Suggestion de référence : “Algèbre linéaire”, Joseph Grifone.
Il faut avoir suivi les cours algèbre 1 et algèbre 2.
En algèbre 1 :
Tout ce qui concerne les calculs algébriques : manipulation des sommes et des produits de familles finies de nombres réels, sommes et produits télescopiques, sommes géométriques, factorisation de a^n-b^n par a-b, factorielle et coefficients binomiaux, formule du binôme de Newton, sommes doubles et produit de deux sommes finies.
Logique : connecteurs « et » et « ou », quantificateurs, implications, contraposition, équivalences, négation, types de preuves : disjonction de cas, contraposition, absurde, analyse-synthèse, récurrence. Principes de rédaction.
Ensembles : appartenance, inclusion, parties, opérations : union, intersection, complémentaire, produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles, ensemble des parties d'un ensemble (recouvrement, partition).
Applications : image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité, composition.
Nombres complexes.
Polynômes sur R ou C. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, théorème de d’Alembert-Gauss. Résolutions des équations polynomiales de degré 2 à coefficients réels et complexes.
En algèbre 2 :
Systèmes linéaires : résolution par pivot de Gauss.
Matrices : opérations sur les matrices, inverse d'une matrice, calcul de l'inverse d'une matrice, opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes Interprétation matricielle d’un système linéaire. Rang et noyau d’une matrice. Matrices équivalentes, matrices semblables, trace.
Espaces vectoriels : Espaces vectoriels sur Q, R ou C. Sous-espaces vectoriels. Familles libres, génératrices, bases (on se limitera des familles finies). Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires. Espaces vectoriels de dimension finie. Changement de base, matrice de changement de base.
Applications linéaires : définition, matrice d’une application linéaire, noyau, image, caractérisation de l’injectivité. Image d’une famille libre, génératrice, base. Rang, théorème du rang.
En termes de contenu : essentiellement les programmes d'Analyse 1 et 2. Nombres réels (inégalités, valeur absolue, inégalités triangulaires, intervalles). Suites réelles (monotonie, suites minorées, majorées, bornées, limites). Fonctions réelles (limites en un point, en l'infini, continuité, monotonie, dérivabilté, de classe C^k). Fonctions usuelles. Equivalents, petits o, grands O. Croissances comparées. Dévellopements limités et formule de Taylor-Young. Dévellopements asymptotiques. Primitives. Primitives de fractions rationnelles.
Plusieurs éléments du programme de 1ère année seront revus rapidement ou au contraire approfondis en Analyse 3 : majorant, maximum, borne supérieure, convergence des suites croissantes majorées. Suites extraites. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème des accroissements finis et de Taylor-Lagrange. Une définition de l'intégrale de Riemann. Propriétés de l'intégrale. Théorème fondamental du calcul intégral. Intégration par parties, formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral. Changement de variables.
En termes de techniques et pratiques travaillées en 1ère année (qui seront retravaillées en Analyse 3) : Écrire des énoncés mathématiques corrects (objets et variables bien introduit·es, distinction claire entre “pour tout” et “il existe”…). Être capable de suivre ou mettre en oeuvre différents types de preuves : disjonction de cas, contraposition, absurde, analyse-synthèse, récurrence. Savoir manipuler des inégalités, savoir majorer, savoir minorer. Savoir manipuler les définitions de limite, de continuité. Savoir utiliser des théorèmes en vérifiant proprement les hypothèses. Savoir étudier des fonctions ou suites simples. Savoir calculer des équivalents, des développements limités. Maîtriser les croissances comparées et avoir une idée d'ordres de grandeur. Savoir calculer des primitives simples, faire des changement de variables simples.
Référence bibliographique : François Liret et Dominique Martinais, Analyse 1ère année, Dunod (Chapitres 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 13) Version numérique (accès restreint Lyon 1)
Matrice d'une application linéaire, transposée d'une matrice, polynôme caractéristique d'une matrice, savoir diagonaliser une matrice diagonalisable, notion de sommes directes de sous-espaces vectoriels
Référence (par ex.) Joseph Grifone, Algèbre linéaire
Suites numériques, Formules de Taylor et développements limités, intégrales de Riemann, limites, continuité et dérivabilité de la L1, séries numériques et intégrales généralisées de l’UE Analyse 3 en L2.
Les suites et séries numériques seront révisées à la 1ère séance de TD.
Références bibliographiques :
Image et image réciproque d'un ensemble par une application et lien avec les opérations ensemblistes. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème des valeurs intermédiaires. Norme euclidienne. Les notions d'ouverts/fermé/compact de Rn. Limite d'une suite de Rn. Continuité d'une fonction de n variables réelles. Applications linéaires entre espaces vectoriels.
Il n'y a pas vraiment de prérequis formel, mais
Il est nécessaire de connaître la théorie de l'intégration de Lebesgue, telle qu'enseignée dans l'UE MAT3143L (Mesure et Intégration).
Du L1: Les corps des réels et complexes, espace vectoriel sur un corps, dimension et base. Arithmétique: divisibilité, Bézout, nombre premier, factorisation unique, pgcd, ppcm. Arithmétique sur les polynômes: divisibilité, Bézout, polynôme irréductible (unitaire), factorisation unique, pgcd, ppcm. Factorisation sur les complexes et les réels.
Du S5: Notion de groupe, groupe cyclique, théorème de Cauchy. Equation des classes.