Programme de colle : tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux derniers cours (pour les questions de cours) et derniers travaux dirigés (pour les exercices).
Début des colles :
Colloscope (à jour!)
– Sommes et produits: définitions, changements d'indices, exemples classiques
– Sommes doubles : Sur un rectangle, sur un triangle
– Coefficients binomiaux : Factorielle et coefficients binomiaux, Formule du binôme de Newton
– Le corps C : Construction, le plan complexe, conjugaison, module, argument, exponentielle complexe
– Résolution des équations du 2nd degré dans C : Racines carré d'un complexe, solution de ax^2+bx+c=0 dans C, factorisation de ax^2+bx+c, Rappels sur les racines n-ièmes dans R, racines n-ième de l'unité dans C, exemples fondamentaux (j, j^2, etc), relation de conjugaison des racines de l'unité, leur somme fait 0, Résolution générale de Z^n=z, exemple X^5+1=0.
– Assertions, ensembles, prédicats : assertions, ensembles, “appartient” et “inclus”, prédicats. “non”, connecteurs “ou” et “et”, implication, réciproque, contraposée, équivalence
– Quantificateurs : quantificateurs “quelque soit”, “il existe”, “il existe unique”, négation et quantificateur, successions de quantificateur (en particulier différence entre “quelque soit, il existe” et “il existe, quelque soit”.
– Ensembles : inclusion, sous-ensemble, ensemble P(E) des parties de E, cardinal de P(E), union, intersection, complémentaire, différence et différence symétrique.
– Produits cartésiens et familles : Construction du produit cartésien, familles d'éléments, union et intersection de familles quelconques d'ensembles.
– Applications : Définition, prolongements et restrictions, compositions d'applications, image directe d'une partie, image réciproque d'une partie.
– Bijectivité : injectivité, surjectivité, bijection, fonction réciproque, caractérisation, f^{-1} est bijective, lien avec f^{-1}(A).
– Généralités sur les fonctions : opérations sur les graphes (f(x+a), f(-x), f(a-x), f(x)+a, af(x), f(ax)), dérivabilité, dérivée de fog, dérivée de f^{-1}.
– Exponentielle, logarithme, puissances : rappels complets sur ln et sur exp, fonctions x^n pour n entier, graphes. Fonctions x^a pour a=1/n, puis pour a rationnel, graphes. Formule x^a=exp(a ln(x)). Fonction x^a pour a réel. Fonction a^x et fonction x^x.
– Fonctions circulaires réciproques : arccos, arcsin, arctan : domaine, limites, graphe et dérivée. Fonctions ch, sh, th, limites, graphes, dérivées, formules usuelles. Fonctions argch, argsh, argth, définitions, graphe, dérivée, formules explicites.
– Divisibilité : diviseurs, multiples, propriétés de base, division euclidienne, congruences, propriétés d'additivité et de multiplicativité des congruences.
– P.G.C.D. et P.P.C.M. : P.G.C.D., propriétés de base, algorithme d'Euclide, égalité de Bezout , propriété d|a et d|b ⇔ d|pgcd(a,b). P.P.C.M., propriétés de base. Propriété a|m et b|m ⇔ ppcm(a,b)|m. pgcd(a,b) x ppcm(a,b)=|ab|.
– Nombres premiers entre eux : définition, propriétés de base, théorème de Bezout, applications, théorème de Gauss, applications. Application à la représentation réduite des rationnels, au caractère irrationnel des racines carrées.
– Décomposition primaires des entiers : Nombres premiers, propriétés de base, ensemble infini. Théorème de décomposition en nombres premiers.
– Construction : K[X], structure d'espace vectoriel de K[X], degré, K_n[X], structure d'anneau de K[X], composition de polynômes, fonctions polynômiales.
– Dérivées d'ordre supérieur : Rappels sur les dérivées secondes, n-ièmes de fonctions. Formule (PQ)^(n). Taylor pour les polynômes.
– Arithmétique des polynômes : Divisibilité, division euclidienne, méthode effective, a est racine de P ssi (X-a) divise P, pgcd et ppcm des polynômes, Bezout, polynômes premiers entres eux, polynômes irréductibles, décomposition en facteurs irréductibles.
– Racines et polynômes : racines et degré, multiplicité des racines.
– Sup et inf : définition du sup et de l’inf des sous-ensembles de R, théorème fondamental des réels : tout ensemble non vide majoré admet un sup, première caractérisation du sup, densité de Q dans R (sans démonstration).
– Suites et limites : définition des limites finies ou infinies pour les suites, avec epsilon, n_0 etc, la limite (finie) si elle existe est unique (exercice à la maison), toute suite dans Z, si elle est convergente est forcement stationnaire à partir d’un certain rang (exercice à la maison), toute suite convergente est bornée. Théorème des gendarmes. Toute suite monotone admet une limite. Suites adjacentes.
–Opérations sur les limites : addition, produit, quotient dans tous les cas, cas indéterminés. Certains cas démontrés au tableau, les autres sont à lire. Pour les cas indéterminés trouver des exemples de chacun des comportements possibles.
– Sous-suites : Définition des sous-suites, les sous-suites ont même limite que la suite. Si deux sous-suites ont une limite différente alors la suite n'a pas de limite. Théorème de Ramsey (non démontré en cours, démonstration à lire). Théorème de Bolzano-Weierstrass (démontré à partir de Ramsey).
(Remarques : je n'ai pas fait le critère de Cauchy)
– Limites : toutes les définitions de limites pour les fonctions, avec epsilon, delta : limite finie en un point, limite infinie en un point, limite finie à l'infini etc. Limites à gauche et à droite de toutes sortes. Caractérisation séquentielle des limites.
Groupe P1 (Pascal Lainé)
Groupe P2 (Francesco Fanelli)
Groupe P3 (Khaled Saleh)
Groupe P4 (Arnaud Duran)
Dates des devoirs :
Notes de cours du chapitre 1 (les parties “Un peu de vocabulaire sur les matrices carrées” et “résolution matricielle d'un système linéaire” n'ont pas été traitées au tableau) Remarque valable pour ce chapitre comme les suivants: tous les chapitres seront mis à jour, si nécessaire, au cours du semestre pour corriger les erreurs éventuelles. Le chapitre 1 a été mis à jour le 02.02.2017 après qu'un étudiant m'a signalé une erreur dans l'exemple de résolution d'un système via le pivot de Gauss (un -1 était devenu un 1 dans le système). Merci à lui et à tous ceux et celles qui prendront la peine de me signaler les erreurs présentes dans les notes.
Notes de cours pour le début du chapitre 3
Notes de cours pour la fin du chapitre 3
Notes de cours des chapitres 4 et 5
Notes de cours pour le début du chapitre 6
Notes de cours pour la fin du chapitre 6 (qu'on finira de traiter au prochain cours, 16/03/2017, avant de commencer le chapitre sur l'intégration).
Notes de cours pour le début du chapitre 7
Notes de cours pour la fin du chapitre 7
Notes de cours pour le début du chapitre 9
Groupe P1 (Apollos Besse et Maria Carrizosa)
Groupe P2 (François Lê)
Groupe P3 (Lionel Nguyen Van Thé)
Groupe P4 (Benjamin Célariès)