Exemples (sans vérification complète !): norme p, norme infini, norme sur nombre complexes, somme de deux normes, norme sup de fonctions bornées et continues
1.2 Définitions topologiques et ses propriétés
Déf 1.3 : Ouvert
Thme 1.4 : Réunions et intersections des ouverts (preuve de réunion sur programme des kholles, preuve intersection hors programme de kholles)
Déf 1.5 : Fermé
Thme 1.6 : Intersections et réunions des ensembles fermés (preuve intersection sur programme des kholles, preuve réunion hors programme de kholles)
Déf 1.7 : Voisinage
Déf 1.8 : Intérieur comme réunion des ouverts contenus
CM 2 (31/1)
Déf 1.9 : Adhérent (intersection avec chaque voisinage non-vide)
Déf 1.10 : Adhérence
Lemme 1.11 : Adhérence comme intersection des ensembles fermés (preuve hors programme des kholles)
Thme 1.12 : L'intérieur de A égale A ssi A est ouvert (preuve: TD, programme des kholles)
Thme 1.13 : L'adhérence de A égale A ssi A est fermé (preuve hors programme des kholles)
Déf 1.14 : Partie bornée.
Exemple : Monomes dans l'espace de polynomes avec la norme 1 intégrale sur [0,1].
Déf 1.15 : Compact
Déf 1.16 : Dense (+ exemples)
1.3 Convergence de suites dans un e.v.n
Déf 1.17 : Convergence
Thme 1.18 : Propriétés de limites
Thme 1.19 : Critère sequentiel pour les points adhérentes (preuve direction adhérent ⇒ il existe une suite sur programme des kholles)
CM 3 (7/2)
Cor 1.20 Critère sequentiel de l'ahérence
Cor 1.21 Critère sequentiel pour parties fermées
Thme 1.22 Critère sequentiel pour parties compactes
Déf 1.23 Définition de la frontière
Lemme 1.24 Caractérisation de voisinage avec des boules
Déf 1.25 Définition d'une fonction continue (epsilon-delta)
Thme 1.27 Combinaison linéaire et composition des fonctions continues
Chapitre 2: Séries des fonctions, résumé et exemples
Les preuves de CM 3 ne font pas partie de programme des kholles
CM 4 (14/2)
Déf 2.1 Convergence simple pour les séries des fonctions + remarques + exemple
Thme 2.2 (rappel sans preuve) Convergence par majoration, divergence par minoration, termes convergent vers 0, critère de Cauchy
Déf 2.3 Convergence absolue + remarques + exemples sur réordonnement
Thme 2.4 (rappel sans preuve) réordonnement, double-somme, absolue implique simple
Déf 2.5 Convergence uniforme (cv par rapport de la norme infinie) + remarques
Thme 2.6 avec preuves, uniforme implique simple + même limite, critère de Cauchy pour uniforme
Thme 2.7 avec preuves, Limite uniforme d'une série continue est continue
Exemple: une série de Fourier avec limite pas continue
Déf 2.8 Convergence normale
Thme 2.9 Équivalence de la convergence normale avec une autre majoration par une suite numérique + exemple
Sur programme des kholles : Les définitions et énoncés et la preuve de théorème 2.9
CM 5 (28/2)
Déf 2.8 convergence normale (série des normes infinies converge)
Thme 2.9 Equivalence avec majoration par une série numérique convergente (preuve sur le programme des kholles)
Thme 2.10 cv. normale implique cv. absolue et uniforme (preuve sur le programme des kholles)
Déf 2.11 cv. compacte
Thme 2.12 cv. compacte d'une série des fonctions continues donne une fonction continue (preuve hors programme des kholles)
Thme 2.13 Une série des fonctions continues avec cv uniforme permet l'intégration terme par terme sur un intervalle compact (preuve hors programme des kholles)
Thme 2.14 Si les fonctions sont de classe C1, la série des derivées cv uniformement et la série cv dans un point, la série cv vers une fonction dans C1 et on peut dériver terme par terme (preuve hors programme des kholles)
Cor 2.15 Classe C infini (preuve hors programme des kholles)
Exemple: e^(-x/n)/n^2
Thme 2.16 Rappel: Echange des limites pour les suites des fonctions (preuve hors programme des kholles)
Cor 2.17: Formulation pour les séries (preuve hors programme des kholles)
Exemple Calcul de l'integrale de 0 a l'infini de la série des fonctions 1/(n^4+x^2)
CM 6 (7/3)
Partiel
Thme 2.18 (Abel-Dirichlet) Règle d'Abel uniforme
Exemple
CM 7 (21/3)
Chapitre 3 : Séries entières
Déf 3.1 : lim sup comme plus grande valeur d'adhérence
Thme 3.2 : Critère de Cauchy avec lim sup (preuve hors programme des kholles)
Déf 3.3 : Série entière
Déf 3.4 : Rayon de convergence comme sup |z| tq la série converge pour z
Thme 3.5 : Convergence normale sur B(0,r), r< R et divergence grossiere à l'extérieur (preuve sur programme de kholles)
Thme 3.6 : Formules pour R (preuve hors programme des kholles)
Thme 3.7 : Continuité, derivée, primitive et coefficents d'une série entière (preuve sur programme de kholles)
Thme 3.8 : Somme et produit des séries entières (preuve hors programme de kholles)
Rappel Taylor-Lagrange
Série entière autour d'un autre point
CM 8/9 (4/4)
Thme 3.10 Rayon de convergence par comparaison (si les coefficients sont équivalents, les rayons de convergence sont idéntiques) (preuve hors programme des kholles)
Thme 3.11 Unicité de la série entière (sur une disque autour de 0) (preuve sur programme des kholles)
Developpements en séries entières usuels: exp, cos, sin, ch, sh, 1/(1-x), ln(1+x), (1+x)^al, arctan (preuves sur programme des kholles)
Exemple: (1+x)^(-1/2)
arcsin
Déf 3.12 : exp, cos, sin, ch, sh sur les nombres complexes comme série entière
Exemple : x f(²)(x) + 3 f'(x) - 4 x^3 f(x)=0 et f(0)=1, solutions séries entières
Exemple : Identité pour les coefficients de 1/sqrt(1-x) * 1/sqrt(1-x) = 1/(1-x)
CM 10 (11/4)
Programme de kholles 2/5: tous les théorèmes sans preuves
Chapitre 4 : Calcul différentiel
Déf 4.1 : fonction continue e.v.n (rappel)
Thme 4.2 : Caractérisation séquentielle de la continuité
