Math III algèbre (printemps 2010)

dernier cours : le jeudi 3 juin

14h - 16h (14h - 16h 40 pour les étudiants avec tiers-temps) thémis 11

programme : tout le cours, tous les t.d., tous les t.p.

documents interdits.

Consultation des copies : vendredi 25 juin à 10h : amphi Jordan

sujet avec barème : sujet2.pdf

notes : notes-tp-ct.pdf

de 10h à midi en thémis 9

(documents interdits)

notes sur tomuss (colonne APO_CP) ou ici : notesdupartiel.pdf

consultation des copies : JEUDI 29 AVRIL (après le cours 12h-12h15)

sujet.pdf corrige.pdf

les vendredis 23 avril, 7 mai et 4 juin aux horaires des T.D.

groupe A : ariane 11-12 groupe B : ariane 13-14

• Cours : jeudi, 10h-midi, thémis 9.
• T. D. : vendredi, 13h45-17h
  • groupe A avec Rouchdi Bahloul, thémis 57 ;
  • groupe B avec Hilarion Faliharimalala, déamb. mezz. 8.

Parmi les 12 séances de T. D., 3 seront des T. P. avec le logiciel sage.

• Khôlles : jeudi 7h45-9h45 (le vendredi 4juin : 17h15-19h15)
  • K1 : avec Hilarion Faliharimalala (heritianamihanta[arroba]yahoo.fr), thémis 39 ;
  • K2 : avec Erwan Hingant (hingant[arroba]math.univ-lyon1.fr), thémis 47 ;
  • K3 : avec Jean Savinien (savinien[arroba]math.univ-lyon1.fr), Grignard 5 ;
  • K4 : avec Marc Chamarie (chamarie[arroba]math.univ-lyon1.fr), Omega H ;
  • K5 : avec Alexis Tchoudjem (tchoudjem[arroba]math.univ-lyon1.fr, thémis 55 (rdc)).

Les convocations aux khôlles sont individuelles et sont visibles sur http://tomuss.univ-lyon1.fr (au total : 4 khôlles par étudiant)

note finale = 0,2 x (moyenne des 4 khôlles) + 0,1 x (note de T. P.) + 0,3 x (partiel) + 0,4 x (examen final)

révisions de math-II-algèbre, rang d'une matrice (définition, calcul), matrices inversibles, calcul de l'inverse d'une matrice en résolvant un système, multiplication des matrices

révisions de math-II-algèbre, rang d'une matrice (définition, calcul), matrices inversibles, calcul de l'inverse d'une matrice en résolvant un système, multiplication des matrices, déterminants 2 x 2 et 3 x 3, formules de changement de base, matrice d'un endomorphisme dans une base donnée

rang d'une matrice, calcul de l'inverse d'une matrice 2 x 2 ou 3 x 3, calculs de déterminants en développant par rapport à une ligne/colonne, matrices d'un endomorphisme dans une base

vecteurs propres, valeurs propres, spectre d'une matrice ou d'un endomorphisme, polynôme caractéristique

vecteurs, valeurs, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes/matrices diagonalisables

vecteurs, valeurs, espaces propres, diagonalisation, polynômes d'endomorphismes, de matrices, polynôme minimal

polynôme minimal, critère de diagonalisabilité, polynômes annulateurs, sous-espaces caractéristiques, diagonalisation

polynôme minimal, critère de diagonalisabilité, polynômes annulateurs, sous-espaces caractéristiques, diagonalisation, projecteurs spectraux, décomposition diagonalisable + nilpotent

matrices de Jordan, décomposition diagonalisable + nilpotent, calcul des puissances d'une matrice, résolution des suites définies par une récurrence linéaire, sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux

projecteurs spectraux, calculs d'exponentielles de matrices, équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants

projecteurs spectraux, calculs d'exponentielles de matrices, équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants, matrices orthogonales

Définitions, opérations (addition, multiplication par un scalaire, multiplication de 2 matrices)

• I Matrices carrées

Structure de K-algèbre, matrice identité, matrices inversibles, définition du groupe général linéaire GL_n(K), transposée.

• II Exemples d'applications
• III Lien avec les systèmes linéaires

Matrices échelonnées, rang d'une matrice = rang de ses lignes = rang de ses colonnes

• IV Lien avec les applications linéaires

Noyau et Image d'une matrice, théorème du rang, matrice d'une application linéaire, formules de changement de bases : X=PX', A = PA'P^-1, matrices semblables.

• I déterminants 2 x 2 et 3 x 3
• II Définition générale

Déterminant des matrices triangulaires supérieures (4/3/10), caractérisation du déterminant (unique forme n-linéaire alternée qui envoie I_n sur 1), déterminant du produit

• III Comatrice, inverse d'une matrice, det A≠ 0 ⇔ A inversible, déterminant de Vandermonde
• IV Déterminant d'un endomorphisme

semblable ⇒ même déterminant

• I Sous-espaces invariants

Définition, restriction d'un endomorphisme (11/3/10)

• II Vecteurs propres

vecteurs propres, valeurs propres, spectre : définition

• III Polynôme caractéristique

définition de χ(X), spectre = ensemble des racines de χ(X), matrices compagnons, exemples (18/3/10)

• IV Espaces propres

définition, les espaces propres sont invariants, sont en somme directe, endomorphismes/matrices diagonalisables, n valeurs propres distinctes ⇒ diagonalisable, exemples : réflexions, projections, matrices symétriques 2 x 2, matrice de permutation circulaire

• V Un premier critère de diagonalisabilité

Rappels sur les polynômes : degré, multiplicité d'une racine ; multiplicités algébrique (m_a(λ) )et géométrique (m_g(λ)) d'une valeur propre (25/3/10) ; m_g(λ) ≤ m_a(λ) ; u diagonalisable ⇔ χ_u(X) scindé et ∀ λ , m_g(λ) = m_a(λ)

• VI Trigonalisation

u trigonalisable ⇔ χ_u(X) scindé ; trace et déterminant en fonction des valeurs propres

• Définitions

P(u),P(A)

• Polynôme minimal

définition ; m_u(X) divise tout polynôme annulateur (1/4/2010)

• Théorème de Cayley-Hamilton

énoncé, démonstration, λ valeur propre ⇔ m_u(λ) =0, u diagonalisable ⇔ m_u(X) scindé à racines simples

• Sous-espaces caractéristiques

définition : E^λ(u) := ker(u-λ)ⁿ, dim E^λ(u) = multiplicité de λ dans χ_u(X) (8/4/10) E = somme directe des E^λ(u) si χ_u(X) est scindé

• Projecteurs spectraux

définition, les projecteurs spectraux de u sont des polynômes en u

• Décomposition de Dunford-Jordan

u = d + n avec d diag., n nilpo., dn = nd, existence unicité, expression de d et n en fonction des projecteurs spectraux, méthode de calcul avec décomposition en éléments simples de 1/m_u(X)

• Réduction de Jordan

blocs de Jordan, sous-espaces cycliques (29/4/10), cas des matrices nilpotentes, forme réduite de Jordan : existence et unicité

• cas des matrices diagonalisables, cas général : formules avec les projecteurs spectraux, illustration : résolution des suites définies par une récurrence linéaire (6/5/10)

• exponentielle d'un nombre complexe
• suites de matrices : convergence coefficient par coefficient, définition d'une norme ||| A ||| telle que ||| AB||| ≤ |||A||| |||B|||
• Exponentielle d'une matrice, exp (A+B) = exp(A) exp(B) si AB =BA
• Calculs : avec les projecteurs spectraux
• Résolution d'équations différentielles linéaires avec les exponentielles de matrices

• définition des matrices orthogonales, produit scalaire et norme euclidienne standard sur Rⁿ, A orthogonale ⇔ ||AX|| = ||X|| pour tout X.
• réduction des matrices orthogonales : cas de O₂(R) et O₃(R)
• quaternions : définition, propriétés, paramétrisation de SO₃(R) par les quaternions de norme 1.

• Matrices polynomiales : GL_n(K[X]) = {A : det A ∈ K^*}, d₁(A) := pgcd des coefficients de A ; A, B équivalentes ⇒ d₁(A) = d₁(B).
• Réduction des matrices polynomiales : A équivalente à une matrice diagonale avec des polynômes P₁ | … | P_r .
• XI_n - A équivalente à XI_n - B ⇔ A semblable à B ; invariants de similitude : définition, propriétés : P₁ …P_r = pol. carac. de A, P_r = pol. min. de A ; A,B ont les mêmes invariants de similitude ⇔ A,B semblables. (3/6/10) : FIN DU COURS

notes-cours.pdf

Xavier Gourdon, Les maths en tête, Algèbre

Élie Azoulay, Jean Avignant, Mathématiques, tome 4, algèbre