programme de la question de cours de l'examen d'analyse complexe du 4 mai 2026

1. Toutes les définitions et tous les énoncés des théorèmes du cours doivent être connus précisément ainsi que les preuves suivantes
2. principe des zéros isolés
3. principe du maximum
4. lemme de Schwarz
5. pour une fonction holomorphe dans une couronne circulaire, l'intégrale le long de tout cercle concentrique est constante (on pourra admettre les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires)
6. une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert, qui converge sur tout compact, a pour limite une fonction holomorphe dans le même ouvert
7. théorème de classification des singularités isolées
8. théorème des résidus : énoncé à savoir très précisément, preuve exigible uniquement dans le cas particulier où la fonction a une seule singularité isolée
9. théorème de Rouché : énoncé à savoir très précisément, preuve de la première partie du théorème

programme de la question de cours du partiel d'analyse complexe du 16 mars 2026 ​

1. Toutes les définitions et tous les énoncés des théorèmes du cours doivent être connus précisément ainsi que les preuves suivantes :
2. Proposition 18.1 : la sphère de Riemann Ĉ est homéomorphe à la sphère unité S²
3. “Définition” 23 : le bi-rapport est l’unique homographie associant à trois nombres complexes distincts z1, z2, z3 les points 0, ∞, 1
4. Lemme 27 : l'ensemble des cercles ou droites est préservé par toute homographie
5. Théorème 38 : une série entière converge normalement sur tout disque fermé intérieur à son disque de convergence et diverge grossièrement à l'extérieur de la fermeture du disque de convergence
6. Proposition 51 : une détermination du logarithme est holomorphe si et seulement si elle est continue
7. Proposition 55 : développement en série entière de Log(1+z) en 0
8. Proposition 64.1 : si f admet une primitive dans un voisinage du support d'un lacet, alors son intégrale le long de ce lacet est nulle
9. Exemple 66 : z^n est d'intégrale nulle sur le cercle unité sauf si n=-1
10. Proposition 70 : l'indice d'un point par rapport à un lacet est un entier
11. Proposition 88 : toute fonction holomorphe ne s'annulant pas dans un ouvert étoilé admet une détermination holomorphe de son logarithme
12. Théorème 83 de Morera
13. Théorème 87 de dérivation sous le signe intégral

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