Colles : la moyenne est faite sur les quatre meilleures notes.
DS : pour les P2-P5, la moyenne est faite sur les trois meilleures notes ; pour les P1, la moyenne est faite sur les six meilleures notes. Une absence justifiée est automatiquement la note enlevée. Une absence injustifiée compte pour 0 et annule le système de bonus.
Examen : une épreuve pour Analyse 2, une épreuve pour Algèbre 2.
Programme : pour chaque colle, tout ce qui aura été fait jusqu'à la semaine précédente.
Début des colles : la semaine du 3 février.
Colloscope : ici (susceptible de changer à tout moment: vérifiez-le régulièrement!) En cas de difficulté (page introuvable) essayez de coller directement le lien suivant dans la barre d'adresse de votre navigateur: http://math.univ-lyon1.fr/colles/?page=colles_1A .
Cours du 22 janvier. Définition d'une matrice, interprétation en termes de systèmes et de fonctions. Vocabulaire: matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne. Opérations sur les matrices: somme, produit. Interprétation du produit en terme de composition de fonctions. Le produit est associatif, mais pas commutatif (exemples). Transposée d'une matrice et propriétés: transposer deux fois ne change pas la matrice, transposer AB donne le produit de la transposée de A et de la transposée de B. Définitions des puissances d'une matrice et formule A^(i+j)=A^i A^j. Formule du binôme (énoncée mais pas encore démontrée). Démonstration de cours: pour toute paire d'entiers (i,j) et toute matrice carrée A on a A^(i+j)=A^i A^j.
Cours du 23 janvier. Preuve de la formule du binôme pour deux matrices carrées qui commutent. Définition d'une matrice inversible, intérêt pour résoudre le système AX=B. Propriétés des matrices inversibles: si A est inversible alors A^(-1) aussi, et (A^(-1))^(-1)=A; un produit de deux matrices inversibles est inversible et (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1); définition de A^m quand A est inversible et A est un entier relatif. Si A a une colonne nulle alors A n'est pas inversible. A est inversible ssi sa transposée est inversible. Si A a une ligne nulle alors A n'est pas inversible. Définition des matrices élémentaires (permutation, dilatation, transvection - ce vocabulaire n'est pas exigible) et lien entre multiplication à gauche par une matrice élémentaire et opération élémentaire sur les lignes de la matrice. Les matrices élémentaires sont inversibles, et formule pour leur inverse. Matrices échelonnées, échelonnées réduites. Deux matrices sont équivalentes en lignes si on peut passer de l'une à l'autre par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes. Théorème: toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite (énoncé mais pas démontré). Exemple sur une matrice explicite et lien avec la résolution d'un système (pivot de Gauss). Début du cours sur les fractions rationnelles (K=R ou C): définition, opérations algébriques, zéros, pôles. Toute fraction rationnelle a une forme irréductible unique; toute fraction rationnelle s'écrit de façon unique sous la forme P+Q, où P est un polynôme et deg(Q) <0. Définition d'un élément simple, forme des éléments simples sur R et sur C. Démonstrations de cours: si A est inversible alors sa transposée aussi, et formule pour l'inverse. Un produit de matrices inversibles est inversible et formule pour l'inverse.
Cours du 29 janvier. Preuve que toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite. Critère d'inversibilité: A est inversible ssi pour tout Y AX=Y a une solution unique ssi AX=0 a une solution unique ssi A est équivalente en lignes à l'identité ssi A est un produit de matrices élémentaires. Méthode du pivot pour calculer l'inverse d'une matrice (en formant une matrice augmentée, et en faisant des opérations élémentaires sur les lignes sur la matrice augmentée). Définition des matrices triangulaires supérieures et triangulaires inférieures. Critère d'inversibilité: une matrice triangulaire supérieure est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont tous non nuls (énoncé, pas encore démontré).
Cours du 30 janvier. Fin du chapitre sur les matrices: preuve du critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire supérieure (et formule pour les coefficients diagonaux dans le cas inversible). Définition d'une matrice diagonale; diag(a_1,…,a_n) est inversible ssi tous les a_i sont non nuls et dans ce cas son inverse est diag(1/a_1,…,1/a_n). Définition d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. Toute matrice carrée est somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. Fin du chapitre sur les fractions rationnelles: énoncé du théorème de décomposition en éléments simples sur C, puis sur R (existence et unicité; la démonstration est hors programme et sera faite dans le cours d'algèbre); formule pour calculer l'élément simple dans le cas d'un pôle simple. Exemples de calcul, écriture a priori de la forme de la décomposition dans quelques exemples particuliers. Début du chapitre sur les espaces vectoriels: définition d'un espace vectoriel (sur K=Q,R,ou C). Exemples: K^n, K[X], K(X), espaces de matrices, espaces de fonctions… Définition d'une famille libre. Critère: une famille (x_1,…,x_n) est libre ssi aucun x_i n'est combinaison linéaire des autres membres de la famille (la démonstration de ce critère est à connaître).
Cours du 5 février. Définition du produit de deux espaces vectoriels. Notion de sous-espace vectoriel: définition, exemples (droite passant par 0 dans le plan, plan passant par 0 dans l'espace, solutions d'un système linéaire homogène, suites convergentes, suites satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2). L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. La réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sous-ev ssi l'un des deux est contenu dans l'autre. Définition de l'espace vectoriel engendré par x_1,…,x_n: c'est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels qui contiennent x_1,…,x_n; on peut aussi le décrire comme le sous-ensemble formé par tous les vecteurs qui sont combinaison linéaires de x_1,…,x_n. Si (x_1,…,x_n) est une famille libre, et y un vecteur, alors (x_1,…,x_n,y) est libre ssi y n'appartient pas à Vect(x_1,…,x_n). Démonstrations de cours: la réunion de deux sous-ev est un sous-ev ssi l'un est contenu dans l'autre; si (x_1,…,x_n) est une famille libre et y un vecteur alors (x_1,…,x_n,y) est libre ssi y n'appartient pas à Vect(x_1,…,x_n).
Cours du 6 février. Subdivision d'un segment, pas d'une subdivision. Deux subdivisions de [a,b] étant données, il existe une troisième subdivision qui les raffine toutes les deux. Fonctions en escalier, subdivisions adaptées. Une fonction en escalier ne prend qu'un nombre fini de valeurs, une combinaison linéaire et un produit de fonctions en escalier est une fonction en escalier. Intégrale d'une fonction en escalier et propriétés (positivité, linéarité, inégalité triangulaire). Subdivisions pointées, sommes de Riemann. Sommes de Darboux supérieure et inférieure. Définition d'une fonction intégrable sur [a,b]: c'est une fonction bornée telle que le sup des sommes de Darboux inférieures (parmi toutes les subdivisions) coïncide avec l'inf des sommes de Darboux supérieures (parmi toutes les subdivisions). Interprétation comme “approcher l'aire entre l'axe des abscisses et le graphe de f par des sommes d'aires de rectangles”. Une fonction bornée sur [a,b] est intégrable ssi pour tout epsilon >0 il existe une subdivision pointée telle que la somme de Darboux supérieure associée à cette subdivision est majorée par la somme de Darboux inférieure + epsilon. Relation de Chasles. Fonctions continues par morceaux. Démonstration de cours: toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. Toute fonction continue par morceaux sur un segment est intégrable. Le cours s'est basé sur ce diaporama.
Cours du 12 février. Preuve que si une fonction est intégrable sur [a,b] alors les sommes de Riemann de f convergent vers son intégrale quand le pas de la subdivision tend vers 0 (cette preuve est hors programme). Exemples de calcul d'intégrale via des limites de sommes de Riemann. Propriétés de l'intégrale des fonctions continues par morceaux: relation de Chasles, positivité, linéarité, inégalité triangulaire. Application: si f est continue par morceaux sur [a,b] alors son intégrale est entre (b-a)inf(f) et (b-a) sup(f); si f est continue sur [a,b] alors il existe x dans [a,b] tel que f(x)= 1/(b-a) intégrale(f) (démonstrations à connaître) .
Cours du 13 février.Si f est continue sur un segment, à valeurs positives, et d'intégrale nulle, alors f=0 (démonstration à connaître). Si f est continue par morceaux sur un segment, à valeurs positives, et d'intégrale nulle alors f est nulle partout sauf peut-être un nombre fini de points. Première formule de la moyenne. Inégalité de Cauchy-Schwarz pour des fonctions continues par morceaux, démonstration (sans discussion du cas d'égalité). Si f est continue par morceaux alors (intégrale de a à x de f(t) dt) est une fonction continue. Théorème fondamental de l'analyse: Si f est continue alors (intégrale de a à x de f(t) dt) est l'unique primitive de f qui s'annule en a. Première application: la formule d'intégration par parties. Exemples. Deuxième application: le théorème de changement de variables pour une fonction continue et un changement de variables de classe C^1 (deux formules: l'une où l'on intègre f(phi(t))phi'(t) dt et on pose phi(t)=x, dans ce cas phi n'a pas besoin d'être bijective; une où on intègre f(t)dt et on pose t=phi(x), dans ce cas on a besoin que phi soit bijective). Exemple: calcul de l'aire d'un disque centré en 0 et de rayon R. Brève discussion de l'intégration de fonctions continues à valeurs complexes: on intègre séparément partie réelle et partie imaginaire. Puis présentation trop rapide de quelques méthodes de calcul d'intégrale, à l'aide de ce diaporama. Note pour les colleurs: éviter toute technicité excessive pour les exercices calculatoires (les exemples sur le diaporama sont, par exemple, trop compliqués pour être donnés en colle).