1 contrôle partiel (CP) le lundi 6 novembre de 14H à 15H30 et 1 contrôle terminal (CT) le vendredi 22 décembre de 10H à midi 1)
note finale = max(, )
1er cours le lundi 11 septembre
Enseignant : Alexis Tchoudjem tchoudjem@math.univ-lyon1.fr
Programme
Dans le cadre des fonctions d'une variable réelle, on travaillera les notions d'image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité. Les réels : sup, valeurs approchées, nombres décimaux … Suites réelles ou complexes : limites, critères de convergence, suites récurrentes. Fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles : continuité, dérivabilité, étude locale, analyse asymptotique. Extension aux fonctions à valeurs dans R^2 (ou dans C). Exemples simples de courbes paramétrées. Séries numériques.
Notes (sommaires): — Alexis Tchoudjem 2023/09/25 16:43
Chapitre I : Nombres réels
Quelques propriétés de Q, corps des rationnels, définition de la borne supérieure, construction de R à partir des suites de Cauchy.
Chapitre II : Suites réelles ⇒ Suites arithmétiques, géométriques ; Limite d'une suite, opérations sur les limites ; Suites monotones, convergence des suites monotones bornées, suites adjacentes, exemples : convergence de , fractions continues ; suites de Cauchy : définition, théorème de convergence des suites de Cauchy, suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass.
chapitre III : Séries
Définitions, séries de termes géométriques, séries de Bertrand Σ1/na, critères de convergence : Cauchy, limsup |a{n+1}/an| , limsup |a_n|1/n, séries absolument convergentes, définition de l'exponentielle avec les séries, produit de Cauchy de séries, séries alternées, a∼b ⇒ ∑a et ∑b de même natures + equivalence des sommes partielles ou des restes, séries entières, rayon de convergence, produit.
chapitre IV : Limites de fonctions
Définition de la limite en un point, unicité, caractérisation séquentielle, opérations sur les limites : somme, produit, division, composée
chapitre V : continuité∞
Définition de la continuité, opérations sur les fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires, sup atteint sur un segment, uniforme continuité
chapitre VI : dérivation et formules de Taylor
1) Notations de Landau o, O, ~ 2) Dérivabilité : dérivées du produit, du quotient, de la réciproque, de la composée 3) théorème des accroissements finis, applications : tableau de variations, règle de L'Hospital 4) Formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young
5) Quelques applications : équivalent de Σ1/k, ¼π = Σ(-1)k/(2k+1), formule de Stirling (équivalent de n!).
Chapitre VII : Fonctions convexes
1) définition 2) Applications : Inégalités arithmético-géométrique, de Hölder et de Minkowski
Chapitre VIII : courbes paramétrées
1) Définition 2) points multiples 3) Tangentes 4) points ordinaires, d'inflexion, de rebroussement de 1ère et 2ème espèce 5) Branches infinies 6) Exemples : lemniscate, folium de Descartes, Lissajous