Présentation de rentrée : Ici

Pour les colles : Colloscope

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 1er septembre (partie 1) : Chap.1 - Intégrales généralisées : intégrales convergentes/divergentes, cas où une seule des deux bornes est impropre, intégrales de Riemann (preuves sur [a;+infini[ et ]0;a] à connaître), propriétés des intégrales convergentes (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, changement de variables).
• 2 septembre (partie 2) : Intégration par parties généralisée (preuve à connaître), fonction intégrable (ex des fonctions continues sur un segment, fonctions de Riemann), lien avec l'intégrabilité sur un intervalle inclus dans I, rappels sur les comparaisons locales de fonctions (domination, négligeabilité, équivalence, lien entre f=o(g)(ou f~g) et f=O(g) : la preuve est à savoir refaire), théorème de comparaison pour l'intégrabilité (pour des fonctions positives dans le cas où f est majorée par g, pas encore démontré).
• 8 septembre : démonstration du théorème de comparaison pour l'intégrabilité (pour f, g positives telles que f est majorée par g). Théorèmes de comparaison concernant l'intégrabilité (pour des fonctions complexes avec o, O et ~), exemples d'études explicites, combinaison linéaire de fonctions intégrables, inégalité de Cauchy-Schwarz, l'intégrabilité de f sur I entraîne la convergence de l'intégrale de f sur I.
• 15 septembre (partie 1) : Définition d'une intégrale absolument convergente/semi-convergente, exemple d'intégrale semi-convergente. Retour sur le lien entre intégrabilité d'une fonction et convergence de son intégrale (équivalence entre les deux lorsque la fonction est de signe constant), règle de Bertrand au voisinage de l'infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite), au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changement de variable, preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Chap.2 - Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0.
• 15 septembre (partie 2) : Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle), convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité seulement pour l'instant, la convergence de la série de terme général 1/n^2 a été traitée en exemple).
• 22 septembre: Théorèmes de comparaison de deux séries à termes positifs dont les termes généraux sont équivalents. Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert (preuve à savoir refaire, demander uniquement un seul des cas l<1 ou l>1) et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire, la question peut être posée en colle), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (énoncé seulement).
• 29 septembre (partie 1) : Séries de Riemann (preuve à connaître). Série définissant l'exponentielle (preuve à connaître, faite seulement dans R^+ à ce stade), attention : les séries de Bertrand ne seront pas vues. Séries numériques à termes quelconques : définition de la convergence absolue. La convergence absolue d'une série numérique entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence. Retour sur la preuve de la série définissant l'exponentielle (preuve à savoir refaire).
• 29 septembre (partie 2) : Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique. Théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Chap.3 - Suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, convergence simple.
• 8 octobre : Retour sur la définition de la convergence simple d'une suite de fonctions, domaine de convergence simple (exemples), unicité de la limite simple, propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité (preuve à savoir refaire). Exemples de propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque). Techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration (explication non terminée)).
• 13 octobre (partie 1) : Fin des techniques d'étude de convergence uniforme, exemples détaillés. Propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve est à savoir refaire). Énoncé du théorème de la double limite et exemple d'utilisation, théorèmes d'échange limite et intégrale : théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée en question de cours).
• 13 octobre (partie 2) : Généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m. Théorème de convergence dominée, exemples d'utilisation. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1.
• 22 octobre : Retour sur les hypothèses du théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Chap.4 - Séries de fonctions : vocabulaire de base (définition, somme partielle), convergence simple d'une série de fonctions (définie par la convergence simple de la suite de fonctions des sommes partielles, puis caractérisation par la convergence de la série numérique associée en tout point), exemples d'étude explicite de domaines de convergence simple, la convergence simple de la série de fonctions entraîne la convergence simple de la suite de fonctions de son terme général vers la fonction nulle, en cas de convergence simple définition du reste d'ordre n et propriétés de celui-ci, convergence absolue simple (lien avec la convergence simple).
• 27 octobre (partie 1) : Convergence uniforme d'une série de fonctions. La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Condition nécessaire de convergence uniforme sur la suite de fonctions du terme général (démo à connaître). Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples (cas où le reste pouvait se calculer explicitement, utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). Convergence normale, liens avec les autres modes de convergence (différents contre-exemple sur les implications qui ne fonctionnent pas, la démo de la convergence normale entraîne la convergence absolue simple et la convergence uniforme est à connaître).
• 27 octobre (partie 2) : Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples (méthodes d'étude de non convergence uniforme dans le cas de fonctions positives : par minoration de R_n, par encadrement série/intégrale). Théorème de continuité pour les séries de fonctions et exemples d'utilisation, théorème de la double limite (interversion limite/série) (pas encore appliqué sur un exemple pour l'instant).
• 10 novembre : Exemples d'utilisation du théorème d'interversion limite/série, théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), exemples, théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque). Exemple d'utilisation.
• 17 novembre (partie 1) : Brève explication concernant l'utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale dans les cas où les théorèmes d'interversion série/intégrale ne fonctionneraient pas, théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1), exemples d'application, extension du théorème de dérivation aux fonctions de classe C^p. Chap.5 - Séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel (la preuve peut être demandée en question de cours).
• 17 novembre (partie 2): Deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R d'une série entière (comme le sup de l'ensemble des r positifs pour lesquels (a_nr^n) est bornée/ comme celui du sup de l'ensemble des r positifs pour lesquels a_n r^n tend vers 0, exemples de détermination de rayons), lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence et exemples explicites de détermination du domaine de convergence d'une série entière, détermination pratique du rayon : règle de D'Alembert (la preuve est à savoir refaire, dans le cas où l appartient à ]0,+infini[), règle de Cauchy (preuve à connaître, dans le cas où l appartient à ]0;+infini[).
• 24 novembre : Retour sur le lien entre la règle de D'Alembert et la règle de Cauchy, exemples de détermination du rayon de séries lacunaires (de la forme sum a_n z^{3n} par exemple). Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence). Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé centré en 0 inclus dans le disque ouvert de convergence (non démontré encore).
• 1er décembre (partie 1): Démonstration de la convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé de centre 0 inclus dans le disque ouvert de convergence. Séries entières d'une variable réelle : convergence normale sur tout segment inclus dans ]-R;R[ (démonstration à connaître), continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans ]-R;R[, série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur ]-R;R[ et dérivable terme à terme. Exemples d'utilisation.
• 1er décembre (partie 2) : Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement, la preuve peut être demandée en question de cours). Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés : exponentielle d'une somme, inverse, conjugué, module). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes (définition et écriture comme sommes de séries entières (preuves à connaître)). Fonctions d'une variable réelle développables en séries entières : définition seulement (en 0 et en un point quelconque).

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Intégrales généralisées
• Chap.2 - Séries numériques
• Chap.3 - Suites de fonctions
• Chap.4 - Séries de fonctions

Les TD d'analyse ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul (groupe P6)
• Tom Ferragut (groupe P7)
• François Lê (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions
• TD2 - Intégrales généralisées
• TD3 - Séries numériques
• TD4 - Suites de fonctions
• TD5 - Séries de fonctions
• TD6 - Séries entières

Avancement :

Groupe P6 :

• 03/09. Feuille 1 : ex. 1 à 3; ex. 4 (questions 1, 2,3).
• 10/09. Feuille 1, fin de l'ex. 4; ex. 5. —— Feuille 2 : ex. 1, ex. 2 (Q1 à Q4).
• 17/09. Feuille 2 : Fin du 2; ex. 3 et 4.
• 24/09. Feuille 2 : ex. 5, 6, 7, 8. —— Feuille 3 : ex. 1 et 2.
• 01/10. Feuille 3 : ex. 3, 4 et début du 6.
• 08/10. Feuille 3 : fin du 6; ex. 8, 9, 10 et début du 11.
• 15/10. Feuille 3 : fin du 11. Ex. 12 (Q1 et Q2; Q3 : en exo à rendre). Ex. 13 (le 14 en exo à rendre). —— Feuille 4 : ex. 1 et 2 et début du 3.
• 22/10. Feuille 4 : fin du 3; ex. 4 à 7.
• 05/11. Feuille 4 : ex. 8, 9, 11.
• 12/11. Feuille 4 : ex. 10(a), 12, 14. —— Feuille 5 : ex. 1 et 2.
• 19/11. Feuille 5 : ex. 3, 4, 6, 7.
• 26/11. Feuille 5 : ex. 8. —— Feuille 6 : ex. 1 et 2.
• 03/12. Feuille 6 : ex. 3, 4, 5, 6 (Q1 à Q5).
• 10/12. Feuille 6 : fin de l'ex. 6; ex. 7, 8, 9 et Q1 du 10.
• 15/12. Feuille 6 : ex. 10 (Q2 à Q7), ex. 11 à 13 (2h d'analyse, 1h d'algèbre ce jour-là).

Groupe P7 :

• 03/09. Feuille 1 : exercices 1 à 3 ; 4.1 et 4.3 ; 6.1.
• 10/09 et 12/09 (deux demi séances). Feuille 1 : exercice 5 ; Feuille 2 : exercices 1 et 2.1, 2.2, 2.3, 2.5.
• 17/09. Feuille 2 : exercices 2 à 4 ; 5.1 et 7.1.
• 24/09. Feuille 2 : exercices 5.2 ; 7.2 ; 8 ; 9. Feuille 3 : exercices 2.1.
• 01/10. Feuille 3 : exercices 1 à 5.
• 08/10. Feuille 3 : exercices 6 à 10, début du 15.
• 15/10. Feuille 3 : exercices 12.1, 13 et fin du 15. Feuille 4 : exercices 1 et 2.
• 22/10. Feuille 4 : exercices 3 à 7.
• 05/11. Feuille 4 : exercices 9, 11 et 14. Feuille 5 : exercice 1.1
• 12/11. Feuille 5 : exercices 1 à 4
• 19/11. Feuille 5 : exercices 5 à 7
• 26/11. Feuille 6 : exercices 1 à 3 ; 4.1.
• 03/12. Feuille 6 : exercices 4, 5, 6.1-6.4.
• 10/12. Feuille 6 : exercices 6, 7, 9, 10.

Groupe P9 :

• 03/09. Feuille 1 : exercices 1 à 4 et 7 (avec seulement la structure de la preuve pour 7.3).
• 10/09. Feuille 1 : exercice 5 ; feuille 2 : exercices 1 et 2(1-4).
• 17/09. Feuille 2 : exercices 2(5-7), 3(1-4), 4. Questions 3.5 et 5.1 à faire pour la prochaine fois.
• 24/09. Feuille 2 : exercices 3.5, 5.1, 6, 7.1 et 9.1 (indications données pour 7.2 et 9.2). Feuille 3 : exercices 1 et 2.
• 01/10. Feuille 3 : exercices 3 à 5.
• 08/10. Feuille 3 : exercices 8 à 10, 11.1, 13 et 14. Exercices 6 et 7 donnés en tant que DM facultatif, correction distribuée.
• 15/10. Feuille 3 : exercices 12.1 et 15. Feuille 4 : exercices 1-3, 5.
• 22/10. Feuille 4 : exercices 4, 6, 7, 9, 11, 14 (assez rapidement pour ce dernier).
• 05/11. Feuille 4 : exercices 8, 10, 15 (indication donnée pour 12).
• 12/11. Feuille 5 : exercices 1(1-2), 2, 3, 4(1). Exercice 4 à finir pour la prochaine fois.
• 19/11. Feuille 5 : exercices 5-7. Indications données pour le 9.
• 26/11. Feuille 6 : exercices 1, 2, 3(1-2), 4(1-2).
• 03/12. Feuille 6 : exercices 4(3-6), 5, 6(1-4), 8.
• 10/12. Feuille 6 : exercices 6(5-6), 7, 9, 10(1-5).
• 17/12. Feuille 6 : exercices 11, 12, 13 (demi-séance).

Groupe P10 :

• 03/09. Feuille 1 : exercices 1 à 3. Questions 1 à 3 de l'exercice 4 seulement.
• 10/09 et 12/09 (deux demi séances). Feuille 1 : fin de l'exo 4 (corrections des 5,6 et 7 donnée). Feuille 2 : exercices 1 et 2, question 1 de l'exo 3.
• 17/09. Feuille 2 : exercices 3, 4. Question 1 de l'exercice 5.
• 24/09. Feuille 2 : fin de l'exo 5 et de l'exo 7, exos 8 et 9.1. Feuille 3 : Q1 et 2 de l'exo 1, et moitié de l'exo 2.
• 01/10. Feuille 3 : Fin des exercices 1 et 2. Exercices 3 à 5.
• 08/10. Feuille 3 : exercices 6, 7, 9, 10, 11.1
• 15/10. Feuille 3 : fin de l'exo 11, exos 8, 12 et 13 (corrigé du 14 donné). Feuille 4 : exercices 1 et 2.
• 22/10. Feuille 4 : exercices 3, 4, 5, 7, 9 et Q1 du 10 (non terminée).
• 05/11. Feuille 4 : fin de l'exercice 10, exercices 6, 11 et 14 (Q1 et Q2 seulement).
• 12/11. Feuille 4 : fin de l'exercice 14 et exercice 15. Feuille 5 : exercices 1 (Q1 et Q2 seulement), exercice 2 (Q1 et Q2).
• 19/11. Feuille 5 : fin de l'exo 2, exos 3, 4, 5, 7 (corrigés de la Q3 de l'exo 1, et de l'exo 9 donnés).
• 26/11. Feuille 5 : exercice 6. Feuille 6 : exos 1 et 2, 3 (Q1 et Q2 seulement pour l'instant), 4 (Q1 seulement).
• 03/12. Feuille 6 : Fin de l'exercice 4, exo 5, 6 (questions 1 à 4 seulement). Principe expliqué pour l'exo 7 (mais seule la partie “analyse” du problème a été traitée pour l'instant, ne pas interroger dessus).

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

• 05 septembre (partie 1) : Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Chap.1 Groupe symétrique : définition d'un groupe, du groupe symétrique, cardinal, pour n supérieur à 3, le groupe symétrique n'est pas commutatif (preuve à connaître), cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions. Nombre d'inversions d'une signature, signature d'une permutation.
• 05 septembre (partie 2) : Signature d'une transposition (preuve à connaître), signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p. Chap.2 Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître), déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes.
• 8 septembre : Effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées (preuve à connaître), déterminant d'un produit de matrices. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes).
• 10 septembre : Exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ou inférieure par blocs. Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice donne det(A) I_n, application au calcul d'inverse d'une matrice. Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice (énoncé seulement).
• 17 septembre : Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation. Formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme : les matrices d'un endomorphisme ont toutes le même déterminant (preuve à connaître), déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée). Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition et effet d'un changement de base).
• 22 septembre : Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (caractérisation d'une base, déterminant d'une famille d'images de vecteurs par un endomorphisme u en fonction du déterminant de u et de celui de la famille). Chap.3 - Diagonalisation (version géométrique) : Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels (exemples, lien avec la notion vue en L1), lien avec l'intersection des sev, caractérisation à l'aide de la dimension (preuve à connaître), caractérisation à l'aide de la concaténation des bases respectives des sous-espaces, définition d'une base adaptée à la décomposition de l'espace en somme directe de sev.
• 24 septembre : Sous-espaces stables : définition, exemples, somme et intersection de sous-espaces stables (preuve à connaître). Si deux endomorphismes u et v commutent, leurs noyaux et images respectifs sont stables par u et v (preuve à connaître). Endomorphisme induit : définition, endomorphisme induit par une somme, une composée, noyau et image d'un endomorphisme induit, un endomorphisme induit d'un endomorphisme injectif est encore injectif (contre-exemple pour la surjectivité). Caractérisation matricielle en dimension finie de la stabilité d'un sev, de plusieurs sev. Éléments propres d'un endomorphisme : définition de valeur propre, vecteur propre (unicité de la valeur propre associée à un vecteur propre, exemples explicites).
• 1er octobre : Définition du sous-espace propre associé à une valeur propre. Les sous-espaces propres de u sont stables par tous les endomorphismes commutant avec u. Somme directe des sous-espaces propres (preuve à connaître), liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En dimension n, un endomorphisme admet au plus n valeurs propres distinctes. Exemples d'étude des éléments propres d'un endomorphisme en dimension infinie. Éléments propres d'une matrice carrée : définition de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. Lien entre le spectre d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base, idem avec les sous-espaces propres respectifs (en particulier, spectre et espaces propres de l'endomorphisme de M_{n,1}(K) canoniquement associé à une matrice A). Deux matrices semblables ont même spectre. Polynôme caractéristique d'une matrice carrée (défini comme unitaire, uniquement la définition pour l'instant).
• 6 octobre (partie 1) : Coefficients remarquables du polynôme caractéristique (preuve à connaître), les valeurs propres d'une matrice sont exactement les racines dans K de son polynôme caractéristique (preuve à connaître), nombre maximal de valeurs propres d'une matrice de taille n, une matrice complexe possède au moins une valeur propre complexe. Matrice compagnon d'un polynôme unitaire P, son polynôme caractéristique est égal à P. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique (preuve à connaître), définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Traduction des résultats précédemment vus sur les matrices en terme d'endomorphismes.Retour sur la définition de polynôme scindé/scindé à racines simples sur K. Définition des multiplicités algébriques et géométriques d'une valeur propre. La somme des multiplicités algébriques des valeurs propres est inférieure ou égale à la dimension de l'espace vectoriel, tout endomorphisme d'un C-ev possède exactement dim(E) valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique.
• 6 octobre (partie 2) : Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise le polynôme caractéristique de u (démonstration à connaître), la multiplicité géométrique est supérieure à 1 et inférieure à la multiplicité algébrique. Diagonalisabilité : définition d'un endomorphisme diagonalisable (il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale), caractérisation équivalente avec l'existence d'une base formée de vecteurs propres, caractérisations équivalentes à l'aide des sous-espaces propres (E est la somme directe de ceux-ci/la somme de leurs dimensions vaut dim(E)/le polynôme caractéristique est scindé sur K et les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre sont égales). Condition suffisante de diagonalisabilité : \chi_u est scindé à racines simples sur K. Matrice diagonalisable : définition, lien avec la diagonalisabilité d'un endomorphisme associé, traduction matricielle des caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité vues sur les endomorphismes.
• 15 octobre : Explication de la méthode de diagonalisation et exemples rédigés de diagonalisation d'endomorphismes, de matrices. Chap. 4 : Diagonalisation (version algébrique) : définition de l'évaluation d'un polynôme en un endomorphisme, propriétés (évaluation d'une combinaison linéaire de polynômes et d'un produit), polynômes d'endomorphismes. Stabilité de l'ensemble des polynôme en un endomorphisme u par combinaison linéaire et composition. Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme et exemples, les valeurs propres d'un endomorphisme figurent parmi les racines des polynômes annulateurs (la démo est à savoir refaire), inclusion réciproque fausse.
• 20 octobre (partie 1) : Exemples d'utilisation de polynômes annulateurs lors de recherche du spectre d'un endomorphisme, théorème de Cayley-Hamilton. Évaluation d'un polynôme en une matrice, exemples sur des matrices diagonales/triangulaires, propriétés des polynômes en une matrice, polynôme annulateur d'une matrice, lien avec les polynômes annulateurs d'un endomorphisme associé. Deux matrices semblables ont même polynômes annulateurs (preuve à connaître (2 versions faites en cours)). Version matricielle du théorème de Cayley-Hamilton. Polynôme minimal (défini comme l'unique polynôme annulateur unitaire de u de degré inférieur à celui de tout polynôme non nul annulateur de u),
• 20 octobre (partie 2) : Le degré du polynôme minimal est supérieur ou égal à 1, les polynômes minimaux d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base quelconque sont égaux, le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur (la preuve est à connaître), les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal. Lemme des noyaux et corollaire avec m polynômes 2 à 2 premiers entre eux. Caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur, exemples d'utilisation.
• 29 octobre : Réduction d'un endomorphisme induit sur un sous-espace stable non nul, application à la codiagonalisation de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent, version matricielle de la codiagonalisation. Chap. 5 : Trigonalisation : définition d'un endomorphisme trigonalisable (donnée avec une matrice triangulaire supérieure, puis explication du passage à une matrice triangulaire inférieure). Une base (e_1,..,e_n) de E est une base de trigonalisation de u ssi les espaces vectoriels Vect(e_1,…,e_k) sont stables par u. Définition d'une matrice trigonalisable, lien entre matrice trigonalisable et endomorphisme trigonalisable. Endomorphismes nilpotents, caractérisations équivalentes d'un endomorphisme nilpotent : par l'existence d'une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure stricte, par le polynôme caractéristique (démonstration non terminée).
• 10 novembre : Caractérisations équivalentes d'un endomorphisme nilpotent : par l'existence d'une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure stricte, par le polynôme caractéristique. Version matricielle. Un endomorphisme u est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur K, ssi il existe un polynôme annulateur de u scindé sur K, ssi son polynôme minimal est scindé sur K, cas des endomorphismes d'un C-ev (resp. matrices complexes). Dans le cas trigonalisable, la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité est la trace,et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité le déterminant, exemple d'utilisation pour obtenir toutes les valeurs propres d'un endomorphisme de rang 1. Toute matrice trigonalisable est semblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme lambda I + N où N est nilpotente.
• 12 novembre : trigonalisabilité d'un endomorphisme induit. Sous-espace caractéristique (défini comme le noyau de (u-lambda Id)^m où m est la multiplicité algébrique de lambda, égalité avec le noyau de (u-lambda Id)^alpha où alpha est la multiplicité de lambda en tant que racine du polynôme minimal de u, dimension de cet espace). Explication de la méthode de trigonalisation dans le cas où la somme des dimensions des sous-espaces propres est égal à dim(E)-1, méthode de trigonalisation pour obtenir une matrice triangulaire supérieure T spécifique : diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme lambda I + N où N est nilpotente (afin d'écrire T= D'+N' avec D' diagonale, N' nilpotente et D'N'=N'D'), exemples.
• 19 novembre : Chap. 6 : Applications de la réduction : puissances de matrices et d'endomorphismes dans le cas diagonalisable à l'aide de la diagonalisation, dans le cas trigonalisable, formule du binôme de Newton (pour des endomorphismes/matrices qui commutent), calculs de puissances à l'aide de la division euclidienne de X^k par un polynôme annulateur (fait avec le polynôme minimal en cours, puis étendu à l'importe quel polynôme annulateur. Le principe de la méthode peut faire l'objet d'une question de cours). Exemples explicites. Systèmes récurrents linéaires X_{n+1}=A X_n (pas encore appliqué sur un exemple).
• 24 novembre : Exemples de résolution d'un système récurrent linéaire. Exponentielle de matrices : définition de la convergence d'une suite de matrices (par la convergence de chacun des coefficients), d'une série de matrice, la convergence absolue entraîne la convergence (j'ai utilisé la norme infinie pour la définition de la convergence absolue), convergence de la série de terme général A^k/k!, définition de exp(A).
• 26 novembre : Exponentielle d'une somme de matrices lorsque celles-ci commutent, exp(P^{-1}AP) =P^{-1} exp(A)P. Exemples de calculs d'exponentielles de matrices (par diagonalisation, cas d'une matrice nilpotente, par utilisation d'un polynôme annulateur). Définition de la dérivation d'une fonction à valeurs dans M_n(K), dérivation d'une somme, d'un produit, dérivabilité de l'application t→ exp(tA). Définition de l'exponentielle d'un endomorphisme u comme l'unique endomorphisme dont la matrice dans une base B est l'exponentielle de Mat_B(u). Systèmes différentiels homogènes X'(t)=AX(t) : la solution générale est t→ exp(tA) X_0 (non démontré encore).
• 3 décembre : Systèmes différentiels homogènes X'(t)=AX(t) : la solution générale est t→ exp(tA) X_0, unicité d'un problème de Cauchy associé (preuve à connaître). Systèmes différentiels avec second membre X'(t)=AX(t)+V(t), la solution générale est la solution du système homogène à laquelle on ajoute une solution particulière, méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière dans le cas où V est continue.

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Chap.1 - Groupe des permutations
• Chap.2 - Déterminants
• Chap.3 - Diagonalisation (version géométrique)
• Chap.4 - Diagonalisation (version algébrique)
• Chap.5 - Trigonalisation

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:

• Rouchdi Bahloul (groupe P6)
• Tom Ferragut (groupe P7)
• François Lê (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions d'algèbre linéaire
• TD2 - Déterminants
• TD3 - Sommes directes et sous-espaces stables
• TD4 - Valeurs propres, sous-espaces propres et polynôme caractéristique
• TD5 - Diagonalisation
• TD6 - Polynômes annulateurs et minimaux
• TD7 - Trigonalisation
• TD8 - Applications de la réduction

Groupe P6 :

• 05/09. Feuille 1 : Ex. 1, 2. Ex. 3 (questions 1 et 2(a)).
• 12/09. Feuille 1 : Fin de l'ex. 3; ex. 5, 6, 8, ex. 10 (Q1).
• 19/09. Feuille 1 : Fin du 10; ex. 11, 12, 13, 15, ex. 16 (matrice A).
• 26/09. Feuille 1 : ex. 17. —— Feuille 2 : ex. 1 à 9; ex. 10 (Q1 et Q2).
• 03/10. Feuille 2 : fin de l'ex. 10. ex. 11 à 16, ex. 18.
• 10/10. Feuille 2 : ex. 19 et 20 (le 17 en exo pour la prochaine fois). —— Feuille 3 : ex. 1, 3 et début du 5 (le 4 à faire pour la prochaine fois).
• 17/10. Feuille 3 : fin du 5, ex. 2, 4, 6, 7 —— Feuille 2 : ex. 17.
• 24/10. Feuille 4 : ex. 1 (Q1, Q2, Q3; Q4 : donnée en exo à rendre). ex. 2 (Q1 et Q2).
• 07/11. Feuille 4 : ex. 3, 4, 5, 6.
• 14/11. Feuille 4 : ex. 7 et 9. —— Feuille 5 : ex. 1 et 2.
• 21/11. Feuille 5 : ex. 3 à 7.
• 28/11. Feuille 5 : ex. 9, 12, 13. —— Feuille 6 : ex. 1, 2 et une partie du 3.
• 05/12. Feuille 6 : fin de l'ex. 3; ex. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 (le 10 en exo à rendre sera corrigé la semaine suivante).
• 12/12. Feuille 6 : ex. 10. —— Feuille 7 : ex. 1 à 5; ex. 6 : indications et résultats sans les détails.
• 15/12 (1h d'algèbre) et 17/12. Feuille 8 : ex. 1 et une partie du 2 – Fin du 2 puis ex. 3, 4, 5 (sans les détails de calculs), 6, 7, 8, 9, 10, indications pour les 11 et 12.

Groupe P7 :

• 05/09. Feuille 1 : Exercices 1, 2, 3.1, 4.1 (question 4.2 à faire pour la prochaine fois).
• 12/09. Feuille 1 : Exercices 4.2, 5, 6, 7.
• 19/09. Feuille 1 : Exercices 8, 10, 12, 14(A), 15, 16(A), 17(1-2)
• 26/09. Feuille 2 : Exercices 1 à 8
• 03/10. Feuille 2 : Exercices 9 à 20
• 10/10. Feuille 3 : Exercices 1 à 4
• 17/10. Feuille 3 : Exercices 5 à 7. Feuille 4 : Exercice 1.1
• 24/10. Feuille 4 : Exercices 1, 2 et 5.
• 07/11. Feuille 4 : Exercices 3, 4, 6, 7.
• 14/11. Feuille 5 : Exercices 1 à 5.
• 21/11. Feuille 5 : Exercices 6 à 9, et 12.
• 28/11. Feuille 6 : Exercices 1 à 7.
• 05/12. Feuille 6 : Exercices 8 à 12.
• 12/12. Feuille 7 : exercices 1-5, méthode expliquée pour le 6.

Groupe P9 :

• 05/09. Feuille 1 : exercices 1 à 4.
• 12/09. Feuille 1 : exercices 5, 6, 8 et 9(1-2). Exercice 9 à finir pour la prochaine fois.
• 19/09. Feuille 1 : exercices 9(3-4), 10, 12, 13, 14(A), 17.
• 26/09. Feuille 2 : exercices 1-7(A, B), 8, 9, 16.
• 03/10. Feuille 2 : exercices 7(C, D), 10-14.
• 10/10. Feuille 2 : exercices 15, 18-20. Feuille 3 : exercices 1, 2, 3(1-3b).
• 17/10. Feuille 3 : exercices 3(fin), 4-6, 8(1-2a).
• 24/10. Feuille 4 : exercices 1-3.
• 07/11. Feuille 4 : exercices 4-6 ; feuille 5 : exercices 1 et 2.A.
• 14/11. Feuille 4 : exercices 7, 8 ; feuille 5 : exercices 2(fin), 3, 7.
• 21/11. Feuille 5 : exercices 4, 5, 8, 9, 12.
• 28/11. Feuille 6 : exercices 1-5, 8, 9.
• 02/12. Feuille 6 : exercices 6-7, 10-12 (séance de remplacement de celle du 12/12).
• 05/12. Feuille 7 : exercices 1-5, méthode expliquée pour le 6.
• 18/12. Feuille 8 : exercices 1-5, 8-11 (une séance et demi).

Groupe P10 :

• 05/09. Feuille 1 : exercices 1 à 3.
• 12/09. Feuille 1 : exercices 4, 5, 6, 8 et 9 (question 1 seulement).
• 17/09. Feuille 1 : exercices 9, 12, 13 et 14(A).
• 26/09. Feuille 2 : exos 1 à 7.
• 03/10. Feuille 2 : exercices 8 à 13, et 16 à 19.
• 10/10. Feuille 2 : exercices 14, 15 et 20. Feuille 3 : exercices 1, 2, 3 (Q1 à Q3.(a) seulement)
• 17/10. Feuille 3 : fin de l'exo 3, exercices 4 à 7.
• 24/10. Feuille 4 : exercice 1, Q1 de l'exo 2 (seulement les matrices A, B, D et F).
• 07/11. Feuille 4 : fin de l'exercice 2, exercices 3 à 6.
• 14/11. Feuille 5 : exercices 1 à 5.
• 21/11. Feuille 5 : exercices 7, 8, 9 et 12 (corrigés du 6 et du 10 donnés).
• 28/11. Feuille 5 : exercice 11. Feuille 6 : exercices 1 à 5.
• 05/12. Feuille 6 : exercices 6 et 8 à 11.

Dates prévisionnelles (horaires : lundi de 17h30 à 19h, amphis Thémis 8 et 9)

• DS1 CUPGE : lundi 22 septembre
• DS1 commun : lundi 29 septembre. Le sujet et le corrigé.
• DS2 CUPGE : lundi 20 octobre
• DS2 commun : lundi 3 novembre. Le sujet et une correction.
• DS3 CUPGE : lundi 17 novembre
• DS3 commmun : lundi 24 novembre. Le sujet et une correction.
• DS4 CUPGE : lundi 8 décembre
• DS4 commun : lundi 15 décembre. Le sujet avec sa correction.

• Le sujet avec sa correction d'analyse 3 de 2024-2025 (session 1)
• Le sujet avec sa correction de session 2 d'analyse 3 de 2024-2025
• Le sujet avec sa correction d'algèbre 3 de 2024-2025 (session 1)
• Le sujet avec sa correction de session 2 d'algèbre 3 de 2024-2025