| Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédente |
| p20:fdm2_math:page [2020/03/26 11:12] – [Travaux dirigés] prof-fdm2-math | p20:fdm2_math:page [2022/01/19 17:25] (Version actuelle) – [Evaluations] saleh |
|---|
| |
| |
| ===== Modalités de contrôle des connaissances ===== | ===== Nouvelles Modalités de Contrôle des Connaissances ===== |
| |
| Il y aura 6 évaluations: | Note_UE = 0.25*Note_CC1+0.25*Note_CC2+0.25*Note_DM1+0.25*Note_(CT1 et CT2)+ points bonus. |
| * 4 examens de 45 min, | |
| * 1 examen de mi-semestre d'1h30, | |
| * 1 examen final de 2h commun aux amphis de prépa, maths, info et éco. | |
| |
| Les dates des examens de 45 min et de l'examen de mi-semestre sont précisées à la rubrique Devoirs Surveillés ci-dessous. | |
| Une absence justifiée à l'une de ces épreuves donnera lieu à une épreuve de substitution. | |
| |
| La note de l'UE sera calculée de la manière suivante: | |
| | |
| **Note UE = 0.4*Note_Examen_Commun_Final + 0.2*Note_Examen_Mi-semestre + 0.4*Note_Mini_examens** | |
| |
| où Note_Mini_examens sera la moyenne des trois meilleures notes obtenues aux examens de 45 minutes. | |
| |
| Les étudiants n'ayant pas validé l'UE, c'est-à-dire ayant obtenu une Note UE strictement inférieure à 10, seront convoqués à un examen de **Seconde chance** d'1h30, qui sera spécifique à l'amphi de maths, et dont la note **remplacera la note de l'Examen commun final**, même si la note obtenue lors de la seconde chance est inférieure à celle obtenue lors de l'examen final. | |
| |
| ===== Cours ===== | ===== Cours ===== |
| |
| === Notes de cours === | === Notes de cours === |
| |
| Chapitre I : [[http://math.univ-lyon1.fr/~saleh/Docs/FDM2/Notes-de-cours/FDM2_Chapitre-1.pdf| Matrices]] | |
| |
| Chapitre II : [[http://math.univ-lyon1.fr/~saleh/Docs/FDM2/Notes-de-cours/FDM2_Chapitre-2.pdf| Equations différentielles linéaires]] | |
| |
| Chapitre III : [[http://math.univ-lyon1.fr/~saleh/Docs/FDM2/Notes-de-cours/FDM2_Chapitre-3.pdf| Espaces vectoriels]] | |
| |
| Chapitre IV : [[http://math.univ-lyon1.fr/~saleh/Docs/FDM2/Notes-de-cours/FDM2_Chapitre-4.pdf| Intégration sur un segment]] | |
| |
| Chapitre V : [[http://math.univ-lyon1.fr/~saleh/Docs/FDM2/Notes-de-cours/FDM2_Chapitre-5.pdf| Applications linéaires]] | |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| **17 mars (en confinement) :** [Chapitre 4: Intégration sur un segment] Convergence des sommes de Riemann pour les fonctions de classe C^1. Intégrale des fonctions à valeurs complexes: ∫f = ∫Re(f)+ i∫Im(f). Propriétés: linéarité, relation de Chasles, inégalité triangulaire:|∫f|≤∫|f| (ce sont des modules !). | **17 mars (en confinement) :** [Chapitre 4: Intégration sur un segment] Convergence des sommes de Riemann pour les fonctions de classe C^1 (démo à connaître). Intégrale des fonctions à valeurs complexes: ∫f = ∫Re(f)+ i∫Im(f). Propriétés: linéarité, relation de Chasles, inégalité triangulaire:|∫f|≤∫|f| (ce sont des modules !). |
| |
| |
| **24 mars (en confinement) :** [Chapitre 5: Applications linéaires] Applications linéaires en dimension finie. Soit u∈L(E,F) et (e_i) une base de E. Alors Im u=Vect{u(e_i)}. On appelle rang de u∈L(E,F) et on note rg(u) la dimension de Im u. On a rg(u) ≤ dim E et rg(u) ≤ dim F. Théorème: soit E,F de dimensions finies et u∈L(E,F). Alors u injective ⇔ rg(u)=dim E, u surjective ⇔ rg(u)=dim F, u est un isomorphisme ⇔ rg(u)=dim E = dim F. Soit E,F de dimensions finies, E et F sont isomorphes ⇔ dim E= dim F. Soit E,F de dimensions finies alors dim L(E,F)= dim E x dim F. Théorème: Soit E,F de dimensions finies et u∈L(E,F), on suppose dim E= dim F, alors u injective ⇔ u surjective ⇔ u bijective. Théorème du rang. Soit E,F deux K-ev avec E de dimension finie. Alors dim E= dim Ker u + rg(u). | **24 mars (en confinement) :** [Chapitre 5: Applications linéaires] Applications linéaires en dimension finie. Soit u∈L(E,F) et (e_i) une base de E. Alors Im u=Vect{u(e_i)}. On appelle rang de u∈L(E,F) et on note rg(u) la dimension de Im u. On a rg(u) ≤ dim E et rg(u) ≤ dim F. Théorème: soit E,F de dimensions finies et u∈L(E,F). Alors u injective ⇔ rg(u)=dim E, u surjective ⇔ rg(u)=dim F, u est un isomorphisme ⇔ rg(u)=dim E = dim F. Soit E,F de dimensions finies, E et F sont isomorphes ⇔ dim E= dim F. Soit E,F de dimensions finies alors dim L(E,F)= dim E x dim F. Théorème: Soit E,F de dimensions finies et u∈L(E,F), on suppose dim E= dim F, alors u injective ⇔ u surjective ⇔ u bijective. Théorème du rang. Soit E,F deux K-ev avec E de dimension finie. Alors dim E= dim Ker u + rg(u). |
| |
| | **6 avril (en confinement): ** [Chapitre 6: Fonctions circulaires et hyperboliques réciproques]. Théorème: Soit I un intervalle de R, une fonction f:I→R continue et strictement monotone réalise une bijection de I dans J=f(I) qui est un intervalle. De plus, sa bijection réciproque f¯¹:J→I est continue, strictement monotone de même monotonie que f. Théorème: Soit f continue strictement monotone sur I, soit J=f(I). On suppose f dérivable sur I. Alors f¯¹:J→I est dérivable en y∈J ssi f'(x)≠0 avec x=f¯¹(y), et on a (f¯¹)'(y)=1/f'(x)=1/f'(f¯¹(y)). Si f' ne s'annule pas sur I, alors f¯¹ est dérivable sur J et (f¯¹)'=1/(f'of¯¹). Application aux fonctions circulaires réciproques: arcsin, arccos, arctan. A connaître: domaines de définition de ces fonctions, allure de leur graphe, valeurs particulières (à savoir retrouver avec un cercle trigo) domaine de dérivabilité, expression de la dérivée. Application aux fonctions hyperboliques réciproques: à lire mais non exigibles. |
| |
| | **7 avril (en confinement): ** [Chapitre 7: Fractions rationnelles]. Rappels sur les polynômes: définition, degré, somme, produit, multiplication par un scalaire. (K[X],+,x) est un anneau commutatif. (K[X],+,.) est un espace vectoriel. Autres opérations: composition, dérivation, conjugaison. Comportement du degré vis-a-vis de ces opérations. Arithmétique des polynômes: divisibilité, division euclidienne, Pgcd. Racines, multiplicité, polynômes irréductibles. Les polynômes irréductibles dans C[X] sont les polynômes de degré 1. Les polynômes irréductibles dans R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif. Factorisation en produits de polynômes irréductibles unitaires (dans R et dans C). Dans C[X], tous les polynômes sont scindés. Fractions rationnelles: définition, degré, forme irréductible, zéros et pôles. Fonction rationnelle associée à la fraction rationnelle réelle F=P/Q, domaine de définition: R\{α_1,..,α_n} où {α_1,..,α_n} sont les racines réelles de Q. Si α_i est une racine de multiplicité k de Q et de multiplicité l≥k de P alors la fonction rationnelle est prolongeable par continuité en α_i (dans ce cas la fraction rationnelle n'est pas sous forme irréductible). Une fonction rationnelle est infiniment dérivable sur son domaine de définition. Décomposition en éléments simples de P/Q lorsque Q est scindé et lorsque Q ne l'est pas (forme à connaître). Recherche pratique de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle donnée. Exemples d'applications: calcul de sommes, de primitives de fractions rationnelles, étude de branches infinies de fonctions rationnelles. |
| |
| | **18 avril (en confinement): ** [Chapitre 8: Calcul de primitives]. Primitives usuelles. Intégration par partie, changement de variable. Primitive des fractions rationnelles. Primitives des fractions rationnelles en (sin,cos) (règles de Bioches) et en (sh,ch). Primitives des fractions rationnelles en x et √(ax²+bx+c). |
| | |
| | **4 mai (en confinement): ** [Chapitre 9: Représentation matricielle des applications linéaires] Soit E de dim finie p et F de dim finie n. Si B est une base de E et C est une base de F, et si u: E->F est une application linéaire. Alors la matrice de u relativement aux bases B et C est la matrice Mat_{C,B}(u) (avec la base de F avant la base de E !) de M_{n,p}(K) dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B exprimés dans la base C. L'application u -> Mat_{C,B}(u) est un isomorphisme de L(E,F) dans M_{n,p}(K). Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Matrice d'un endomorphisme. Exemples importants: matrices de l'application identité, d'une homothétie, d'une rotation. Matrice d'un projecteur p dans une base adaptée à la décomposition E = Ker p ⊕ Imp p. Image d'un vecteur par une application linéaire: y=u(x) ssi Y=AX où X la matrice colonne représentant x dans B, Y la matrice colonne représentant y dans C et A=Mat_{C,B}(u). Matrice et composition d'applications linéaires Mat(vou)=Mat(v)xMat(u)(preuve à connaître). Isomorphisme et matrice représentative. Soit u:E->F et A=Mat_{C,B}(u). Alors u est un isomorphisme (dans ce cas dim E = dim F et A est carrée) ssi A est inversible. On a alors A^{-1}=Mat_{B,C}(u^{-1}). Calcul du noyau et de l'image d'une application linéaire à l'aide de sa matrice représentative. Changements de base. Matrice de passage: Soit E de dim finie, B une base de E et B' une autre base de E. On appelle matrice de passage de B à B' la matrice P_{B,B'} de l'application Id: (E,B')-> (E,B). Les colonnes de P_{B,B'} sont les vecteurs de B' exprimés dans la base B. P_{B,B'} est inversible d'inverse P_{B',B}. Soit x∈E et X la matrice colonne représentant x dans B, X' la matrice colonne représentant x dans B'. Alors X=P_{B,B'}X' (preuve à connaître). Matrices équivalentes (resp. semblables). Elles représentent la même app. linéaire (resp. le même endomorphisme) dans des bases différentes. Lien avec les matrices de passage. Ce sont des relations d'équivalence. Application au calcul des puissances d'une matrice, à l'aide d'une matrice semblable plus simple. Rang d'une matrice = rang de toute application linéaire représentée par cette matrice. A et B sont équivalentes ssi rg(A)=rg(B). Une matrice de rang r se ramène par opérations élémentaires à la matrice J_r. Résolution de systèmes linéaires. Ecriture matricielle : chercher X tq AX=Y. Classification de l'ensemble des solutions en fonction de rg(A). Méthode de résolution par pivot de Gauss. |
| |
| |
| |
| === Feuilles d'exercices : === | === Feuilles d'exercices : === |
| |
| TD 1 : {{ :p20:fdm2_math:fdm2_td1-matrices.pdf | Matrices}}, {{ :p20:fdm2_math:fdm2_td1bis-matrices.pdf | Matrices-bis}} | |
| |
| TD 2 : {{ :p20:fdm2_math:fdm2_td2-eqdiff.pdf | Equations différentielles linéaires}} | |
| |
| TD 3 : {{ :p20:fdm2_math:fdm2_td3-espvect.pdf | Espaces vectoriels}}, {{ :p20:fdm2_math:algebre_td_2_espaces_vectoriels_correction.pdf |Corrigé}} Attention, dans le corrigé, les exercices ne sont pas dans le même ordre que dans la fiche de TD, et certaines notations sont différentes. | |
| |
| TD 4 : {{ :p20:fdm2_math:td04-integration_de_riemann.pdf |Intégration sur un segment }} {{ :p20:fdm2_math:td04-integration_de_riemann_indications.pdf | Indications}} | |
| |
| |
| |
| === Avancement des TD === | === Avancement des TD === |
| |
| Groupe G (Nermin Salepci): | ===== Evaluations ===== |
| * 28/01 : feuille 1 exercices 1-16. | |
| * 06/02 : feuille 1 exercices 18-19, feuille 1 bis exercices 1-7. | |
| * 11/02 : feuille 2 exercices 1-3. | |
| * 13/02 : feuille 2 exercices 9(a),(b),10,5(1),(3),(5). | |
| * 20/02 : feuille 2 exercices 6 sauf (Q 5), 9 (d), 12. | |
| * 25/02 : feuille 3 exercices 1,2,4,6. | |
| * 27/02 : feuille 3 exercices 3,5,7,9,10,11,14. | |
| * 11/03 : feuille 3 exercices 8,12,13,15,19. | |
| | |
| | |
| Groupe H (Garry Terii): | |
| * 28/01 : feuille 1, exercices 1-19. | |
| * 06/02 : feuille 1 bis exercices 1-3. | |
| * 11/02 : feuille 1 bis exercices 4-9. | |
| * 13/02 : feuille 2 exercices 1-4,10. | |
| * 20/02 : feuille 2 exercices 12,9,5. | |
| * 25/02 : feuille 3 exercices 1-6. | |
| | |
| Groupe I (Gauthier Clerc): | |
| * 28/01 : feuille 1, exercices 1,3--17 | |
| * 06/02 : feuille 1, exercices 2,18,19; feuille1 bis, exercices 1--6 | |
| * 11/02: feuille 2, exercices 1--4 10--12 | |
| * 18/02: feuille 2, exercices 5--9 | |
| * 25/02: feuille 3, exercices 1,2,8 11 | |
| * 27/02: feuille 3, exercices 3,4,5,6,7 | |
| | |
| Groupe J (Benjamin Texier): | |
| * 28/01, 29/01, 30/01 : feuille 1, exercices 1-14. | |
| * 6/02: feuille 1, exercices 15-19. | |
| * 11/02: feuille 2, exercices 1,2,3; 13/02: exercices 5,6. | |
| * 20/02: feuille 2: exercices 6 (suite), 9a, 9b, 10. | |
| * 25/02, 27/02, 11/03: feuille 3, exercices 1,2,3,4,6,7,10,12. | |
| * 24/03 (discord): correction partielle du DM1, feuille 3: exercices 13 et 14. | |
| | |
| | |
| ===== Devoirs surveillés ===== | |
| |
| Mini examens (45 min): | |
| * Le 12/02 (11h30-12h15) | |
| * Le 26/02 (11h30-12h15) | |
| * Le 08/04 (11h30-12h15) | |
| * Le 22/04 (11h30-12h15) | |
| |
| Examen de mi-semestre (1h30): | |
| * Le 18/03 (16h-17h30) | |
| |
| ===== Ressources ===== | ===== Ressources ===== |
