La présentation de la rentrée.
Note Colle : la moyenne des quatre meilleures notes. Une absence justifiée est automatiquement la note éliminée ; une absence injustifiée compte 0 et n'est pas éliminée.
Note DS : la moyenne des quatre notes (Peip) ou huit notes (CUPGE). Une absence justifiée est neutralisée (dans la limite de 50% des notes) ; une absence injustifiée compte 0.
Note Algèbre 1 : 40% note colle, 60% note DS.
Note Analyse 1 : 40% note colle, 60% note DS.
Seconde chance : Épreuves de 90 minutes séparément en algèbre et en analyse qui portent sur tout le programme. La note de la seconde chance remplace les deux pires notes de DS en PeiP, et les quatre pire notes de DS en CUPGE, absences injustifiées exclues. Une absence justifiée est automatiquement remplacée.
Vous aurez une colle de maths environ toutes les deux semaines, le lundi ou mardi soir à 17h30 ou 18h30, d'une durée d'une heure.
Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.
Début des colles : La semaine du 22 septembre.
Colloscope A consulter régulièrement. Les colles peuvent être modifiées à tout moment.
Enseignant : Frank Wagner (mél, web)
Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)
Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.
Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes arithmétiques, sommes géométriques. Raisonnement par l’absurde, par contradiction, par récurrence (simple, double ou forte).
Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien, coefficients binomiaux.
Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).
Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.
Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert-Gauss (admis).
Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.
Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.
Suites réelles : Propriétés de R, inégalités réelles. Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).
Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.
Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.
3 septembre : [Hors livre] Applications réelles, ensemble de départ (domaine), ensemble d'arrivée, graphe, opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale. Application injective, surjective, bijective (définition et exemples, caractérisation de l'injectivité), application réciproque, graphe de l'application réciproque comme symétrique par rapport à la diagonale y=x. Composition d'applications. Associativité de la composition. Exemples.
Quelques liens :Fonctions Graphes Opérations sur les graphes, composition Injectivité, surjectivité
Dérivation : définition de la dérivée à un point, de la fonction dérivée. Règles de dérivation : somme, produit, composée (sans démonstration). Calcul de la dérivée de 1/f et de f-1 (pour f bijective), en utilisant la formule de la dérivée d'une composition (g°f)'=(g'°f)f'.
[Annexe A1, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe. Démonstration par contraposée, démonstration par l'absurde. Récurrence (simple), récurrence avec initialisation à un entier relatif.
4 septembre : [Annexe A1, Chapitre 8.1] Démonstration par cas. Récurrence double, récurrence forte. Exemples. Notations pour la somme et pour le produit, exemples. Somme des n premiers entiers naturels, factorielle, somme arithmétique, somme géométrique. Règles pour la somme et le produit. Sommes et produits doubles ; somme sur un triangle.
8 septembre : Sommes et produits doubles. [Chapitre 4] Fonctions usuelles. Logarithme néperien, exponentielle néperienne et leurs propriétés. Logarithme et exponentielle de base 0<a≠1. Puissances réelles ; leurs propriétés, dérivées, limites. Croissances comparées. Fonctions trigonométriques.
10 septembre : cours annulé (fermeture des amphis).
15 septembre : [Chapitre 4] Fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hyperboliques, fonctions hyperboliques réciproques et leurs propriétés. Formules explicites. Fonction asymptote en ±∞ à une autre fonction, asymptotes affines. Etude d'une fonction.
17 septembre : [Annexe A1, A3, A2] Bases de logique. Propositions, connecteurs booléens (négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Lois de de Morgan. Exemples. Quantificateurs, variables liés, variables libres. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur, exemples.
22 septembre : [Annexe A2, A4] Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Non-existence de l'ensemble de tous les ensembles. Complément d'un ensemble par rapport à un ensemble ambiant. Règles de calcul ensemblistes. Produit cartésien, ensemble de parties, ensemble des fonctions de X vers Y.
[Annexe A4] Applications abstraites : ensemble de départ (domaine), ensemble d'arrivée, image, graphe. Composition, associativité de la composition. Image directe, image réciproque. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Critère d'injectivité: f(x)=f(x') implique x=x'. Caractérisation par réciproque à gauche (injectivité), réciproque à droite (surjectivité), réciproque (bilatérale) (bijectivité). Propriétés: f et g injectifs/surjectifs implique g•f injectif/surjectif ; g•f injectif/surjectif implique f injectif/g surjectif.
24 septembre : [Hors livre] Définition d'une relation sur un ensemble. Réflexivité, antiréflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Exemples. Définition d'une relation d'équivalence, d'un ordre (partiel), d'un ordre total, d'un ordre stricte. Exemples. Eléments maximaux/minimaux, plus grand/plus petit élément, majorant et minorant d'une partie d'un ensemble ordonné. Incomparabilité des éléments maximaux/minimaux.
29 septembre : Unicité d'un plus grand/petit élément. [Chapitre 8.2-8.4] Ensembles finis. Cardinal, équipotence (pour ensembles finis ou infinis). Principe des tiroirs. Cardinal d'une réunion, d'un produit cartésien, d'un ensemble de fonctions.
1 octobre : [Chapitre 8.2-8.4] p-listes, p-arrangements, p-combinaisons. Nombre de p-listes, de p-arrangements et de p-combinaisons d'un ensemble de cardinal n. Coefficients binomiaux, formule du binome de Newton. [Chapitre 9] Le corps ordonné des réels. Axiomes d'un groupe abélien, d'un corps, d'un corps ordonné, exemples. Valeur absolue, distance, inégalités triangulaires.
6 octobre : [Chapitre 9] Axiome de la borne supérieure, caractérisation de la borne supérieure. Intervalles. La droite numérique achevée. Archimédianité de R, partie entière, densité de Q dans R. [Chapitre 10] Suites réelles : définition, exemples. Opérations sur les suites : somme, produit scalaire, produit. Suites majorées, minorées, bornées, (strictement) croissantes/décroissantes, monotones, constantes. Convergence d'une suite, limite réelle. Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, réciproque, quotient. Inégalités sur les suites, théorème des gendarmes. Caractérisation séquentielle de la borne supérieure.
8 octobre : Suites divergentes vers ∞ ou -∞ ; convergence dans la droite réelle achevée et opérations sur les limites. Théorème du gendarme. Suites monotones, convergence dans la droite réelle achevée. Suites extraites ; critère de divergence, critère de convergence. Suites adjacentes, théorème de convergence, théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème de Ramsey (démonstration hors programme).
13 octobre : [Chapitre 10] Suites géométriques ; comparaison de deux suites strictement positives. Comparaison d'une suites avec une suite géométrique, critère de convergence vers 0 ou divergence vers ∞. [Chapitre 1] Les nombres complexes : motivation par la formule de Cardano d'une racine d'une équation de troisième degré.
Construction de C. Forme algébrique d'un nombre complexe, partie réelle, partie imaginaire. Conjugaison complexe. Module, argument, inégalités triangulaires. Représentation d'Argand, affixe d'un point de R2, image d'un nombre complexe. Interprétation géométrique de l'addition et de la multiplication. Forme trigonométrique d'un nombre complexe. Exponentielle imaginaire, forme exponentielle d'un nombre complexe. Relation d'Euler, formules d'Euler, formule de Moivre. Factorisation par angles moitiés. Le groupe U des complexes de module 1. Exponentielle complexe.
15 octobre : [Chapitre 1] Le Groupe des racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes primitives de l'unité. Expression comme exp(i2πk/n) avec k=0,…,n-1. Représentation sur le cercle U. Racines n-ièmes d'un nombre complexe sous forme exponentielle. Calcul d'une racine carrée d'un nombre complexe sous forme algébrique, résolution d'une équation de second degré à coefficients complexes. Nombres complexes et géométrie plane : distance, angles et argument. Transformations du plan complexe : translations, rotations, homothéties. Le groupe non-commutatif des similitudes directes. Détermination d'une similitude directe par point fixe. Similitudes indirectes. Le groupe non-commutatif des similitudes.
20 octobre : TD 11h30 - 13h.
22 octobre : Pas de cours.
3 novembre : [Chapitre 11] Fonctions réelles d'une variable. Opérations sur les fonctions (somme, produit, multiple scalaire, valeur absolue, sup, inf). Fonctions majorées, minorées, bornées ; extrema, extrema locaux. Monotonie (stricte). Parité, périodicité. Fonctions lipschitziennes, préservation par combinaison linéaire et valeur absolue, exemples. Adhérence, voisinages. Limite (dans la droite réelle achévée) d'une fonction en un point de l'adhérence de son domaine (définition ε-δ). Caractérisation par voisinages et séquentielle de la limite. Unicité de la limite. Existence d'une limite finie implique localement borné. Théorème de majoration. Opérations algébriques sur les limites (somme, produit, valeur absolue, réciproque, quotient).
5 novembre : [Chapitre 11] Fonctions réelles d'une variable. Composition de limites, continuité de la composition de deux applications. Passage à la limite dans les inégalités, théorème des gendarmes. Limites unilatérales, continuité unilatérale. Existence d'une limite ssi limite à gauche = valeur = limite à droite. Prolongement par continuité. Continuité globale, propriétés. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI).
10 novembre : [Chapitre 11] Théorème de la bijection monotone continue. [Chapitre 20] Arithmétique : Relation de divisibilité; la divisibilité comme ordre (partiel) sur N avec minimum 1 et maximum 0. Congruences, système complet de restes modulo n. Théorème d'Euclide, division euclidienne, pgcd, ppcm. Théorème de Bézout. Algorithme d'Euclide. Lemme de Gauss.
12 novembre : [Chapitre 20] Calcul des coefficients de Bézout. Propriétés et caractérisation du ppcm et du pgcd. Nombres premiers : Définition, existence d'une infinité de nombres premiers.
Algorithme d'Euclide et calcul des coefficients de Bézout
17 novembre : [Chapitre 20] Décomposition unique en nombres premiers. Caractérisation de la divisibilité, du pgcd et du ppcm par décomposition en facteurs premiers. Résolution de l'équation diophantienne ax + by = n. Résolution de la congruence ax≡b mod n. Résolution du système de congruences x≡a mod n et x≡b mod k. Petit théorème de Fermat.
Congruences Petit Théorème de Fermat
[Chapitre 12] Dérivation : taux d'accroissement, dérivée en un point (à gauche, a droite). Interprétation géométrique. Dérivable implique continue. Opérations sur les dérivées : dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, de la réciproque multiplicative, d'un quotient, d'une composition, d'une fonction réciproque de fonctions dérivables. Théorème de Rolle.
19 novembre : [Chapitre 12] Fonctions réelles dérivables. Théorème des accroissements finis (TAF), inégalité des accroissements finis. Dérivée bornée implique lipschitzienne. Caractérisation de la monotonicité (stricte) par dérivée positive/négative (stricte). [Hors livre] Compléments analytiques : Théorème de Darboux, deuxième théorème des accroissements finis (Théorème de la moyenne de Cauchy), Règle de l'Hôpital.
24 novembre : [Chapitre 12] Théorème du prolongement dérivable. [Hors livre] Théorème de Taylor-Lagrange.
[Chapitre 12] Dérivées successives, fonctions de classe Cn. Opérations sur les classes Cn : clôture par combinaison linéaire, produit, composition. Formule de Leibniz. Fonctions convexes et concaves, lemme des trois pentes, caractérisation de la convexité par dérivée croissante, ou deuxième dérivée positive.
26 novembre : [Chapitre 21] Polynômes : définition, ensemble K[X] des polynômes avec coefficients dans K. Addition, multiplication et composition de polynômes. Degré, valuation, terme dominant, coefficient dominant. Propriétés deg(P+Q)≤max{deg P, deg Q}, deg(PQ) = deg P + deg Q, val(P+Q)≥min{val P, val Q}, val(PQ)=val P + val Q, deg(P°Q) = deg P ⋅ deg Q. Divisibilité de polynômes, polynômes associés.
1er décembre : [Chapitre 21] Division euclidienne de polynômes, algorithme d'Euclide pour les polynômes. Identité de Bézout pour les polynômes, coefficients de Bézout. Lemme de Gauss. Pgcd et ppcm, propriétés. Polynômes irréductibles. Décomposition en polynômes irréductibles (existence et unicité). Caractérisation de la divisibilité, du pgcd et du ppcm par factorisation en polynômes irréductibles.
3 décembre : [Chapitre 21] Racines (zéros) d'un polynôme, caractérisation par la divisibilité de P par X-α. Un polynôme non-nul de degré d a au plus d racines. Fonction polynomiale fP associé à un polynôme P; injectivité de la fonction P→fP pour un corps infini, contre-exemple pour un corps fini. Caractéristique d'un corps (seulement définition). Racines multiples, caractérisation. Polynôme dérivé, dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit. Dérivés successives, formule de Leibniz, formule de Taylor pour les corps de caractéristique 0 (démonstration à faire).
10 décembre : [Chapitre 21]. Formule de Taylor (démonstration). Caractérisation d'une racine n-ème a de P par P(a)=P'(a)=…=P(n-1)(a)=0 et Pn(a)≠0. Polynômes scindés ; fonctions symétriques, relation entre les racines et les coefficients d'un polynômes scindé. Théorème fondamental de l'algèbre (démonstration hors programme), polynômes irréductibles sur C, polynômes irréductibles sur R. Factorisation des polynômes complexes et réels.
feuille1_rappels_et_fonctions.pdf correction_feuille1_rappels_et_fonctions.pdf
feuille_2_recurrence-somme-produit.pdf feuille_2_correction_recurrence-somme-produit.pdf
feuille_3_fonctions_usuelles.pdf feuille3_fct_usuelles_correction.pdf
feuille_4_logique.pdf feuille_4_logique_correction.pdf
feuille5_ensembles.pdf feuille5_ensemblecorrection.pdf
Feuille 6 nombres et suites réelles corrigé feuille 6
Feuille 7 nombres complexes corrigé feuille 7
Feuille 8 continuite corrigé feuille 8
Feuille 9 arithmétique corrigé feuille 9
Pour le 10 septembre : TD annulé
Pour le 12 septembre : Feuille 1, exercices 1-9.
Pour le 17 septembre : Feuille 2, exercices 1,2,5,6, 7 (nos 2,3), 11 (nos 2,3,8), 13, 15.
Pour le 19 septembre : Feuille 1, exercices 10, 11, 13, 14.1, 15, 17, 18.
Pour le 24 septembre : Feuille 3, exercices 1a, 4, 8b, 9b,c, 10b,c, 11, 12, 15.2
Pour le 26 septembre : Feuille 3 exercices 16, 17.1, 18.a, 19, 20, 21. Feuille 4 exercices 1.1, 2, 3.1, 4.1,3,4, 6.
Pour le 1 octobre : Révision pour le DS1.
Pour le 3 octobre : Feuille 4, exercices 7, 8, 11, 12, 13, 18, 19.
Pour le 8 octobre : Feuille 5, exercices 3, 5, 6, 19, 22, 23, 24, 25, 26 (nos. 1,2).
Pour le 10 octobre : Feuille 5, exercices 8, 11, 12, 13, 15, 16, 26 (nos. 3,4,5)
Pour le 15 octobre : Feuille 6 exercices 1 à 8.
Pour le 17 octobre : Feuille 6 exercices 10, 14, 15, 16, 17, 18, 21.
20 octobre : TD exceptionnel 11h30 - 13h. Correction DS1 et exercices du 17 octobre.
Pour le 22 octobre : Feuille 6 exercices 22 - 26.
Pour le 24 octobre : Feuille 7, exercices 1-10.
Pour le 5 novembre : Révision pour le DS2.
Pour le 7 novembre : Feuille 7, exercices 12 - 20.
Pour le 12 novembre : Feuille 7, Feuille 7, exercices 21-32.
Pour le 14 novembre : Feuille 7, exercices 34, 35, 36, 39, 40, 41.
Pour le 19 novembre : Feuille 8, exercices 1-8.
Pour le 21 novembre : Feuille 8, exercices 9-12.
Pour le 26 novembre : Révision pour le DS3. DS3 Cupge 2024 Exo 4, DS4 2024 Exo 1 et 3, DS4 Cupge 2024 Exo 1 et 3.
Pour le 28 novembre : Feuille 9, exercices 1-8.
Pour le 3 décembre : Feuille 9, exercices 9-18.
Pour le 5 décembre : Feuille 9, exercices 19-24.
Pour le 8 décembre : Feuille 10, exercices 1-5.
Pour le 10 décembre : Feuille 10, exercices 6-10.
Pour le 12 décembre : Feuille 11, exercices 1 à 10.
Pour le 15 décembre : Feuille 11, exercices 13, 15, 23, 27, 29, 32, 33b) et d), 37.
Pour le 17 décembre : Révision DS4. CF Algèbre 23/24 exos 3 et 4, CF Analyse 23/24 exo 4, DS4 Cupge 24/25 exos 2,4,5.
Groupe P1 (Eveline Legendre)
Groupe P2 (Benjamin Texier):
Groupe P3 (Anthony Poels)
Groupe P4 (Fabienne Oudin-Dardun/Jiang Zeng)
Groupe P5 (Jiang Zeng/Fabienne Oudin-Dardun)
DS1: Mercredi 1/10 15h45-17h15
Programme DS1 : Récurrence, sommes et produits. Fonctions usuelles : polynomiales, logarithme, exponentielle, puissances, trigonométriques, hyperboliques et leurs réciproques. Croissances comparées. Étude de fonctions. Sujet Corrigé
DS1 Cupge: Mercredi 8/10 15h45-17h15
Programme : Le même que pour le DS1. Sujet Corrigé
DS2: 5/11 Mercredi 15h45-17h15
Programme DS2 : Bases de logique, ensembles, ensembles finis, applications abstraites, relations, ordres, les réels, suites réelles. Sujet Corrigé
DS2 Cupge: Mercredi 12/11 15h45-17h15
Programme : Le même que pour le DS2. Sujet Corrigé
DS3: 26/11 Mercredi 15h45-17h15
Programme : Suites réelles, nombres complexes, fonctions continues, études de fonction. sujet DS3 corrige DS3
DS3 Cupge: Mercredi 3/12 15h45-17h15
Programme : Le même que pour le DS3. Sujet Corrigé
DS4 : Mercredi 17/12 15h45-17h15
Programme : Arithmétique, Dérivabilité, Polynômes.
DS4 Cupge : Jeudi 18/12 14h-15h30
Programme : Le même que pour le DS4. Sujet Corrigé
E2C: Algèbre 1 le 6/1 11h-12h30 et Analyse 1 le 7/1 11h-12h30
Programme : Tout.