Présentation de rentrée (comportant notamment les modalités des évaluations et de contrôle des connaissances) :

Pour les colles : Colloscope

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 31 août (partie 1) : Chap.1 - Intégrales généralisées : intégrales convergentes/divergentes, cas où une seule des deux bornes est impropre, intégrales de Riemann (preuves sur [a;+infini[ et ]0;a] à connaître), propriétés des intégrales convergentes (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, changement de variables).
• 31 août (partie 2) : Intégration par parties généralisée (preuve à connaître), fonction intégrable (ex des fonctions continues sur un segment, fonctions de Riemann), lien avec l'intégrabilité sur un intervalle inclus dans I, rappels sur les comparaisons locales de fonctions (domination, négligeabilité, équivalence, lien entre f=o(g)(ou f~g) et f=O(g) : la preuve est à savoir refaire).
• 07 septembre : Théorème de comparaison pour l'intégrabilité (pour des fonctions positives dans le cas où f est majorée par g). Théorèmes de comparaison concernant l'intégrabilité (pour des fonctions complexes avec o, O et ~), exemples d'études explicites, combinaison linéaire de fonctions intégrables, inégalité de Cauchy-Schwarz, l'intégrabilité de f sur I entraîne la convergence de l'intégrale de f sur I. Définition d'une intégrale absolument convergente/semi-convergente, exemple d'intégrale semi-convergente (non terminé).
• 14 septembre (partie 1) : Fin de l'exemple d'intégrale semi-convergente (avec la non intégrabilité de t→cos(t)/t sur [1;+infini[) . Retour sur le lien entre intégrabilité d'une fonction et convergence de son intégrale (équivalence entre les deux lorsque la fonction est de signe constant), règle de Bertrand au voisinage de l'infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite, peut être demandée en question de cours sur un exemple donné), au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changement de variable, preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Chap.2 - Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle)
• 14 septembre (partie 2) : Convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité seulement pour l'instant, la convergence de la série de terme général 1/n^2 a été traitée en exemple).

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'analyse ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

• Matilde Maccan (groupe P6)
• Tom Ferragut (groupe P7)
• Rouchdi Bahloul (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions sur les comparaisons locales de fonctions
• TD2 - Intégrales généralisées

Avancement :

Groupe P6 :

• 02/09. Feuille 1 : Exercices 1, 2, 3(Q1), 4, 6. Exercice 3(Q2) à finir pour la prochaine fois.
• 09/09. Feuille 1 : Exercices 3(Q2) et 5. Feuille 2 : Exercice 1(Q1, Q2) et 2(Q2-Q6)
• 16/09. Feuille 2 : Exercices 1(Q3), 2(Q7,Q8), 3(Q1-Q4), 4. Exercice 5(Q1) à regarder pour la prochaine fois.

Groupe P7 :

• 02/09. Feuille 1 : Exercices 1, 2, 3(Q1), 4
• 09/09. Feuille 1 : Exercices 5, 6. Feuille 2 : Exercice 1 et 2(Q1-Q3)
• 16/09. Feuille 2 : Exercices 2, 3(Q1-Q4), 4.

Groupe P9 :

• 02/09. Feuille 1 : ex. 1, 2, 3(Q1), 4(Q1, Q2, Q4), début du 5. Le 4(Q3) et la fin du 5 sont à rendre pour la semaine suivante. Correction TD 1
• 09/09. Feuille 2 : ex. 1, ex.2 (Q1 à Q4).
• 16/09. Feuille 2 : Fin de l'ex. 2; ex.3(Q1 à Q4), début de l'ex. 4.

Groupe P10 :

• 02/09. Feuille 1 : exercices 1, 2, 3, 4 (questions 1 et 2 seulement).
• 09/09. Feuille 1 : fin de l'exo 4 (correction des 5,6 et 7 donnée). Feuille 2 : exercice 1, 2 (uniquement les questions 1, 2, 3 et 5).
• 16/09. Feuille 2 : fin de l'exo 2, exercice 3 (Q1 à Q4). Principe de l'exo 4 expliqué (condition d'intégrabilité au voisinage de l'infini étudiée).

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

• 02 septembre (partie 1) : Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Chap.1 Groupe symétrique : définition d'un groupe, du groupe symétrique, cardinal, pour n supérieur à 3, le groupe symétrique n'est pas commutatif (preuve à connaître), cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions. Nombre d'inversions d'une permutation, signature d'une permutation.
• 02 septembre (partie 2) : Signature d'une transposition (preuve à connaître), signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p. Chap.2 Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître), déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes.
• 07 septembre : Effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées (preuve à connaître), déterminant d'un produit de matrices. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes).
• 09 septembre : Exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ou inférieure par blocs. Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice est commutatif et donne det(A) I_n, application au calcul d'inverse d'une matrice.
• 16 septembre : Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation. Formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme : les matrices d'un endomorphisme ont toutes le même déterminant (preuve à connaître), déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée). Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition seulement pour l'instant).

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:

• Matilde Maccan (groupe P6)
• Tom Ferragut (groupe P7)
• Rouchdi Bahloul (groupe P9)
• Gaelle Dejou (groupe P10)

• TD1 - Révisions

Avancement :

Groupe P6 :

• 04/09. Feuille 1 : Exercices 1 à 3.
• 11/09. Feuille 1 : Exercices 5, 6, 7(Q1-Q3), 8.
• 18/09. Feuille 1 : Exercices 9(Q1-Q3), 10 (Q1,Q2), 12, 13(Q1,Q2), 16(matrice A).

Groupe P7 :

• 03/09. Feuille 1 : ex. 1, 2, 3(Q1).
• 11/09. Feuille 1 : ex. 3(Q2), 4, 5, 6.

Groupe P9 : Document sur les prérequis de L1 en algèbre linéaire

• 04/09. Feuille 1 : ex. 1, 2, 3.
• 11/09. Feuille 1 : ex. 4, 5, 6.
• 18/09. Feuille 1 : ex. 7, 8, 10, 11 (Q1 et Q2), 15, 16 (matrice A), 17 (1 et 2; indications pour 3 et 4).

Groupe P10 :

• 04/09. Feuille 1 : exercices 1, 2, 3 (Q1 seulement).
• 11/09. Feuille 1 : fin de l'exo 3, exercices 4, 5, 6 et Q1 du 8.
• 18/09. Feuille 1 : fin de l'exo 8, exercices 9, 11, 12, 13 (Q1 et Q2 seulement).

Dates prévisionnelles (horaires : lundi de 17h30 à 19h, amphis Thémis 7 et 8)

• DS1 CUPGE : lundi 21 septembre
• DS1 commun : lundi 28 septembre
• DS2 CUPGE : lundi 19 octobre
• DS2 commun : lundi 2 novembre
• DS3 CUPGE : lundi 16 novembre
• DS3 commmun : lundi 23 novembre
• DS4 CUPGE : lundi 7 décembre
• DS4 commun : lundi 14 décembre