Séries et intégrales. Année 2023/24

Enseignant

Lorenzo Brandolese (CM et TD)

Modalités de contrôle de connaissances et compétences

Programme pour le partiel du 26 mars : Continuité uniforme. Intégrale de Riemann. Intégrales dépendant d'un paramètre et intégrales impropres. Suites et séries de fonctions.

Démonstrations à connaître pour le partiel : Théorème de Heine. Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable. Si f est intégrable alors la fonction intégrale F est lipschitzienne (et dérivable si f est continue). Théorème fondamental du calcul différentiel. Intégrales à paramètres : théorème de continuité et de dérivabilité sous l'intégrale, pour les intégrales sur [a,b]. Suites uniformément convergentes : la limite uniforme d'une suite de fonctions bornées/continues et bornée/continue. Dans un espace de Banach toute série normalement convergente est convergente. Convergence normale d'une série entière dans tout disque fermé contenu dans le disque de convergence.

Démonstrations à connaître pour l'examen : Les démonstrations exigées pour le partiel et en plus : Formule d'Hadamard pour le calcul du rayon de convergence. Formule de dérivation d'une série entière. Critère de développement en série entière. Développement en série entière des fonctions classiques. Méthode de variation de la constante pour une équation différentielle scalaire d'ordre 1. La solution générale d'une équation différentielle linéaire homogène, scalaire, d'ordre k (ou d'un système différentiel linéaire homogène avec k équations), est un espace vectoriel de dimension k. Méthode de construction de la solution générale d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre k à coefficients constants à partir des racines du polynôme caractéristique.

Supports pédagogiques
Avancement
  1. (CM 3h/TD 3h) Chapitre 1. Continuité uniforme pour les fonctions d'une ou plusieurs variables réelles. Critère de non-continuité uniforme. Théorème de Heine. Chapitre 2 Somme de Darboux. Monotonie des subdivisions. Intégrales supérieure et inférieure. Intégrabilité. Exercices 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5.
  2. (CM 3h/TD 3h). Critère d'intégrabilité. Intégrabilité des fonctions continues par morceaux. Intégrabilité des fonctions monotones. Opérations avec les fonctions intégrables. Relation de Chasles. Primitives et théorème fondamentale du calcul différentiel. Intégration par parties et de changement de variable. Sommes de Riemann. Exercices 1.6, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.14. 1.16.
  3. (CM 3h/TD 3h). Équivalence de l'intégrabilité via les sommes de Darboux et de Riemann. Chapitre 3. Continuité et dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale. Dérivation d'une fonction définie par une intégrale avec des bornes variables. Rappels sur les intégrales impropres. Théorèmes de comparaison et de convergence absolue. Exercices 1.18, 1.19, 1.20, 1.21.
  4. (CM 3h/TD 3h). Intégrales impropres à paramètre: continuité, dérivabilité. Chapitre 4. Convergence uniforme d'une suite de fonction. Intégrabilité de la limite uniforme d'une suite de fonctions intégrables uniformément convergente. Échange limite/intégrale. Théorème de convergence dominée pour l'intégrale de Riemann (admis). Continuité de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues. Dérivabilité de la limite uniforme d'une suite de fonctions dérivablee.
  5. (CM 3h/TD 3h) Espaces normés. Espaces de Banach. Exemples d'espaces de Banach avec la norme du sup : espaces de fonctions bornées, des fonctions Riemann-intégrables, des fonctions continues et bornées. L'espace des fonctions C1 sur un intervalle. Dans un espace de Banach toute série normalement convergente est convergente. Applications aux séries de fonctions. Séries alternées uniformément convergentes.
  6. (CM 3h/TD 3h) Séries entières. Rayon de convergence. Limsup et formule d'Hadamard. Dérivabilité d'une série entière. Développements en série entière. Somme et produit de séries entières. Exponentiel et fonctions trigonométriques de variables complexes. Exercices 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.16, 4.17.
  7. (CM 3h/TD 3h) Contractions. Points fixes. Systèmes différentiels linéaires. Problèmes de Cauchy linéaires. Existence d'une solution locale. Prolongement à une solution globale. Solution générale d'un système différentielle homogène et non homogène.
  8. (CM 3h/TD 3h) Construction d'une solution générale d'un système linéaire triangulaire. Systèmes homogènes à coefficients constants diagonalisables. Utilisation de l'exponentiel d'une matrice. Équation différentielles linéaires scalaires d'ordre k. Polynôme caractéristique d'une équation différentielles à coefficients constants.
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