Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2015-2016

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 2 septembre 2015: Intégrales généralisées pour les fonctions positives. Comparaisons de fonctions intégrables (ou non intégrables) positives. Intégrales de Riemann. Fonctions absolument intégrables (définition et premiers exemples).
• 07 septembre 2015: Fonctions absolument intégrables. Intégrales impropres convergentes. Intégrales de Bertrand. Séries numériques: vocabulaire de base et premiers exemples. Divergence grossière.
• 14 septembre 2015 : Somme de séries numériques. Séries à termes positifs : comparaison de séries à termes positifs (<, o, O, ~), règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale. Séries de référence : séries géométriques, séries de Riemann, série définissant l'exponentielle. Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, semi-convergence, énoncé du critère des séries alternées.
• 21 septembre 2015 : Séries numériques : critère des séries alternées, transformation d'Abel et règle d'Abel, études asymptotiques (sommation des relations de comparaison et des équivalents), produit de Cauchy (admis). Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, distance associée à une norme.
• 28 septembre 2015 : Boule ouverte, fermée, sphère. Ensemble convexe. Exemples et contre-exemples avec les boules et les sphères. Partie bornée, diamètre. Exemples de normes dans K^n, en dimension infinie. Normes équivalentes. Équivalence des normes en dimension finie (admis). Suites dans un e.v.n : suites bornées, convergentes, propriétés des limites.
• 05 octobre 2015 : Convergence d'une suite en dimension finie, dans un espace produit. Séries d'éléments d'un e.v.n. : vocabulaire, convergence absolue, en dimension finie, l'absolue convergence d'une série entraîne sa convergence. Topologie des e.v.n. : voisinage, ouverts (exemples, union quelconque et intersection finie, produits d'ouverts), intérieur (définition, caractérisation d'une partie ouverte à l'aide de son intérieur), fermés (exemples, intersection quelconque, union finie), caractérisation séquentielle des fermés.
• 12 octobre 2015 : les boules fermées et les sphères sont fermées. Produits de fermés. Parties compactes : définition, propriétés, caractérisation en dimension finie. Généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass. Limites de fonctions vectorielles : définition, caractérisation séquentielle, opérations, fonctions à valeurs dans un espace normé produit, extension des définitions “à l'infini”. Exemples dans R^2 et R^3.
• 19 octobre 2015 : Continuité de fonctions vectorielles : définition, caractérisation séquentielle, continuité et restriction. Applications lipschitziennes. Opérations sur les fonctions continues (exemple des fonctions polynomiales sur K^p). Continuité et compacité : image d'un compact par une application continue, théorème des bornes atteintes.
• 2 novembre 2015 : Continuité d'une application linéaire : caractérisations équivalentes, norme subordonnée. Brève extension aux applications bilinéaires. Calcul différentiel : vocabulaire, dérivées partielles, matrice Jacobienne et gradient.
• 9 novembre 2015 : Calcul différentiel : dérivée selon un vecteur, dérivées partielles vues comme dérivées selon les vecteurs de la base canonique, fonction différentiable. Exemples des fonctions constantes, linéaires et bilinéaires. Différentiable implique continue. Lien entre différentiabilité et dérivées (partielles ou directionnelles). Écriture de la différentielle en un point à l'aide des dérivées partielles (si elle existe). Matrice Jacobienne vu comme la matrice de la différentielle en un point.
• 16 novembre 2015 : Opérations sur les fonctions différentiables : combinaisons linéaires, différentiation des fonctions composées, formule de dérivation en chaîne, produit par une fonction scalaire. Applications continûment différentiables : définition, équivalence avec l'existence et la continuité des dérivées partielles. Résultats fondamentaux : intégration des fonctions à valeurs vectorielles, rappel du théorème des accroissements finis pour les fonctions réelles d'une variable réelle.
• 23 novembre 2015 : Inégalité des accroissements finis pour les fonctions d'une variable réelle puis de plusieurs variables. Difféomorphismes (définition et exemples), théorèmes d'inversion locale et globale (admis). Théorème des fonctions implicites.
• 30 novembre 2015 : Formules de Taylor pour les fonctions vectorielles d'une variable réelle. Fonctions n fois différentiables et de classe C^n, critère avec les dérivées partielles d'ordre n. Théorème de Schwarz. Matrice Hessienne. Formule de Taylor-Young pour les fonctions vectorielles. Extrema : définitions, condition nécessaire d'existence d'un extremum sur un ouvert (point critique).

Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin (sauf pour le groupe P8 : mercredi matin) et sont assurés par:

• Gaelle Dejou (groupe P5 (CCP)),
• Rouchdi Bahloul (groupe P6),
• Olga Kravchenko (groupe P7),
• Olga Kravchenko (groupe P8).

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Intégrales généralisées
• Séries numériques
• Espaces vectoriels normés
• Continuité des fonctions vectorielles
• Calcul différentiel
• Calcul différentiel : résultats fondamentaux

• Le sujet du 15-01-2013 et son corrigé
• Le sujet du 09-01-2014 et son corrigé
• Le sujet de l'année passée et son corrigé

• TD1 - Intégrales généralisées
• TD2 - Séries numériques
• TD3 - Espaces vectoriels normés
• TD4 - Topologie des espaces vectoriels normés
• TD5 - Limites et continuité de fonctions vectorielles
• TD6 - Calcul différentiel
• TD7 - Inversion-Fonctions Implicites-Extrema

Avancement :

Groupe P5 (au 04/12/15):

• Fiche 1 : exercices 1 à 6, 8 à 11 et 14 (exercice 7 vu en CM et corrections des exercices supplémentaires données).
• Fiche 2 : tous les exercices.
• Fiche 3 : tous les exercices.
• Fiche 4 : exercices 1 à 6, ensemble A de l'exercice 8, exercices 9 à 11 (corrigé du 12 distribué)
• Fiche 5 : exercices 1 à 11, questions 1 et 2 de l'exercice 12, exercices 13, 18, 19 et 21.
• Fiche 6 : exercices 1 à 7, 9 à 12, 1ère fonction de la question 1 de l'exercice 13.

Groupe P6 (au 14/12)

• Fiche 1 : ex. 1-6, 8, 10.
• Fiche 2 : ex. 1-5, 7-11.
• Fiche 3 : Tout sauf le 10.
• Fiche 4 : ex. 1, 2, 4-6, 8, 9, 10 (4 questions sur 5), 11.
• Fiche 5 : ex. 1-8, 10, 11, 12 (question 1, 2, 4), 15 (la 1ère fonction uniquement); indications pour 16 et 17, 19 et 20.
• Fiche 6 : ex. 1, 3-8, 10, 13.
• Fiche 7 : ex. 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (seulement des indications), ex. 12 (pas fait en TD, corrigé sera distribué le 16/12).

Groupe P7 (au 4/12/15 après 13 TDs sur 15) :

• Fiche 1 : exercices 1 à 6, 8, 10,11,14 Corrigé
• Fiche 2 : exercices 1 à 5, 8,9,12-16
• Fiche 3 : exercices 1-10
• Fiche 4 : exercices 1-4,8,9.2,10,12
• Fiche 5 : exercices 1-5, 7-14, 17,18, l'exercice 21 = l'exercice 3 avec la solution
• Fiche 6 : exercices 1-6,9-14
• Fiche 7 : Exercice 6 Corrigé

Groupe P8 (au 9/12/15, après 13 TDs sur 15) :

• Fiche 1 : exercices 1 à 6, 8, début de 11. Exercices 10,11,14 Corrigé
• Fiche 2 : exercices 1 à 5,8,9,12-16
• Fiche 3 : exercices 1-5,6.1,8,9,10
• Fiche 4 : exercices 1-6,8,9.2,10,12
• Fiche 5 : exercices 1-5,7-16,18, l'exercice 21 = l'exercice 3 avec la solution
• Fiche 6 : exercices 1-7, 9-15
• Fiche 7 : Exercice 6 Corrigé

Les cours d'algèbre sont assurés par Alexei Reiman.

* 3 septembre Révision des bases d'algèbre linéaire.

* 4 septembre Fin de révision (avec l'accent sur le changement de base). Déterminants: définition par récurrence, premières propriétés (déterminant comme une forme n-linéaire alternée). Manipulations avec les colonnes et calcul des déterminants en pratique.

* 9 septembre Déterminants: critère d'inversibilité; permutations, décomposition en produit des transpositions, signature d'une permutation, grosse formule pour le déterminant, déterminant de la matrice transposée, lignes et colonnes, caractérisation du déterminant. Fiche: Déterminants 1

* 16 septembre Formes n-linéaires alternées; multiplicativité du déterminant; déterminant d'un endomorphisme; développement suivant les lignes et les colonnes, cofacteurs; matrice inverse; systèmes d'équations linéaires, formules de Cramer. Fiche (s'arrête au n° 22): Déterminants 2

* 23 septembre Déterminants -fin: matrice triangulaire par bloc, déterminant d'un système de vecteurs, aire, volume. (Voir fiche Déterminants 2.) Méthode du pivot pour calculer le déterminant, le rang, résoudre un système d'équations linéaires et calculer la matrice inverse. Réduction des endomorphismes - début. Fiche: Méthode du pivot

* 30 septembre Réduction des endomorphismes: diagonalisation, vecteurs et valeurs propres, indépendance linéaire des vecteurs propres associés aux valeurs propres distinctes. Cas diagonalisable simple: n=dim E valeurs propres distinctes. Recherche des valeurs propres: polynôme caractéristique, sa structure. Polynôme caractéristique d'une matrice diagonale, triangulaire, triangulaire par blocs. Exemples de matrices non-diagonalisables. Diagonalisation en dimension 2 (en détail). FicheRéduction 1

* 7 octobre Trigonalisation, applications: relation entre les valeurs propres et la trace, le déterminant et les coefficients du polynôme caractéristique; trace des puissances d'une matrice. Endomorphismes nilpotents. Somme directe et projecteurs. Fiche:Réduction 2

* 14 octobre Sous-espaces stables, décomposition en blocs, factorisation du polynôme caractéristique. Espaces propres, différentes formulations de diagonalisabilité. Rappel sur les polynômes (multiplicité, factorisation, pgcd, Bezout, etc.). Polynômes annulateurs (début). Voir fiches Réduction 2bis Polynômes

* 21 octobre Polynômes annulateurs: lemme des noyaux (démonstration), description explicite des projecteurs associés, exemple en dimension 2. Critére de diagonalisabilité (annulation par un polynôme scindé à racines simples. Corollaire: l'endo induit dans un sous-espace stable par un endo diagonalisable est diagonalisable. Diagonasisation simultanée des endomorphismes qui commutent. Théorème de Cayley - Hamilton (démonstration). Fiche:Réduction 3

* 4 novembre Sous-espaces caractéristiques, endomorphismes induits, projecteurs spectraux, exemples, décomposition de Dunford (démonstration de l'unicité). Polynôme minimal (premières propriétés). Fiche:Réduction 4

* 18 novembre Application aux équations différentielles: propriétés générales, changement de base, cas diagonalisable; existence et unicité. Cas général: projecteurs spectraux, solution partielle dans chaque sous-espace caractéristique, formule générale de la solution vérifiant la condition initiale donnée. Structure des solutions. Fiche:Equations différentielles

* 25 novembre Exponentielle matricielle: définition, propriétés diverses, formule explicite utilisant la décomposition de Dunford et les projecteurs spectraux. Equations non-homogènes: variation de la constante, formule de Duhamel. Fiche:Exponentielle

* 2 décembre Equations différentielles scalaires d'ordre n, homogènes et non-homogènes. Suites définies par une récurrence linéaire. Fiches: Equations différentielles 2Suites

* 9 décembre Exemples. Polynôme minimal - suite; vecteur cyclique, endomorphisme cyclique.

Sujet d'examen 2013-2014 Examen 2014

Sujet d'examen 2015-2015 Examen 2015

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin (sauf pour le groupe P8 : vendredi matin) et sont assurés par:

• Gaelle Dejou (groupe P5),
• Rouchdi Bahloul (groupe P6),
• Pierre Lavaurs (groupe P7),
• Riccardo Biagioli (groupe P8).

• TD1 - Révisions d'algèbre linéaire
• TD2 - Déterminants
• TD3 - Début de la diagonalisation
• TD4 - Polynômes caractéristique et minimal
• TD5 - Quelques applications de la réduction des endomorphismes

Avancement :

Groupe P5 (au 02/12/15):

Fiche 1 : exercices 1 à 16, 18, 19 et 21 à 23.

Fiche 2 : exercices 1 à 17.

Fiche 3 : tous les exercices.

Fiche 4 : question 1 de l'exercice 1, exercice 2 à 6, 8. Exercices supplémentaires de trigonalisation (pour des matrices carrées de taille 3 ou 4). Exercices 10 à 14, 16, 17, questions 1 et 2 de l'exercice 19.

Fiche 5 : exercice 1.

Groupe P6 (au 9/12)

Fiche 1 : ex. 1-4, 6-13, 15-17, 19, 21.

Fiche 2 : ex. 1-7, 9-11, 13-15, 17.

Fiche 3 : ex. 1-7, 9-18.

Fiche 4 : ex. 1 (en partie), 2-6, 10-14, 16-18, 19 (sauf la question 3), 20.

Fiche 5 : ex. 2 (en partie), ex. 3.

Groupe P7 (Pierre Lavaurs) (au 16/12/15, après quatorze TDs sur quatorze) :

Fiche 1 : exercices 1 à 3, 5 à 7, 9, 12, 14 à 17, et 19 à 23.

Fiche 2 : tout sauf le 8 et le deuxième exemple du 12.

Fiche 3 : tout sauf le 2.

Fiche 4 : exercices 1, 2, 3 (complété par d'autres exemples), 5, 10 à 13, 15 à 17 et 19 (sans le 3).

Fiche 5 : exercices 1, 3, 4, 6, 10, 12, évoqué le truc pour faire le 13, 14 à 17 et évoqué le truc pour faire 18.

Groupe P8 (Riccardo Biagioli) TD le vendredi matin (au 27/11/15):

Fiche 1 : exercices 1 à 22 (sauf 4, 10, 19 ,20).

Fiche 2 : exercices de 1 à 17.

Fiche 3 : exercices de 1 à 18.

Fiche 4 : exercices de 2 à 17 (sauf 9-14-15).

Dates prévisionnelles

1. lundi 21 septembre : DS1 maths partie CCP uniquement (exceptionnellement de 16h15 à 17h45)
2. lundi 28 septembre : DS1 commun Sujet et corrigé
3. lundi 12 octobre : DS2 maths commun et son cоrrigé
4. lundi 19 octobre : DS1 de mécanique (de 16h15 à 18h15)
5. lundi 2 novembre : DS3 maths commun (le fichier contient l'énoncé et un corrigé).
6. lundi 23 novembre :
   • DS4 maths commun et son cоrrigé
   • DS4 CCP Sujet et corrigé
7. lundi 30 novembre : DS2 de mécanique (de 16h15 à 18h15)
8. lundi 14 décembre : DS5 commun Sujet et corrigé partiel

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

• 20 janvier 2016: Suites de fonctions : convergence simple, propriétés préservées par passage à la limite simple (signe, monotonie, convexité). Convergence uniforme, lien avec la convergence simple, méthodes d'étude de la convergence uniforme, exemples. Critère de Cauchy uniforme. Propriétés préservées par la convergence uniforme (caractère borné, continuité).
• 27 janvier 2016 : Suites de fonctions : théorème de la double limite, échange limite et intégrale sur un segment, théorème de convergence dominée. Théorème de dérivation pour les suites de fonctions de classe C^1, extension aux dérivées d'ordre supérieur.
• 3 février 2016 : Séries de fonctions : convergence simple, absolue simple, uniforme et normale. Conditions nécessaires de convergence simple et uniforme. Implications entre les différents types de convergence. Exemples.
• 10 février 2016 : Séries de fonctions : Continuité, théorème de la double limite, intégration sur un segment. Dérivation des séries de fonctions : fonctions de classe C^1 et généralisation aux fonctions de classe C^p. Exemples.
• 17 février 2016 : Séries entières : définitions, Lemme d'Abel, rayon convergence. Détermination pratique du rayon de convergence : règle de D'Alembert, de Cauchy, cas des séries lacunaires, exemples de techniques de comparaison.
• 2 mars 2016 : Retour sur les exemples de comparaisons. Opérations sur les séries entières : somme et produit. Convergence normale sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence, continuité. Séries entières d'une variable réelle : continuité, intégration.
• 9 mars 2016 : Séries entières d'une variable réelle : classe infinie, calculs des coefficients à l'aide des dérivées de la somme. Fonction exponentielle complexe : définition, propriétés, définition des fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes, expressions comme sommes de séries entières. Fonctions développables en série entière. Série de Taylor d'une fonction indéfiniment dérivable, condition nécessaire de développement en série entière/unicité du développement.
• 16 mars 2016 : Opérations sur les fonctions développables en série entière. Développements usuels. Fonctions périodiques : propriétés de base.
• 23 mars 2016 : Espace préhilbertien des fonctions continues 2pi-périodiques, extension des notations aux fonctions continues par morceaux. Polynômes et séries trigonométriques. Définition des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques. Coefficient de Fourier d'une série trigonométrique uniformément convergente. Propriétés calculatoires des coefficients de Fourier.
• 30 mars 2016 : Fin des séries de Fourier : série de Fourier, interprétation géométrique des sommes partielles, inégalité de Bessel et comportement asymptotique des coefficients de Fourier. Théorèmes de convergence : Dirichlet, convergence normale et Parseval. Extension aux fonctions T-périodiques. Intégrales à paramètres : théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas où l'intervalle d'intégration est un segment.
• 6 avril 2016 : Intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité). Intégrales à paramètres généralisées : théorèmes de continuité et de dérivation par domination par une fonction positive continue par morceaux et intégrable.
• 13 avril 2016 : Intégrales à paramètres : exemple de la fonction Gamma d'Euler. Intégrales doubles sur un pavé : théorème de Fubini sur un pavé, cas des fonctions à variables séparées, extension à des fonctions continues par morceaux.
• 27 avril 2016 : Parties élémentaires, intégrales doubles sur une partie élémentaire. Parties simples, intégrales doubles sur une partie simple. Formule du changement de variables pour des parties simples, changement de variables en coordonnées polaires.

Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi pour les groupes P5 et P7, le lundi matin pour P8 et le jeudi matin pour P6 et sont assurés par:

• Gaelle Dejou (groupe P5 (CCP)),
• Stéphane Attal (groupe P6),
• Rouchdi Bahloul (groupe P7),
• Gaelle Dejou (groupe P8).

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

• Suites de fonctions
• Séries de fonctions
• Séries entières
• Séries de Fourier

• l'examen de 2014 Énoncé
• l'examen de 2015 Énoncé et sa correction

• TD1 - Révisions sur les séries numériques
• TD2 - Suites de fonctions
• TD3 - Suites de fonctions et convergence dominée
• TD4 - Séries de fonctions
• TD5 - Séries entières
• TD6 - Séries de Fourier
• TD7 - Intégrales à paramètres
• TD8 - Équations différentielles

Avancement :

Groupe P5 (au 06/05/16, après 14 TD sur quinze):

• Fiche 1 : exercices 1 à 3, 5, 7 à 11, 13.
• Fiche 2 : exercices 1 à 8, question a de l'exercice 9, exercice 10.
• Fiche 3 : tous les exercices.
• Fiche 4 : tous les exercices.
• Fiche 5 : exercices 1 à 10, 12 à 14, 18 et 19.
• Fiche 6 : Exercices 1 à 8, 13 et 14.
• Fiche 7 : Tous les exercices sauf le 9 (fait en CM).
• Fiche 8 : exercice 1.

Groupe P6 (au 12/05)

• Fiche 1 : exercices 1, 7 et 11, plus 2 autres exercices issus du D.S.1 de 2014. Tous les exercices à faire à la maison, le corrigé a été donné.
• Fiche 2 : exercices 1, 4 et 7. Corrigé fourni des autres exercices.
• Fiche 3 : exercices 3, 4 et 5. Les 6 et 7 sont à faire chez eux.
• Fiche 4 : Exercices 1,2, 3, 6, 7 et 8
• Fiche 5 : Exercices 1, 2, 3, 4, 6. Le 7 est à faire à la maison.
• Fiche 6 : exercices 1, 2, 9, 10, 11, 12.
• Fiche 7 : Exercices 1, 2 et 6. A faire à la maison : 3, 4, 5, 7, 8

Groupe P7 (au 29/04)

• Fiche 1 : ex. 1-8, 11 en partie, 13.
• Fiche 2 : ex. 1-7, 10.
• Fiche 3 : Tout fait.
• Fiche 4 : Tout sauf l'ex. 8
• Fiche 5 : ex. 1-6, 8-10, 12, 13, 15, 18.
• Fiche 6 : 1, 2, 4, 5, 7 (question 1), 11.
• Fiche 7 : ex. 1-5.

Groupe P8 (au 06/05/16, après 13 TD sur quinze):

• Fiche 1 : exercices 1 à 3, 5, 7 à 9, question 1 de l'exercice 10, 11 et 13.
• Fiche 2 : exercices 1 à 8 et 10.
• Fiche 3 : tous les exercices.
• Fiche 4 : tous les exercices sauf le 4 et 5 (portant sur la règle d'Abel uniforme).
• Fiche 5 : exercices 1 à 10, 12, 13, 18 et 19.
• Fiche 6 : exercices 1 à 8, 13 et 14.
• Fiche 7 : exercices 1 à 3.

Les cours d'algèbre sont assurés par Itaï Ben Yaacov. Notes de cours (susceptible d'évoluer au cours du semestre).

• 19 janvier 2016 : Forme bilinéaire. Symétrique, antisymétrique (alternée). Présentation dans une base, changement de base. Rang, noyau, cône isotrope. Espace orthogonal à une partie.
• 27 janvier 2016 : Forme quadratique associée à une forme bilinéaire. Forme polaire d'une f.q., 3 formules de polarisation. Rang, noyau etc d'une forme quadratique. Famille orthogonales, existence d'une base orthogonale. Début de la réduction en carrés de Gauss.
• 3 février 2016 : Réduction en carrés d'une forme quadratique. Équivalence de formes quadratiques, préservation du rang. Classification des formes quadratiques à équivalence près sur un C-e.v. Théorème de Sylvester, signature. Classification sur un R-e.v.
• 10 février 2016 : Le cône isotrope d'une f.q. non dégénérée en dim 2 et 3. Formes et matrices positives, négatives, définies. Définition du produit scalaire dans un R-e.v. et dans un C-e.v. : < x,y > linéaire en y . Cauchy-Schwarz (+cas d'égalité), la norme est une norme. Polarisation réelle et complexe, identité du parallélogramme.
• 17 février 2016 : Vecteurs orthogonaux, E = F + F^perp en dimension finie. Projecteurs (rappels), projecteurs orthogonaux. Famille orthogonale/orthonormée, Pythagore. Expression du projeté orthogonal dans une base orthogonale/normée, coordonnées dans une base orthogonale/normée, Gram-Schmidt.
• 2 mars 2016 : Existence d'une base orthonormée, complétion d'une famille orthonormée en une base. Distance à un s.e.v. par projection orthogonale. Inégalité de Bessel, égalité de Bessel-Parseval (non démontré en dimension infinie). Endomorphisme adjoint, sa matrice, premières propriétés. Endomorphismes auto-adjoints et orthogonaux/unitaires. Matrices orthogonales/unitaires.
• 9 mars 2016 : Diverses caractérisations d'endomorphismes orthogonaux/unitaires et de matrices orthogonales/unitaires. Valeurs propres/dét. ont module 1. Endomorphismes auto-adjoints, matrices symétriques (réelles) / hermitiennes. Existence d'une valeur propre réelle. Théorème spectral (diagonalisation dans une base on) pour un end. auto-adj, matrice sym / hermitienne.
• 23 mars 2016 : Conséquence du théorème spectral dans les espaces euclidiens : décomposition spectrale, racine carrée d'un endomorphisme positif, décomposition polaire d'une matrice. Exemple: p est un projecteur orthogonal ssi p = p^2 = p^*.
• 30 mars 2016 : Critère de Sylvester pour une matrice définie positive. Les groupes O(n) et SO(n) . Symétries, symétries orthogonales, réflexions orthogonales, décomposition d'un endomorphisme orthogonal en produit de réflexions orthogonales. Classification des matrices orthogonales en dim 1 et 2.
• 6 avril 2016 : Endomorphismes orthogonaux en dimension 3 (rot. or rot.-réfl.), et en dimension quelconque (diagonale de 1, -1 et rotations). Une isométrie qui fixe zéro est un endom. orthogonal. Début des espaces affines: définitions, l'espaces affine associé à un espace vectoriel, la structure d'espace vectoriel sur un espace affine avec une origine donnée.
• 13 avril 2016 : Translations. Combinaisons affines / barycentres. Repères, coordonnées barycentriques / affines dans un repère. Caractérisations des s.e.a.
• 27 avril 2016 : Applications affines. La partie linéaire L_f d'une application affine f . Si L_f = k id alors f est une homothétie ou une translation. Espaces affines euclidiens. Toute isométrie est affine, de partie linéaire orthogonale. Projection orthogonale, distance à un s.e.a. Symétries orthogonales p.r.à un s.e.a.

• TD1 - Formes bilinéaires et quadratiques
• TD2 - Espaces euclidiens
• TD3 - Endomorphismes des espaces euclidiens
• TD4 - Adjoints et théorème spectral
• TD5 - Géométrie affine

Avancement :

Groupe P5 (au 06/05/16, après 13 TD sur quinze):

• Fiche 1 : tous les exercices. Deux exercices supplémentaires sur le noyau des formes quadratiques (lien avec le cône isotrope) et début de l'exercice d'algèbre du DS1 de l'année passée.
• Fiche 2 : Quelques produits scalaires réels usuels. Trois autres exercices concernant uniquement les produits scalaires réels. Fiche 2 traitée en entier.
• Fiche “forme hermitienne” de l'an passé : exercices 1 à 4.
• Fiche 3 : tous les exercices.
• Fiche 4 : tous les exercices.
• Fiche 5 : Exercices 7, 12, 13, question 1 de l'exercice 14 et deux petits exercices sur la notion d'espaces affines et de sous-espaces affines. Rappels sur les applications affines : combinaisons linéaires et composée de fonctions affines en exercice.

Groupe P6 (au 03/05/2016):

• Fiche 1 : tout fait.
• Fiche 2 : exercices 1-6, début du 8, 9, 10.
• Fiche “Formes hermitiennes” : exercices 1 et 2.
• FIche 3 : tout fait.
• Fiche 4 : tout sauf exercice 11 et la question 5 du 10.
• Fiche 5 : exos 1 à 3.

Groupe P7 (au 3/05)

• Fiche 1 : Tout fait.
• Fiche 2 : Tout sauf le 11.
• Fiche “formes hermitiennes” : ex. 1, 2, 3, 5.
• Fiche 3 : Tout sauf le 7 + début du 7.
• Fiche 4 : ex. 1-9.
• Fiche 5 : ex. 1-4, 6-8, 10.

Groupe P8 (au 21/04/16):

• Fiche 1 : Tous les exercices + exos 1.20 1.21 1.23 du poly de cours
• Fiche 2 : Tous les exos sauf 10 et 11
• Fiche 5 (forme Hermitienne) : Exos 1 et 2
• Fiche 3 : Tous les exercices
• Fiche 4 : Tous les exercices

Dates prévisionnelles

1. mardi 9 février
2. mardi 8 mars
3. mardi 22 mars Enoncé et correction du DS 3, cliquer ici
4. mardi 12 avril Correction Partie Algèbre
5. mardi 10 mai