1 contrôle partiel (CP) le lundi 6 novembre de 14H à 15H30 et 1 contrôle terminal (CT) le vendredi 22 décembre de 10Hà midi ¹⁾

note finale = max(, )

^{2) 3)}

1er cours le lundi 11 septembre

Enseignant : Alexis Tchoudjem tchoudjem@math.univ-lyon1.fr

Programme

Dans le cadre des fonctions d'une variable réelle, on travaillera les notions d'image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité. Les réels : sup, valeurs approchées, nombres décimaux … Suites réelles ou complexes : limites, critères de convergence, suites récurrentes. Fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles : continuité, dérivabilité, étude locale, analyse asymptotique. Extension aux fonctions à valeurs dans R^2 (ou dans C). Exemples simples de courbes paramétrées. Séries numériques.

Notes (sommaires): — Alexis Tchoudjem 2023/09/25 16:43

Chapitre I : Nombres réels

Quelques propriétés de Q, corps des rationnels, définition de la borne supérieure, construction de R à partir des suites de Cauchy.

Chapitre II : Suites réelles ⇒ Suites arithmétiques, géométriques ; Limite d'une suite, opérations sur les limites ; Suites monotones, convergence des suites monotones bornées, suites adjacentes, exemples : convergence de , fractions continues ; suites de Cauchy : définition, théorème de convergence des suites de Cauchy, suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass.

chapitre III : Séries

Définitions, séries de termes géométriques, séries de Bertrand Σ1/n^a, critères de convergence : Cauchy, limsup |a_{n+1}/a_n| , limsup |a_n|^1/n, séries absolument convergentes, définition de l'exponentielle avec les séries, produit de Cauchy de séries, séries alternées, a∼b ⇒ ∑a et ∑b de même natures + equivalence des sommes partielles ou des restes, séries entières, rayon de convergence, produit.

chapitre IV : Limites de fonctions

Définition de la limite en un point, unicité, caractérisation séquentielle, opérations sur les limites : somme, produit, division, composée

chapitre V : continuité∞

Définition de la continuité, opérations sur les fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires, sup atteint sur un segment, uniforme continuité

chapitre VI : dérivation et formules de Taylor

1) Notations de Landau o, O, ~ 2) Dérivabilité : dérivées du produit, du quotient, de la réciproque, de la composée 3) théorème des accroissements finis, applications : tableau de variations, règle de L'Hospital 4) Formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young

5) Quelques applications : équivalent de Σ1/k, ¼π = Σ(-1)^k/(2k+1), formule de Stirling (équivalent de n!).

Chapitre VII : Fonctions convexes

1) définition 2) Applications : Inégalités arithmético-géométrique, de Hölder et de Minkowski

Chapitre VIII : courbes paramétrées

1) Définition 2) points multiples 3) Tangentes 4) points ordinaires, d'inflexion, de rebroussement de 1ère et 2ème espèce 5) Branches infinies 6) Exemples : lemniscate, folium de Descartes, Lissajous

Construction de R

Suites Inégalité de Bernoulli

À propos des fractions continues

Définition de l'exponentielle avec des suites adjacentes

convergence des moyennes de Cesaro

⁴⁾

1er TD le vendredi 22 septembre

Enseignants : Nadine Badr badr@math.univ-lyon1.fr

sujet, corrigé

Fiche 1 (réels, bornes sup et inf)

Fiche 2 (suites numériques)

Fiche 3 (séries numériques)

Fiche 4 (limites)

fiche 5 (continuité, dérivabilité)

Fiche 6 (développements de Taylor)

examen final

cc2, corrigé

cc1, corrigé