Algèbre I : structures fondamentales - Automne 2015

• Semaine du 7 septembre : Vocabulaire et opérations sur les ensembles : ensembles de nombres (N,Z,Q,R,C), ensemble décrit par la liste de ses éléments, ensemble constitué des éléments d'un autre ensembe qui satisfont une propriété, inclusion, union, intersection, complémentaire, différence, produit cartésien de deux ensembles.
  Raisonner, rédiger : introduire les objets mathématiques, montrer une proposition universelle, une proposition existentielle, une implication, une inclusion entre deux ensembles. Pour aller plus loin, consulter les notes du cours Raisonner, rédiger de Christophe Bertault.
• Semaine du 14 septembre : Construction du corps des nombres complexes (sous forme algébrique). Formule du binôme de Newton. Module et conjugué (interprétation géométrique et propriétés). Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique.
• Semaine du 21 septembre : Résolution des équations du second degré. Complexes de module 1, cercle trigonométrique et exponentielle de iθ. Formules d'Euler et de Moivre. Application à la linéarisation sur un exemple. Forme trigonométrique d'un nombre complexe. Racines n-ièmes de l'unité.
• Semaine du 28 septembre : Racines n-ièmes. Equation d'un cercle sous forme complexe. Droites données par un point et une direction. Transformations du plan : translations, rotations, homothéties. Images des droites et des cercles par ces transformations. Transformation z–>1/z. Représentations graphiques avec Geogebra
• Semaine du 5 octobre : Plan vectoriel, vecteurs, opérations sur les vecteurs, colinéarité. Droite donnée par un point et un vecteur directeur, forme paramétrique, équation cartésienne. Solutions d'un système linéaire 2×2. Bases du plan, recherche de coordonnées. Applications linéaires, définition, caractérisation sous forme (x,y) → (ax+by,cx+dy), exemples/contre-exemples.
• Semaine du 12 octobre : Matrice d'une application linéaire dans une base quelconque. Calcul matriciel des coordonnées de l'image d'un vecteur. Liens système/matrice/application linéaire. Composée d'applications linéaires et produit de matrices. Pour f application linéaire de matrice A, équivalence f bijective / det A non nul / A inversible (énoncé, preuve semaine suivante).
• Semaine du 19 octobre : Définitions du noyau et de l'image d'une application linéaire, exemple vu rapidement. Homothéties, matrices des homothéties. Rotations, matrices dans la base canonique, composées. Symétrie par rapport à une droite et parallèlement à une autre, caractérisation par s^2 = id et … (preuve partielle), exemple. Projection sur une droite parallèlement à une droite, caractérisation par p^2 = p et … (preuve non faite). Illustrations graphiques avec Geogebra
• Semaine du 2 novembre : Applications : ensemble de départ, ensemble d'arrivée, image, antécédent, notations, exemples. Composition, exemples. Injectivité, surjectivité, bijectivité d'une application, exemples. Bijection réciproque. Image directe, image réciproque, exemples. De façon informelle, dénombrabilité de Z, NxN et Q ; non dénombrabilité de R.
• Semaine du 9 novembre : Ensembles finis : premières propriétés du cardinal; cardinal d'un produit cartésien; f : E→F injective implique card(E) ≤ card (F); f : E→F surjective implique card(E) ≥ card(F); si card(E)=card(F) et f : E→F alors il y a équivalence f injective, f surjective, f bijective; cardinal de l'ensemble des fonctions de E dans F; cardinal de l'ensemble des parties, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, formule binomiale. Raisonnement par récurrence : principe de récurrence simple, exemple, variantes (à partir d'un certain rang, récurrence double sur un exemple, récurrence forte (à terminer)).
• Semaine du 16 novembre : Récurrence forte sur un exemple/Principe de récurrence forte. Justification du principe de récurrence. Arithmétique : relation de divisibilité, premières propriétés, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, exemples.
• Semaine du 23 novembre : Identité de Bézout. Théorème de Gauss. Résolution des équations ax+by=c. Quelques propriétés du PGCD et du PPCM. Nombres premiers. Preuve de l'existence d'une infinité de nombres premiers. Lemme d'Euclide. Décomposition en facteurs premiers.
• Semaine du 30 novembre : Congruences : propriétés, congruence modulo n et reste de la division par n. Théorème des restes chinois. Petit théorème de Fermat. Exemples (et quelques digressions).

Fiche 1 (version 2 pages sur 1), Fiche 2 (version 2 pages sur 1), Fiche 3 (version 2 pages sur 1), Fiche 4 (version 2 pages sur 1), Fiche 5 (version 2 pages sur 1), Fiche 6 (version 2 pages sur 1), Fiche 7

Six Contrôles Continus de vingt minutes toutes les deux semaines au début des TD (à partir du deuxième) : 60%

(Corrigé interrogation 6)

Les exercices seront semblables à ceux à préparer fournis dans les fiches de TD.

Contrôle Final : 40% Sujet Corrigé

Le livre d'Alain Soyeur, François Capaces et Emmanuel Vieillard-Baron. Nous concernent les chapitres 1 (nombres complexes), 2 (géométrie de R²), 8 (entiers, ensembles finis) et 20 (arithmétique) ainsi que l'appendice A (techniques de démonstration) pour la logique.

Petit manuel de bonne rédaction par Christophe Bertault et d'autres conseils analogues pour la rédaction .

François Liret et Dominique Martinais, Algèbre 1re année, Dunod.

Dans cette page vous trouverez les CCF des années passées ainsi que des exercices corrigés.

CC et CF du cours d'automne 2011 :
CC1 Séq 1, CC1 Séq 2 , CC1 corrigé Séq 1, CC1 corrigé Séq 2. CC2, CC2 corrigé. CC3 Séq 1, CC3 corrigé Séq 1, CC3 Séq 2, CC3 corrigé Séq 2. CF, CF corrigé.

CC et CF du cours de printemps 2012 :
CC1, CC1 corrigé. CC2, CC2 corrigé. CC3, CC3 corrigé. CF, CF corrigé.

CC et CF du cours d'automne 2012 :
CC1 Séq 5, CC1 corrigé Séq 5. CC2, CC2 corrigé. CC3 Séq 5, CC3 corrigé Séq 5. CF, CF corrigé.

CF du cours d'automne 2013 :
Sujet et corrigé.

CF du cours d'automne 2014 :
Sujet et corrigé.

Quelques exercices corrigés sur la récurrence, les applications, le binôme de Newton, les complexes et la géométrie plane.

1. Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation, récurrence.

2. Les ensembles : Ensembles, inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien, cardinal d’un ensemble fini (comme nombre d’éléments d’un ensemble).

3. Application de E vers F : Injectivité, surjectivité, bijectivité, composée de deux applications, images directe et réciproque d'une partie.

4. Arithmétique dans Z : Division euclidienne, congruence, théorème de Gauss, identité de Bézout, petit théorème de Fermat, pgcd, ppcm, divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, congruences.

5. Nombres complexes : Propriétés algébriques, exponentielle complexe, racines n-ième de l’unité, résolution des équations du second degré à coefficients complexes. Écriture dans C des transformations suivantes : translations, rotations et homothétie.

6. Géométrie dans R² : Bases, applications linéaires, matrice d’une application linéaire dans une base. Automorphismes de R², matrice d’une bijection réciproque (par inversion d’un système). Critère nécessaire et suffisant de bijectivité (déterminant non nul). Composées d’applications linéaires, matrices de ces composées. Définition d’une rotation, définition d’une projection p²=p, d’une symétrie s²=Id, homothétie.