Partiel lundi 14 décembre de 13h45 à 15h45 (épreuve sur tout le programme).
Le calendrier des khôlles est affiché dans Tomuss.
Cours du 7/12 Exponentielle d'un endomorphisme, propriétés élémentaires. Calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme diagonalisable, puis d'un endomorphisme non diagonalisable. Application aux systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
Cours du 30/11 Application de la décomposition spectrale algébrique au calcul de puissances d'un endomorphisme. Applications aux équations d'évolution discrète couplées : suites récurrentes, dynamique de populations, chaînes de Markov.
Cours du 23/11 Décomposition spectrale algébrique : décomposition unique d'un endomorphisme en la somme d'un diagonalisable et d'un nilpotent qui commutent. Caractérisation des endomorphismes diagonalisables en terme de projecteurs spectraux. Méthode de calcul des projecteurs spectraux.
Cours du 16/11: Exemples de décomposition spectrale d'une matrice diagonalisable et d'une matrice non diagonalisable. Espaces spectraux. Théorème spectral géométrique : pour un endomorphisme u de E dont le polynôme caractéristique est scindé : E est somme directe des sous-espaces spectraux, les sous-espaces spectraux sont stables par u, la dimension de l'espace spectral E_\lambda d'une valeur propre \lambda est égal à l'ordre de multiplicité algébrique de \lambda, la restriction de u à E_\lambda moins l'homothétie de rapport \lambda est nilpotent d'incide l'ordre de multiplicité de \lambda dans le polynôme minimal. Projecteurs spectraux d'un endomorphisme. Les projecteurs spectraux de u sont des polynômes en u.
Pas de cours le 9/11
Cours du 2/11: Un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé et possède toutes ses racines simples. Le théorème de Cayley-Hamilton, preuve par voie de trigonalisation et preuve via la comatrice des cofacteurs. Exemples de calculs de polynômes minimaux.
Cours du 26/10: Polynôme d'endomorphismes, propriétés élémentaires. En dimension finie, tout endomorphisme admet un polynôme annulateur. Les valeurs propres sont racines de tout polynôme annulateur. Lemme de décomposition en noyaux. Le polynôme minimal.
Cours du 19/10: Multiplicité géométrique et algébrique d'une valeur propre. La première est toujours majorée par la seconde. Un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé et pour toute valeur propre les multiplicités géométrique et algébrique sont égales. Un endomorphisme qui admet autant de valeurs propres que la dimension de l'espace est diagonalisable. Exemples. Endomorphismes et matrices trigonalisables. Un endomorphisme est trigonalisable si, et seulement si, sont polynôme caractéristique est scindé. Tout endomorphisme d'un C-espace vectoriel est trigonalisable. La trace est la somme des valeurs propres, le déterminant est leur produit.
Cours du 12/10: Application de la diagonalisation au calcul de chemins dans un graphe fini orienté. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espace propres. Les sous-espaces propres sont en somme directe. Polynôme caractéristique. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Le polynôme caractéristique de la restriction à un sous-espace stable d'un endomorphisme u divise le polynôme caractéristique de u. Un endomorphisme ayant un polynôme caractéristique scindé à racines simples est diagonalisable. Exemples.
Pas de cours le 5/10
Cours du 28/09 : Équations d'évolution linéaire couplées (évolution à temps continu et discret). Le problème du découplage et intérêt des matrices diagonales. Exemple pratique de modélisation par une équation différentielle linéaire, puis par un système d'équations différentielles linéaires (concentration de polluant dans une cuve, puis plusieurs cuves). Exemples d'équations d'évolution discrète couplées (dynamique des populations à fluctuation annuelle). La problématique de la diagonalisation des endomorphismes. Exemple de diagonalisation de la matrice d'une projection sur un plan de R^3 parallèlement à une droite.