31 aout 2023 (partie 1) : Chap.1 - Intégrales généralisées : intégrales convergentes/divergentes, cas où une seule des deux bornes est impropre, intégrales de Riemann (preuves sur [a;+infini[ et ]0;a] à connaître), propriétés des intégrales convergentes (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, changement de variables).
31 aout 2023 (partie 2) : Intégration par parties généralisée (preuve à connaître), fonction intégrable (ex des fonctions continues sur un segment, fonctions de Riemann), lien avec l'intégrabilité sur un intervalle inclus dans I, rappels sur les comparaisons locales de fonctions (domination, négligeabilité, équivalence, lien entre f=o(g)(ou f~g) et f=O(g) à savoir redémontrer), théorèmes de comparaison pour l'intégrabilité (pour des fonctions positives dans le cas de majoration)
4 septembre 2023 : théorèmes de comparaison concernant l'intégrabilité (pour des fonctions complexes avec o, O et ~), exemples d'études explicites, combinaison linéaire de fonctions intégrables, inégalité de Cauchy-Schwarz,l'intégrabilité de f sur I entraîne la convergence de l'intégrale de f sur I, définition d'une intégrale absolument convergente/semi-convergente.
11 septembre (partie 1) : Exemple d'intégrale semi-convergente, règle de Bertrand au voisinage de l'infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite), au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changement de variable, preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Chap.2 - Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle).
11 septembre (partie 2) : convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), convergence de la série de terme général 1/n^2 parmi les exemples.
20 septembre : Exemples d'utilisation des théorèmes de comparaison sur les séries à termes positifs. Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert (preuve à savoir refaire, demander uniquement un seul des cas l<1 ou l>1) et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire, la question peut être posée en colle), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître).
25 septembre (partie 1) : Série définissant l'exponentielle (preuve à connaître), (attention : les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, la convergence absolue entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique.
25 septembre (partie 2) : Théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Chap.3 - Suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, convergence simple, domaine de convergence simple (exemples non terminés).
04 octobre : Exemples d'études de convergence simple de suites de fonctions, unicité de la limite simple, propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité (la preuve est à savoir refaire). Exemples de propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque). Techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration).
9 octobre (partie 1) : Exemples d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) , propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve peut être donnée en question de cours). Énoncé du théorème de la double limite et exemple d'utilisation, théorèmes d'échange limite et intégrale : théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée en question de cours).
9 octobre (partie 2) : Rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m., généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m. Théorème de convergence dominée, exemples d'utilisation. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p (pas encore démontré).
18 octobre : retour sur le théorème de dérivation pour des suites de fonctions de classe C^p. Chap.4 - Séries de fonctions : vocabulaire de base (définition, somme partielle), convergence simple (définie par la convergence simple de la suite de fonctions des sommes partielles, puis caractérisation par la convergence de la série numérique associée en tout point), exemples d'étude de domaines de convergence simple, la convergence simple de la série de fonctions entraîne la convergence simple de la suite de fonctions de son terme général vers la fonction nulle, en cas de convergence simple définition du reste d'ordre n et propriétés de celui-ci, convergence absolue simple (lien avec la convergence simple), uniforme. Condition nécessaire de convergence uniforme sur la suite de fonctions du terme général.
23 octobre (partie 1) : Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples (utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Convergence normale, liens avec les autres modes de convergence (différents contre-exemple sur les implications qui ne fonctionnent pas, la démo de la convergence normale entraîne la convergence absolue simple et la convergence uniforme est à connaître).
23 octobre (partie 2) : Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples (méthodes d'étude de non convergence uniforme dans le cas de fonctions positives : par minoration de R_n, par encadrement série/intégrale). Théorème de continuité pour les séries de fonctions et exemples d'utilisation, théorème de la double limite (interversion limite/série).
08 novembre : théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), exemples, énoncé du théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque), application. Brève explication concernant l'utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale dans les cas où les théorèmes d'interversion série/intégrale ne fonctionneraient pas, théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) (exemples non terminés).
13 novembre (partie 1) : application du théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Chap.5 - Séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel (la preuve peut être demandée en question de cours), deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons), lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence.
13 novembre (partie 2) : exemples explicites de détermination du domaine de convergence d'une série entière, détermination pratique du rayon : règle de D'Alembert (la preuve est à savoir refaire, dans le cas où l appartient à ]0,+infini[), règle de Cauchy (la preuve peut être demandée en question de cours, dans le cas où l appartient à ]0;+infini[), exemples de détermination du rayon de séries lacunaires (de la forme sum a_n z^{3n} par exemple).
22 novembre : Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence). Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence (la preuve est à savoir refaire). Séries entières d'une variable réelle : continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans ]-R;R[, série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme) (exemple fait mais non démontré encore).
25 novembre (partie 1) : Série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur ]-R;R[ et dérivable terme à terme, expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement). Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés : exponentielle d'une somme, inverse, conjugué, module). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes (définition et écriture comme sommes de séries entières).
25 novembre (partie 2) : Fonctions d'une variable réelle développables en séries entières : définition (en 0 et en un point quelconque), série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DSE usuels à connaître (exp, ch, sh, sin, cos, x→1/(1+-x), celui de arctan n'est pas à connaître par cœur mais à savoir retrouver (la preuve peut être demandée en question de cours, ainsi que pour ceux de x→-ln(1-x) et de x→ln(1+x), idem avec argth).
27 novembre : DSE de x→(1+x)^alpha, rayon de convergence de la série entière associée. Application au DSE de arcsin (pas à connaître par cœur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Chap. 6 - Equations différentielles linéaires : rappels de L1 sur les EDL d'ordre 1, et les EDL d'ordre 2 à coefficients constants. Structure des solutions d'une EDL d'ordre 2 (homogène ou non), définition d'un système fondamental de solutions, wronskien (définition et propriétés, utilité pour caractériser un système fondamental de solutions), méthode de variations des constantes pour une EDL d'ordre 2.