Table des matières

Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2018-2019

Fondements des Mathématiques I

Colles

Cours : Avancement du cours

Travaux dirigés : Avancement des TD

Devoirs surveillés

Archive

Contrôle des connaissances

Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes)

DS : 30% (la moyenne des trois meilleurs notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)

Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30%

Colles

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Début des colles : la semaine du 25 septembre.

Colloscope

Cours

Enseignant : Frank Wagner (mél, web)

Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Algèbre (normalement le mercredi matin) et analyse (normalement le mercredi aprrès-midi).

Algèbre

Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation, raisonnement par récurrence, par l’absurde. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien.

Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes géométriques, inégalités dans R, coefficients binomiaux.

Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).

Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.

Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert- Gauss (admis).

Analyse

Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.

Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.

Suites réelles : Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).

Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.

Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Avancement du cours

5 septembre : [Chapitre 4] Applications, ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe. Application bijective, application réciproque, obtention du graphe de l'application réciproque par symétrie avec la diagonale y=x. Composition d'applications ; composée d'une application bijective avec sa réciproque. Exemples. Opérations sur les graphes : translation horizontale et verticale, dilatation horizontale et verticale, symétrie horizontale. Dérivation : définition de la dérivée à un point, sur un intervalle. Règles de dérivation : somme, produit, composée (sans démonstration). Application : calcul de la dérivée de 1/f, de g/f et de f-1 (pour f bijective).

6 septembre : [Annexe A1, A3] Bases de logique. Propositions, énoncés, connecteurs booléens (non, et, ou, implication, ssi). Tables de vérité. Equivalences entre propositions par table de vérité. Lois de de Morgan. Exemples. Quantificateurs. Non-commutativité de quantificateurs différents, exemples. Négation d'un quantificateur.

13 septembre : [Annexe A4, Chapitre 8.1] Techniques de démonstration: Démonstration directe, démonstration par cas. Démonstration par l'absurde, démonstration par contraposée. Récurrence, récurrence avec initialisation à un entier relatif quelconque, récurrence emboîtée. Exemples. Récurrence forte.

[Chapitre 4] Fonctions usuelles: Logaritme néperien, exponentielle néperienne, puissances réeeles. Propriétés, dérivées, limites, croissances comparées.

20 septembre : [Chapitre 8.1, Annexe A.2] Preuve en supposant l'existence d'un contre-exemple minimal. Récurrence double, exemples. Suites définies par récurrence (double). Notions ensemblistes: Ensemble, appartenance, élément. Egalité entre deux ensembles. Exemples. L'ensemble vide. Intersection, réunion, différence de deux ensembles. Complément d'un ensemble (par rapport à un ensemble ambiant). Ensemble de parties.

[Chapitre 4] Fonctions trigonométriques, fonction trigonométriques réciproques, fonctions hyperboliques, fonctions hyperboliques réciproques. Parité, périodicité. Tableau des variations, limites, asymptotes, points d'inflexion.

27 septembre : [Annexe A.2, A.4] Produit cartésien (multiple). Applications : Rappels, domaine, image. Restriction, composition, associativité de la composition. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Critère d'injectivité: f(x)=f(x') implique x=x'. Caractérisation par inverse à gauche (injectivité), inverse à droite (surjectivité), inverse bilatéral = fonction réciproque (bijectivité).

Formules explictes pour les fonctions hyperboliques réciproques. Injectivité/surjectivité/bijectivité et composition de fonctions. Calculs algébriques : notation pour une somme, pour un produit ; somme et produit télescopiques ; somme géométrique ; somme sur un rectangle, un triangle. Ensembles finis, principe du tiroir.

4 octobre : [Chapitre 8.3 et 8.4, Chapitre 1] Ensemble YX de fonctions de X dans Y. Cardinal d'un ensemble fini ; calcul du cardinal d'un produit, d'un ensemble de fonctions, d'un ensemble de parties. Arrangements, combinaisons, fonction factoriel, coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Les nombres complexes : motivation par la formule de Cardano d'une racine d'une équation de troisième degré. Définition d'un corps, exemples. Construction de C en munissant R2 d'une loi additive et d'une loi multiplicative. Représentation d'Argand, affixe d'un point de R2, image d'un nombre complexe.

[Chapitre 9, Chapitre 10] Le corps R des nombres réels. Définition d'un ordre partiel, d'un ordre total. Majorant/minorant, borne supérieure/inférieure d'une partie. Eléments maximaux/minimaux d'une partie, maximum et minimum. Pour un ordre total, égalité maximum = élément maximal ; minimum = élément minimal. Caractérisation de la borné supérieure. Axiome de la borne supérieure. Archimédianité de R, et densité de Q dans R. La droite numérique achevée. Intervalles. Les suites : définition, exemples.

11 octobre : [Chapitre 1] Forme algébrique d'un nombre complexe, partie réelle, partie imaginaire. Formules binomiaux. Conjugaison complexe, module, inégalité triangulaire. Argument, forme trigonométrique, interprétation géométrique de la multiplication et de la conjugaison. Exponentielle imaginaire, forme exponentielle d'un nombre complexe. Relation d'Euler, Formule d'Euler, formule de Moivre. Factorisation par angles moitiés. Définition d'un groupe. Le groupe U des complexes de module 1. Racines de l'unité (définition).

[Chapitre 10] Suites : (strictement) croissantes/décroissantes/monotones, majorées, minorées, bornées. Opérations sur les suites (somme, produit, produit scalaire) et leurs limites. Inégalités sur les suites. Théorème du gendarme. Suites divergentes vers ∞ ou -∞.

18 octobre : [Chapitre 1] Groupe des racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes primitives de l'unité. Expression comme exp(i2πk/n) avec k=0,…,n-1 ; primitive ssi pgcd(n,k)=1 (admis). Représentation sur le cercle U. La relation 1+ω+ω²+…+ωn-1=1. Racines n-ièmes d'un nombre complexe sous forme exponentielle. Calcul d'une racine carrée d'un nombre complexe sous forme algébrique, résolution d'une équation de second degré (à coefficients complexes ou réels). Nombres complexes et géométrie plane : distance, barycentre. Associativité du barycentre.

[Chapitre 10] Résolution des suites un+2=aun+1+bun. Suites extraites (sous-suites) ; critères de convergence et de divergence. Suites monotones, convergence dans la droite réelle achevée. Suite adjacentes. Théorème de Ramsey (énoncé). Extraction d'une sous-suite monotone ; Théorème de Bolzano-Weierstrass.

25 octobre : [Chapitre 1, Chapitre 20] Angles et argument. Similitudes directes : translations, homothéties, rotations. Composition de similitudes directes. Points fixes ; détermination d'une similitude directe. Arithmétique : Relation de divisibilité, congruences.

8 novembre : [Chapitre 20] Divisibilité comme ordre partiel sur N. Congruences, système complèt de restes modulo n. Division euclidiennne, pgcd, ppcm. Théorèmes d'Euclide et de Bézout. Algorithme d'Euclide et calcul des coefficients de Bézout. pgcd(a,b) comme élément maximal de l'ensemble des diviseurs communs de a et de b.

[Chapitre 10, Chapitre 11] Rappel Théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass, démonstration du dernier avec le théorème de Ramsey, et démonstration alternative avec bisection des intervalles. Fonctions réelles : opérations sur les fonctions (somme, produit, multiple scalaire, valeur absolue, sup, inf), comparaison. Fonctions bornées, extrema, extrema locaux. Monotonie (stricte). Parité, périodicité. Voisinages, adhérence; propriété vraie en un voisinage. Limite d'une fonction en un point de l'adhérence de son domaine.

15 novembre : [Chapitre 20] Théorème de Gauss. Propriétés et caractérisation du ppcm et du pgcd. Résolution de la congruence ax≡b mod n. Résolution du système de congruences x≡a mod n et x≡b mod k. Nombres premiers : définition. Infinitude de l'ensemble des nombres premiers. Décomposition en nombres premiers (existence).

[Chapitre 11] Définition séquentielle d'une limite; équivalence avec la définition par voisinages. Existence d'une limite finie implique localement borné. Limites et inégalités. Théorème de majoration. Opérations algébriques sur les limites (somme, produit, valeur absolue, quotient). Continuité en un point, définition. Préservation par opérations algébriques. Limites unilatérales, continuité unilatérale. Prolongement par continuité. Théorème des restes chinois.

22 novembre : [Chapitre 20, Chapitre 21] Unicité de la décomposition d'un entier en facteurs premiers. Caractérisation du pgcd et du ppcm par décomposition en facteurs premiers. Résolution de l'équation diophantienne ax + by = n. Polynômes: définition, degré, terme dominant, coefficient dominant, valuation. Propriétés deg(P+Q)≤max{deg P, deg Q}, deg(PQ) = deg P + deg Q, val(P+Q)≥min{val P, val Q}, val(PQ)=val P + val Q. Intégrité: PQ=0 implique P=0 ou Q=0.

[Chapitre 11] Passage à la limite dans les inégalités, théorème des gendarmes pour els fonctions, théorème de composition des limites, continuité de la composée de deux fonctions continues (en un point). Théorème de la limite monotone. Propriétés globales: continuité, continuité, Lipschitzianité sur un intervalle. Opérations: La somme, le produit, la valeur absolue, le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) et la composée de fonctions continues est continue. La somme, le produit, la valeur absolue et la composée de fonctions uniformément continues le sont aussi; la somme, la valeur absolue et la composée de fonctions lipschitziennes le sont aussi. Théorème des valeurs intermédiaires. L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

29 novembre : [Chapitre 21] Petit théorème de Fermat, nombre de diviseurs. Polynômes : Composition de polynômes. Polynômes associés, division euclidienne. Diviseurs communs, algorithme d'Euclide pour les polynômes, pgcd. Identité de Bézout pour les polynômes, coefficients de Bézout. Polynômes premiers entre eux. Lemme de Gauss. Ppcm.

[Chapitre 11, Chapitre 12] Théorème des valeurs intermédiaires (2me forme). Théorème du maximum: une fonction continue sur un segment atteint un maximum. Théorème de Heine: Une fonction continue sur un segment est uniformément continue. Théorème de la bijection. Dérivation : taux d'accroissement, dérivée en un point (à gauche, a droite), sur un intervalle, fonction dérivée. Interprétation géométrique. Développement limite à l'ordre 1 d'une fonction dérivable. Dérivable implique continue. Opérations sur les dérivées : dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, de la réciproque multiplicative, d'un quotient.

6 décembre : [Chapitre 21] Le ppcm divise tout multiple commun. Polynômes irréductibles, décomposition en produit de facteurs irréductibles, unicité. Fonction polynomiale P associé à un polynôme P. Racines (zéros) d'un polynôme. Un polynôme non-nul de degré d a au plus d racines ; injectivité de la fonction P→P. Racines d'ordre n, racine multiple. Polynôme dérivé, dérivé d'une somme et d'un produit, dérivés successives, formule de Leibniz. Polynômes scindés, théorème fondamental de l'algèbre.

[Chapitre 12] Dérivation de fonctions composées et de la fonction réciproque. Extremum d'une fonction dérivable, théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis (TAF), inégalité des accroissements finis (IAF). Dérivée bornée implique Lipschitzienne. Variations d'une fonction. Théorème du prolongement dérivable. Dérivées successives, formule de Leibniz. Fonctions de classe Cn. Opérations sur la classe Cn, théorème de la bijection Cn. Fonctions (strictement) convexes : définition, inégalité généralisée.

13 décembre : [Chapitre 21] Polynômes irréductibles sur C et sur R, polynômes conjugués. Formule de Taylor pour les polynômes ; caractérisations des racines d'ordre n. Fonctions symétriques ; relation entre les racines et les coefficients d'un polynôme. Démonstration du Théorème de Ramsey.

[Chapitre 12] Fonctions convexes : Lemme des trois pentes. Caractérisation des fonctions convexes dérivables : f' croissant, ou f“≥0. Fonctions concaves. Exemple : le logarithme. Application : inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique ; inégalité de Young.

Travaux dirigés

Feuilles d'exercices :

Avancement des TD

Groupe P1 (Pascal Lainé):
Groupe P2 (Francesco Fanelli) :
Groupe P3 (Khaled Saleh) :
Groupe P4 (Arnaud Duran):

Devoirs surveillés

Les mercredis 25 septembre, 18 octobre, 15 novembre et 6 décembre.

Contrôle commun 1, sujet

Contrôle commun 1, correction

Contrôle CCP 1, sujet

Contrôle CCP 1, correction

Contrôle commun 2, sujet

Contrôle commun 2, correction

Contrôle CCP 2 sujet

Contrôle CCP 2 correction

Contrôle commun 3, sujet

Contrôle commun 3, correction

Contrôle CCP 3 sujet

Contrôle CCP 3 correction

Contrôle CCP 4 sujet

Contrôle CCP 4 correction

Archive

Devoirs 2016-17

Archives du L1 de la licence de mathématiques

Fondements des Mathématiques II

Page du semestre de printemps 2019

Archive Fondements des Mathématiques II (2017/2018)

Colles (S2)

Programme du Cours

Avancement du cours

Travaux dirigés

Avancement des TD

Devoirs surveillés

Archive

Contrôle des connaissances (S2)

Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes)

DS : 30% (la moyenne des trois meilleurs notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)

Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30%

Colles (S2)

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Début des colles : la semaine du 29 Janvier.

Colloscope.

Cours (S2)

Enseignant : Stéphane Attal (mél, http://math.univ-lyon1.fr/~attal)

Livre recommandé : Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Site recommandé : http://mp.cpgedupuydelome.fr/exosup.php (Prépa Dupuy de Lôme)

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Algèbre et analyse.

Algèbre

Fractions rationnelles : Définitions, décompositions en éléments simples, méthodes de calcul de la décomposition.

Espaces vectoriels : Définitions, sous-espace, sommes directes, supplémentaires, bases, dimension

Applications linéaires :

Calcul matriciel :

Analyse

Développements limités : o(g), Taylor-Young, D.L. de base, méthodes de calcul, Taylor-Lagrange et reste intégral.

Intégration :

Equations différentielles :

Avancement (S2)

Polycopié du cours

Cours du 17/01 : Développements limités (1)

Définition de f=o(g), exemples. Opérations possibles avec les o, opérations impossibles avec les o. Equivalence entre D.L.1 et dérivabilité.

Cours du 18/01 : Développements limités (2)

Formule de Taylor Young. Longue discussion sur ce que signifie vraiment un DL. Les D.L. usuels en 0 : exp, cos, sin, ln(1+x), (1+x)^a, ch, sh. Longues explications sur la différence entre 1-x^2+o(x), 1-x^2+o(x^2), 1-x^2+o(x^3)

Cours 22/01 : Développements limités (3)

Opérations sur les D.L. : comment on effectue des sommes, des produits et des compositions de D.L. Aucun théorème formel, uniquement du travail sur des exemples. Méthodologie : comprendre d'abord quel o(x^n) va sortir de votre somme, produit etc ; ensuite faire le développement de la somme, produit, composition en ne gardant que les termes pertinents.

Définition formelle d'un D.L. Démonstration de l'unicité d'un D.L. Au passage, retour nécessaire sur les polynômes pour démontrer que l'écriture $\sum_{k=0}^n a_k (X-x_0)^k$ est unique.

Enoncé de Taylor-Lagrange.

Cours 23/01 : Fractions rationnelles (1)

Définition des fractions rationnelles, de K(X), unicité et opérations sur les fractions rationnelles. Notion de degré, degré(F+G), degré(FG). Pôles et racines. Au passage, nécessité de faire un rappel sur racine et multiplicité pour un polynôme, rappeler toutes les caractérisations équivalentes.

Debut de la décomposition en éléments simples : partie entière, partie polaire associée à un pôle.

Cours 29/01 : Développements limités (4 et fin)

Preuve de Taylor-Lagrange. Inégalité de Taylor-Lagrange

Taylor avec reste intégral.

Petite digression sur les équivalents et le lien avec les D.L.

Nature des points critiques en fonction du D.L.

Position du graphe par rapport à la tangente en fonction du D.L.

Cours 01/02 : Fractions rationnelles (2)

Enoncé de la décomposition en éléments simples dans C.

Preuve en détails. Beaucoup de temps passé à expliquer tout ça.

Enoncé de la décomposition en éléments simples dans R. La preuve est à lire dans le cours, elle ne peut pas être exigée.

Méthodes de calcul : j'ai commencé les cas de degré 1 et multiplicité 1, puis les cas de degré 1 et de multiplicité quelconque (par substitution et soustraction des termes uns a uns).

Cours 05/02 : Intégration

Introduction et motivations. Subdivisions, fonctions en escalier, intégrale des fonctions en escalier.

Propriétés des intégrales dans ce cas : linéarité, comparaison de fonctions, inégalité triangulaire.

Définition de fonction Riemann-intégrable et de son intégrale.

Cours 09/02 : Fractions rationnelles (3 et fin)

Séance pas très efficace : rappels sur méthodes de décompositions en éléments simples dans le cas complexe.

Ensuite, le cas réel avec des termes irréductibles de degré 2. On a balayé plusieurs méthodes : substitution-soustraction, passage par les complexes etc.

J'ai fini par une intro et motivations aux espaces vectoriels.

Cours 12/02 : Intégration (2)

Rappels sur Riemann-intégrable. Un exemple non intégrable (l'indicatrice de Q sur [0,1]). Un cas intégrable avec calcul à la main.

Définition équivalente de Riemann-intégrable : approchable par au-dessus et en dessous par des fonctions en escalier, etc.

Propriétés des intégrales : linéarité, comparaison. Définition de f_+, f_-, lien avec valeur absolue(f). Inégalité triangulaire.

Première formule de la moyenne.

Cours 15/02 : Espaces vectoriels

Définition d'un K-espace vectoriel (K c'est R ou C, c'est tout). Exemples : R^n, C^n, R[X], R_n[X], C([0,1]), l'espace des suites etc.

Notion de sous espace vectoriel. On a déterminé ensemble tous les sous espaces de R^3.

Intersection de sous-espace est un sous espace. Pour l'union ça ne marche pas.

Somme de sous-espaces. C'est un sous-espace. Exemples.

Espace vectoriel engendré. Notation Vect(F). Exemples

Vect(F union G)=F+G

Cours 26/02 : Intégration (3)

Le produit de deux fonctions intégrables est intégrable (démonstration à lire sur le poly). Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Une fonction intégrable modifiée sur un nombre fini de points reste intégrable et son intégrale est inchangée.

Définition d'une fonction vérifiant une propriété par morceaux (continue par morceaux, croissante par morceaux, C^1 par morceaux, etc. )

Toute fonction monotone par morceaux est intégrable

Définition de l'uniforme continuité. Théorème de Heine (démonstration à lire dans le poly).

Toute fonction continue par morceaux est intégrable.

Cours 01/03 : Espaces vectoriels (2)

Somme directe de sous-espaces

Famille génératrice

Famille libre

Base. Coordonnées dans une base.

De nombreux exemples.

Cours 05/03 : Intégration (4)

Convention et relation de Chasles

Le théorème fondamental : l'intégrale dépendant d'une borne est toujours continue, elle est dérivable si on intègre une fonction continue, de dérivée la fonction de départ. Notion de primitive, elles ne diffèrent que par une constante.

Intégration par parties

Changement de variables. Exemples. Linéarisation de cos(x)^n, sin(x)^n.

Cours 12/03 : Intégration (5 et fin) et espaces vectoriels (3)

Intégrale nulle d'une fonction continue positive =⇒ fonction nulle. Cas d'égalité dans Cauchy-Schwarz pour les fonctions continues.

Formule de la moyenne II

Sommes de Riemann. Un peu de culture sur vitesse de convergence des sommes de Riemann, approximation par les trapezes, méthode de Simpson.

Retour sur les espaces vectoriels :

Toutes les bases d'un espace de dimension finie ont même cardinal (non démontré). Notion de dimension.

Théorème de la base incomplète : de toute famille génératrice on peut extraire une base, toute famille libre peut être complétée en une base.

Si le cardinal de la famille = dimension de E alors base ⇔ libre ⇔ génératrice.

Cours 15/03 : Espaces vectoriels (4 et fin) et Applications linéaires (1)

Espaces vectoriels

Dimension des s.e.v., cas d'égalité des dimensions

Formule de Grassmann, cas de la somme directe

Tout s.e.v. admet un supplémentaire. La dimension de tout supplémentaire est la même.

Applications linéaires

Définitions : application linéaire, L(E,F), forme linéaire, E^*, endomorphisme, L(E), isomorphisme, GL(E,F), automorphisme, GL(E).

u(0)=0

L'image d'un s.e.v. est un s.e.v., idem pour l'image réciproque. u(Vect(A))=Vect(u(A))

Noyau, Image

u injective ⇔ Ker u={0}. u surjective ⇔ Im u=F

Cours 19/03

Pas de cours dans le cadre du programme. Les étudiants m'ont expliqué qu'ils ne comprenaient rien aux éléments de calcul différentiel de leur cours d'électromagnétisme. J'ai donc fait un cours au débotté : plusieurs variables, dérivées directionnelles, dérivées partielles, Schwartz, gradient, dérivées totales, retrouver un potentiel, intégrales multiples sur un rectangle, intégrales multiples sur un ensemble plus compliqué (disque, triangle).

Cours 22/03 : Applications linéaires (2)

L'image d'une famille libre par u injective est une famille libre. L'image d'une famille génératrice par u surjective est génératrice. u injective si l'image d'une base est libre. u surjective si l'image d'une base est génératrice. u est bijective ssi l'image d'une base est une base.

Il existe une unique a.l. qui prend des valeurs fixées sur une base. Si deux a.l. coïncident sur une base alors elles sont égales. Deux e.v. sont isomorphes si ils ont même dimension.

Définition du rang. Si u\in L(E,F) alors rg(u)\leq dim E et dim F. rg(vou)\leq rg(v) et rg(u). Théorème du rang (version 1) : u induit un isomorphisme de tout supplémentaire S de Ker u, dans Im u. Théorème du rang (version 2) : dim E=rg(u)+dim Ker u.

Cours 26/03 : Applications linéaires (3 et fin) et Calcul matriciel (1)

Applications linéaires

Si u\in L(E,F) avec dim E différent de dim F, alors u ne peut pas être bijective. En particulier si dim E<dim F alors u ne peut pas être surjective, si dim E>dim F alors u ne peut pas être injective.

Théorème d'isomorphisme : si dim E=dim F alors u surjective ⇔ u injective ⇔ u surjective.

Calcul matriciel

Pour u\in L(E,F) et pour des bases fixées, définition de la matrice (u_{ij}) associée à u. Nombre de lignes et nombre de colonnes en fonction de dim E et dim F. Action de la matrice sur les vecteurs de E, lien avec u(x), formule u(x)_i=\sum_j u_{ij} x_j. La matrice est construite en mettant les u(e_i) dans les colonnes. Exemples concrets.

Notation M_{n,m)(K), M_n(K).

Matrice associée à aU+bV. Matrice associée à VoU dans le cas général. Formule (VoU)_{ij}=\sum_k V_{ik} U_{kj}. Attention aux dimensions des espaces. On composant M_{n,m}(K) avec M_{m,p)(K) on obtient M_{n,p}(K).

Cours 29/03 : Calcul matriciel (2)

Retour sur M_{n,p}(K). Les matrices de base E_{ij}. L'ensemble M_{n,p}(K) est un K-espace vectoriel de dim np et de base les E_{ij}.

Formule du produit de matrices AB, A\in M_{n,p}(K), B\in M_{p,q}(K). Attention à l'ordre !

Sur M_n(K) il y a un produit interne (une structure d'algèbre). On peut prendre les puissances d'une matrice. Développement de (A+B)^2. Digression sur l'utilisation des produits de matrices dans l'algorithme PageRank de Google.

Matrices par blocs. Formule d'action sur les vecteurs par blocs, produits de matrices par blocs.

A faire en exercice : Calculer les coefficients de AE_{ij} et de E_{ij}A. Montrer que les seules matrices de M_n(K) qui commutent avec toutes les matrices sont les lambda I.

Cours 05/04 : calcul matriciel (3)

Corrigé de l'exercice laissé une semaine avant.

Noyau, Image, rang. Propriétés du rang. Théorème du rang. Exemples

Inverse de matrice. Théorème d'isomorphisme.

Lien entre matrice et systèmes linéaires. Rôle de l'invisibilité.

Résolution de systèmes linéaires, méthode du pivot. Plusieurs exemples. Lien avec le calcul de l'inverse d'une matrice.

Cours 09/04 : Equation différentielles

Introduction, vocabulaire, notations.

Equations f'+a(x) f=g(x). Equation homogène. Variation de la constante, solution générale.

Equations af''+bf'+cf=g. Equation caractéristique. Les 3 cas. Résolution générale en indiquant que la solution particulière se trouve par analogie avec le second membre et qu'ils verront les trucs en TD.

Cours 12/04 : Calcul matriciel

Retour sur la méthode de calcul de l'inverse par résolution de systèmes. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

Transposée. Propriétés de base (produit, inverse etc.)

Changement de bases. Matrice de passage P_{E',E}. Changement de base sur les vecteurs : X=PX'. La matrice de passage est inversible et P^{-1}=P_{E,E'}. Changement de base sur les matrices : A'=Q^{-1}AP, avec le cas particulier fréquent A'=P^{-1}AP. Un exemple fait à fond où la matrice devient diagonale.

Cours 23/04 : Calcul matriciel

Retour sur A'=P^{-1}AP. Un exemple.

Matrices équivalentes, matrices semblables. Toute matrice de rang r est équivalente à J_r. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

Trace. Tr(AB)=Tr(BA). Tr est un invariant de changement de base.

Determinant. Calcul pour 2×2, 3×3, 4×4. Exemples. Det(AB)=Det(A)Det(B ) (sans preuve). A inversible si et seulement si Det A différent de 0. Exemples. Application aux systèmes.

Travaux Dirigés (S2)

Avancement des TD (S2)

Groupe P1 (François Lê) :
Groupe P2 (Pierre-Damien Thizy) :
Groupe P3 (Maxime Pelletier, Luigia Ripani) :
Groupe P4 (Xinxin CHEN):

Devoirs surveillés (S2)