FDM 1 (maths)

Cours de Nicolas Ressayre Amphi Math

Fondamentaux des mathématiques I

Cette page contient des informations relatives à l'UE Fondamentaux des mathématiques I, groupe MATH (séquences 5 et 1).

Pour les autres séquences, voir ici

Programme

Le programme de l'UE est disponible ici

Emploi du temps

L'UE se compose de 46h de cours magistraux, 64h de travaux dirigés et 24h d'études surveillées.
Les cours ont lieu le lundi matin (de 10h00 à 12h00) et le jeudi matin (de 10h00 à 12h00).
ATTENTION : pour des raisons de non disponibilité d'amphi, ces horaires sont susceptibles d'être modifiés. Seul ADE est fiable.
Les travaux dirigés ont lieu le mardi après-midi (3h) et le vendredi après-midi (2h30).
Les études surveillées (2h) sont organisées le lundi ou le jeudi matin, avant le cours. Deux enseignants y sont présents pour répondre aux questions sur les cours ou les TD. Il est fortement conseillé aux étudiants d'y assister.

Enseignants

Cours : M. Nicolas RESSAYRE mel

Travaux dirigés :

  • Groupe A : M Mete DEMERCIGIL mel
  • Groupe B : M Pascal LAINE mel
  • Groupe C : M Pierre LAVAURS mel

Études surveillées : M Pascal LAINE mel et M Jean-Michel BROCHET mel

Ressources

Le site Exo7 contient une grande base d'exercices (avec indications et corrections) ainsi que des éléments de cours pour les étudiants en mathématiques à l'université ou en classes préparatoires.
Des exercices corrigés et des annales d'examen sont également disponibles ici (voir notamment les rubriques Maths I Analyse, Maths I Algèbre et Fondamentaux des mathématiques I).
Livre recommandé : ce cours téléchargeable est une bonne référence couvrant toutes les mathématiques de première année.

Un superbe film de vulgarisation mathématique présentant les nombres complexes : Episode 1 et Episode 2

Modalités d'examen

L'UE comporte une partie de contrôle continu.

Calcul de la note finale d'UE :
           (Examen final)*30% + Partiel*30% +[Examen 1 + Examen 2 + Examen 3 + Max(Examen1, Examen2, Examen 3)]*10%

Une absence injustifiée à une épreuve donne une note de 0.
Une épreuve de rattrapage permettra de remplacer une absence justifiée.
Le service de la scolarité du premier cycle est habilité à décider de la validité d'une justification.

Polycopié de Cours

Un polycopié du cours est mis à votre disposition. Ce document est susceptible de contenir des erreurs (et sera sans doute corrigés à mesure) et doit s'accompagner d'un présence en cours. Plus précisément le cours complète, corrige (le cas échéant), illustre et explique le document ( CoursFdM1).

Travaux dirigés

Attention : les corrigés sont donnés à titre d'information mais n'ont pas été vérifiés.

Feuille de TD no 1 ( Calculs algébriques). Corrigé
Feuille de TD no 2 ( Applications). Corrigé
Feuille de TD no 3 ( Bases de logique). Corrigé
Feuille de TD no 4 ( Fonctions usuelles). Corrigé
Feuille de TD no 5 ( Nombres complexes). Corrigé
Feuille de TD no 6 ( Suites réelles). Corrigé
Feuille de TD no 7 ( Arithmétique). Corrigé
Feuille de TD no 8 ( Limites et continuité). Corrigé
Feuille de TD no 9 ( Polynômes). Corrigé
Feuille de TD no 10 ( Dérivabilité). Corrigé

Calendrier des Examens

Les dates inscrites sont celles des lundi. Certaines épreuves pourront être déplacées à un autre moment dans la même semaine.

Devoir Surveillé no 1 du jeudi 8 octobre ( Questions préparées et le Corrigé).

Devoir Surveillé no 2 et 3 : remplacés par une série de QCM pour cause de confinement.

Partiel du vendredi 13 novembre ( Sujet Corrigé).

Examen Final le ?? (durée 2h00) ( Sujet Corrigé).\\.

Oral de rattrapage pour ABJ à un DS : le ??

Seconde chance ?? (durée 1h00).

Déroulé du cours (du 12/9 au 16/12)

Chapitre I -- Calculs algébriques

Séance 1 (lundi 7 septembre): Informations pratiques sur l'UE.

Nombres réels : définition comme écriture décimale, propriétés de +, x et ⇐ (existence admise), propriété de la borne supérieure (esquisse d'une preuve de l'existence), valeur absolue.

Séance 2 (jeudi 10 septembre): Exemple de preuve par disjonction de cas. Sommes finis de nombres réels, Changement d'indice, sommes télescopiques, produit de sommes. Somme des n premiers entiers, n premières puissances, etc. Coefficients binomiaux. Formule du triangle de Pascal. Formule du binôme de Newton.

Chapitre II : Ensemble et Applications

Séance 3 (lundi 14 septembre) : Début du chapitre II : deux manières de décrire une partie d'un ensemble (paramétrique et implicite). Notation A l'ensemble des éléments de E qui vérifient une propriété. Intersection, union, complémentaire et lien avec les propriétés.

Séance 4 (jeudi 17 septembre) : Applications d'un ensemble dans un autre (les ensembles de départ et d'arrivée sont donnés !) : exemples. On peut y penser comme une collections de flèches entre ensemble, un graphe, ou une collection d'étiquettes sur un ensemble $E$ marquées avec les éléments d'un ensemble $F$. Injectivité, surjectivité, bijectivité : définition + interprétation sur les 3 “modèles” sus-cités.

Chapitre III : Bases de la logique

Séance 5 (lundi 21 septembre) : Composition : définition, exemple. Attention à l'ordre ! Image et préimage d'une partie. Logique : prédicat, opérations ou et implique et non. Quantificateurs. Un exemple de preuve ensembliste.

Séance 6 (jeudi 24 septembre) : Fin du chapitre logique : 3 exemples de démonstration par récurrence usuelle et forte. Début des fonctions usuelles : polynômes de degré 1 et 2, partie entière.

Chapitre IV : Fonctions usuelles

Séance 7 (lundi 28 septembre) : Fonctions usuelles : fonctions trigonométriques.

Séance 8 (jeudi 1 octobre) : Fonction logarithme, puissances, fonctions hyperboliques. Introduction aux suites.

Chapitre V : Suites réelles

Séance 10 (jeudi 8 octobre) : Définition de suites numériques, trois manières de se représenter une suite, suite monotone, bornée… Suites définies par récurrence. Exemple de la suite de Héron. Définition de limite.

Séance 12 (jeudi 15 octobre) : Rappel de la Définition de limite. Exemples. Suites arithmétiques et géométriques. Théorèmes sur les suites (avec preuves pour l'essentiel) : Unicité de la limite, convergente implique bornée, somme de limites.

Séance 14 (jeudi 22 octobre) : produit de limites, quotient de limites, théorème des gendarmes, Théorème des suites adjacentes, exemple de l'écriture décimale d'un nombre réel. Notion de suite extraite.

Séance 15 (lundi 2 novembre) : Théorème Théorèmes de Bolzano-Weirstrass avec esquisse de preuve par dichotomie, Définition et opérations sur les limites infinies.

Séance 17 (lundi 9 novembre) : Suites récurrentes, Suites de Cauchy, preuve de l'équivalence Cauchy ssi converge.

Chapitre VI : Retour sur l'exponentielle

Voir polycopié, non traité en cours.

Chapitre VII : Nombres Complexes

Séance 9 (lundi 5 octobre) : Définition de nombre complexe, addition, multiplication, conjugaison, module, inversion.

Séance 11 (lundi 12 octobre) : exponentielle complexe, décomposition polaire, racines de l'unité.

Séance 13 (lundi 19 octobre) : équations polynomiales de degré 2, D'alembert-Gauss. Formules pour transformations du plan. Début de l'arithmétique : nombres premiers, infinité, énoncé et preuve de l'existence de la décomposition.

Chapitre VIII : Arithmétique des entiers et des polynômes

Séance 16 (le jeudi 5 novembre) : nombres premiers test de primalité, crible d'Erathostène), pgcd (définition et algorithmes par décomposition en facteurs premiers et Euclide). théorèmes de Bezout, Gauss, preuve de l'unicité dans la décomposition en facteurs premiers.

Séance 18 (le jeudi 12 novembre) : congruence et théorème chinois sur les entiers. Polynômes : définition, somme, évaluation, dérivation, composé…

Séance 20 (le jeudi 19 novembre) : Polynômes : division euclidienne. Racines d'un polynôme. D'alembert-Gauss. Polynômes irréductibles réels et complexes.

Séance 22 (le jeudi 26 novembre) : Polynômes : théorème de décomposition, Bezout, Gauss, Chinois. Multiplicité d'une racine, lien avec les dérivées.

Chapitre IX : Limites et continuité des fonctions de la variable réelle

Séance 17 (le lundi 16 novembre) : Définition de limites, exemples et règles de calcul. Définition séquentielle de fonction continue. Caractérisation avec epsilon.

Séance 19 (le lundi 23 novembre) : théorème des valeurs intermédiaires, fonction continue : injectivité et monotonie, sur un intervalle fermé et borné. Prolongement par continuité.

Séance 21 (le lundi 2 décembre) : Dérivation : taux de variation, définition de nombre dérivé, de dérivabilité. Opérations : addition, produit, quotient, composée.

Chapitre X : Dérivation

Séance 23 (le lundi 9 décembre) : définition de droite tangente, dérivée de la réciproque (interprétation géométrique), Théorème de Rolle

Séance 24 (le jeudi 12 décembre) : Théorème des accroissements finis et corollaires (variation et dérivation).

Examens des années passées

Devoirs Surveillés no 1 du ( Sujet Corrigé 2018 et Sujet Corrigé 2019).

Devoirs Surveillés no 2 du jeudi 8 novembre( Sujet Corrigé 2018 et Sujet Corrigé 2019).

Partiels du jeudi 29 novembre ( Sujet Corrigé 2018 et Sujet Corrigé 2019).

Devoirs Surveillés no 3 du jeudi 8 décembre( Sujet Corrigé 2018 et Sujet Corrigé 2019).

Examen Final de décembre 2018 ( Sujet 2018 Corrigé 2018 et Sujet Corrigé 2019).

Sujets Session 2 ( Sujet 2018 et Sujet Corrigé 2019)

 
 
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