Algèbre II - semestre de printemps 2015 (cours de R. Biagioli)

Responsable du cours : Riccardo BIAGIOLI

Chargés des TD : Thomas BLOSSIER (groupe A), Antoine CARADOT (groupe B), Nadia HEMPEL (groupe C), Kenji IOHARA (groupe D), Xavier LAMY (groupe E).

Dates des contrôles (en TD)

• Contrôle 1 : La semaine du 02 Mars

• Contrôle 2 : La semaine du 30 Mars

• Contrôle 3 : La semaine du 20 Avril

• Contrôle 4 : La semaine du 04 Mai

• Contrôle 5 : La semaine du 18 Mai

Avancement du cours

• 4 février : Chapitre 1 : Polynômes et fractions rationnelles.
  1.1 Définitions. 1.2 Opérations : degré. 1.3 Arithmétique des polynômes : division euclidienne, PGCD, identité de Bézout.
  
• 11 février : 1.4 Racines : racines de multiplicité k, polynôme dérivé, formule de Taylor, Thm de d'Alembert-Gauss. 1.5 Polynômes irréductibles : lemme d'Euclide, Thm de factorisation. 1.6 Factorisation dans C[X] et R[X] : irréductibles en C[X] et R[X].
  
• 25 février : Encore sur factorisation et irréductibilité dans C[X] et R[X]. Si z est une racines complexe d'un polynôme réel P, alors aussi z conjugué est une racine de P, exemples. Rappels des définitions de groupe, anneau, et corps. 1.7. Le corps des fractions rationnelles. Définition, éléments simples dans R et C, théorème de décomposition, exemples.
  
• 4 mars : Chapitre 2 : Espaces vectoriels. 2.1 Définitions et premiers exemples. 2.2 Sous-espaces vectoriels, exemples.
  
• 11 mars : 2.3 Combinaisons linéaires. 2.4 Intersection et sommes de deux sous-espaces vectoriels : exemples, sommes directes, espaces supplémentaires. Le sous-espace engendré, Vect(v1,…,vn). 2.5 Familles libres : définition et exemples, interprétation géométrique en R^2 et R^3. 2.6 Familles génératrices. 2.7 Bases : unicité de la décomposition d'un vecteur dans une base donnée, coordonnées.
  
• 25 mars : 2.8 Existence des bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète. Soit F une famille génératrice ayant n vecteurs, alors toute famille ayant plus de n vecteurs est liée. 2.9 Définition de dimension : toutes les bases ont le même cardinal. 2.10 Formule de Grassmann.
  
• 1 avril : Chapitre 3 : Matrices. 3.1 Définitions : l'espace vectoriel des matrices sur un corps, dimension et base canonique. 3.2 Multiplication de matrices : produit, pièges à éviter, propriétés, la matrice identité, puissance, formule du binôme de Newton. 3.3 Inverse d'une matrice : définition, unicité, inverse du produit, structure de groupe multiplicatif de M_n(K).
  
• 9 avril : Chapitre 4 : Systèmes linéaires. 4.1 Introduction : systèmes homogènes et espace vectoriel des solutions. Systèmes complets et ensemble des solutions. Un système peut avoir soit aucune solution, soit une seule soit une infinité. 4.2 Méthode des pivots de Gauss. Forme échelonnée et échelonnée réduite. Explication avec les matrices élémentaires. 4.3. Calcul de l'inverse avec la méthode de Gauss et explication.
• 22 avril : Pour toute matrice A, il existe une unique matrice échelonnée réduite U obtenue à partir de A par des opérations élémentaires sur les lignes. Une matrice carrée A est inversible si et seulement si U est la matrice identité. En particulier si A est inversible le solution su système linéaire AX=B est unique est égale à X=A^{-1}B. Définition du rang d'une matrice comme nombre de pivots (non nuls) de la matrice U associée (on a utilisé que des opérations élémentaires sur les lignes).
  Chapitre 5 : Applications linéaires. 5.1 Définitions et exemples. Si u est bijective est linéaire alors u^{-1} est linéaire. 5.2 Si (e_1,…,e_k) est une base de E et (f_1,…,f_k) est une famille de vecteurs de E' alors il existe une unique application u: E–>E' telle que u(e_i)=f_i pour i=1,..,k. 5.3 Le noyau et l'image de u sont des sous-espaces vectoriels. Critères de injectivité et surjectivité.
• 29 avril : La formule du rang. Bijectivité en lien avec les dimensions d'espaces de départ et d’arrivé. Applications linéaires versus matrices : la matrice d'une application linéaire dans des bases données ; comment calculer l'image d'un vecteur avec les matrices.
• 6 mai : Composition d'applications et matrices. Changement de base : la matrice de passage, matrice un vecteur dans une base. Matrice d'une application et changement de bases. Matrices équivalentes.

—-
Fiches TD

• Fiche 1 : Polynômes et fractions rationnelles.
• Fiche 2 : Espaces vectoriels.
• Fiche 3 : Matrices.
• Fiche 4 : Applications linéaires.
• Fiche 5 : Applications linéaires II.