Licence de mathématiques première année (2019-2020) -- Fondamentaux des Mathématiques II

Modalités de contrôle des connaissances

Il y aura 6 évaluations:

  • 4 examens de 45 min,
  • 1 examen de mi-semestre d'1h30,
  • 1 examen final de 2h commun aux amphis de prépa, maths, info et éco.

Les dates des examens de 45 min et de l'examen de mi-semestre sont précisées à la rubrique Devoirs Surveillés ci-dessous. Une absence justifiée à l'une de ces épreuves donnera lieu à une épreuve de substitution.

La note de l'UE sera calculée de la manière suivante:

Note UE = 0.4*Note_Examen_Commun_Final + 0.2*Note_Examen_Mi-semestre + 0.4*Note_Mini_examens

où Note_Mini_examens sera la moyenne des trois meilleures notes obtenues aux examens de 45 minutes.

Les étudiants n'ayant pas validé l'UE, c'est-à-dire ayant obtenu une Note UE strictement inférieure à 10, seront convoqués à un examen de Seconde chance d'1h30, qui sera spécifique à l'amphi de maths, et dont la note remplacera la note de l'Examen commun final, même si la note obtenue lors de la seconde chance est inférieure à celle obtenue lors de l'examen final.

Cours

Enseignant : Khaled Saleh (mél)

Notes de cours

Avancement du cours

21 janvier : [Chapitre 1: Matrices] Définitions. Sommes de matrices et propriétés (associativité, commutativité, inverse). Multiplication par un scalaire et propriétés. Matrices élémentaires. Produit de matrices et propriétés: distributivité (démo à connaître), associativité (démo à connaître). Non commutativité du produit. Produit par blocs. Matrice identité. Puissances d'une matrice carrée.

22 janvier : [Chapitre 1: Matrices] Exemples de calculs de puissances de matrices carrées. Matrices nilpotentes. Formule du binôme de Newton. Factorisation de A^p-B^p (démo à connaître). Inverse d'une matrice carrée et propriétés: unicité de l'inverse (démo à connaître), inverse d'un produit (démo à connaître). Opérations élémentaires (OE) sur les lignes et les colonnes d'une matrices nxp. Matrices associées à ces opérations. Méthode du pivot de Gauss: transformation d'une matrice en une matrice échelonnée (en lignes) réduite par des OE sur les lignes. Utilisation de la méthode du pivot de Gauss (sur les lignes) pour calculer l'inverse d'une matrice carrée: un exemple a été vu en cours.

4 février : [Chapitre 1: Matrices] Matrices triangulaires. Elles sont inversibles ssi tous les termes diagonaux sont non nuls. Transposition de matrices et propriétés de la transposition vis-à-vis des opérations usuelles. Matrices symétriques et anti-symétriques. Théorème: toute matrice carrée est somme d'une matrice symétrique et d'une matrice anti-symétrique et cette décomposition est unique (démo à connaître). Trace des matrices carrées et propriétés de la trace vis-à-vis des opérations usuelles. [Chapitre 2: Equations différentielles linéaires] EDL du premier ordre à coefficients constants et résolution.

5 février : [Chapitre 2: EDL] Condition initiale pour une EDL du 1er ordre à coefficients constants. EDL du premier ordre sous forme résolue: (E) y'-a(t)y=b(t), t ∈ I avec a,b des fonctions continues sur I. Résolution de l'équation homogène associée (H). Structure de l'ensemble des solutions de (E): S_E=S_H+y_p, on obtient l'ensemble des solutions de (E) en ajoutant à une solution particulière l'ensemble des solutions de (H). Recherche de solutions particulières (solution évidente, théorème de superposition des solutions, méthode de la variation de la constante).

12 février : [Chapitre 2: EDL] y'-a(t)y=b(t), t ∈ I. Condition initiale: il existe une unique solution telle que y(t0)=y0. Deux solutions qui coïncident en un point sont égales. EDL du premier ordre sous forme générale: (E) a(t)y'+b(t)y=c(t), t ∈ I avec a pouvant s'annuler sur I. On résout sur les intervalles où a ne s'annule pas, puis on recolle les solutions de manière dérivable. Condition initiale y(t0)=y0. Pas de résultat général sur l'existence ou l'unicité des solutions. EDL du second ordre à coefficients constants: ay“+by'+cy=d(t). Résolution de ay”+by'+cy=0. Solutions complexes, solutions réelles. Recherche de solutions particulières de ay“+by'+cy=d(t) si d(t)=P(t)exp(mt) avec P polynôme. Exemples sans et avec condition initiale.

18 février : [Chapitre 3: Espaces vectoriels] Structures de groupe et d'espace vectoriel. Exemples d'espaces vectoriels. Combinaisons linéaires. Sous-espaces vectoriels (sev). Sev engendré par une partie d'un espace vectoriel. Sous-espaces vectoriels en somme directe. F et G sont en somme directe ssi F∩G = {0} (démo à connaître).

19 février : [Chapitre 3: Espaces vectoriels] Sous-espaces vectoriels supplémentaires. Exemples. Familles libres, génératrices et bases. Soit (x_i) une famille de vecteurs, elle est liée ssi l'un au moins des vecteurs est CL des autres (démo à connaître). Soit (x_i) une famille libre de E et x∈E. Alors (x_i)∪{x} est libre ssi x∉vect(x_i) (démo à connaître). Théorème des degrés échelonnés (démo à connaître).

Travaux dirigés

Feuilles d'exercices :

Avancement des TD

Groupe G (Nermin Salepci):

  • 28/01 : feuille 1 exercices 1-16.
  • 06/02 : feuille 1 exercices 18-19, feuille 1 bis exercices 1-7.
  • 11/02 : feuille 2 exercices 1-3.
  • 13/02 : feuille 2 exercices 9(a),(b), 10, 5(1),(3),(5).
  • 20/02 : feuille 2 exercices 6 sauf (Q 5), 9 (d), 12.
  • 25/02 : feuille 3 exercices 1, 2, 4, 6.

Groupe H (Garry Terii):

  • 28/01 : feuille 1, exercices 1-19.
  • 06/02: feuille 1 bis exercices 1-3.
  • 11/02: feuille 1 bis exercices 4-9.
  • 13/02: feuille 2 exercices 1-4,10.

Groupe I (Gauthier Clerc):

  • 28/01 : feuille 1, exercices 1,3–17
  • 06/02 : feuille 1, exercices 2,18,19; feuille1 bis, exercices 1–6
  • 11/02: feuille 2, exercices 1–4 10–12

Groupe J (Benjamin Texier):

  • 28/01, 29/01, 30/01 : feuille 1, exercices 1-14.
  • 6/02: feuille 1, exercices 15-19.
  • 11/02: feuille 2, exercices 1,2,3; 13/02: exercices 5,6.

Devoirs surveillés

Mini examens (45 min):

  • Le 12/02 (11h30-12h15)
  • Le 26/02 (11h30-12h15)
  • Le 08/04 (11h30-12h15)
  • Le 22/04 (11h30-12h15)

Examen de mi-semestre (1h30):

  • Le 18/03 (16h-17h30)

Ressources

Livres :

Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.

Pour s'entraîner:

Cours et exercices: Le site Exo7.

 
 
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