Présentation de rentrée : Ici

Pour les colles : Colloscope

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 1er septembre (partie 1) : Chap.1 - Intégrales généralisées : intégrales convergentes/divergentes, cas où une seule des deux bornes est impropre, intégrales de Riemann (preuves sur [a;+infini[ et ]0;a] à connaître), propriétés des intégrales convergentes (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, changement de variables).
• 2 septembre (partie 2) : Intégration par parties généralisée (preuve à connaître), fonction intégrable (ex des fonctions continues sur un segment, fonctions de Riemann), lien avec l'intégrabilité sur un intervalle inclus dans I, rappels sur les comparaisons locales de fonctions (domination, négligeabilité, équivalence, lien entre f=o(g)(ou f~g) et f=O(g) : la preuve est à savoir refaire), théorème de comparaison pour l'intégrabilité (pour des fonctions positives dans le cas où f est majorée par g, pas encore démontré).
• 8 septembre : démonstration du théorème de comparaison pour l'intégrabilité (pour f, g positives telles que f est majorée par g). Théorèmes de comparaison concernant l'intégrabilité (pour des fonctions complexes avec o, O et ~), exemples d'études explicites, combinaison linéaire de fonctions intégrables, inégalité de Cauchy-Schwarz, l'intégrabilité de f sur I entraîne la convergence de l'intégrale de f sur I.
• 15 septembre (partie 1) : Définition d'une intégrale absolument convergente/semi-convergente, exemple d'intégrale semi-convergente. Retour sur le lien entre intégrabilité d'une fonction et convergence de son intégrale (équivalence entre les deux lorsque la fonction est de signe constant), règle de Bertrand au voisinage de l'infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite), au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changement de variable, preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Chap.2 - Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0.
• 15 septembre (partie 2) : Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle), convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité seulement pour l'instant, la convergence de la série de terme général 1/n^2 a été traitée en exemple).
• 22 septembre: Théorèmes de comparaison de deux séries à termes positifs dont les termes généraux sont équivalents. Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert (preuve à savoir refaire, demander uniquement un seul des cas l<1 ou l>1) et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire, la question peut être posée en colle), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (énoncé seulement).
• 29 septembre (partie 1) : Séries de Riemann (preuve à connaître). Série définissant l'exponentielle (preuve à connaître, faite seulement dans R^+ à ce stade), attention : les séries de Bertrand ne seront pas vues. Séries numériques à termes quelconques : définition de la convergence absolue. La convergence absolue d'une série numérique entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence. Retour sur la preuve de la série définissant l'exponentielle (preuve à savoir refaire).
• 29 septembre (partie 2) : Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique. Théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Chap.3 - Suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, convergence simple.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'analyse ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul (groupe P6)
• Tom Ferragut (groupe P7)
• François Lê (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions
• TD2 - Intégrales généralisées
• TD3 - Séries numériques

Avancement :

Groupe P6 :

• 03/09. Feuille 1 : ex. 1 à 3; ex. 4 (questions 1, 2,3).
• 10/09. Feuille 1, fin de l'ex. 4; ex. 5. Feuille 2 : ex. 1, ex. 2 (Q1 à Q4).
• 17/09. Feuille 2 : Fin du 2; ex. 3 et 4.
• 24/09. Feuille 2 : ex. 5, 6, 7, 8. Feuille 3 : ex. 1 et 2.
• 01/10. Feuille 3 : ex. 3, 4 et début du 6.

Groupe P7 :

• 03/09. Feuille 1 : exercices 1 à 3 ; 4.1 et 4.3 ; 6.1.
• 10/09 et 12/09 (deux demi séances). Feuille 1 : exercice 5 ; Feuille 2 : exercices 1 et 2.1, 2.2, 2.3, 2.5
• 17/09. Feuille 2 : exercices 2 à 4 ; 5.1 et 7.1
• 24/09. Feuille 2 : exercices 5.2 ; 7.2 ; 8 ; 9. Feuille 3 : exercices 2.1

Groupe P9 :

• 03/09. Feuille 1 : exercices 1 à 4 et 7 (avec seulement la structure de la preuve pour 7.3).
• 10/09. Feuille 1 : exercice 5 ; feuille 2 : exercices 1 et 2(1-4).
• 17/09. Feuille 2 : exercices 2(5-7), 3(1-4), 4. Questions 3.5 et 5.1 à faire pour la prochaine fois.
• 24/09. Feuille 2 : exercices 3.5, 5.1, 6, 7.1 et 9.1 (indications données pour 7.2 et 9.2). Feuille 3 : exercices 1 et 2.
• 01/10. Feuille 3 : exercices 3 à 5.

Groupe P10 :

• 03/09. Feuille 1 : exercices 1 à 3. Questions 1 à 3 de l'exercice 4 seulement.
• 10/09 et 12/09 (deux demi séances). Feuille 1 : fin de l'exo 4 (corrections des 5,6 et 7 donnée). Feuille 2 : exercices 1 et 2, question 1 de l'exo 3.
• 17/09. Feuille 2 : exercices 3, 4. Question 1 de l'exercice 5.
• 24/09. Feuille 2 : fin de l'exo 5 et de l'exo 7, exos 8 et 9.1. Feuille 3 : Q1 et 2 de l'exo 1, et moitié de l'exo 2.

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• 05 septembre (partie 1) : Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Chap.1 Groupe symétrique : définition d'un groupe, du groupe symétrique, cardinal, pour n supérieur à 3, le groupe symétrique n'est pas commutatif (preuve à connaître), cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions. Nombre d'inversions d'une signature, signature d'une permutation.
• 05 septembre (partie 2) : Signature d'une transposition (preuve à connaître), signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p. Chap.2 Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître), déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes.
• 8 septembre : Effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées (preuve à connaître), déterminant d'un produit de matrices. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes).
• 10 septembre : Exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ou inférieure par blocs. Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice donne det(A) I_n, application au calcul d'inverse d'une matrice. Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice (énoncé seulement).
• 17 septembre : Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation. Formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme : les matrices d'un endomorphisme ont toutes le même déterminant (preuve à connaître), déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée). Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition et effet d'un changement de base).
• 22 septembre : Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (caractérisation d'une base, déterminant d'une famille d'images de vecteurs par un endomorphisme u en fonction du déterminant de u et de celui de la famille). Chap.3 - Diagonalisation (version géométrique) : Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels (exemples, lien avec la notion vue en L1), lien avec l'intersection des sev, caractérisation à l'aide de la dimension (preuve à connaître), caractérisation à l'aide de la concaténation des bases respectives des sous-espaces, définition d'une base adaptée à la décomposition de l'espace en somme directe de sev.
• 24 septembre : Sous-espaces stables : définition, exemples, somme et intersection de sous-espaces stables (preuve à connaître). Si deux endomorphismes u et v commutent, leurs noyaux et images respectifs sont stables par u et v (preuve à connaître). Endomorphisme induit : définition, endomorphisme induit par une somme, une composée, noyau et image d'un endomorphisme induit, un endomorphisme induit d'un endomorphisme injectif est encore injectif (contre-exemple pour la surjectivité). Caractérisation matricielle en dimension finie de la stabilité d'un sev, de plusieurs sev. Éléments propres d'un endomorphisme : définition de valeur propre, vecteur propre (unicité de la valeur propre associée à un vecteur propre, exemples explicites).

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul (groupe P6)
• Tom Ferragut (groupe P7)
• François Lê (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions d'algèbre linéaire
• TD2 - Déterminants

Groupe P6 :

• 05/09. Feuille 1 : Ex. 1, 2. Ex. 3 (questions 1 et 2(a)).
• 12/09. Feuille 1 : Fin de l'ex. 3; ex. 5, 6, 8, ex. 10 (Q1).
• 19/09. Feuille 1 : Fin du 10; ex. 11, 12, 13, 15, ex. 16 (matrice A).
• 26/09. Feuille 1 : ex. 17. Feuille 2 : ex. 1 à 9; ex. 10 (Q1 et Q2).

Groupe P7 :

• 05/09. Feuille 1 : Exercices 1, 2, 3.1, 4.1 (question 4.2 à faire pour la prochaine fois).
• 12/09. Feuille 1 : Exercices 4.2, 5, 6, 7.
• 19/09. Feuille 1 : Exercices 8, 10, 12, 14(A), 15, 16(A), 17(1-2)
• 26/09. Feuille 2 : Exercices 1 à 8

Groupe P9 :

• 05/09. Feuille 1 : exercices 1 à 4.
• 12/09. Feuille 1 : exercices 5, 6, 8 et 9(1-2). Exercice 9 à finir pour la prochaine fois.
• 19/09. Feuille 1 : exercices 9(3-4), 10, 12, 13, 14(A), 17.
• 26/09. Feuille 2 : exercices 1-7(A, B), 8, 9, 16.
• 03/10. Feuille 2 : exercices 7(C, D), 10-14.

Groupe P10 :

• 05/09. Feuille 1 : exercices 1 à 3.
• 12/09. Feuille 1 : exercices 4, 5, 6, 8 et 9 (question 1 seulement).
• 17/09. Feuille 1 : exercices 9, 12, 13 et 14(A).
• 26/09. Feuille 2 : exos 1 à 7.

Dates prévisionnelles (horaires : lundi de 17h30 à 19h, amphis Thémis 8 et 9)

• DS1 CUPGE : lundi 22 septembre
• DS1 commun : lundi 29 septembre. Le sujet et le corrigé.
• DS2 CUPGE : lundi 20 octobre
• DS2 commun : lundi 3 novembre
• DS3 CUPGE : lundi 17 novembre
• DS3 commmun : lundi 24 novembre
• DS4 CUPGE : lundi 8 décembre
• DS4 commun : lundi 15 décembre