Note_UE = 0.1*Note_CC1+0.2*Note_CC2+0.1*Note_CC3+0.2*Note_CC4+0.4*Note_(CT).
Toute absence justifiée donnera lieu à une convocation à un examen de substitution qui aura lieu en fin de semestre. L'absence à cet examen de substitution équivaut à un 0/20.
Enseignant : Khaled Saleh (mél)
18 janvier : [Chapitre 1: Nombres réels, nombres rationnels] Division euclidienne. Notion de corps. Corps des nombres rationnels. Corps des nombres réels. Partie entière. Ensemble D des nombres décimaux. Ecriture en base 10 des nombres décimaux. Approximation d'un réel par des nombres décimaux à 10^{-n} près par défaut et par excès (démo à connaître). Développement illimité d'un réel comme limite de la suite des approximations décimales. Le développement illimité d'un rationnel peut s'obtenir par une suite de divisions euclidiennes. Théorème: un nombre réel est rationnel si et seulement si la suite des ses décimales est périodique à partir d'un certain rang. Il faut savoir démontrer qu'un nombre donné ayant la suite des ses décimales périodique à partir d'un certain rang est rationnel. Notion de densité : on dit qu'une partie A non vide de R est dense dans R si pour tout réel x, il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x. Théorème : D,Q et R\Q sont denses dans R (démo à connaître). Il y a équivalence entre 1) A est dense dans R, 2) pour tous réels x,y tels que x<y, il existe a dans A tel que x < a < y et 3) pour tout réel x et tout réel ε >0, il existe a dans A tel que a ∈ ]x-ε,x+ε[ (démo à connaître).
18 janvier : [Chapitre 2: Comparaison locales de fonctions, dérivation, suites récurrentes] Définition d'un voisinage d'un élément a de RU{-∞,+∞}. Relation de domination au voisinage d'un point. Exemples. La relation est transitive (démo à connaître). Si au voisinage de a g ne s'annule pas alors f=O(g) ⇔ f/g est bornée au voisinage de a. Relation de négligeabilité au voisinage d'un point. Exemples. La relation de négligeabilité au voisinage d'un point est transitive. Si au voisinage de a g ne s'annule pas (sauf éventuellement en a) alors f=o(g) ⇔ f/g a pour limite 0 en a. Croissances comparées en terme de la relation de négligeabilité. Relation d'équivalence au voisinage d'un point. Définitions. Si au voisinage de a g ne s'annule pas (sauf éventuellement en a) alors f~g ⇔ f/g a pour limite 1 en a. La relation d'équivalence au voisinage d'un point est réflexive, transitive et symétrique. Au voisinage d'un point f~g⇔f=g+o(g) (démo à connaître). Equivalents de sin(x), ln(1+x), e^x-1,(1+x)^α-1 au voisinage de 0. Equivalent d'un polynôme en 0 et en +∞. Calculs de limites avec des équivalents : Si f~g au voisinage de a et g a pour limite l en a alors f a pour limite l en a (démo à connaître). Contre exemples à connaître pour : (f~g et h~i) mais (f+h pas~ g+i), f~g mais e^f pas~ e^g,f~g mais ln(f) pas~ ln(g). Fonction dérivable en un point. Fonction dérivable à gauche/droite en un point. Fonction dérivable sur un intervalle. Equivalence entre f est dérivable en x_0 et : il existe l∈R tel que f(x)=f(x_0)+l(x-x_0)+o(x-x0). On alors l=f'(x_0) (démo à connaître).
25 janvier : [Chapitre 2: Comparaison locales de fonctions, dérivation, suites récurrentes] Dérivée d'une f+g, fg, 1/g, f/g lorsque f et g sont deux fonctions dérivables. Dérivée des fonctions composées. Dérivée d'une fonction bijective strictement monotone de dérivée non nulle. Si f admet un extremum local en x_0 un point intérieur et si f est dérivable en x_0 alors f'(x_0)=0. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. Sens de variation d'une fonction f dérivable sur un intervalle I et signe de f'. Théorème de la limite de la dérivée.
1er février : [Chapitre 2: Comparaison locales de fonctions, dérivation, suites récurrentes] Suites récurrentes: f:I→R, u_0∈I et u_{n+1}=f(u_n) pour n∈N. Intervalle stable et conséquences. Si I est stable par f et u_0∈I alors u_n∈I pour tout n∈N à savoir redémontrer par récurrence. Si f est continue sur I et (u_n) converge vers l alors f(l)=l. Etude de la monotonie de (u_n). Si I est stable par f et f(x)-x≥0 sur I alors (u_n) est croissante. Si I est stable par f et f(x)-x≤0 sur I alors (u_n) est décroissante. Si I est stable par f et f est croissante sur I alors (u_n) est monotone et le sens de variation de (u_n) est déterminé par le signe de f(u_0)-u_0. Si I est stable par f et f est décroissante sur I alors fof est croissante sur I, les suites extraites (u_{2n}) et (u_{2n+1}) sont alors monotones et le sens de monotonie est donné par le signe de fof(u_0)-u_0. Si f est continue et si ces suites convergent c'est vers un point fixe de fof. Utilisation de TAF ou de l'inégalité des accroissements finis pour établir des vitesses de convergence (ou de divergence) géométriques.
1er février : [Chapitre 3: Dérivées d'ordres supérieurs, étude locale de fonctions, développements limités] Fonctions dérivables, dérivées successives. Formule de Leibniz pour la dérivée n-ème de fg:I→R lorsque f:I→R et g:I→R sont deux fonctions n fois dérivables sur I.
8 février : [Chapitre 3: Dérivées d'ordres supérieurs, étude locale de fonctions, développements limités] Lien entre dérivation et parité. Enoncé de la formule de Taylor-Lagrange. Interprétation graphique : approximation par un polynôme au voisinage d'un point. Inégalité de Taylor-Lagrange. Application à l'approximation de ln(3/2).
22 février : [Chapitre 3: Dérivées d'ordres supérieurs, étude locale de fonctions, développements limités] Formule de Taylor-Young. Développements limités en zéro. DL usuels à connaitre exp(x),sin(x),cos(x),(1+x)^alpha, ln(1+x). Opérations sur les DL : somme, produit, composition, inverse.
1er mars : [Chapitre 3: Dérivées d'ordres supérieurs, étude locale de fonctions, développements limités] Développement limité au voisinage d'un point autre que 0, au voisinage de +∞. Si f admet un DL(a) alors elle est équivalente au voisinage de a au premier terme non nul du DL. Application pour le calcul d'équivalents et de limite. Application des DL pour l'étude d'une fonction au voisinage d'un point: équation de la tangente, position relative de la tangente par rapport à la courbe représentative.
8 mars : [Chapitre 3: Dérivées d'ordres supérieurs, étude locale de fonctions, développements limités] Méthode de Newton. Théorème de convergence locale.
15 mars : [Chapitre 4: Fonctions convexes] Définition d'une fonction convexe sur un intervalle I. Définition d'une fonction concave sur un intervalle I. Interprétation graphique. Théorème : soit f:I→R. Alors f est convexe si et seulement pour tout x0∈I la fonction Δ_{x0}f: x→(f(x)-f(x0))/(x-x0) est croissante sur I\{x0}. Théorème : inégalité des trois pentes. Théorème : si f est convexe sur I alors f est continue sur l'intérieur de I. Théorème : soit f:I→R dérivable. Alors f est convexe si et seulement si f' est croissante. Théorème : soit f:I→R deux fois dérivable. Alors f est convexe si et seulement si f'' est positive. Théorème : soit f:I→R dérivable et convexe. Alors la courbe représentative de f est au-dessus de toutes ses tangentes (démo à connaître).
22 mars : [Chapitre 5: Calculs de primitives] Soit f:[a,b]→R continue et positive. On définit l'intégrale de f sur [a,b] comme l'aire du domaine D={(x,y)∈R^2 tq. a≤x≤b et 0≤y≤f(x)}. Approximation de ∫f par la méthode des rectangles. Intégrale d'une fonction f:[a,b]→R continue. Propriétés de l'intégrale: linéarité, positivité, relation de Chasles (admis). Croissance : f≥g ⇒ ∫f ≥∫g (démo à connaître). Inégalité triangulaire: |∫f|≤∫|f| (démo à connaître). Inégalité de la moyenne (démo à connaître): pour f,g continues sur [a,b] |∫fg|≤ sup_[a,b]|f| x ∫|g|. Primitive de f:D→R continue. Si F et G sont deux primitives de f sur D et si D est un intervalle alors F-G est constante sur D. Conséquence: si F est une primitive de f sur D et si D est un intervalle alors les primitives de f sur D sont les fonctions x→F(x)+C, avec C une constante réelle. Si f:D→R continue avec D une réunion d'intervalles, si F et G sont des primitives de f sur D, alors F-G est constante sur chaque sous-intervalle de D.
29 mars : [Chapitre 5: Calculs de primitives] Primitives usuelles. Intégration par partie, changement de variable.
5 avril : [Chapitre 5: Calculs de primitives] Primitives des fractions rationnelles. Primitives des polynômes en sin,cos. Primitives des fractions rationnelles en sin,cos (règles de Bioche).
19 avril : [Chapitre 6: Suites récurrentes linéaires d'ordre 2] On note S_{a,b} l'ensemble des suites (u_n) à valeurs dans K qui vérifient u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n. Alors S_{a,b} est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace K^N des suites à valeurs dans K. Résolution dans C. Résolution dans R. Exemples.
TD 1 : Réels et suites
TD 2 : Révisions sur les fonctions, relations de comparaison
TD 3 : Dérivation, application aux suites récurrentes
TD 4 : Etude locale des fonctions, développements limités
TD 5 : Formules de Taylor, convexité, méthode de Newton
TD 6 : Intégration et calculs de primitives
TD 7 : Suites récurrentes linéaires
Groupe MP (S. Gauthier, E. Fouassier) (à noter : ce groupe n'a pas la même répartition des heures au cours du semestre que les autres groupes) :
Groupe A (Pascal Lainé)
Groupe B (S. Tran Tien) :
Groupe C (P.-D. Thizy) :
Groupe D (D. Périce) :
Groupe E (M. Bergot) :
Groupe F (M. Estavoyer) :
Attention : les équations différentielles ne sont pas au programme de l'examen d'Analyse 2 pour mathématiciens en 2023. Il y a des sujets qui sont au programme cette année, qui ne l'étaient pas l'année dernière (nombres réels et rationnels, dérivation, suites récurrentes, fonctions convexes…).
Livres :
Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)
Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.
Pour s'entraîner:
Cours et exercices: Le site Exo7.