexe : translations, rotations, homothéties. Le groupe non-commutatif des similitudes directes. Détermination d'une similitude directe par point fixe. Similitudes indirectes. Le groupe non-commutatif des similitudes.
19 octobre : [Chapitre 11] Fonctions réelles d'une variable. Opérations sur les fonctions (somme, produit, multiple scalaire, valeur absolue, sup, inf). Fonctions majorées, minorées, bornées ; extrema, extrema locaux. Monotonie (stricte). Parité, périodicité. Fonctions lipschitziennes, préservation par combinaison linéaire et valeur absolue; non-préservation par produit, exemples. Adhérence, voisinages. Limite (dans la droite réelle achévée) d'une fonction en un point de l'adhérence de son domaine (définition par voisinages et par ε-δ). Caractérisation séquentielle de la limite (démonstration à faire).
21 octobre : [Chapitre 11] Caractérisation séquentielle de la limite (démonstration). Unicité de la limite. Existence d'une limite finie implique localement borné. Théorème de majoration. Opérations algébriques sur les limites (somme, produit, valeur absolue, réciproque, quotient). Composition de limites, continuité de la composition de deux applications. Passage à la limite dans les inégalités, théorème des gendarmes. Limites unilatérales, continuité unilatérale. Existence d'une limite ssi limite à gauche = valeur = limite à droite.
2 novembre : [Chapitre 11] Prolongement par continuité. Continuité globale, propriétés. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Théorème de la bijection monotone continue. [Chapitre 20] Arithmétique : Relation de divisibilité; la divisibilité comme ordre (partiel) sur N avec minimum 1 et maximum 0. Congruences.
4 novembre : [Chapitre 20] Arithmétique.
Pour le 9 septembre : Feuille 1, exercices 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11.
Pour le 11 septembre : Feuille 1, exercices 16, 17. Feuille 2 exercices 1, 2, 5, 6, 7 (nos 2,3).
Pour le 16 septembre : Feuille 1, exercice 13, 14. Feuille 2 exercices 8, 9, 10, 11 (nos 2,3,8), 13, 15.
Pour le 18 septembre : Feuille 3, exercices 1a, 4, 8b, 9b,c, 10b,c, 11, 12, 15.2.
Pour le 23 septembre : Feuille 3, exercices 16, 18c, 19, 20. Feuille 4: exercices 1, 2, 3, 4(1,3).
Pour le 25 septembre: Feuille 4: exercices 6, 7, 9, 10, 12, 18, 19.
Pour le 30 septembre: Révisions pour le DS1, par exemple le DS1 de 2025 (voir Archive plus bas).
Pour le 2 octobre: Feuille 5: exercices 1, 3, 6, 8, 11, 12.
Pour le 7 octobre: TD annulé.
Pour le 9 octobre: Feuille 5: exercices 14, 15, 16, 18 (choisir quelques exemples), 19, 21, 22.
Pour le 14 octobre: Feuille 5: exercice 24. Feuille 6: 1, 2, 3, 4, 5.
Pour le 16 octobre: TD annulé
Pour le 19 octobre: Feuille 6: exercices 6, 7, 8, 10 (choisir quelques examples), 16.
Pour le 21 octobre: Révisions pour le DS2.
Pour le 23 octobre: Feuille 6: exercices 14, 15, 17, 18. Feuille 7: exercices 1, 2, 3.
Pour le 4 novembre: Feuille 7: exercices 4 à 10 et 12 à 15.
Pour le 6 novembre: TD annulé.
Pour le 9 novembre: Feuille 7: exercices 16 à 23.
Groupe P1 (Eveline Legendre) :
Groupe P2 (Benjamin Texier) :
Groupe P3 (Anthony Poels) :
Groupe P4 (Véronique Battie) :
Groupe P5 (Fabienne Oudin-Dardun) :
DS1: Mercredi 30/9 15h45-17h15
Programme DS1 : Récurrence, sommes et produits. Fonctions usuelles : polynomiales, logarithme, exponentielle, puissances, trigonométriques, hyperboliques et leurs réciproques. Croissances comparées. Étude de fonctions. Sujet Correction
DS1 Cupge: Mercredi 7/10 15h45-17h15
Programme : Le même que le DS1. Sujet Corrigé
DS2 Cupge: Mercredi 21/10 15h45-17h15
Programme DS2 Cupge: Bases de logique, ensembles, ensembles finis, applications abstraites, relations, ordres, les réels, suites réelles. Sujet Corrigé
DS2: Mercredi 4/11 17h30 - 19h
Noms A-G + tiers-temps amphi ISTIL.
Noms H-Z amphi Marie Curie.
Soutien 15h45-17h15 amphi Marie Curie.
Programme : Le même que le DS2 Cupge.
DS3: Mercredi 25/11 15h45-17h15
Programme :
DS3 Cupge: Mercredi 2/12 15h45-17h15
Programme :
DS4 : Semaine du 14/12
Programme :
DS4 Cupge : Semaine du 14/12
Programme :
E2C Algèbre 1 : Semaine du 4/1 ou 11/1
E2C Analyse 1 : Semaine du 4/1 ou 11/1
Programme : Tout.